導(dǎo)數(shù)難題(含答案)

1、一、單選題1已知可導(dǎo)函數(shù) fx的導(dǎo)函數(shù)為f 'x，f02018，若對(duì)任意的xR ，都有 f xf 'x ，則不等式fx2018x）e 的解集為（A. 0,B.12 ,C.,12D.,0ee2定義在 R 上的偶函數(shù)fx 的導(dǎo)函數(shù)為fx，且當(dāng) x0, xf x2 fx0.則（）f ef 2B.9 f 3f1C.f ef3D.f ef2A.e29e24e243已知 fx 為定義在0,上的可導(dǎo)函數(shù)， 且 fxxf' x 恒成立，則不等式 x2 f1f x0x的解集為（）A. 1,B.,1C.2,D.,2二、解答題4已知函數(shù)fxax2lnx aR.（ 1）討論fx的單調(diào)性；（ 2

2、）若存在x1, fxa ，求a 的取值圍.5設(shè)函數(shù)fxx2ax2 x2x ln x （ 1）當(dāng) a2 時(shí)，討論函數(shù)fx 的單調(diào)性；2x 0,時(shí)，f x0恒成立，求整數(shù)a 的最小值（ ）若6已知函數(shù) fxxaln x, g x1a aR.x若 a 1 ，求函數(shù)f x的極值；設(shè)函數(shù) h xfxg x，求函數(shù) hx的單調(diào)區(qū)間；若在區(qū)間 1,ee2.71828上不存在x0 ，使得f0g x0成立，數(shù)a 的取值圍.x7已知函數(shù)fxxa lnx, aR .（ 1）當(dāng) a0 時(shí)，求函數(shù)fx的極小值；（ 2）若函數(shù)fx 在 0,上為增函數(shù)，求a 的取值圍 .8已知函數(shù) f xx2ax a ex （ 1）討論

3、fx 的單調(diào)性；（ 2）若 a0,2，對(duì)于任意 x1 , x24,0 ，都有 f x1 f x24e 2mea 恒成立，求 m 的取值圍參考答 1 Afxgfxfx【解析】令 g xexxex0, g 0 2018因此 fxf x2018gxg 0x 0 ，選 A.x 2018exe點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔 助 函 數(shù) 常 根 據(jù) 導(dǎo) 數(shù) 法 則 進(jìn) 行 ： 如 f xfx， f xf x0 構(gòu) 造f x 構(gòu) 造 g xexg xex f x ， xf xf x 構(gòu)造 g xf x， xf x fx 0 構(gòu)造 g xxf x

4、等x2 D【解析】根據(jù)題意，設(shè)g （x） =x 2 f （x），其導(dǎo)數(shù) g（ x） = （ x2 ）f（x） +x 2 ?f（ x） =2xf （ x） +x 2 ?f（ x） =x2f （ x） +xf' （ x） ，又由當(dāng) x 0時(shí)，有 2f （ x） +xf'（x） <0成立，則數(shù) g（ x）=x2f（ x）+xf' （x） <0 ，則函數(shù) g （ x）在（ 0 ，+ ）上為減函數(shù)，若 g （ x） =x 2f （x），且 f（ x）為偶函數(shù)，則g （ -x ）= （ -x ） 2 f（ -x ） =x 2f （x） =g （ x），即 g （ x）為

5、偶函數(shù)，所以 g eg 2即f ef 2因?yàn)?fx 為偶函數(shù)，所以 f 2 f 2 ,4e2f ef 2所以4e2故選 D點(diǎn)睛： 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（ x）并分析g （ x）的單調(diào)性與奇偶性3 A【解析】令 gxf xxfxf x，則 g xx2x fxxfx xfxfxxfxfx0 ，即 g xx20在 0,上恒成立 g x 在 0,上單調(diào)遞減 x2 f1fx 0xf1f xx1，即 gxg x1xx 1x ，即 x1x故選 A點(diǎn)睛：本題首先需結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的

