線性代數(shù)同濟六珍藏PPT學習教案

1、會計學1一元一次方程 ax = b 一元二次方程二元 、三元線性方程組第1頁/共125頁第2頁/共125頁一元一次方程 ax = b 當 a0 時，bax1 10 x2x22x3x22121 2312二元 （三元）線性方程組例 解二元線性方程組14x71 得于是2x1 6x2 42x72 類似地，可得于是第一章 行列式1 二階與三階行列式第3頁/共125頁,21122211212221aaaabaabx1 )(1bxaxabxaxa22221211212111 線性方程組時，得時，得當當0aaaa1221211乘乘第第二二個個方方程程乘乘第第一一個個方方程程的的兩兩邊邊，即即用用1222aa

2、212221112212211baabxaaaa )(消去 x2 ,的兩邊后,兩式相加得消元法第4頁/共125頁記22211211aaaa22211211aaaa稱它為二階行列式，于是，線性方組（1）的解可以寫為21122211aaaa定義為類似地，可得.aaaaabbax211222112112112 ,21122211212221aaaabaabx1 第5頁/共125頁333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 類似的，我們還可以定義三階行列式為3221312312332211aaaaaaaaa132221121122111

3、12222112112221211aaaababaxaaaaababx ,第6頁/共125頁n 階排列共有 n!個. 排列的逆序數(shù) 2 全排列及其逆序數(shù) 把 1, 2, , n 排成一列，稱為一個 n 階全排列. 奇排列 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. 在一個排列中如果一對數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有 例 1 排列 1 2 n 稱為自然排列，所以是偶排列.一個逆序.偶排列 一個排列中所有逆序的總數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. 它的逆序數(shù)為0 ，三 階排列共有321=3!個.321jjj第7頁/共125頁 例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序數(shù)為 t () 例 3 排列 n ( n 1 ) 3 2 1

4、的逆序數(shù)為 t ( n (n 1) 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + + ( n 1 ) = 21nn 排列 3 2 5 1 4 為奇排列. 5第8頁/共125頁333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 三階行列式定義為3221312312332211aaaaaaaaa13 3n 階行列式的定義三階行列式是 3 != 6 項 的代數(shù)和.321321j3j2j1jjjtaaa1)()( 321j3j2j1aaa 123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(21

5、3)=1t(321)=3第9頁/共125頁三階行列式可以寫成3213212331232221131211j3j2j1jjjt33aaaaaaaaaaaa1 )()(,的的一一個個排排列列，是是其其中中321jjj321.jjjjjjt321321的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列)(第10頁/共125頁 定義 由 n2 個數(shù)組成的數(shù)表，的的一一個個排排列列，是是其其中中n21jjjn21.jjjjjjtn21n21的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列)(n21n21njj2j1jjjtaaa1.)()( nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa稱為 n 階行列式 ,項的代數(shù)和， 即 規(guī)定

6、為所有形如記成第11頁/共125頁nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa例 1 下三角行列式333231222111aaa0aa00a332211aaa n21n21njj2j1jjjtaaa1.)().(第12頁/共125頁 例2 下三角行列式nn2211aaa nn2n1n222111a.aa0.aa0.0a例 3 三階行列式321 321 第13頁/共125頁 例5 n 階行列式n21 n2121nn1 )()( 4321 例4 四階行列式4321 第14頁/共125頁經(jīng)對換 a 與 b ,得排列 ,m1k1babbaa1babbaatbbabaatm1k1m1k1

7、)()(所以，經(jīng)一次相鄰對換，排列改變奇偶性.,11mkbbabaa 4 對換 對換 定理 1 一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性. 證 先證相鄰對換的情形. 那么設排列 1cbcbabaan1m1k1經(jīng)對換 a 與 b排列，得排列 2cacbbbaan1m1k1 相鄰對換 再證一般對換的情形. 設排列第15頁/共125頁事實上，排列（1）經(jīng)過 2m + 1 次相鄰對換變?yōu)榕帕校?）.np2p1pppptn21n21aaaD1 )()( 定理 2 n 階行列式也可以定義為根據(jù)相鄰對換的情形及 2m + 1 是奇數(shù)，性相反.所以這兩個排列的奇偶第16頁/共125頁 53142 解 t(

8、5314 2) = 0+1+2+1+3=7t(53412) = 0+1+1+3+3=8 53412求這兩個排列的逆序數(shù).經(jīng)對換1與4 得排列例 1 排列第17頁/共125頁 1. 選擇 i 與 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.項項，是是否否為為四四階階行行列列式式中中的的和和2431431244332114aaaaaaaa2.若是，指出應冠以的符號 3.計算n 階行列式練習111第18頁/共125頁是是四四階階，不不是是四四階階行行列列式式中中的的項項2431431244332114aaaaaaaa2.4331241224314312aaaaa

