利用幾何知識(shí)求函數(shù)最值

1、分類號(hào) 密級(jí) U D C 編號(hào) 本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) 題目 利用幾何知識(shí)求函數(shù)的最值_ 所 在 院 系 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè) 名 稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 10級(jí) 學(xué) 生 姓 名 梁宏亮 學(xué) 號(hào) 1050410021 指 導(dǎo) 教 師 王瑩 二零一 四 年 三 月 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在王瑩老師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 作者簽名： 日期： 文獻(xiàn)綜述一、概述函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的許多方面。而最值作

2、為函數(shù)的一個(gè)重要形態(tài)就顯得尤為重要，現(xiàn)實(shí)社會(huì)中的許多問題都能用最值問題求解，所以它往往是數(shù)學(xué)函數(shù)解題的一個(gè)難點(diǎn)。理解最值的含義從而選取最簡(jiǎn)單、有效的方法求解函數(shù)的最值成為關(guān)鍵點(diǎn)。另外，幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。但它又是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它能把枯燥的函數(shù)字符轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，簡(jiǎn)單明了便于研究。很多函數(shù)最值問題都能轉(zhuǎn)化成“形”的問題解決，更加便于理解。如何把數(shù)和形完美連接起來，使之通俗易懂就顯得尤為重要。本文從已經(jīng)學(xué)習(xí)過的求函數(shù)最值的方法入手，通過對(duì)例題的分析與探討，并對(duì)用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的兩種方法：數(shù)形結(jié)合與向量法進(jìn)行了總結(jié)和歸納。最后用一、兩道題論述了在解決一些基本例題應(yīng)該對(duì)兩種方法如

3、何取舍并對(duì)兩者優(yōu)劣進(jìn)行了對(duì)比。2、 主題1 用幾何知識(shí)解決函數(shù)最值的選題依據(jù)和研究現(xiàn)狀1.1 選題依據(jù)一方面，函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的許多方面。而最值作為函數(shù)的一個(gè)重要形態(tài)就顯得尤為重要，但同時(shí)，它又是函數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。函數(shù)最值的求解伴隨著著整個(gè)函數(shù)的學(xué)習(xí)且方法又多種多樣，理解最值的含義從而選取最簡(jiǎn)單、有效的求解函數(shù)的最值成為關(guān)鍵點(diǎn)。另一方面，幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。但它又是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它能把枯燥的函數(shù)字符轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，簡(jiǎn)單明了便于研究。很多函數(shù)最值問題都能轉(zhuǎn)化成“形”的問題解決，更加便于理解。通過對(duì)用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的研究，熟練的掌握相關(guān)的知識(shí)，對(duì)所

4、學(xué)的知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用。對(duì)所學(xué)的幾種幾何知識(shí)求最值的方法進(jìn)行歸納總結(jié)和對(duì)比，方便以后的學(xué)習(xí)使用。1.2 用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的研究現(xiàn)狀最值問題是一類常見而又重要問題，也是生活、生產(chǎn)、科研活動(dòng)中常能遇見的一類問題。對(duì)于一些函數(shù)，用常規(guī)方法顯得太過于繁瑣，但若能經(jīng)過巧妙的轉(zhuǎn)換，運(yùn)用幾何知識(shí)求解往往能化難為易。查閱資料發(fā)現(xiàn)，目前用幾何知識(shí)求函數(shù)最值主要有以下兩種：數(shù)形結(jié)合和向量法。需要注意的是數(shù)形結(jié)合又可以分為：（1）把最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像截距；（2）把函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離；（3）構(gòu)造矩形、立方體和斜率等。除這幾種方法外，面對(duì)復(fù)雜的函數(shù)組，我們需要用到線性規(guī)劃的知識(shí)求解。在使用向量法求解函數(shù)的最值時(shí)，

