3x+1猜想的證明

1、3x+1 猜想的證明任取一個正整數(shù)， 如果這個數(shù)是偶數(shù)，則除以 2 的冪，使商為奇 數(shù)；如果是奇數(shù)，則乘 3再加 1，得到偶數(shù)。重復(fù)上述步驟，最后都 會得到 1。這就是著名的 3x+1 猜想。我們定義一個奇數(shù)乘 3再加 1得到偶數(shù)叫作奇數(shù)的偶化， 一個偶 數(shù)除以 2 的冪得到奇數(shù)叫作偶數(shù)的奇化。 3x+1 猜想關(guān)鍵在于證明所 有的奇數(shù)經(jīng)過有限次的偶化和奇化后能不能得到 1。因為任何偶數(shù)都 可以經(jīng)過一次除以 2 的冪得到奇數(shù)，即奇化，所以，只要證明了所有 的奇數(shù)經(jīng)過有限次的偶化和奇化后能得到 1，就是證明了 3x+1 猜想。我們把一個奇數(shù)經(jīng)過一次偶化和奇化得到 1 叫作一次回歸， 經(jīng)過 兩次偶化

2、和奇化得到 1 叫作二次回歸，以此類推，經(jīng)過 n 次偶 化和奇化得到 1 叫作n次回歸。一次回歸的數(shù)有 1、5、21、 85、341、。這個數(shù)列的通項公 式是：( 22n -1)/3，n是大于等于 1的正整數(shù)，遞推公式是：a n 1=4a n +1。由一次回歸的數(shù)可以生成二次回歸的數(shù)， 而且可以生成無窮個二 次回歸的數(shù)列。例如由 5 生成的二次回歸的數(shù)列是 3、13、 53、 213、。這個數(shù)列的通項公式是： (5×22n 1-1)/3，n 是大于等于 1 的正整數(shù)，遞推公式是： a n 1=4a n+1。由 85 生成的二次回歸的數(shù)列 是 113、453、1813、。這個數(shù)列的通項

3、公式是： (85×22n -1)/3， n是大于等于 1的正整數(shù)，遞推公式是： a n 1=4a n +1。在一次回歸的 數(shù)中 5、341、21845、都是 3n+2 型的數(shù)，它們都可以生成二次 回歸的數(shù)列。數(shù)列的通項公式是： (26k 2-1)/3×22n1-1/3，k、n是大于等于 1 的正整數(shù)。當 k 為一個確定的數(shù)時會得到一個二次回歸 的無窮數(shù)列，這些無窮多個二次回歸的無窮數(shù)列的遞推公式都是： a n 1=4a n +1。在一次回歸的數(shù)中 85、5461、349525、都是 3n+1 型的數(shù)，它們也可以生成二次回歸的數(shù)列。數(shù)列的通項公式是： （26k 2-1）/3&

4、#215;22n-1/3，k、n是大于等于 1的正整數(shù)。當 k為一 個確定的數(shù)時， 會得到一個二次回歸的無窮數(shù)列。 這些無窮多個二次 回歸的無窮數(shù)列的遞推公式都是： a n 1=4a n +1。在一次回歸的數(shù)中 21、1365、87381都是 3 n型的數(shù)，即都是 3 的倍數(shù)，它們不能生 成二次回歸的數(shù)列， 因為 3 的倍數(shù)乘 2 的冪再減 1 不能被 3整除。以 此類推，由二次回歸的數(shù)可以生成三次回歸的數(shù)列，這個過程 可以一直持續(xù)下去。所有的奇數(shù)可以分為兩類： 中間數(shù)和首項數(shù)。 中間數(shù)是指在某一 回歸次數(shù)的一個無窮數(shù)列中的非首項數(shù)，它們都是 4 n +1型的數(shù)，并 且n 是奇數(shù)。因為只有 n

5、是奇數(shù)，它們才有前項數(shù) n ，所以中間數(shù)的類 型是（ 2 n +1） ×4+1=8n +5型。那么剩下的 8n+1型、8n+3 型、8n+7 型的數(shù)就都是首項數(shù)。 8 n +1型的數(shù)可分為以下三種： 24n +1型、24 n +9 型、 24 n +17 型；8n+3 型的數(shù)可分為以下三種： 24n+3 型、 24n +11 型、 24 n +19 型；8n+7 型的數(shù)可分為以下三種： 24n+7 型、 24n +15 型、24 n +23型。其中 24n +7型和 24 n +19型可合并為 12n +7型，當 n奇數(shù)時是 24 n +19型，當 n偶數(shù)時是 24n+7 型。24