9、aaa 21nn11113)()(. 43312412433124123433124122413taaaaaaaa1aaaaa1 行列式中的項. 1.（1）i = 4, k = 3時，即排列 2 5 4 1 3 為偶排列； （2）i = 3, k = 4時，即排列 2 5 3 1 4 為奇排列.第19頁/共125頁 性質(zhì) 1 性質(zhì) 2 5 行列式的性質(zhì) 推論 兩行（列）相同的行列式值為零. 數(shù) k , 推論 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號 性質(zhì)4 性質(zhì) 3 式等于零.等于用數(shù) k 乘此行列式 . 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. 互換行列式的兩行（列），行列式變號. 行列式的某一行

10、（列）中的所有元素都乘以同一個 行列式中如果有兩行（列）元素成比例 ，則此行列 外面.第20頁/共125頁nnnj2n1nn2j22221n1j11211nnnj2n1nn2j22221n1j11211acaaacaaacaaabaaabaaabaa 若行列式 的某一列（行）的元素都是兩個元素和 ， nnnjnj2n1nn2j2j22221n1j1j11211acbaaacbaaacbaa)()()(例如則此行列式等于兩個行列式之和 .性質(zhì) 5第21頁/共125頁 把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另nnnjnjni1nn2j2j2i221n1j1j1i111aakaaaaakaaaa

11、akaaannnjni1nn2j2i221n1j1i111aaaaaaaaaaaa一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變.性質(zhì) 6第22頁/共125頁,nnn2n12n22121n2111aaaaaaaaa,aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 設行列式 DT 稱為行列式 D 的轉(zhuǎn)置行列式.記那么DDT 222cbacba1111例例222cc1bb1aa1= TD第23頁/共125頁,bbbbbbbbbDnn2n1nn22221n112111 設行列式 D = det (aij ) 互換第 i , j ( i j ) 兩行,得行列式 性質(zhì) 2 的證明33332222dc

12、badcbadcba11112例例33332222dcba1111dcbadcba 第24頁/共125頁其中，當 k i , j 時, bkp = akp ;當 k = i , j 時，bip = ajp, bjp = aip , nji1nji1npjpipp1t1bbbbpppp1D )()(其中, 1i j n 是自然排列,)()()()(11ppppppppnji1nij1tt 所以nij1nij1npjpipp1t1aaaappppD1 )()(nji1nji1npipjpp1taaaapppp1 )()(nij1nji1npjpipp1taaaapppp1 )()(于是= D第25

13、頁/共125頁333231232221131211aaakakakaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak，若若例例121013201D 4121013402 則則D21210132012)()( 例 3333231232221131211aaaaaakakaka 333231232221131211kakakaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak第26頁/共125頁132141131132010131 r2 - r1 例5=422510211= 0 例6 例72542225102114225102112520510211第27頁/共

14、125頁5021011343212101D 解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4 - r1 例 8 計算行列式7120641022202101D 第28頁/共125頁 r22 r3 + r2 , r4 - 2r293005300111021012 71206410111021012 第29頁/共125頁 r4( -3 ) , r3r4 r4+3r353003100111021016 40003100111021016 24 第30頁/共125頁dc3b6a10cb3a6ba3adc2b3a4cb2a3ba2adcbacbabaadcbaD cb3a6ba3a0cb2a3ba2a0c

15、babaa0dcbaD ba3a00ba2a00cbabaa0dcba 例 9 計算行列式 解 從第 4 行開始，后行減前行得，2334rrrr 第31頁/共125頁a000ba2a00cbabaa0dcba 34rr4a 第32頁/共125頁 例 10 計算行列式axxxxaxxxxaxx3ax3ax3ax3aD axxxxaxxxxaxxxxaD 解 各行都加到第一行，第33頁/共125頁axxxxaxxxxax1111x3a)(xa0000 xa0000 xa01111x3a)( 3xax3a 各行都減第一行的 x 倍第一行提取公因子( a+3x )第34頁/共125頁 6 行列式按行（

16、列）展開 在 n 階行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列 Aij = ( 1 ) i+j Mij 記成 Mij , 稱為元素 aij 的余子式. 稱它為元素 aij 的代數(shù)余子式. 劃去, 剩下的( n 1 )2 個元素按原來的排法構成的 n 1 階行列式, 記 例1 三階行列式 323231232221131211aaaaaaaaa中元素 a23 的余子式為第35頁/共125頁3231121123aaaaM 元素 a23 的代數(shù)余子式為23233223MM1A )( 例2 四階行列式 103032x115201101 中元素 x 的代數(shù)余子式為10

