導(dǎo)數(shù)與微分在物理中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)與微分在高三物理復(fù)習(xí)中的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)新教材已將“導(dǎo)數(shù)與微分”作為高三數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，這一改革對(duì)物理教師來(lái)說(shuō)， 是一件如魚兒得水的快事！ 在高三物理復(fù)習(xí)中，恰當(dāng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與微分這一數(shù)學(xué)工具，可以簡(jiǎn)化分析過(guò)程，提升思維層次，深化對(duì)物理問(wèn)題的理解；同時(shí)，可以深刻體念數(shù)學(xué)在物理中的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力筆者結(jié)合復(fù)習(xí)備考的嘗試，談?wù)剬?dǎo)數(shù)與微分在高三物理復(fù)習(xí)中的應(yīng)用一、理解物理概念瞬時(shí)速度是一個(gè)不好理解的概念，高一物理教材在 “怎樣理解瞬時(shí)速度”的閱讀材料中舉例：汽車經(jīng)過(guò)A 點(diǎn)時(shí)，從 A 點(diǎn)起取足夠小的位移或足夠短的時(shí)間， 所得的平均速度就等于汽車經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的瞬時(shí)速度高三復(fù)習(xí)時(shí)，可

2、以將這種表述簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)式： vtlimsds ，即t 0tdt質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的瞬時(shí)速度等于位移對(duì)時(shí)間在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)類似地，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的加速度等于速度對(duì)時(shí)間在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)我們還可以用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式 s v0 t1at 2 、 vtv0 at 來(lái)驗(yàn)證2電阻雖然是一個(gè)簡(jiǎn)單的物理概念， 但仍然I存在理解上的誤區(qū)如有的同學(xué)在研究小燈泡伏安特性曲線實(shí)驗(yàn)中認(rèn)為：I-U 圖線切線斜率的變化反映電阻的變化，甚至認(rèn)為I-U圖線切線斜率的倒數(shù)就等于電阻 結(jié)合小燈泡BAU圖 1伏安特性曲線（圖1）來(lái)看，從 A 到 B，切線斜率減小，電阻增大，這種理解似乎沒錯(cuò)，但換一種情形，這種理解的錯(cuò)誤就會(huì)顯露出來(lái) 如圖 2，從

3、A 到 B，切線斜率減小，即B點(diǎn)切線斜I率斜率的倒數(shù)較大， 但 B 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電阻較小 從B導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可知， I-U 圖線切線斜率 k 等于 I 對(duì)U的導(dǎo)數(shù)，即 kdI ， 1 dU ，上述錯(cuò)誤在于把dUkdI電阻的定義式 RU 換成了 R dU ，而一般情況IdI下，UdU ，只有對(duì)金屬導(dǎo)體這類線性元件 （伏IdIAU圖 2安特性曲線是過(guò)原點(diǎn)的直線） ，才有 RUdU IdI再如，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式E，高中物理中一般只涉及兩t種情況：當(dāng) S 不變時(shí)， ESB ；當(dāng) B 不變時(shí)， E B S 但高三復(fù)tt習(xí)中，有學(xué)生問(wèn)“當(dāng)B 和 S 都變時(shí)，怎樣求E 呢？”，如果我們回答“這種情況高考不考”，

4、學(xué)生是不會(huì)滿意的，如果將此公式寫成Ed，同時(shí)將BS 代入得 ES dBB dS ，然后分三種情況討論，dtdtdt既開闊了學(xué)生的眼界，又培養(yǎng)了學(xué)生的興趣二、認(rèn)識(shí)物理規(guī)律LC 回路電磁振蕩規(guī)律中，電容器放電時(shí)，極板間電壓減小，放電電流增大，到放電完畢瞬間，極板間電壓為零，放電電流達(dá)到最大學(xué)生總是受歐姆定律iu 的干擾，產(chǎn)生疑問(wèn)：電壓為零時(shí)，電流R怎么會(huì)最大呢？高二上新課時(shí)， 我們除了強(qiáng)調(diào)學(xué)生不要用歐姆定律研究 LC回路之外，只能從電能、磁能轉(zhuǎn)化和守恒的角度作定性的分析說(shuō)明高三復(fù)習(xí)時(shí)，我們可以借助導(dǎo)數(shù)和微分的知識(shí)，輕松地突破這一難點(diǎn)：放電時(shí)，電容器極板上電荷 q 的減少量等于導(dǎo)線中流過(guò)的電量，由電