6、n +11型和 24n +23 型可合并為 12 n +11 型，當 n奇數(shù)時是 24n +23 型；當 n偶數(shù)時是 24n +11型。所以所有的首項數(shù)又可以歸納為七種不同類型， 即：24 n +1 型、24n+3 型、24 n +9型、24 n +15型、24n +17型、12n +7 型和 12n +11 型。在二次以上 （包括二次）回歸次數(shù)的首項數(shù)中，同一回歸次數(shù)的 首項數(shù)有一定的對應(yīng)關(guān)系。具體對應(yīng)關(guān)系如下：1、12n 1+7 和 24n 2+1 對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2=16n 1+10，它們 經(jīng)過一次偶化和奇化后屬于同一回歸數(shù)列中間隔一項的兩項。2、12n 1+11和 24n 2

7、+9對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2=16n 1 +15，它們 經(jīng)過一次偶化和奇化后屬于同一回歸數(shù)列中間隔一項的兩項。3、24n 1+3 和 24n 2+17 對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2=32n 1+4，它們 經(jīng)過一次偶化和奇化后屬于同一回歸數(shù)列中間隔一項的兩項。4、24n 1+15和 24n 2 +17對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2=32n 1+20，它們 經(jīng)過一次偶化和奇化后屬于同一回歸數(shù)列中間隔一項的兩項。5、24n 1+1 和 24n 2+3 對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2=2n 1，它們經(jīng)過 一次偶化和奇化后屬于同一回歸數(shù)列中相鄰的兩項。6、24n 1+9 和 12n 2+7 對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是：

8、n 2=4n 1+1，它們經(jīng) 過一次偶化和奇化后屬于同一回歸數(shù)列中相鄰的兩項。7、24n 1+17 和 12n 2 +11 對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2=4n 1+2，它們 經(jīng)過一次偶化和奇化后屬于同一回歸數(shù)列中相鄰的兩項。以第 3 種對應(yīng)關(guān)系為例證明如下：（24n 1+3）×3+1=72n 1+10，（72n 1+10）÷2=36n 1+5；（24n 2 +17）×3+1=72n 2 +52，（72n 2 +52）÷4=18n 2+13； 根據(jù) n 2=32n 1+4 得：18n 2 +13=18×（32 n 1+4）+13=576n 1+85

9、；而 36 n 1+5經(jīng)過兩次乘 4加 1后也會得到 576n 1+85。 第一次：（36n 1+5）×4+1=144n 1+21； 第二次：（144 n 1+21）×4+1=576n 1+85。得證。 其它六種可仿此證明。1 可以看作是一次回歸的無窮數(shù)列的首項數(shù)，它屬于24n+1 型，但沒有其它類型的首項數(shù)和它對應(yīng)， 因此 1是特殊的首項數(shù)， 可稱為 原始數(shù)。3 和113是二次回歸的前兩個首項數(shù)，它們分別屬于 24n+3 型和 24 n +17 型。24n 1+3 型和 24n 2+17 型對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2 =32n 1+4，n 1=0，n 2 =32×

10、;0+4=4 。根據(jù) 24n 1+17和 12n 2 +11對應(yīng)， 對應(yīng)關(guān)系是： n 2 =4n 1 +2，可得當 n 1=4 時， n 2 =4×4+2=18 ，即 12×18+11=227 。所以 227 也是二次回歸的首項數(shù)。 12n 1+11 和 24n 2 +9 對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2 =16n 1 +15，可得當 n 1=18 時， n 2 =16×18+15=303 ，即 24 ×303+9=7281 。所以 7281 也是二次回歸 的首項數(shù)。 24n1+9和 12n 2 +7對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2 =4n 1+1，可得 當n 1=