17、01501111A2332 )(= 5第36頁/共125頁ji0AaAaAanjnij2i2j1i1 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元 或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應.n,2 , 1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 或.n,2 ,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 的代數(shù)余子式乘積之和，即素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即 定理 3推論第37頁/共125頁 引理 在行列式 D 中，如果它的第 i 行中除 aij 外其余元素都為0, 即 D = aij Aijnnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD

18、那么nn2n1nn2222111aaaaaa00aD 證明 先證 aij 位于第 1 行，第 1 列的情形，即第38頁/共125頁由行列式的定義，得 n21n21npp2p1ppptaaaD1 )( n2n2npp2ppt11aaa1 )( n211n21n2n2npp2p11pppptnpp211pp1taaaaaa11 )()(1111Ma 1111Aa 再證一般情形，設 nnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把 aij 調(diào)到左上角，得行列式第39頁/共125頁aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaann1jn1jn1nnjn1i1j1i1j1i11i

19、j1in1i1j1i1j1i11ij1in11j11j111j1ij10000D ,利用前面的結果，得ijij1MaD 于是1ji11j1iDDD11)()()()( 所以引理成立.ijjiijMa1)( ijijAa 第40頁/共125頁.n,2 , 1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 定理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應 證 因為 或n21jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1, nn2n1nin2i1in11211aaaa000a000aaaaD 的代數(shù)余子式乘積之和，即第41頁/共125頁椐引理，就得到nn2n1ninn11211nn2n1n2in11211

20、nn2n1n1in11211aaaa00aaaaaa0a0aaaaaa00aaaa .n,2 ,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 類似地可得.n,2 ,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 第42頁/共125頁 例 3 計算四階行列式 x00yx00yx1xD114)( 解 按第 1 列展開，有x00yyx000yx000yxD4 yx00yx00y1y14 )(44yx 第43頁/共125頁例 4 計算四階行列式 ba000baba0baba1baD114)(解 按第 1 行展開，有ba00ba0baba00baba0ba00baD4 00bababa0baba01ba41

21、)(第44頁/共125頁對等式右端的兩個 3 階行列式都按第 3 行展開，得babababababaD22 )()(224ba2 5021011321014321D 解 c3 - c1 c4 - 2c1 例 5 計算四階行列式第45頁/共125頁 71264122211D12 7126411112 712641111121D 第1 行提取 2，第 2 行提取 1按第 2 行展開得7121641300012221D 第46頁/共125頁93532 9353112D11 40532D 按第 1 行展開 r2 + r1= 249325310012D c2 - c1 ，c3 - c1第47頁/共125

22、頁 例 6 證明范德蒙（Vandermonde ） 行列式證 用數(shù)學歸納法. 12212xxxx11D nij1jixx)(1nn1n21n1n21nxxxxxx111D 所以當 n=2 時（*）式成立. 假設對于 n 1 階范德蒙 ri x1ri -1 , i = n , n 1 , 2 ,有因為 對 n 階范德蒙行列式做運算 行列式等式成立.第48頁/共125頁 )()()()(1n2nn132n3122n21nn1331221n1312nxxxxxxxxx0 xxxxxxxxx0 xxxxxx01111D 按第 1 列展開后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得2nn2n32n2n3

23、21n1312nxxxxxx111xxxxxxD )()(第49頁/共125頁椐歸納法假設，可得歸納法完成.1n1n1312nDxxxxxxD )()()()()( nij2ji1n1312nxxxxxxxxD nij1jixx)(ji0AaAaAanjnij2i2j1i1 推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元 或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i 元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即第50頁/共125頁例7 計算 行列式323232cccbbbaaa222cc1bb1aa1abc bcacababc 解323232cccbbbaaa第51頁/共125頁 先以 3 階行

24、列式為例，例如為了證得333231232221131211aaaaaaaaaD 3332312322213332311aaaaaaaaaD 0AaAaAa133312321131 因為就就得得到到分分別別換換成成將將上上式式中中的的333231131211a,a,aa,a,a, 0aaaaaaaaaD3332312322213332311 所以. 0AaAaAa133312321131 又131312121111AaAaAa 133312321131AaAaAa 第52頁/共125頁 設行列式 D = det (aij ) ，nn1nin1iin1in1111aaaaaaaaD. 0D1 所所

25、以以jnin2j2i1j1i1AaAaAaD 0AaAaAajnin2j2i1j1i 因為行列式 D1中第 i 行與第 j 行元素對應相同，把行列式 D1 按第 j 行展開，有類似地，也可以證明另一個式子.所以jiji 行行第第行行第第推論的證明取行列式第53頁/共125頁 7 Cramer 法則 1bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnn22n11n2nn22221211nn1212111 0aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 設線性方程組 定理4 （Cramer 法則 ）若線性方程組（1）的系數(shù)行列式不即等于零，第54頁/共125頁其中.n,2 ,1jaab