5、我們需要學(xué)會(huì)構(gòu)造與函數(shù)相符的向量，巧妙求解。2 用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)最值2.1 轉(zhuǎn)化為截距求函數(shù)最值 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有一些數(shù)學(xué)問題并未直接給出函數(shù)讓你求解，必需通過先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)然后經(jīng)過轉(zhuǎn)化為我們已知的數(shù)形結(jié)合方法去求所構(gòu)造函數(shù)最值，從而對(duì)數(shù)學(xué)問題構(gòu)成求解。 在中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用到的便是一次函數(shù)的截距。一次函數(shù)構(gòu)造簡(jiǎn)單，而且便于計(jì)算。只需要構(gòu)造好函數(shù)后令或即可簡(jiǎn)便求出最值。2.2 轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離 距離公式：若、，則AB間的距離為。一些特定的函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為形如的類型。這樣就能用兩點(diǎn)間的距離和位置關(guān)系迅速解題。2.3 構(gòu)造法 構(gòu)造法是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中常常會(huì)用到的方法，那么在用幾何知識(shí)求函數(shù)最值時(shí)

6、是時(shí)時(shí)會(huì)用到的。而構(gòu)造我們熟悉的平面圖形和立體圖形求解又是最常用的方法。 3 用向量法求函數(shù)最值 向量是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要模塊，它能把許多代數(shù)式轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，便于理解。在利用向量解決函數(shù)最值時(shí)，我們好用到向量的兩個(gè)主要特征： 向量三角不等式：向量數(shù)量積的性質(zhì)：在用向量法求解時(shí)要注意兩點(diǎn)：一方面對(duì)向量的構(gòu)造一定要合理恰當(dāng)。觀察函數(shù)的形式，選擇最為方便的向量構(gòu)造，往往是否用向量法快速求出函數(shù)最值的關(guān)鍵。另一方面，運(yùn)用向量法時(shí)，我們更多的會(huì)用到不等式的知識(shí)，而在運(yùn)用不等式時(shí)，一定要注意等號(hào)成立的條件。4 數(shù)形結(jié)合與向量法的優(yōu)劣比較 數(shù)形結(jié)合和向量法在解決這類題目時(shí)各有千秋，在解決一道題時(shí)如何選

7、擇方法就變得尤為重要。通過對(duì)一道題的分析找出優(yōu)缺點(diǎn)。 3、 結(jié)論 對(duì)于函數(shù)的最值問題，能否用幾何知識(shí)求解的前提是該函數(shù)或者其變形是否具有一定的幾何意義。因此，尋找?guī)缀我饬x是能否用幾何知識(shí)解題的關(guān)鍵。通過挖掘問題的幾何意義構(gòu)造相應(yīng)的幾何模型，將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，找出簡(jiǎn)單解法。對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)最值問題，通過直接轉(zhuǎn)化，就能得到幾何意義，這就要求我們善于觀察和熟練掌握幾何知識(shí)，從而能快速分析函數(shù)幾何意義。相對(duì)的，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，要有創(chuàng)新精神，通過大膽的構(gòu)造，把函數(shù)潛在的幾何意義完全的發(fā)掘出來，從而解題，同時(shí)要培養(yǎng)聯(lián)想和想象的能力。雖然能用幾何知識(shí)求解函數(shù)最值只是函數(shù)最值求法中極少的一類

8、。但鄭重方法的使用，能夠簡(jiǎn)潔方便的解決問題，同時(shí)又能培養(yǎng)幾何直觀能力，增加思維的能動(dòng)性和靈活性，對(duì)提高解題能力好處多多。參考文獻(xiàn)1溫鎮(zhèn)輝. 談“ 數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2003( 3): 31- 322 馬富強(qiáng). 巧用幾何直觀解題. 中學(xué)生數(shù)學(xué), 2002(12)：143王一平.的 幾何意義及其應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)，1996(1):47-494王敬庚.解析幾何方法漫談M.鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社.1998：1731765呂林根，許子道.解析幾何M.第四版.北京：高等教育出版社.2006：8396陳挺進(jìn).一類函數(shù)最值的幾何求法.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào).1997年第2期3卷7趙世梅.用幾何知識(shí)求