11、303 時， n 2 =4×303+1=1213 ，即 12×1213+7=14563 。所以 14563 也是二次回歸的首項數(shù)。 12n1+7和 24n 2 +1對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系是： n 2=16n 1 +10，可得當 n 1 =1213 時， n 2 =16×1213+10=19418 ，即 24×19418+1=466033 。所以 466033 也是二次回歸的首項數(shù)。當然 根據(jù)對應(yīng)關(guān)系還可以得出其它的二次回歸的首項數(shù)。 17和 35是三次 回歸的前兩個首項數(shù)，它們分別屬于 24 n +17型和 12 n +11型，24n +17 型和 12n +1

12、1型對應(yīng)。 11和 23是四次回歸的前兩個首項數(shù)，它們都 屬于 12n +11型。7和 15 是五次回歸的前兩個首項數(shù)， 它們分別屬于 12n +7型和 24n+15型。12n+7型和 24 n +1型對應(yīng)，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系式 n 2=16n1+10可得當 n 1=0時， n 2 =10。即 24×10+1=241和 7對應(yīng)，也 是五次回歸的數(shù)。 24 n +15 型和 24n +17 型對應(yīng)，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系式 n 2=32n1+20可得當 n1=0時，n 2 =20。即 24×20+17=497和 15對應(yīng)， 也是五次回歸的數(shù)。根據(jù)以上 1-5 次回歸的首項數(shù)的舉例可知， 除

13、24n 1+15 型的首項數(shù)外，其它六種類型的首項數(shù)在所有次數(shù)的回 歸數(shù)列中都出現(xiàn)。它們構(gòu)成一個循環(huán)圈，而且首項數(shù)會越來越大。即 使某一回歸次數(shù)的首項數(shù)中出現(xiàn) 24n 1+15 型的數(shù)，也會進入其它六 種類型的首項數(shù)構(gòu)成的循環(huán)圈里。在中間數(shù) 8n+5 中，當n =3k +2時，8 n +5=8（3 k +2）+5=24k +21=3 （8 k +7），即是 3 的倍數(shù)。所以，在中間數(shù) 8n+5 中，3的倍數(shù)可表 示為 24n +21。24 n +21形式的數(shù)可稱為開頭數(shù)， 因為這些數(shù)不能生成 比它們回歸次數(shù)多的無窮數(shù)列。在同一回歸次數(shù)的同一無窮數(shù)列中， 3 的倍數(shù)是周期性出現(xiàn)的。 證明如下：在

14、某一回歸次數(shù)的某一無窮數(shù)列中，首項數(shù)可表示為3k +i （0 i 2），即首項數(shù)除以 3的余數(shù)是 i（0i2）。根據(jù)同一回歸次數(shù) 的同一無窮數(shù)列的遞推公式 an 1=4an+1 可得，第二項是 4（3k+i） +1=12k +4i +1=3（4 k +i ）+（ i +1），即第二項除以 3 的余數(shù)是 i+1，余 數(shù)比首項多 1。第三項是 4（12k +4i +1）+1=48k +16i +5=3（16 k +5i +1） +（ i +2），即第三項除以 3的余數(shù)是 i +2，余數(shù)比第二項多 1。第四項 是 4(48 k +16i +5) +1=192k +64i +21=3(64k +21i

15、 +7)+i ，即第四項 除以 3的余數(shù)是 i ，和首項數(shù)除以 3的余數(shù)相同。這說明在所有的同 一回歸次數(shù)的同一無窮數(shù)列中， 各項除以 3 的余數(shù)是以 3為周期循環(huán) 出現(xiàn)的。在某一回歸次數(shù)的某一無窮數(shù)列中， 第i 個開頭數(shù)是 24 ni +21時， 第i +1個開頭數(shù)是 24(64 n i +56)+21，即有關(guān)系式： ni 1 =64ni +56。證 明如下：根據(jù)同一回歸次數(shù)的同一無窮數(shù)列的遞推公式 an 1=4an+1 可得， 在某一回歸次數(shù)的某一無窮數(shù)列中，第 i 個開頭數(shù)后的第一項是 4 (24ni +21)+1=96ni +85，第二項是 4(96ni +85) +1=384ni +