26、aaaabaaaabaaDnn1j ,nn1j ,n1nn21j ,221j ,221n11j ,111j ,111j 2,DDx,DDx,DDxnn2211 則方程組有唯一解第55頁/共125頁n,2 , 1ibDDaDDaDDainin22i11i n, 2 , 1iaabaabaabnn1nnn1111in1ii 證 先證（2）是（1）的解，即要證明 為此看 n+1 階行列式第1行展開，注意到，其第一行中 aij 的代數(shù)余子式為首先，因為第 1 行與第 i+1 行相同,所以它的值為零. 再把它按第56頁/共125頁nin11iiDaDaDb0 nn1jn1jn1nnn21j21j2212

27、n11j11j11111j1aaaabaaaabaaaab1 ,)()(n,2 , 1ibDDaDDaDDainin22i11i DDx,DDx,DDxnn2211 故有 因而 即是線性方程組（1）解.jj1j2jDD11 )()(第57頁/共125頁 3 個恒等式333323213123232221211313212111bcacacabcacacabcacaca A12 , A22 , An2 分別乘以上的 3 個等式得323332332323213231222322232222212221121312132121211211AbcAacAacAaAbcAacAacAaAbcAacAacA

28、a 323222121332332223121323232222212121323122211211AbAbAbcAaAaAacAaAaAacAaAaAa )()()(相加,得 設 x1= c1 , x2= c2 , x3= c3 是線性方程組（1）的解,于是有 第58頁/共125頁類似的可得,DDc11 .DDc33 .323222121333312322113111AbAbAbabaabaaba 于是,22DDc 也就是.DDc22 ,0AaAaAaDAaAaAa0AaAaAa323322231213323222221212323122211211 由于第59頁/共125頁 例1 用 Cr

29、amer 法則解線性方程組232130221444324214324321xxxxxxxxxxxxx141320310112204141D 解 因為第60頁/共125頁61320311112004111D2 41220310110204141D3 42320110102201141D4 所以.72x,72x,73x,715x4321 301322310112204141D1 第61頁/共125頁 0 x1xx0 xx1x0 xxx1321321321)()()( 30 xaxaxa0 xaxaxa0 xaxaxannn22n11nnn2222121nn1212111 定理 5 如果齊次線性方程

30、組的系數(shù)行列式 D0 ，那么它只有零解.下述齊次方程組有非零解？,取何值時取何值時例例 2第62頁/共125頁 解 根據(jù)定理 5 ，若此齊次線性方程組有非零解，則其系 23111111111D)(,.時時或或當當經(jīng)經(jīng)驗驗證證可可知知，得得由由03030D321 所述方程組確有非零解.行列式必為 0 .而第63頁/共125頁 第五章 相似矩陣及二次型 1 預備知識 向量的內(nèi)積 定義 1 設有 n 維向量, n21n21yyyyxxxx令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ,稱 x , y 為向量 x 與 y 的內(nèi)積. 內(nèi)積具有下列性質(zhì)： 1. x , y = y ,

31、 x ; ;y,xy,x. 2 3. x + y , z = x , z + y , z ; 4. x , x 0,其中 x，y，z 是為向量，.為為實實數(shù)數(shù) 易知, x , y = xTy .當且僅當時x = 0 時 x , x = 0.第64頁/共125頁 定義 2 非負實數(shù)稱為 n 維向量 x 的長. 向量的長具有性質(zhì)：,.0 x1 ;.xx2 .yxyx3 長為 1 的向量稱為單位向量.若向量 x 0 , .是是單單位位向向量量則則xx1 如果 x , y = 0 ，那么稱向量 x 與 y 正交.維單位向量維單位向量都是都是，例例3313131212100011 一組兩兩正交的非零向量

32、.;,0 x0 x 時時當當且且僅僅當當正交向量組: 2n2221xxxxxx ,第65頁/共125頁.,都正交都正交量量試求一個非零向量與向試求一個非零向量與向例例 121a111a221, 321xxxx設所求的向量為設所求的向量為解解 0 xx2x0 xxx321321 121111A 0 xxx231.即為所求即為所求取向量取向量 101x那么它應滿足, 010101由得第66頁/共125頁 規(guī)范正交向量組: 定理 1 正交向量組必線性無關. 證 設向量組 a1 , a2 , , ar 是正交向量組,使使r21 ,.0aaarr2211 左乘上式兩邊，得左乘上式兩邊，得以以T1a, 0