9、解函數(shù)最值.縣嘎吉中學(xué).6152038羅琦.向量在代數(shù)解題中的應(yīng)用J.桂林師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào).2008 229中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）M.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001:31-3310李雷.新課程背景下幾何畫板在初中探究性教學(xué)中的研究D，東北師范大學(xué)，2008:12-1510徐稼紅。計(jì)算機(jī)輔助函數(shù)圖像教學(xué)的新途徑J.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13(3):82-84摘要:函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的許多方面。而最值作為函數(shù)的一個(gè)重要形態(tài)就顯得尤為重要，現(xiàn)實(shí)社會(huì)中的許多問題都能用最值問題求解，所以它往往是數(shù)學(xué)函數(shù)解題的一個(gè)難點(diǎn)。理解最值的含義從

10、而選取最簡(jiǎn)單、有效的求解函數(shù)的最值成為關(guān)鍵點(diǎn)。另外，幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。但它又是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它能把枯燥的函數(shù)字符轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，簡(jiǎn)單明了便于研究。很多函數(shù)最值問題都能轉(zhuǎn)化成“形”的問題解決，更加便于理解。如何把數(shù)和形完美連接起來，使之通俗易懂就顯得尤為重要。本文從已經(jīng)學(xué)習(xí)過的求函數(shù)最值的方法入手，通過對(duì)例題的分析與探討，并對(duì)用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的兩種方法：數(shù)形結(jié)合與向量法進(jìn)行了總結(jié)和歸納。最后用一、兩道題論述了在解決一些基本例題應(yīng)該對(duì)兩種方法如何取舍并對(duì)兩者優(yōu)劣進(jìn)行了對(duì)比。 關(guān)鍵詞: 函數(shù)最值 幾何知識(shí) 數(shù)形結(jié)合 向量法 Abstract:Function is an im

11、portant part of mathematics throughout many aspects of mathematics learning。 The most important form of value as a function is particularly important, in reality, many of the social problems can be solved by the most value problem, so it is often a difficult mathematical problem-solving functions。 I

12、n order to understand the meaning of most value to select the most simple and effective to solve the most valued functions become key points。 In addition, the geometry is the focus of high school mathematics learning。 But it is also an important tool to study the function of nature, it can function

13、boring character into an intuitive graphical, simple easy to study。 Many functions can be transformed into the most value problems "shape" problem solving, and more easy to understand。 How to connect the number and shape perfectly, so that it becomes easy to understand there was important。

14、 This paper has learned the value of seeking the best way to start a function, for example through the analysis and discussion of, and with the knowledge of geometry are two ways to find the best value function: the connection of number and shape, and vector method summarized and classified。 Finally

15、, an overview of the problem in solving some basic examples should be and how to choose between the two methods were compared the pros and cons。 Key words: The value function Knowledge of geometry The connection of number and shape Vector method 目錄1 緒論1 1.1 函數(shù)最值在現(xiàn)實(shí)生活中的意義1 1.2 用幾何知識(shí)解決函數(shù)最值的選題依據(jù)和研究現(xiàn)狀2

16、1.2.1 選題依據(jù)2 1.2.2 用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的研究現(xiàn)狀2 1.3 本文主要研究的內(nèi)容32 用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)最值3 2.1 最值轉(zhuǎn)化為截距求函數(shù)最值3 2.3 用構(gòu)造法求函數(shù)最值7 2.3.1 構(gòu)造矩形求函數(shù)最值7 2.3.2 構(gòu)造立體圖形求解函數(shù)最值93 用向量法求函數(shù)最值10 3.1 利用向量的三角不等式求解最值10 3.2 利用向量數(shù)量積的性質(zhì)求函數(shù)最值114 數(shù)形結(jié)合與向量法的優(yōu)劣比較12 4.1 數(shù)形結(jié)合與向量法求函數(shù)最值的優(yōu)劣比較概述12 4.2 解題時(shí)兩種方法的選取13 4.3 利用工具求函數(shù)的最值求解簡(jiǎn)介和總結(jié)155 總結(jié)15參考文獻(xiàn)16致謝171 緒論1.1 函數(shù)