16、341，第 三項是 4(384 ni +341)+1=1536ni +1365。這一項即是第 i +1個開頭數(shù)， 1536 ni +1365=24( 64 ni +56)+21=24ni 1 +21，即有關(guān)系式： ni 1=64ni +56， 證明完畢。這說明在所有的同一回歸次數(shù)的同一無窮數(shù)列中， 抽出所有的開 頭數(shù)可得到一個無窮數(shù)列，各項均可表示為24 n +21，其中 n的遞推公式是 ni 1=64ni +56。比如在一次回歸數(shù)列中抽出所有的開頭數(shù)得到 的無窮數(shù)列是 21、1365、87381、。各項表示為 24 n +21，則 n1=0， n2 =56， n3 =3640，。在二次回歸的

17、第一組無窮數(shù)列中抽出所有的 開頭數(shù)得到的無窮數(shù)列是 213、 13653、873813、。各項表示為 24n +21，則 n1 =8， n2 =568， n3 =36408，；在二次回歸的第二組無 窮數(shù) 列中 抽出 所有 的開 頭數(shù)得到 的無 窮 數(shù)列 是 453、 29013、 1856853、。各項表示為 24 n +21，則 n1=18， n2 =1208，n3=77368，在三次回歸的第一組無窮數(shù)列中抽出所有的開頭數(shù) 得到的無窮數(shù)列是 69、4437、283938、。各項表示為 24n +21， 則n1=2，n2 =184， n3 =11832，；在三次回歸的第二組無窮數(shù)列中 抽出所有

18、的開頭數(shù)得到的無窮數(shù)列是 141、9045、578901、。各 項表示為 24n+21，則 n1=5， n2 =376， n3 =24120，。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，二次和三次回歸數(shù)中開頭數(shù)24 n +21 中n的值與一次回歸數(shù)中開頭數(shù) 24n +21 中n的對應(yīng)值有一定關(guān)系。關(guān)系如 下：1、二次回歸的第一組數(shù)中開頭數(shù) 24 n +21中 n的值等于一次回歸 數(shù)中開頭數(shù) 24 n +21中n的對應(yīng)值的 10倍加 8。2、二次回歸的第二組數(shù)中開頭數(shù) 24 n +21中 n的值等于一次回歸 數(shù)中開頭數(shù) 24 n +21 中n的對應(yīng)值的 854倍加 18。3、三次回歸的第一組數(shù)中開頭數(shù) 24 n +21

19、中 n的值等于一次回歸 數(shù)中開頭數(shù) 24 n +21 中n的對應(yīng)值的 134倍加 2。4、三次回歸的第二組數(shù)中開頭數(shù) 24 n +21中 n的值等于一次回歸 數(shù)中開頭數(shù) 24 n +21中n的對應(yīng)值的 538倍加 5。二次回歸的第一組關(guān)系中的倍數(shù) 10除以 2得 5，5 是二次回歸的 第一組無窮數(shù)列中的所有項經(jīng)一次偶化再奇化后得到的數(shù)， 即一次回 歸中的對應(yīng)數(shù)，加數(shù) 8 是二次回歸的第一組開頭數(shù)的 n1 值；二次回歸 的第二組關(guān)系中的倍數(shù) 854乘 4 得 85，85 是二次回歸的第二組無窮 數(shù)列中的所有項經(jīng)一次偶化再奇化后得到的數(shù)， 即一次回歸中的對應(yīng) 數(shù)，加數(shù) 18 是二次回歸的第二組開頭

20、數(shù)的 n1值；三次回歸的第一組 關(guān)系中的倍數(shù) 134乘 4 得 13，13是三次回歸的第一組無窮數(shù)列中的所 有項經(jīng)一次偶化再奇化后得到的數(shù)，即二次回歸中的對應(yīng)數(shù)，加數(shù) 2 是三次回歸的第一組開頭數(shù)的 n1值；三次回歸的第二組關(guān)系中的倍數(shù) 538 乘 8 得 53，53 是三次回歸的第二組無窮數(shù)列中的所有項經(jīng)一次 偶化再奇化后得到的數(shù)， 即二次回歸中的對應(yīng)數(shù)， 加數(shù) 5 是三次回歸 的第二組開頭數(shù)的 n1值。由此可以類推 k次回歸中的開頭數(shù) 24n +21 的n值與一次回歸中的開頭數(shù) 24 n +21 的 n的對應(yīng)值也有一定關(guān)系， 即 k 次回歸中的開頭數(shù) 24 n +21 的 n 值等于一次回