33、aa1T11 ,0aaa0a211T11 ，所所以以因因為為.01 因此必有因此必有 類似的可證. 0r32 于是向量組 a1 , a2 , , ar 線性無關.線性無關，線性無關，向量組向量組例例 0110013但不為正交向量組. 向量組 e1 , e2 , , er 為規(guī)范正交向量組，當且僅當 .,.,;,r21jiji0ji1eeji當當當當 若有一組數(shù) 由單位向量構成的正交向量組.第67頁/共125頁 設向量組 a1 , a2 , ar 線性無關，則必有規(guī)范正交向量組 正交化：;11ab 取取單位化：.,rrr222111bb1ebb1ebb1e 取取于是，e1 , e2 , , er

34、 是規(guī)范正交向量組，.,1r1r1rr1r222r2111r1rrbbbabbbbabbbbabab 且與 a1 , a2 , , ar ;,1112122bbbabab ;,222321113133bbbabbbbabab 等價.e1 , e2 , , er 與 a1 , a2 , , ar 等價.第68頁/共125頁.,規(guī)范正交化規(guī)范正交化把向量組把向量組例例 111a111a421;11ab 正交化：取正交化：取解解 11131. 11232.,: 11261bb1e11131bb1e222111取取再單位化再單位化e1 , e2 即為所求. aaaaa 111a5 321321為正交向

35、量組為正交向量組使使求向量求向量已知已知例例, 111 1111222bbbbaab,第69頁/共125頁, 正正交交都都與與向向量量因因為為向向量量解解132aa,a0 xxx321 取它的一個基礎解系 101b011b32,再把b2 , b3正交化即為所求a2 , a3 ., 011ba222223233aaababa, 101也就是取 定義 3 設 n 維向量 e1 , e2 , , er 是向量空間 V 的一個基,如果向量組 e1 , e2 , , er 為規(guī)范正交向量組，則稱 e1 , e2 , . , 01121. 21121向量組 a1 , a2 , a3 是所求正交向量組.er

36、 是 V 的一個規(guī)范正交基.所以對齊次方程組第70頁/共125頁 定義 4 如果 n 階矩陣 A 滿足 那么稱 A 為正交矩陣. n 階矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）向 設n 階矩陣 A = ( a1 , a2 , , an ) , 其中 a1 , a2 , , an 是 或者說, n 階矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列 A為正交矩陣，即是 ATA = E ,cossinsincos , 2121021210001 010100001都是正交矩陣. 例 6（行）向量組構成向量空間 Rn 的一個 規(guī)范正交基.A的列向量組. 量組是規(guī)范正交向量組.第71頁/共1

37、25頁由此可見， A 為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）向量.,., n21jiji0;ji 1aajTi當當當當亦即亦即 n21TnT2T1TaaaaaaAAE nTn2Tn1TnnT22T21T2nT12T11T1aaaaaaaaaaaaaaaaaa之之間間的的關關系系式式與與變變量量變變量量n21n21yyyxxx, nnn22n11nnnn22221212nn12121111ypypypxypypypxypypypx.,的線性變換的線性變換到變量到變量叫做從變量叫做從變量n21n21xxxyyy組是規(guī)范正交向量組.第72頁/共125頁 定義 5 若 P 為正交矩陣，則線性變換

38、x = Py 稱為正交變換. 線性變換的系數(shù)構成矩陣 ,nnijpP 于是線性變換（）就可以記為x = Py., n21n21yyyyxxxx其中其中 cossinsincosyyxyyx12211 32332211y21y21xy21y21xyx都為正交變換. 例 7第73頁/共125頁 若 線性變換 x = Py 為正交變換，a , b 為任意兩個向量.那么 .b,aPb,Pa 這是因為 ,b,abaPbPaPbPaPb,PaTTTT 特別的，.aPa 第74頁/共125頁 2 方陣的特征值與特征向量 定義6 設 A 是 n 階矩陣， 和 n 維非零列向量 p 1pAp0 ,的的特特征征值

39、值稱稱為為方方陣陣那那么么數(shù)數(shù)A0 非零向量 p 稱為 A 的對于特征值.的的特特征征向向量量0 nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaaEA稱為方陣 A 的特征多項式.0EA 方程方程稱為n 階矩陣 A 的特征方程. (1)式也可寫成 20pEA0 使得0 如果數(shù)如果數(shù)行列式次多項式，次多項式，的的是是n 第75頁/共125頁.)的的非非零零解解是是齊齊次次線線性性方方程程組組（的的特特征征向向量量0 xEAp00 求 n 階方陣 A 的特征值與特征向量的方法： 1 求出矩陣的 A 特征多項式,.EA 即計算行列式即計算行列式特征值. 的的就就是是根根的的解解特特征征方方程程方