6、大小關(guān)系，判斷自變量的大小關(guān)系.4（ 1） fx 在 0,1上遞增，在1,上遞減 . ；（ 2）, 1 .2a2a2【解析】試題分析： （ 1 ）對(duì)函數(shù) fx 求導(dǎo)，再根據(jù)a 分類討論，即可求出fx的單調(diào)性；（ 2 ）將f xa 化簡(jiǎn)得 ax21lnx0 ，再根據(jù)定義域x1,，對(duì) a 分類討論，a 0 時(shí)，滿足題意， a0 時(shí)，構(gòu)造 gxax21ln x ，求出 gx 的單調(diào)性， 可得 gx 的最大值， 即可求出 a 的取值圍 .試題解析：（ 1） fx2a112ax2，xx當(dāng) a0時(shí)， fx0 ，所以 fx在 0,上遞增，當(dāng) a0時(shí)，令 fx0 ，得 x1，2a令 f x0 ，得 x0,1；

7、令 fx0 ，得 x1,，2a2a所以 fx在 0,1上遞增，在1,上遞減 .2a2a（ 2）由 fxa ，得 a x21lnx0 ，因?yàn)?x1,，所以ln x0, x210 ，當(dāng) a0 時(shí)， a x21ln x0 滿足題意，當(dāng) a1時(shí)，設(shè) gxax21lnx(x1), gx2ax210 ，2x所以 g x 在 1,上遞增，所以g xg 10 ，不合題意，當(dāng) 0 a1 時(shí)，令 g x0，得 x1,，令 gx0 ，得1, 1，22a2a所以 g x max g1g10 ，則x1, gx0 ，2a綜上，a 的取值圍是, 1.2點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，

8、難度大，屬于難題. 處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則. 一般涉及求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對(duì)于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對(duì)于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會(huì).5 (1)（ ）遞增區(qū)間為（0，1 ），（1，+），遞減區(qū)間為（1 ， 1）；(2)1.fx22【解析】試題分析： （ 1）求出函數(shù) f （ x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（ 2）問題轉(zhuǎn)化為a>x-2 （ x-1 ）lnx恒成立，令 g（ x） =x-2 （ x-1 ） lnx ，

9、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a 的最小值即可試題解析：（ 1）由題意可得 f （ x）的定義域?yàn)椋?0 ， +），當(dāng) a=2 時(shí)， f（ x） = x2 +2x+2 （ x2 x） lnx ，所以 f （x） = 2x+2+2（ 2x 1 ） lnx+2 （x2 x）?= （ 4x 2） lnx ，由 f' （ x） 0 可得：（ 4x 2 ） lnx 0 ，所以或，解得 x 1 或 0 x；由 f' （ x） 0 可得：（ 4x 2 ） lnx 0 ，所以或，解得： x 1綜上可知： f（ x）遞增區(qū)間為（0 ，），（ 1， +），遞減區(qū)間為（， 1 ）（ 2）若 x （ 0， +）

10、時(shí)， f（ x） 0 恒成立，即 a x 2 （ x 1 ） lnx 恒成立，令 g （ x） =x 2 （ x1 ） lnx ，則 ag （ x） max 因?yàn)?g（x） =1 2（ lnx+） = 2lnx 1+，所以 g' （x）在（ 0 ， +）上是減函數(shù)，且g' （ 1 ） 0 ，g（2 ） 0 ，故存在 x0（ 1 ， 2 ）使得 g （ x）在（ 0， x0）上為增函數(shù)，在（x0 ，+）上是減函數(shù)， x=x0 時(shí)， g （ x） max =g （ x0） 0 ， a 0 ，又因?yàn)?a Z，所以 amin =1 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（ 1）根據(jù)參變

11、分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（ 2）若 fx0 就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為fx min0 ，若 fx0恒成立，轉(zhuǎn)化為f x max0 ;（ 3）若 fxgx 恒成立，可轉(zhuǎn)化為f xmingx max .61f112）見解析（3ae21（ ）極小值為；（） 2e1【解析】試題分析： （ 1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定極值（2）先求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，討論1a 與零大小，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性（3）正難則反，先求存在一點(diǎn)x0 ,使得 fx0gx0 成立時(shí)實(shí)數(shù) a 的取值圍，由存在性問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，結(jié)合（2）單調(diào)