21、歸中的開頭數(shù) 24n +21的n的對應(yīng)值的一定倍數(shù)加上 k 次回歸中的開頭數(shù) 24n+21的 n1值，這個倍數(shù)除以或者乘 2 的冪得到 k 次回歸的無窮數(shù)列中的所有 項經(jīng)一次偶化再奇化后得到的數(shù)，即 k-1 次回歸的無窮數(shù)列中的對應(yīng) 數(shù)。證明如下：首項數(shù)一共有七種類型，分別是 24n+1 型、24n+17型、12n+7 型和 12n +11型、 24 n +3 型、24n+9型、24n+15型。1、當以 24n+1 型的數(shù)為首項數(shù)時，它可以生成比它多一次的無 窮回歸數(shù)列，生 成的無 窮回歸數(shù) 列的首項數(shù)是 4 （24 n +1） -1÷3=32n +1。下面分三種情況進行討論。（1）

22、、當 n=3k1時，32n+1=32（3k1）+1=96k1+1，后面第一項是 4（96 k1 +1） +1=384k1 +5，第二項是 4（ 384 k1 +5） +1=1536k1 +21=3 （512k1+7），它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24（ 64k1）+21。它是第 一個開頭數(shù)，即 n1=64k1，根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的 n2 =64 （64k1）+56=4096k1+56=5（6 72k1+1）+64k1。24n+1=2（4 3k1）+1=72k1+1， 和n2式中的倍數(shù)相同，符合前面總結(jié)的規(guī)律。（2）、當 n =3 k1 +1 時，32 n +1=3（2 3k1+1

23、）+1=96k1+33=（3 32k1+11）， 它雖是 3 的倍數(shù)但不是開頭數(shù)而是首項數(shù)。它后面第一項是 4 （96k1+33）+1=384k1+133，第二項是 4（384k1+133）+1=1536k1+533， 第三項是 4（1536k1+533）+1=6144k1+2133=3（2048k1+711），是 3 的 倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24（256k1+88）+21。它是第一個開頭數(shù)，即 n1=256k1+88，根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的 n2=64（256k1+88） +56=16384k1+5688=56（288k1+100）+（256k1+88）。24n+1=24（3k1+1

24、） +1=72k1+25，（288k1+100）÷4=72k1+25，符合前面總結(jié)的規(guī)律。（3）、當 n=3k1+2 時，32n+1=32（3k1+2）+1=96k1+65，后面第 一項是 4（96k1+65）+1=384k1+261=3（128k1+87），它是 3 的倍數(shù)。 這個開頭數(shù)是 24（16k1+10）+21，它是第一個開頭數(shù)， 即 n1=16k1+10， 根 據(jù) 前 面 的 規(guī) 律 ， 第 二 個 開 頭 數(shù) 的 n2 =64 （ 16 k1 +10 ） +56=1024k1+696=56（ 72k1 49 ）+（16k1+10）。24n+1=24（3k1+2）4+1=

25、72k1+49， 72k1 49 ×4=72k1+49，符合前面總結(jié)的規(guī)律。42、當以 24 n +17 型的數(shù)為首項數(shù)時，它可以生成比它多一次的 無窮回歸數(shù)列，生成的無窮回歸數(shù)列的首項數(shù)是2 （ 24n +17）-1÷3=16n +11。面分三種情況進行討論（1）、當 n=3k1時，16n+11=16（3k1）+11=48k1+11，后面第一項 是 4（48k1 +11）+1=192k1+45=3（64k1 +15），它是 3 的倍數(shù)。這個開 頭數(shù)是 24（8 k1+1）+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=8k1+1，根據(jù)前面 的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的 n2=64（8k1+