40、方程程A0EA2n21 , ，解解齊齊次次線線性性方方程程組組0 xEA3i )( 它的非零解都是.的的特特征征向向量量特特征征值值i 例1 求矩陣 201034011A的特征值和特征向量. 解 A 的特征多項式為于是，,的根的根是它的特征方程是它的特征方程的特征值的特征值矩陣矩陣0EAA0 第76頁/共125頁 212201034011EA 所以，A 的特征值為 .,12321 由由時時，解解方方程程組組當當. 0 xE2A21 001014013E2A得基礎解系, 100p1,時時當當132 解方程組(A - E)x = 0.由 其中k為任意非零數(shù)., 000010001,11kp2的全部

41、特征向量為的全部特征向量為所以特征值所以特征值 第77頁/共125頁 101024012EA得基礎解系, 121p2,232kp1的全部特征向量為的全部特征向量為所以特征值所以特征值 例 2 求矩陣 142252001A的特征值和特征向量. 解 A 的特征多項式為 其中k是任意非零數(shù)., 000210101第78頁/共125頁 213142252001EA 所以，A 的特征值為 .,13321 時，時，當當31 解方程組(A - 3E)x = 0.由 442222002E3A得基礎解系, 110p131 所以特征值所以特征值的全部特征向量為 kp1 , ,時時當當132 解方程組(A - E)

42、x = 0. 由 其中k為任意非零數(shù)., 000110001第79頁/共125頁 242242000EA得基礎解系, 101p012p32132 所以特征值所以特征值的全部特征向量為 k p2 + l p3 , 其中數(shù) 的的特特征征值值，是是方方陣陣，設設定定理理A2m21 各不相等，各不相等，如果如果m21 證 對特征值的個數(shù) m 用數(shù)學歸納法.由于特征向量是非零向量，所以，m = 1 時定理成立.量是線性無關的， 令 p1 , p2 , pm 依次 為m 個不等的特征值.對對應應的的特特征征向向量量，m21 下面證明 p1 , p2 , pm p1 , p2 , pm , 00000012

43、1k, l不同時為零.依次是與之對應的特征向量, 那么 p1 , p2 , pm 線性無關.假設 m 1 個不同的特征值的特征向第80頁/共125頁線性無關.設有一組數(shù) x1 , x2 , , xm 使得 x1 p1 + x2 p2 + xm pm = 0 (1)成立.兩兩端端，得得乘乘等等式式以以)(1m 20pxpxpxmmm1mm1m1m1. 以矩陣 A 左乘式 (1) 兩端,得 30pxpxpxmmm1m1m1m111. （3）式減（2）式得.)()(0pxpx1mm1m1m1m11 根據(jù)歸納法假設， p1 , pm -1 線性無關，.)()(0 xxm1m1mm11 ,00m1mm1

44、 但但所以 , x1 = 0 , . , xm 1= 0. 這時（1）式變成， xm pm = 0 .因為 pm 0，所以只有xm = 0 .這就證明了p1 , p2 , pm 線性無關. 歸納法完成，定理得證.于是第81頁/共125頁,的的特特征征值值是是設設例例A321 p1 , p2 依次是與之對應的 ,21 若若那么向量組 p1 , p2 線性無關證 設有一組數(shù) x1 , x2 使得 x1 p1 + x2 p2 = 0 (1)成立.兩兩端端，得得乘乘等等式式以以)(12 20pxpx222121. 以矩陣 A 左乘式 (1) 兩端,得 30pxpx222111. （3）式減（2）式得.

45、)(0px1121 ，因為因為0p0112 所以 x1 = 0 .這樣（1）式變成， x2 p2 = 0 .因為 p2 0，所以只有x2 = 0 .這就證明了p1 , p2 線性無關.特征向量，第82頁/共125頁AA4 是是為為任任意意常常數(shù)數(shù)，證證明明的的特特征征值值，是是方方陣陣設設例例的特征值，的特征值，是是因為因為證證A 所以有向量 p 0 使，. pAp 于是，.)()(ppA .的的特特征征值值是是所所以以A 求上三角矩陣 練 習的特征值與特征向量. 100020321A的特征值第83頁/共125頁 3 相似矩陣 定義 7 設 A , B 都是 n 階矩陣，P -1AP = B

46、,則稱矩陣 A 與 B 相似，可逆矩陣 P 稱為把 A 變成 B 的相似變換 則 A 與 B 的特征多項式相同,從而 A 與 B 的特征值也相同. 證 因為 A與 B 相似， 故PEPAPPEB11)( PEAP1)( PEAP1 .EA 定理 3 若 n 階矩陣 A與 B 相似， 所以有可逆矩陣 P，使 P -1AP = B , 若有可逆矩陣P ，使證畢.矩陣.第84頁/共125頁 n21 相似，.個個特特征征值值的的即即為為，則則nAn21 ,個個特特征征值值的的即即是是對對角角矩矩陣陣，因因為為證證nn21 由定理 3 知，.個個特特征征值值的的也也就就是是，nAn21 定理 4 n 階