17、最值在現(xiàn)實(shí)生活中的意義例1：某工廠為生產(chǎn)某種兒童玩具，并且每件玩具的成本價(jià)為30元，每件玩具的加工費(fèi)為t元（其中t為常數(shù)，且），設(shè)每件玩具的出場(chǎng)價(jià)為元（），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷售量與(其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù))成反比例，當(dāng)每件玩具出廠價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10件。 （1）求該工廠的日利潤(rùn)（元）與每件玩具的出場(chǎng)價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式： （2）當(dāng)每件玩具的日銷售價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的利潤(rùn)最大，并求的最大值？ 解：（1）（） （2）由（1）得（） 令，得 當(dāng)時(shí)，元 當(dāng)時(shí)，元 工廠生產(chǎn)玩具，這是現(xiàn)實(shí)生活中時(shí)時(shí)存在的，可見函數(shù)在工廠或者公司在定價(jià)方面有著重要的作用；而在上述問題的第二問中，要使日利潤(rùn)最大我們就要用到

18、求函數(shù)最值的方法求解，可見函數(shù)的最值和現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題息息相關(guān)。由于課程改革后，教育更多的聯(lián)系到實(shí)際，所以在中、高考中常常出現(xiàn)的實(shí)際問題都需要用函數(shù)或者說函數(shù)最值求解，這也就造就了函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的特殊地位。而作為函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，最值的求解又顯得極為重要。1.2 用幾何知識(shí)解決函數(shù)最值的選題依據(jù)和研究現(xiàn)狀1.2.1 選題依據(jù) 一方面，函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的許多方面。而最值作為函數(shù)的一個(gè)重要形態(tài)就顯得尤為重要，但同時(shí)，它又是函數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。函數(shù)最值的求解伴隨著整個(gè)函數(shù)的學(xué)習(xí)且方法又多種多樣，理解最值的含義從而選取最簡(jiǎn)單、有效的求解函數(shù)的最值成為關(guān)鍵點(diǎn)。另一方面，

19、幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。但它又是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它能把枯燥的函數(shù)字符轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，簡(jiǎn)單明了便于研究。很多函數(shù)最值問題都能轉(zhuǎn)化成“形”的問題解決，更加便于理解。通過對(duì)用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的研究，熟練的掌握相關(guān)的知識(shí)，對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用。對(duì)所學(xué)的幾種幾何知識(shí)求最值的方法進(jìn)行歸納總結(jié)和對(duì)比，方便以后的學(xué)習(xí)使用。1.2.2 用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的研究現(xiàn)狀 最值問題是一類常見而又重要問題，也是生活、生產(chǎn)、科研活動(dòng)中常能遇見的一類問題。對(duì)于一些函數(shù)，用常規(guī)方法顯得太過于繁瑣，但若能經(jīng)過巧妙的轉(zhuǎn)換，運(yùn)用幾何知識(shí)求解往往能化難為易。查閱資料發(fā)現(xiàn)，目前用幾何知識(shí)求函數(shù)最值主要有以下兩種：數(shù)形結(jié)合

20、和向量法。需要注意的是數(shù)形結(jié)合又可以分為：（1）把最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像截距；（2）把函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離；（3）構(gòu)造矩形、立方體和斜率等。當(dāng)然除這幾種方法外，面對(duì)復(fù)雜的函數(shù)組，我們需要用到線性規(guī)劃的知識(shí)求解。在使用向量法求解函數(shù)的最值時(shí)，我們需要學(xué)會(huì)構(gòu)造與函數(shù)相符的向量，巧妙求解。1.3 本文主要研究的內(nèi)容 本文重在研究用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的方法，通過對(duì)中學(xué)幾何研究、初高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中積累的用幾何知識(shí)求函數(shù)最值作一些歸納和總結(jié)以及做一些相關(guān)的細(xì)化和補(bǔ)充，使它們能夠更好的被理解，進(jìn)而更好的運(yùn)用于現(xiàn)在和將來的學(xué)習(xí)和生活中。本文主要討論的問題有：（1）對(duì)常見用幾何知識(shí)求函數(shù)求函數(shù)最值的方法的