26、1）+56=512k1+120=56（72k1 17 ）8 +（8k1+1）。24n+17=24（3k1）+17=72k1+17，72k1 17 ×8=72k1 +17，8 符合前面總結(jié)的規(guī)律。（2）、當n=3k1+1時，16n+11=1（6 3 k1 +1）+11=48k1+27=（3 16k1+9）， 它雖是 3 的倍數(shù)但不是開頭數(shù)而是首項數(shù)。它后面第一項是 4 （48k1+27）+1=192k1+109，第二項是 4（ 192k1+109）+1=768k1+437， 第三項是 4（768k1 +437）+1=3072k1+1749=3（1024k1+583），是 3 的 倍數(shù)。

27、這個開頭數(shù)是 24（128 k1+72）+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=128k1+72，根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的 n2=64（128 k1+72） +56=8192k1+4664=56（144k1+82）+（128k1+72）。24n +17=24（3 k1+1） +17=72k1+41，（144k1+82）÷2=72k1+41，符合前面總結(jié)的規(guī)律。（3）、當 n =3k1+2 時，16n+11=16（3k1+2）+11=48k1+43，后面 第一項是 4（48 k1 +43） +1=192k1 +173。第二項是 4（ 192 k1 +173） +1=768k1+693

28、=3（256 k1+231），它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24 （32 k1+28）+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=32k1 +28，根據(jù)前面的規(guī) 律，第二個開頭數(shù)的 n2=64（32k1+28）+56=2048k1+1848=56（ 72k1 65） +（32k1+28）。24n+17=24（3k1+2）+17=72k1+65，72k1 65 ×2=72k1+65， 符合前面總結(jié)的規(guī)律。3、當以 12n+7 型的數(shù)為首項數(shù)時，它可以生成比它多一次的無 窮回歸數(shù)列，生成的無窮回歸數(shù)列的首項數(shù)是4 （12n +7） -1÷3=16n +9。下面分三種情況進行討論。（1

29、）、當 n=3k1時，16n+9=16（3k1）+9=48k1+9=3（16k1+3），它 雖是 3 的倍數(shù)但不是開頭數(shù)而是首項數(shù)。 它后面第一項是 4（48k1+9） +1=192k1+37，第二項是 4（ 192k1+37）+1=768k1+149，第三項是 4 （768k1+149）+1=3072k1+597=3（1024k1+199），它是 3 的倍數(shù)。 這個 開頭數(shù)是 24（128k1 +24）+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=128k1+24， 根 據(jù) 前 面 的 規(guī) 律 ， 第 二 個 開 頭 數(shù) 的 n2 =64（ 128 k1 +24） +56=8192k1 +1592=5

30、6（ 144 k 1 +28）+（ 128 k1 +24）。 12 n +7=12（3 k1 ） +7=36k1+7，（144k1+28）÷4=36k1+7，符合前面總結(jié)的規(guī)律。（2）、當 n =3k1+1 時，16n+9=16（3 k1+1）+9=48k1+25，后面第 一項是 4（48 k1 +25） +1=192k1 +101，第二項是 4（ 192 k1 +101） +1=768k1+405=3（256 k1+135），它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24 （32 k1+16）+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=32k1 +16，根據(jù)前面的規(guī) 律，第二個開頭數(shù)的 n2 =64

31、（32k1+16）+56=2048k1+1080=56（36k1+19） +（32k1+16）。12n+7=12（3k1+1）+7=36k1+19，和 n2式中的倍數(shù)相同， 符合前面總結(jié)的規(guī)律。（3）、當 n =3k1+2 時，16n+9=16（3 k1+2）+9=48k1+41，后面第 一項是 4（48k1+41）+1=192k1+165=3（64k1+55），它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24（8 k1+6）+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=8k1+6，根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的n2 =64（8 k1 +6） +56=512k1 +440=5636k1 31 ）+（8 k1+6）。

32、 12 n +7=12（ 3 k1 +2） +7=36 k1 +31， 436k1 31×4=36k1+31，符合前面總結(jié)的規(guī)律。4、當以 12n +11 型的數(shù)為首項數(shù)時，它可以生成比它多一次的 無窮回歸數(shù)列，生成的無窮回歸數(shù)列的首項數(shù)是2 （12n +11）-1÷3=8n +7。下面分三種情況進行討論。（1）、當 n=3k1時，8 n+7=8（3k1）+7=24k1+7，后面第一項是 4 （24 k1 +7） +1=96k1 +29，第二項是 4（ 96 k1 +29） +1=384k1 +117=3 （128k1+39），它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24（16k1