47、矩陣 A 與對角矩陣相似的充分必要條件是: 定理4的證明 如果可逆矩陣 P, 使 為對角矩陣，為對角矩陣， APP1. PAP 若記矩陣 也就是n 個線性無關的特征向量. 推論 若 n 階矩陣 A 與對角矩陣 推論 如果 n 階矩陣A的特征值互不相等， 則A與對角矩陣相似A 有P = ( p1，p2 , , pn ) , 第85頁/共125頁A( p1 , p2 , , pn ) = ( p1 , p2 , , pn ) n21 即為 (A p1 , A p2 , , A pn ) = nn2211ppp ,.,n21ipApiii 于于是是有有，再由 P 是可逆矩陣便可知， 反之，如果 n

48、階矩陣 A 有 n 個線性無關的特征向量 p1 , p2 , , 于是，應有數(shù)使使，,n21 n21ipApiii, 以向量組 p1 , p2 , , pn 構成矩陣 P = ( p1，p2 , , pn ) , 則P , PAP 且且構成的對角構成的對角，是以是以其中其中n21 矩陣，, APP1也就是，也就是，即 A與對角矩陣相似.p1 ,p2 , , pn 就是 A 的 n 個線性 其中 p1 , p2 , , pn 是 P 的列向量組, 就有為可逆矩陣，無關的特征向量. pn ,第86頁/共125頁 2 例1中的 3 階矩陣 201034011A只有 2 個線性無關的特征向量， 2 例

49、2中的矩陣 142252001A是 A 的特征值 3 的線性無關的特征向量, 110p1 所以它不可能與對角矩陣相似.第87頁/共125頁, 101p012p32是 A 的特征值 1 的線性無關的特征向量. P = ( p1 , p2 , p3 ) = 于是， 3 階矩陣A 恰有 3 個線性無關的特征向量 p1 , p2 , p3 ，則 P 為可逆矩陣，且P -1A P = 101011120 113所以它能與對角矩陣相似.令第88頁/共125頁 例 1 判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，求出相似 112202213A解 A 的特征多項式為 11222213EA|110222131 )(

50、1102221321)( 因此 A 的特征值為.,10321 由由時時，解解方方程程組組當當. 0 xE0A01 變換矩陣和對角矩陣第89頁/共125頁 112202213A 000110011得基礎解系,111p1 ,時時當當132 解方程組(A - E)x = 0.由 212212212EA得基礎解系 0000001211/ 101p0121p32,/第90頁/共125頁令 1010111211P/則 可逆矩陣 P 為所求相似變換矩陣, 且 100010000APP1于是，3 階矩陣 A有 3個線性無關的特征向量，所以它能與對角矩陣相似.第91頁/共125頁 例2 設 2 階矩陣 A 的特

51、征值為1, 5, 與特征值對應的特征 ,TT1211 求 A . 解 因為 2 階矩陣 A 有2個互異的特征值， 1121P取應有 5001APP1所以1P5001PA 3131323150011121/ 1243 據(jù)定理 4 的推論，A 能與對角矩陣相似.向量分別為第92頁/共125頁 例3 社會調(diào)查表明，某地勞動力從業(yè)轉(zhuǎn)移情況是：在從農(nóng) 解 到2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞 542015141 5420195143 如果引入 2 階矩陣201aaA12ij/),( 其中其中表示每年非農(nóng)從業(yè)人員中有1/20改為從農(nóng)工作. 43a21/ 表示每年從農(nóng)人員中有3/4改為從事非

52、農(nóng)工作. 于是有 20194320141A/業(yè)情況以及經(jīng)過多年之后該地勞動力從業(yè)情況的發(fā)展趨勢員各占全部勞動力的1/5和4/5，試預測到2005年底該地勞動力從人員中每年有3/4改為從事非農(nóng)工作，在非農(nóng)從業(yè)人員中每年有1/20改為從農(nóng)工作. 到2000年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人動力的百分比分別為 和第93頁/共125頁再引入 2 維列向量,其分量依次為到某年底從農(nóng)工作和從事非農(nóng) 5451x/表示到2000年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞如向量那么，2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作 545120194320141/于是，到2005年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部

53、勞動力的百分比應為, xA5 k 年后該地勞動力的從業(yè)情況可由.而得而得計算計算xAk矩陣A的特征多項式Ax 100911009/ 5420195143542015141工作人員各占全部勞動力的百分比動力的1/5 和4/5人員各占全部勞動力的百分比就可由下述運算得出第94頁/共125頁511/ 求特征值求特征值對應的特征向量， 11得得12 求特征值求特征值對應的特征向量， 151得得, 15111P取矩陣取矩陣則 P 為可逆矩陣，./ 10051APP1所以.,/151A21 的的特特征征值值得得矩陣相似.)(|11520194320141EA , 11115161P1因為因為據(jù)定理4的推論

