線性代數(shù)22PPT學習教案

1、會計學1、定義、定義 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111設有兩個設有兩個 矩陣矩陣 那末矩陣那末矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 第1頁/共34頁說明說明 只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算行加法運算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 第2頁/共34頁2 2、 矩陣加法的運算規(guī)律矩陣加法的運算規(guī)律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaa

2、aaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .負矩陣負矩陣的的稱為矩陣稱為矩陣A第3頁/共34頁1 1、定義、定義.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù), AAA第4頁/共34頁 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)稱為矩陣的統(tǒng)稱為矩陣的線性運算線性運算. .（設（設 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、第5頁/共34頁、定義、定義 skkjiksjisjijiijbab

3、ababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 設設 是一個是一個 矩陣，矩陣， 是一是一個個 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個是一個 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB第6頁/共34頁例例222263422142 C22 16 32 816設設 415003112101A 121113121430B例例2 2?第7頁/共34頁故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 67102

4、6 2 17 10第8頁/共34頁注意注意只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.第9頁/共34頁、矩陣乘法的運算規(guī)律、矩陣乘法的運算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; ;4AEAAE 若若A是是 階矩陣，則階矩陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 5nkAk 個個kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 為為正正整整數(shù)數(shù)k,m第1

5、0頁/共34頁注意注意矩陣不滿足交換律，即：矩陣不滿足交換律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 設設 1111A 1111B則則,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故第11頁/共34頁但也有例外，比如設但也有例外，比如設,2002 A,1111 B則有則有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 第12頁/共34頁例例3 3 計算下列乘積：計算下列乘積： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 第13頁/共34頁 3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112bab

6、aba 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 第14頁/共34頁解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求設設 例例4 4第15頁/共34頁 00100100201222223AAA 32323003033 由此歸納出由此歸納出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 第16頁/共34頁用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明當當 時，顯然成立時，顯然成

7、立.2 k假設假設 時成立，則時成立，則 時，時，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA第17頁/共34頁所以對于任意的所以對于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 第18頁/共34頁定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉置矩陣，記作的轉置矩陣，記作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、轉置矩陣、轉置矩陣第19頁/共34頁轉置矩陣的運算性質(zhì)轉置矩陣的運算性質(zhì) ;1AAT

8、T ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 第20頁/共34頁例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB第21頁/共34頁解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 第22頁/共34頁2、方陣的行列式、方陣的行列式定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構成的行列式，的元素所構成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則. 2 運算性質(zhì)運算性質(zhì)

9、 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 第23頁/共34頁3、對稱陣與伴隨矩陣、對稱陣與伴隨矩陣定義定義設設 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那末那末 稱為稱為對稱陣對稱陣.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A為對稱陣為對稱陣例如例如 6010861612.稱稱為為反反對對稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AAAT 對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相 等等.說明說明第24頁/共34頁例例6 6 設列矩陣設列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是對稱矩是對稱矩證明證明

10、階單位矩陣階單位矩陣為為證明證明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對稱矩陣是對稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 第25頁/共34頁例例7 7 證明任一證明任一 階矩陣階矩陣 都可表示成對稱陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和與反對稱陣之和.nA證明證明TAAC 設設 TTTAAC 則則AAT ,C 所以所以C為對稱矩陣為對稱矩陣.,TAAB 設設 TTTAAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對稱矩陣為反對稱矩陣.22TTAAAAA ,22BC 命題得證命題得證.第26頁/共34頁定義定義 行列式行

11、列式 的各個元素的代數(shù)余子式的各個元素的代數(shù)余子式 所所構成的如下矩陣構成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性質(zhì)性質(zhì).EAAAAA 證明證明 ,ijaA 設設 ,ijbAA 記記則則jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 稱為矩陣稱為矩陣 的的伴隨矩陣伴隨矩陣.A第27頁/共34頁4 4、共軛矩陣、共軛矩陣定義定義當當 為復矩陣時，用為復矩陣時，用 表示表示 的共軛的共軛復數(shù)，記，稱為復數(shù)，記，稱為 的共軛矩陣的共軛矩陣. ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得 nkkjkiaAAA1 i

12、jA ijA .EA 第28頁/共34頁 ;2AA .3BAAB 運算性質(zhì)運算性質(zhì) ;1BABA （設（設 為復矩陣，為復矩陣， 為復數(shù)為復數(shù),且運算都是可行的）且運算都是可行的）:BA, 第29頁/共34頁矩陣運算矩陣運算 加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉置矩陣轉置矩陣對稱陣與伴隨矩陣對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式方陣的行列式共軛矩陣共軛矩陣第30頁/共34頁（2）只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二）只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘且矩陣相乘不滿足交換律不滿足交換律.（1）只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才）只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能能進行加法運算進行加法運算.注意注