33、+4）+21，它是 第一個開頭數(shù)，即 n1=16k1+4，根據(jù)前面的規(guī)律， 第二個開頭數(shù)的 n2=6416k1+4）+56=1024k1+312=56（ 36k1 11）+（16k1+4）。12n+11=122（3k1）+11=36k1+11， 36k1 11 ×2=36k1+11，符合前面總結(jié)的規(guī)律。2（2）、當 n=3k1+1時，8n+7=8（3k1+1）+7=24k1+15=3（8k1+5）， 雖是 3 的倍數(shù)但不是開頭數(shù)而是首項數(shù)。后面第一項是 4（24k1+15） +1=96k1 +61，第二項是 4（96k1 +61） +1=384 k1 +245，第三項是 4 （384

34、k1+245）+1=1536k1+981=3（512k1+327），它是 3 的倍數(shù)。這個 開頭數(shù)是 24（64 k1+40）+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1 =64k1+40，根 據(jù)前面的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的 n2 =64（64k1+40）+56=4096k1+2616=56（36k1+23）+（64k1+40）。12n+11=12（3k1+1）+11=36k1+23，和n2式 中的倍數(shù)相同，符合前面總結(jié)的規(guī)律。（3）、當 n=3k1+2 時，8n +7=8（3k1+2）+7=24k1+23，后面第一 項是 4（24k1+23）+1=96k1+93=3（32k1+31），它是 3 的倍數(shù)。

35、這個開 頭數(shù)是 24（4 k1+3）+21。它是第一個開頭數(shù)，即 n1=4k1+3，根據(jù)前面 的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的 n2=64（4k1+3）+56=256k1+248=56（ 36k1 35）8 +（4k1+3）。12n+11=12（3k1+2）+11=36k1+35， 36k1 35 ×8=36k1+35，8 符合前面總結(jié)的規(guī)律。5、當以 24n+3 型的數(shù)為首項數(shù)時，它的后一項是 4（ 24 n +3） +1=96n +13，它可以生成比它多一次的無窮回歸數(shù)列，生成的無窮回 歸數(shù)列的首項數(shù)是 4 （ 96n +13） -1÷3=128n +17。下面分三種情況進行討論

36、。（1）、當 n=3k1時，128n +17=128（ 3 k1 ）+17=384k1+17，后面第 一項是 4（384k1+17）+1=1536k1+69=3（512k1+23），它是 3 的倍數(shù)。 這個開頭數(shù)是 24（64 k1+2）+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=64k1 +2， 根據(jù)前面的規(guī)律， 第二個開頭數(shù)的 n2=64（64k1+2）+56=4096k1+184=56288k1 13 ）+（64k1+2）。96n +13=96（ 3 k1 ） +13=288 k1 +13， 4288k1413×4=288k1+13，符合前面總結(jié)的規(guī)律。（2）、當 n=3k1+1 時，

37、 128n +17=128（3k1+1）+17=384k1+145。 后面第一項是 4（384k1+145）+1=1536k1+581，第二項是 4（1536k1 +581） +1=6144k1+2325=3( 2048k1+775)，它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24 ( 256k1+96)+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=256k1+96，根據(jù)前面的 規(guī)律，第二個開頭數(shù)的 n2 =64( 256 k1 +96) +56=16384k1 +6200=56 (288k1+109)+(256k1+96)。96n +13=96(3k1+1)+13=288k1+109， 和n2式中的倍數(shù)相同，符

38、合前面總結(jié)的規(guī)律。(3) 、當 n=3k1+2 時， 128 n +17=128(3k1+2)+17=384k1+273=3 (128k1+91)，雖是 3 的倍數(shù)但不是開頭數(shù)而是首項數(shù)。后面第一項 是 4(384 k1 +273) +1=1536k1 +1093，第二項是 4(1536k1+1093) +1=6144k1+4373，第三項是 4(6144k1+4373) +1=24576k1+17493=3 (8192k1+5831)，它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24(1024k1+728)+21， 它是第一個開頭數(shù)，即 n1=1024 k1+728，根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開 頭數(shù)的 n