54、， A 能與對角且使得第95頁/共125頁,)/(/xP10051PxP10051PxA15155 151151115)/( 5451/ 11115161 類似的，第 k 年底該地勞動力的從業(yè)情況為 5451111151005115111161xAkk/)/( 66511155111161按此規(guī)律發(fā)展，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞動力的百分比趨于 1k1kkkkk511155111161545151515511155115151161第96頁/共125頁 例 4 如果 1011B1001A,于是 A 與 B 的特征多項式 相同，但 A 與 B 不相似. 21EBEA 特征多項

55、式相同的矩陣未必相似. 151161即 ，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動 100941006/力的6/100 和 94/100.那么第97頁/共125頁 4 對稱矩陣的相似矩陣定理5 實對稱矩陣的特征值為實數(shù).p 為 對應的特征向量. ppA 于是有 , ppAppAppTTT pppAppApAppTTTTT 及及兩式相減，,)(0ppT 得得因為 p0,0ppT 所所以以，故故 .為實數(shù)為實數(shù)即即 的兩個特征值，的兩個特征值，是實對稱矩陣是實對稱矩陣設設A21 , 則 p1 與 p2 正交.,21 若若p1, p2 依次是它們對應的特征向量.的特征值，的特征值，是實對稱

56、矩陣是實對稱矩陣設設證證A 即定理 6 第98頁/共125頁 定理 7 設 A 為 n 階對稱矩陣 , 線性無關的特征向量. . 0pp2T121 ，因為因為21 ,0pp2T1 故故即 p1與 p2 正交.的特征方程的的特征方程的是是A ，的的秩秩則則矩矩陣陣rnEAR EA )( 從而特征值從而特征值 恰有 r 個)(1ppA111 因為 A 是實對稱矩陣，2T11pp )( 所以2T1pAp )( 于是2T122T1ppApp )( 證 由已知有r 重根,)(2ppA222 T1p以以 左乘（2）式的兩端得)(2T1App2T11pp 第99頁/共125頁，的的互互不不相相等等的的特特征

57、征值值為為設設證證m21A 重數(shù)依次為 r1 , r2 , , rm , 于是, r1 + r2 + + rm= n . 恰有 ri 個線性無關的實特征 i 對對應應特特征征值值向量, 把它們正交單位化，即得 ri 個單位正交的特征向量, i =1,2， , m .由 r1 + r2 + + rm= n . 知這樣的特征向量恰有 n 個.又實對稱矩陣不等的特征值對應的特征向量正交( 根據(jù)定理6 )，故這 n 個特征向量構成規(guī)范正交向量組.以它們?yōu)榱袠嫵删仃?P ,它們的定理 5及定理 7 知，根據(jù) 則為 P 正交矩陣，并有 PAP1,mm11rr 個個個個的的對對角角元元素素含含其其中中對對角

58、角矩矩陣陣恰 是 A的n 個特征值. 定理 8 設 A 為 n 階對稱矩陣，則必有正交矩陣 P ,使 PAP1 其中其中是以 A 的 n 個特征值為對角元素的對角矩陣.第100頁/共125頁 APPP210120005A11，使，使，求一個正交矩陣，求一個正交矩陣設設例例的的特特征征多多項項式式為為解解A. 531321 ，故的特征值故的特征值時，時，當當11 000 xxx110110004321由由 210120005EA),)()( 531為對角矩陣第101頁/共125頁, 110 xxx321解得基礎解系解得基礎解系.21210p1 單位化得單位化得時，時，當當32 000 xxx31

59、0130000321由由時，時，當當53 000 xxx110110002321由由, 110 xxx321解得基礎解系解得基礎解系.21210p2 單位化得單位化得第102頁/共125頁于是得正交矩陣 P = ( p1, p2, p3 ) 0212102121100且使得.531APPAPPT1 , 001xxx321解得基礎解系解得基礎解系. 001p3單位化得單位化得第103頁/共125頁 APPP111111111A21，使，使，求一個正交矩陣，求一個正交矩陣設設例例EA .,30321 故得特征值故得特征值,),0 xE0A021 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（時時當當 , 1

60、01b011b21解得基礎解系解得基礎解系將其規(guī)范正交化. 111111111,)(23 解 A 的特征多項式為為對角矩陣第104頁/共125頁,)0 xE3A33 （時，解齊次線性方程組時，解齊次線性方程組當當 1212101121101bbbbbbbbbbbbq11T12T121112122,再單位化得 626161p02121p21,正交化： 取, 011bq11第105頁/共125頁于是得正交矩陣 P = ( p1 , p2 , p3 ) 31620316121316121且使得.300APPAPPT1 , 111解得基礎解系解得基礎解系. 313131p3單位化得單位化得第106頁/