初等數(shù)論教案(6)

1、第六節(jié) Mersenne數(shù)、Fermat數(shù)第七節(jié) 完全數(shù)教學(xué)目的：了解Mersenne、Fermat、完全數(shù)的定義及簡單性質(zhì)；教學(xué)重點(diǎn)：Mersenne、Fermat、完全數(shù)的簡單性質(zhì)教學(xué)課時：4課時教學(xué)過程一、Mersenne數(shù)、Fermat數(shù)1、定義1 梅森數(shù)(Mersenne number)：形如的正整數(shù)，其中是素數(shù)，常記為. 若是素數(shù)，則稱為梅森素數(shù).2，3，5，7時，都是素數(shù)，但204723×89不是素數(shù) . 已發(fā)現(xiàn)的最大梅森素數(shù)是p24036583的情形，此時是一個7235733位數(shù). 是否有無窮多個梅森素數(shù)是數(shù)論中未解決的難題之一.2、引理 設(shè)，則.證明：不妨設(shè)，由輾轉(zhuǎn)

2、相除法得a = bq1 + r1， 0 < r1 < |b|，b = r1q2 + r2， 0 < r2 < r1 ，L L rn - 2 = rn - 1qn + rn， 0 < rn < rn-1 ， rn - 1 = rnqn + 1 ，其中. 因此 ，.3、引理2 設(shè)是素數(shù)，則，其中.證明：略.4、引理3 設(shè)是素數(shù)，則.證明：略.5、定理1 設(shè)是一個奇素數(shù)，是的一個素因子，則形如 .證明：由引理3知，又由，從而有引理1知，從而，故. 又為偶數(shù)，進(jìn)而得證定理1.6、定義2 Fermat數(shù)(Fermat Number) 我們把稱為Fermat數(shù).時，都是

3、素數(shù). 7、定理2 ，則.證明：不是一般性，設(shè)，設(shè). 又，故，因為奇數(shù)，故.二、完全數(shù)（Perfect Number）1、定義 設(shè)是一個正整數(shù)，如果的全部因子和等于，那么稱為完全數(shù)（Perfect Number）.2、定理1 設(shè)是的標(biāo)準(zhǔn)分解式，表示的諸因子和，則.證明：略.3、定理2 是一個偶完全數(shù)的充要條件是具有形狀，其中與均為素數(shù).證明：具有形狀，其中與均為素數(shù)，則的全部因子和為 = =.故為完全數(shù). 反之，設(shè)是一個完全數(shù)，這里是一個奇數(shù)，于是，由定理1，的諸因子和為 因此 這里是一個整數(shù)，因此是的因子，又為所有因子和，故事素數(shù)，從而，因為是素數(shù)，從而是素數(shù)，令得證.4、定理3 設(shè)是一個奇的完全數(shù)，則具有分解式， (1)其中是不同的素數(shù)，和都是形的數(shù).證明：設(shè)是的標(biāo)準(zhǔn)分解式，則，不妨設(shè) ， (2)以及 . (3)從而可以得證.5、