21、歸納和總結(jié)，細(xì)化和補(bǔ)充，并舉出具體例題加以說明；（2）探討用向量法求函數(shù)最值的的方法及相關(guān)例題舉例；（3）比較數(shù)形結(jié)合與向量法的優(yōu)缺點(diǎn)，并舉例說明。另外，一些函數(shù)的最值求解并不能用常規(guī)方式去求解，它們有特殊的解法，本文在文章最后，會(huì)對(duì)常見的一些特殊函數(shù)的最值問題進(jìn)行總結(jié)和歸納。2 用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)最值2.1 最值轉(zhuǎn)化為截距求函數(shù)最值 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有一些數(shù)學(xué)問題并未直接給出函數(shù)讓你求解，必需通過先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)然后路經(jīng)過轉(zhuǎn)化為我們已知的數(shù)形結(jié)合方法去求所構(gòu)造函數(shù)最值，從而對(duì)數(shù)學(xué)問題構(gòu)成求解。例2：數(shù)、滿足，求的最值。分析：題目簡(jiǎn)潔至極，并未有過多的修飾，而所求是一個(gè)二元一次多項(xiàng)式，不是我們本

22、文多次提到的函數(shù)，怎么辦？可想而知，首先便是構(gòu)造我們熟悉的函數(shù)，變形的 ，這樣原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 在軸上的截距問題。 解：設(shè) ，變形得 又?jǐn)?shù)、滿足 數(shù)、在的圓上，其中圓心為（2，0） 函數(shù)與大致函數(shù)圖像如下： 圖 1由上圖可知，當(dāng)函數(shù)與圓相切時(shí)，函數(shù)在y 軸上的截 距分別取得最大值與最小值，故取圓心到直線距離為1。 解得 由圖像觀察得，答：的最大值為，最小值為 這只是中學(xué)數(shù)學(xué)中極為簡(jiǎn)單的一個(gè)數(shù)學(xué)題，但卻包含了用函數(shù)截距求函數(shù)最值的核心。每當(dāng)我們遇到類似題目時(shí)，我們要弄清題目已知條件下構(gòu)造一些簡(jiǎn)單的一次函數(shù)，并把要求的轉(zhuǎn)化為函數(shù)截距求解，還可畫圖分析，讓思路更清楚。 2.2 函數(shù)最值與兩點(diǎn)距離轉(zhuǎn)

23、換的求值 在用幾何知識(shí)求函數(shù)最值時(shí)，把函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離也是我們常常會(huì)用到的方法。但要注意的時(shí)，在用此類方法求解函數(shù)最值時(shí)，我們對(duì)構(gòu)造的兩點(diǎn)一定要謹(jǐn)慎選取。例3：，為何值時(shí)有最小值？并求出最小值。分析：把函數(shù)變形為對(duì)稱的形式：由兩點(diǎn)之間的距離公式可知，表示軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和。求的最小值轉(zhuǎn)化為在軸上找一點(diǎn)使得的值最小。如圖所示： 圖 2 解：把函數(shù)轉(zhuǎn)化為 ， 它表示軸上的點(diǎn)到兩頂點(diǎn)和的距離之和，由 對(duì)稱性可知，這個(gè)最小距離就是關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)到的距離，直線與 軸的交點(diǎn)即為所求的。直線的方程為 化簡(jiǎn)得：,令帶入直線，有 當(dāng)時(shí)，有最小值 = 答:當(dāng)，函數(shù)最小值為。從上述例題的分析和解