39、2 =64(1024 k1+728)+56=65536k1+46648=56(1152k1+820)+ (1024k1+728)。96n+13=96(3k1+2)+13=288k1+205，(1152k1+820) ÷4=288k1+205，符合前面總結(jié)的規(guī)律。6、當以 24n+9 型的數(shù)為首項數(shù)時，它的后一項是 4( 24 n +9) +1=96n +37，它可以生成比它多一次的無窮回歸數(shù)列，生成的無窮回 歸數(shù)列的首項數(shù)是 4 ( 96n +37) -1÷3=128n +49。下面分三種情況進行討論。(1) 、當 n =3k1時， 128 n +49=128(3 k1 )

40、+49=384k1+49，后面第 一項是 4(384k1+49)+1=1536k1 +197，第二項是 4(1536k1+197) +1=6144k1+789=3(2048k1+263)，它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24 ( 256k1+32)+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=256k1+32，根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的n2 =64( 256 k1 +32) +56=16384k1 +2104=56(288k1+37)+(256k1+32)。96n+37=96(3k1)+37=288k1+37，和 n2 式中的倍數(shù)相同，符合前面總結(jié)的規(guī)律。(2) 、當 n=3k1+1 時，128n+

41、49=128(3k1+1)+49=384k1+177=3 (128k1+59)，雖是 3 的倍數(shù)但不是開頭數(shù)而是首項數(shù)。后面第一項 是 4(384 k1 +177) +1=1536 k1 +709，第二項是 4 ( 1536 k1 +709) +1=6144k1+2837，第三項是 4( 6144 k1 +2837) +1=24576k1 +11349=3 (8192k1+3783)，它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24(1024k1+472)+21， 它是第一個開頭數(shù)，即 n1=1024k1+472，根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開 頭數(shù)的 n2 =64(1024 k1 +472)+56=65536

42、k1+30264=56(1152 k1+532)+ (1024k1+472)。96n+37=96(3k1+1)+37=288k1+133，(1152k1+532) ÷4=288k1+133，符合前面總結(jié)的規(guī)律。(3) 、當 n=3k1+2 時，128n+49=128(3k1+2)+49=384k1+305， 后面第一項是 4(384 k1+305)+1=1536k1+1221=3(512k1+407)，它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24(64 k1 +50)+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=64k1+50。根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的n2 =64( 64 k1 +50)+56=

43、4096k1+3256=56( 288k1 229 )+(64k1+50)。96n+37=96(3k1+2)4+37=288k1+229， 288k1 229 ×4=288k1+229，符合前面總結(jié)的規(guī)律。47、當以 24n +15 型的數(shù)為首項數(shù)時，它的后一項是 4(24n +15) +1=96n +61，它可以生成比它多一次的無窮回歸數(shù)列，生成的無窮回 歸數(shù)列的首項數(shù)是 4 ( 96n +61) -1÷3=128n +81。面分三種情況進行討論( 1 )、 當 n =3 k1 時 ， 128 n +81=128( 3 k1 ) +81=384 k1 +81=3 (128

44、k1+27)，雖是 3 的倍數(shù)但不是開頭數(shù)而是首項數(shù)。后面第一項 是 4(384 k1 +81) +1=1536 k1 +325，第二項是 4( 1536 k1 +325) +1=6144k1+1301，第三項是 4( 6144k1+1301)+1=24576k1+5205=3 (8192k1+1735)，它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24(1024k1+216)+21， 它是第一個開頭數(shù)，即 n1=1024k1+216，根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開 頭數(shù)的 n2 =64(1024 k1 +216)+56=65536k1+13880=56(1152 k1+244)+ ( 1024 k1+216)。 96 n +61=96(3k1)+61=288k1+61，(1152k1+244) ÷4=96k1+61，符合前面總結(jié)的規(guī)律。(2)、當 n=3k1+1 時， 128n +81=128(3k1+1)+81=384k1+209， 后面第一項是 4(384 k1+209)+1=1536k1+837=3(512k1+279)，它是 3 的倍數(shù)。這個開頭數(shù)是 24( 64k1+34)+21，它是第一個開頭數(shù)，即 n1=64k1+34。根據(jù)前面的規(guī)律，第二個開頭數(shù)的n2 =64( 64 k1 +34)+56=4096k1+2232=56(