12、性可得實(shí)數(shù) a 的取值圍，最后取補(bǔ)集得結(jié)果試題解析：解： （ I ）當(dāng) a1fxx ln xf 'xx 1x1 ，列極值分布表時(shí)，0xfx在（ 0,1 ）上遞減，在 （1，）上遞增，fx的極小值為 f11；（ II）1ah'x1x1 ah xxalnxxxx2當(dāng) a1 時(shí)，h ' x0,h x在（0， ）上遞增；當(dāng) a1 時(shí)， h ' x 0x 1a ， h x 在（0,1a）上遞減，在1a,上遞增；（ III ）先解區(qū)間1,e上存在一點(diǎn) x0, 使得 fx0gx0成立hxf xgx0 在 1,e上有解當(dāng) x1, e 時(shí)， hx min0由（ II）知當(dāng) a1

13、時(shí)，h x 在 1,e 上遞增，hminh 12 a0a2 a 2當(dāng) a1時(shí)，h x在（0,1a）上遞減，在 1a,上遞增當(dāng) 1a0 時(shí)，h x在 1,e上遞增，hminh12a0 a2a 無解當(dāng) a e 1 時(shí)， h x 在 1,e 上遞減hmin h e e a1 a 0a e21 ， ae21 ；ee1e1當(dāng) 0 a e 1時(shí)， h x 在 1,1 a 上遞減，在 1 a, e 上遞增hminh 1a2aaln 1a令 F a2aaln1a21 ln 1 a，則 F ' a210aaa21aF a在 0,e1 遞減，F(xiàn)aFe 12，F(xiàn)a0 無解，0e 1即 hmin2aaln 1

14、a0 無解；x0 , 使得 fx0gx0成立，實(shí)數(shù) a 的取值圍為：a2e21綜上：存在一點(diǎn)或 a.e1所以不存在一點(diǎn)x0 ，使得fx0g x0成立，實(shí)數(shù)a 的取值圍為.點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問題（有解，恒成立，無解等） ，而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題 .7（ 1）11（2）,ee2【解析】試題分析： （ 1）當(dāng) a0 時(shí)，得出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)數(shù)，令f ' x 0 ，解出 x 的值，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)來求其單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求得極小值；（ 2）求出 f ' x ，由于函數(shù)f

15、x 在 0,是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為 f ' x0 對(duì)任意 x 0,恒成立，分類參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)g xxlnx x 的最小值，即可數(shù) a 的取值圍試題解析：（ 1）定義域?yàn)?,當(dāng) a0 時(shí)，f xxlnx ，f 'xlnx 1 令 f 'x0 ，得 x1e當(dāng) x0, 1時(shí)， f' x0 ，fx為減函數(shù)；e當(dāng) x1 ,時(shí)，f 'x0，f x 為增函數(shù)e所以函數(shù) fx的極小值是f11 ee（ 2）由已知得f ' xln xxax因?yàn)楹瘮?shù) fx在 0,是增函數(shù)，所以f 'x0 對(duì)任意 x0,恒成立，由 f 'x0 得 lnxx a0 ，即 xln

16、xxa 對(duì)任意的 x0,恒成立x設(shè) g xxlnxx ，要使“ xlnxxa 對(duì)任意 x0,恒成立”，只要 a g x min .因?yàn)?g ' xlnx 2，令 g 'x0 ，得 x1e2 當(dāng) x0,1時(shí)，g ' x0 ，gx為減函數(shù)；2e當(dāng) x12,時(shí)，g 'x0 ，gx為增函數(shù)e所以 g x的最小值是g11e22e故函數(shù) fx在 0,是增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a 的取值圍是,1e2點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值與最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，這屬于教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握，試題有一定的綜合性，

17、屬于中檔試題， 解答中把函數(shù)fx 在 0,是增函數(shù)， 所以f ' x0 對(duì)任意 x0,恒成立是解答的關(guān)鍵1e28（ 1）見解析；（ 2） m3.e1f 'x，分三種情況討論， 分別令f ' x0求得 x 的圍，可得函數(shù)fx【解析】 試題分析：（ ）求出增區(qū)間，f 'x0求得 x的圍，可得函數(shù)fx的減區(qū)間；（21）由（ ）知，所以fx maxf2a4 e 2，f43a+16 e 4af0，fx1fx24e2meae214e24e2amae21 恒恒成立，即 ame 恒成立，即ae成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出ae21 的最大值，即可得結(jié)果 .ea試題解析：（ 1） fxx2xaex若 a2，則 fx在,a，2,上單調(diào)遞增