24、題過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，形如的函數(shù)最值問題，都可以用類似的幾何知識(shí)進(jìn)行求解。在解決這一類問題時(shí)，關(guān)鍵的一點(diǎn)在于把問題轉(zhuǎn)化為在已知的直線上找一點(diǎn)，使它到已知兩定點(diǎn)的距離之和最小或之差最大的問題。運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離求解函數(shù)最值，進(jìn)一步說明了用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的直觀性，而且用更加的方便于學(xué)生的理解。例4：，當(dāng)為何值時(shí)，有最大值？并求出來。 解：把函數(shù)改寫成對(duì)稱形式。即： 選取 ,、，則函數(shù)轉(zhuǎn)化成到兩定點(diǎn)、的距離差最大，即的值最大。如圖： 圖 3 直線的方程可以快速求出得：，令=0，得即直線與軸交與點(diǎn)，即的坐標(biāo)為。此時(shí)y有最大值 = 即當(dāng)時(shí)，y有最大值，為。 2.3 用構(gòu)造法求函數(shù)最值 在研究數(shù)學(xué)的過程

25、中，有多種多樣的數(shù)學(xué)方法，在眾多的研究方法中，構(gòu)造法是一類最為常見的一種，在求函數(shù)最值方面也不可或缺。2.3.1 構(gòu)造矩形求函數(shù)最值 在解決一些函數(shù)問題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)有類似的式子出現(xiàn)，而這總是會(huì)讓我們聯(lián)想到勾股定理。而矩形往往是能用此定理的“常出現(xiàn)地”，所以再解決有多個(gè)形如式子出現(xiàn)時(shí)，應(yīng)首先考慮下構(gòu)造矩形。例5：已知，求的最小值。分析：題中所給的只有未知的三個(gè)字母，并未給取值范圍，但出現(xiàn)了 這個(gè)特殊量，我們會(huì)聯(lián)想到均值不等式，但直接運(yùn)用無法求解。但構(gòu)造一個(gè)正方形，就能完沒的把題中所給的已知量運(yùn)用起來。解：且 構(gòu)造一個(gè)正方形，使其一對(duì)鄰邊的一條長(zhǎng)度分別為，另一條為（為做題方便建立直角坐標(biāo)系）其大致

26、圖像如下： 圖 4 由上圖可知， ，；由圖上觀察和兩點(diǎn)之間直線最短可知：（長(zhǎng)度） 即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，最小值為。求函數(shù)最值除開構(gòu)造平面圖形外，同樣可以在三圍空間中構(gòu)造立體圖形求解。 2.3.2 構(gòu)造立體圖形求解函數(shù)最值例6：已知均為銳角且，求的最小值。分析：角的三角函數(shù)運(yùn)算往往顯得很復(fù)雜，在這時(shí)我們把復(fù)雜的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)度計(jì)算顯得更為方便，而聯(lián)系兩者的便是構(gòu)造立體圖形。解：構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)它的長(zhǎng)、寬、高分別為，如圖： 圖 5由圖易知， ；=（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）即的最小值為。上面介紹了，現(xiàn)階段在中學(xué)數(shù)學(xué)中最為常見的兩種構(gòu)造法，通過兩道例題，我們不難發(fā)現(xiàn)：用構(gòu)造法求解函數(shù)最值，最重要的便是構(gòu)造。

27、即分析題中所給的信息，合理分析，構(gòu)造出即滿足題目條件又方便求解的圖形，只要構(gòu)造出了圖形，解題就顯得手到擒來。這也就從另一方面要求我們，在平常的學(xué)習(xí)中，要注意積累，多觀察平面圖形和立體圖形，這樣在做用構(gòu)造圖形解決最值問題時(shí)就事半功倍。當(dāng)然構(gòu)造法，不僅僅是構(gòu)造圖形，還可以構(gòu)造成斜率，通過觀察函數(shù)的斜率變化和變量之間的關(guān)系，根據(jù)所畫的函數(shù)圖像，迅速得出所需的求解，同樣需要注意的是要構(gòu)造適當(dāng)。由于構(gòu)造斜率與線性規(guī)劃的題目類似，在后文中還會(huì)提到，這里不多做累述。3 用向量法求函數(shù)最值 利用幾何知識(shí)求函數(shù)最值中，還有一類方法，那就是構(gòu)造向量，簡(jiǎn)稱向量法。利用向量的一些不等式和性質(zhì)求解函數(shù)最值。3.1 利用