5、流的定義式可得dqidtq 得 iC du再結(jié)合電容的定義式 CudtLC回路中電容器周期性充放電， 極板間電壓可表示為 uU m cost則 iCU msint由此可知， u0 時(shí)， i 取最大值繩拉物體運(yùn)動(dòng)的分解也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)如圖3，小車?yán)K的速度 v1 和木塊前進(jìn)的速度 v2，哪個(gè)當(dāng)分速度， 哪個(gè)當(dāng)合速度， 二者關(guān)系如何，學(xué)生不易弄清，借用導(dǎo)數(shù)知識(shí)很容易解決：由圖可知， x 2h2l 2v1兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得： x dxl dlldtdthv2由于 v1dl 、 v2dx 、 cosxxdtdtl故 v1 v2 cos 圖 3三、求解物理問(wèn)題高中物理中，經(jīng)常遇到一些研究變化趨勢(shì)、快慢和極

6、值的問(wèn)題，這類問(wèn)題通?？梢杂脭?shù)學(xué)變換（如化為繁分?jǐn)?shù)、配成完全平方式）和數(shù)學(xué)重要不等式等方法解決，但有時(shí)用這些方法顯得很麻煩，甚至解不出來(lái)，而用導(dǎo)數(shù)和微分的方法卻很簡(jiǎn)潔實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)和微分是解決這類問(wèn)題的一般方法例一：如圖 4 所示，某人站在離河北A岸 20m的 A處，看到河下游 70m離河南岸 10m北岸的 B 處發(fā)生險(xiǎn)情，此人馬上快速跑到河邊，河再以跑步 3 的速度過(guò)河跑到出事點(diǎn)進(jìn)行搶南岸4B圖 4險(xiǎn)已知河寬為 40m，且河水不流動(dòng)，此人跑步的速度為8m/s，問(wèn)此人到達(dá)出事點(diǎn)的最短時(shí)間是多少？為便于研究，先將河道向南平移10m，使陸地上的兩段運(yùn)動(dòng)連在一起，這樣將問(wèn)題情景轉(zhuǎn)化成人離北岸30m，出

7、事點(diǎn)在南岸邊上，如圖5所示A為了求出最短時(shí)間，我們先把人沿任意路線（圖 5 中的 A-E-B）運(yùn)動(dòng)的時(shí)間表示出來(lái)：設(shè) EF=x，則 ED70xD北岸FE河B南岸2222圖 5AFEFBDEDt68302x 2402(70 x)2即 t6( 0 x 70 )8根據(jù)上述表達(dá)式， 求最短時(shí)間，就是求上式中 t 的最小值為此，令 t 對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)等于零，即x70xtx26 40208 302(70 x)2解得 x=40m，代入 t 的表達(dá)式得 t =14.6s 這q3就是最短時(shí)間（注：本題借用光學(xué)中的費(fèi)馬定理也可以很簡(jiǎn)潔求解）q1q2例二：如圖6 所示，三個(gè)點(diǎn)電荷位于等邊圖 6三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，q1

8、 和 q2 為正電荷，q3 為負(fù)電荷，電量均為 q ，現(xiàn)將 q1 和 q2 固定，q3 由靜止釋放，試定性討論 q3 的速度和加速度變化情況（不考慮重力）q3 受電場(chǎng)力的合力沿 q1 和 q2 連線的中垂線， q3 由靜止釋放后沿中垂線做直線運(yùn)動(dòng)， 為弄清加速度的變化情況， 先要弄清中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度的變化情況 根據(jù) q1 和 q2 連線中點(diǎn) O處和無(wú)限遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)均為零可推知，中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度不是單調(diào)遞增或遞減，一定存在極值點(diǎn)，我們需要把極值點(diǎn)求出來(lái)如圖 7，設(shè) q1和q2 連線長(zhǎng)為 2a，則中垂線上E任意一點(diǎn) P 處場(chǎng)強(qiáng)為：Pq1q 22kq2 sin cos2E 2kq2sinOa cosa求 E 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)得：圖 7E2kq2cos32sin 2cosa令 E0 得： sin3 （負(fù)值對(duì)應(yīng) P 在 O點(diǎn)下方）333，故電場(chǎng)強(qiáng)度最大值在 q3 初位置下方由于 sinsin 6032由此可知， q3由靜