28、向量的三角不等式求解最值 例9：求函數(shù)y=的最小值。 解析：原函數(shù)化為y= 設(shè)=，則 y= 當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)，即，時(shí)， y有最小值，最小值為。這是一個(gè)典型的用向量的三角不等式求函數(shù)最值的一個(gè)實(shí)例，通過對(duì)上題的分析，我們不難做事這樣的總結(jié)：對(duì)于形如的函數(shù)最值問題，我們可以設(shè)，則由三角不等式得： = 當(dāng)且僅當(dāng)，即=時(shí)，函數(shù)有最小值， ； 有了上述的總結(jié)，我們以后遇到形如的函數(shù)求解最值時(shí)，就會(huì)事半功倍。當(dāng)然，除函數(shù)可以化為兩向量外，很多復(fù)雜的函數(shù)還可以化為三個(gè)向量求解，按照類比法也能快速求解。 3.2 利用向量數(shù)量積的性質(zhì)求函數(shù)最值除開利用三角不等式求解函數(shù)最值外，利用向量的一些基本性質(zhì)也能雖函數(shù)最

29、值進(jìn)行求解。例如運(yùn)用向量的內(nèi)積性質(zhì)（與同向時(shí)，等號(hào)成立），對(duì)函數(shù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄?，使?fù)雜問題簡(jiǎn)單化。例10：設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，求=的最大值。 解析：設(shè)，則 = 又因?yàn)? = = 當(dāng)與同向，且，即，時(shí)，有最大值，最大值為。利用向量求解函數(shù)最值時(shí)我們要注意兩點(diǎn)：一方面對(duì)向量的構(gòu)造一定要合理恰當(dāng)。觀察函數(shù)的形式，選擇最為方便的向量構(gòu)造，往往是否用向量法快速求出函數(shù)最值的關(guān)鍵。另一方面，運(yùn)用向量法時(shí)，我們更多的會(huì)用到不等式的知識(shí)，而在運(yùn)用不等式時(shí)，一定要注意等號(hào)成立的條件。很多求出來了結(jié)果但等號(hào)是否能取到，這是你的解題是否正確的依據(jù)之一。當(dāng)然，能否用向量法很好的解題，不等式知識(shí)是基礎(chǔ)，所以在中學(xué)教學(xué)中，一定

30、要培養(yǎng)學(xué)生隨時(shí)隨地留意不等式，掌握好不等式的要求。 4 數(shù)形結(jié)合與向量法的優(yōu)劣比較4.1 數(shù)形結(jié)合與向量法求函數(shù)最值的優(yōu)劣比較概述 本文的第二、第三章，分別介紹了利用幾何知識(shí)求函數(shù)最值，現(xiàn)階段在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法向量法和數(shù)形結(jié)合（線性規(guī)劃歸于數(shù)形結(jié)合）。用這兩種方法求解函數(shù)最值與其它的方法進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，用幾何知識(shí)求解函數(shù)最值往往能讓問題化繁為簡(jiǎn)，更加直觀、思路清晰的解題。那么，在向量法與數(shù)形結(jié)合兩類方法中，孰優(yōu)孰劣呢？ 在我看來，兩者都有各自的特點(diǎn)，有著自己存在的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合，重在“數(shù)”與“形”的結(jié)合，而在求函數(shù)最值，往往是“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化，把抽象的函數(shù)轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，從而

31、通過觀察圖形，迅速給出答案。所以在解一些函數(shù)并不復(fù)雜，能夠迅速畫出函數(shù)圖像的問題就顯得手到擒來，如本文例1，例2等 。但如果用這種方法去求解一些復(fù)雜函數(shù)，或者數(shù)據(jù)過多，就會(huì)發(fā)現(xiàn)畫圖必須精確，不然很難得出答案，在做這樣題目時(shí)，數(shù)形結(jié)合的方法就顯得有些“力不從心”了。而與之對(duì)應(yīng)的向量法。對(duì)圖像的要求并沒有那么高，在中學(xué)中，許多用向量法做甚至都未曾畫圖，就能輕松做出。個(gè)人覺得向量法與數(shù)形結(jié)合方法相比，邏輯顯得更加連貫，對(duì)解題者的邏輯思維要求更高。精確的構(gòu)造向量往往讓本應(yīng)復(fù)雜的解題過程通俗易懂。但因?yàn)椴⒎撬泻瘮?shù)都能構(gòu)造成特定的兩個(gè)向量，所以向量法在求解函數(shù)最值時(shí)，存在不小的局限性。作為幾何知識(shí)求解函

32、數(shù)最值的重要方法，兩者并不能真正的獨(dú)立存在，它們?cè)诮鉀Q函數(shù)最值問題時(shí)往往相輔相成的。就本文例3 而言， 即可以用兩點(diǎn)間的距離求解，同樣也能把函數(shù)分解成兩個(gè)向量，然后求出函數(shù)最值。所以在選取兩種方法解題時(shí)并不是一成不變的，怎么選取往往因人而異。兩者也沒有覺得優(yōu)劣之分，本文提到的優(yōu)劣都只是相對(duì)的，具體問題具體分析。4.2 解題時(shí)兩種方法的選取前文提到兩者的優(yōu)劣，那在做題時(shí)到底如何選取呢？我們以本文例3和例10具體說明。先說例3，在4.1中提到，例3可以用數(shù)形結(jié)合求解，也可以用向量法求解（數(shù)形結(jié)合法在2.2中，已詳細(xì)說明，這里不再討論）向量法：解：原函數(shù)可以化為 設(shè)=，= 由向量的三角不等 式有 y

33、= = = 當(dāng)且僅當(dāng)與同向，即時(shí)，最小，最小為。比較向量法與數(shù)形結(jié)合的方法發(fā)現(xiàn)，兩種方法的解題過程都不復(fù)雜，知識(shí)思考方式有所不同。也就是說在解這種可以把函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)距離問題時(shí)，往往兩種方法都能使用，一個(gè)重圖形，一個(gè)重邏輯。兩種方法結(jié)合在一起，往往讓理解更加的簡(jiǎn)單。再看例10，文章給出了向量法，但能不能用數(shù)形結(jié)合求解呢？細(xì)細(xì)觀察，其實(shí)例10就是一道線性規(guī)劃，可行域?yàn)橐粋€(gè)中心在原點(diǎn)的橢圓內(nèi)部，我們畫出大致圖形（圖8），圖中陰影部分即為可行域 圖8 當(dāng)用題中的目標(biāo)函數(shù)平移時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)要求直線與該橢圓的切線，這必然導(dǎo)致出現(xiàn)了一元二次方程，雖然求解并不麻煩，但與前文的向量法相比，還是要麻煩的多。兩相比較，在做這題時(shí)，向量法才是最好的選擇，通過對(duì)例3、例10的研究，我們不難發(fā)現(xiàn)，就像前文提到的，兩種方法無真正的優(yōu)劣之分，兩者的選取往往是針對(duì)具體題目具體分析，因題而異。如何提高在做題時(shí)的選取能力呢？我的看法是孰能生巧，多做積累才是能熟練運(yùn)用的基礎(chǔ)。4.3 利用工具求函數(shù)的最值求解簡(jiǎn)介和總結(jié)隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，科技也越來越發(fā)達(dá)。數(shù)學(xué)的研究方法同樣有著不小的進(jìn)步。從以前的筆算證明到計(jì)算機(jī)、從手工畫圖到電腦畫板等等，而在這些現(xiàn)代工具中，不得不提到的便是幾何畫板和flash。Flash不用多說，作為現(xiàn)在流行的辦公軟件，它在許多方面有著作用。同時(shí)在數(shù)學(xué)證明