圓錐曲線知識點整理

1、名師精編_ <秀資料高二數(shù)學(xué)圓錐曲線知識整理解析幾何的基本問題之一：如何求曲線（點的軌跡）方程。它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡 類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代 入法、交軌法、參數(shù)法等求軌跡的方法外，通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的，側(cè)重于數(shù)的軌跡方程。因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標(biāo)有關(guān)的方程（等量關(guān)系） 運算，一是尋找與動點有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運用。0在基本軌跡中，除了直線、圓外，還有三種圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線。1、三種圓錐曲線的研究 'I

2、PF |（1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集：dPlJ-i-eendF為定點，d為P到定直線的距離，如圖。因為三者有統(tǒng)一定義，所以，它們的一些性質(zhì)，研究它們的一些方法都具有規(guī)律性。當(dāng)0<e<1時，點P軌跡是橢圓；當(dāng) e>1時，點P軌跡是雙曲線；當(dāng) e=1時，點P軌跡是拋物線。（2） 橢圓及雙曲線幾何定義：橢圓：P|PFi|+|PF2|=2a，2a>|FiF2|>0, Fi、F2為定點，雙曲線 P|PFi|-|PF2|=2a, |FiF2|>2a>0, Fi，F(xiàn)2 為定點。（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的，固有的性質(zhì)，不因為

3、位置的改變而改變。定性：焦點在與準(zhǔn)線垂直的對稱軸上橢圓及雙曲線中：中心為兩焦點中點，兩準(zhǔn)線關(guān)于中心對稱；橢圓及雙曲線關(guān)于長軸、短軸或?qū)嵼S、 虛軸成軸對稱，關(guān)于中心成中心對稱。（4）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及解析量（隨坐標(biāo)改變而變）舉焦點在x軸上的方程如下：橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程2 2x . y+ =i2 . 2ab(a>b>0)2 2xy=i2 .2ab(a>0, b>0)2y =2px (p>0)頂點(也，0)(0, ±3)(±a, 0)(0, 0)焦占八'、八、（乂，0）(P , 0)2準(zhǔn)線2X=± cX2中心(0, 0)焦半

4、徑P（xo, y。）為圓錐曲線上一點，F(xiàn)i、F2分別為左、右焦點|PFi|=a+exo|PF2|=a-exoP在右支時：|PFi|=a+exo|PF2|=-a+exoP在左支時：|PFi|=-a-exo|PF2|=a-exo|PF|=xo+ P2總之研究圓錐曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌名師精編_ <秀資料 握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算。2、直線和圓錐曲線位置關(guān)系(1) 位置關(guān)系判斷：法(適用對象是二次方程，二次項系數(shù)不為0 )。其中直線和曲線只有一個公共點，包括直線和雙曲線相切及直線與雙曲線漸近線平行兩種情形；后一 種情形

5、下，消元后關(guān)于x或y方程的二次項系數(shù)為0。直線和拋物線只有一個公共點包括直線和拋物線相切及直線與拋物線對稱軸平行等兩種情況；后一種 情形下，消元后關(guān)于x或y方程的二次項系數(shù)為0。(2) 直線和圓錐曲線相交時，交點坐標(biāo)就是方程組的解。當(dāng)涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理；二是點差法。3、圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考，一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二 是建立不等式，通過解不等式求范圍。4、圓錐曲線的弦長公式橢圓：設(shè)直線與橢圓交于Pi(xi,yi),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，貝U|PiP2|=|xi-X2| (1 K2)或|PiP2|=|yi-y2

6、| (1 1/K2) K=(y 2-yi)/(X2-xi)=J(1 +k2)(Xi +X2)2 4x1X2雙曲線：設(shè)直線與雙曲線交于Pi(xi,yi),P2(X2,y2),且P1P2斜率為K，貝V|PiP2|=|xi-X2| #(1 +K2)或 |PiP2|=|yi-y2(VHt/KT) K=(y 2-yi)/(x2-xi)= J(1+k2)(Xi+X2)2 -4X1X2拋物線：(1)焦點弦：已知拋物線y2=2px,A(x i,yi),B(X2,y2),AB為拋物線的焦點弦，則|AB|=xi+X2+p 或|AB|=2p/(sin2： ) ：為弦 AB 的傾斜角或AB| 2P k 2 (k為弦A

7、B所在直線的斜率)1 +k設(shè)直線與拋物線交于Pi(Xi,yi),P2(X2,y2),且P1P2斜率為K，貝V|PiP2|=|xi-X2| J(1 +K2)或|PiP2|=|yi-y2“(1 +1/K2) K=(y 2-yi)/(x2-xi)=-.(1 k2)(XiX2)2 -4X1X2例題研究例1、根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。2 2 _(1) 與雙曲線 -y1有共同漸近線，且過點(-3, 2、. 39162 2(2) 與雙曲線X y1有公共焦點，且過點(3 2 , 2 )。164分析：2 2 4法一：(門雙曲線9 -16二1的漸近線為y yX令x=-3 , y=±4，因2(3 V4，

8、故點(-3, 2蟲)在射線y=4x (x<0及x軸負(fù)半軸之間,3名師精編優(yōu)秀資料雙曲線焦點在x軸上設(shè)雙曲線方程為2Xa22與=1 , (a>0, b>0)有*ba(3)2(2. 3)2解之得：雙曲線方程為2 X 64214（2）設(shè)雙曲線方程為2 x a2(a>0, b>0)a2a4b2 =4a2 b2 則(3、2)2=20解之得:(2a =12b2 =82雙曲線方程為12法二：（1）設(shè)雙曲線方程為（入勺(-3)29(2 .3)216雙曲線方程為（2）設(shè)雙曲線方程為x216 k 4 k'16k>0 'IF + k a0 丿(32)22216 -

9、k 4k"解之得:k=42雙曲線方程為112 8評注:與雙曲線與a22b- =1共漸近線的雙曲線方程為x2a（入工）當(dāng)40時，焦點在x軸上;當(dāng)入0時,2 2焦點在y軸上。與雙曲線令總'共焦點的雙曲線為的三個頂點，且T,求嵩的值。解題思路分析:當(dāng)題設(shè)涉及到焦半徑這個信息時，通常聯(lián)想到橢圓的兩個定義。法一：當(dāng)/ PF2Fi=90° 時,|PF1 | - |PF2 F622<| PF1 | 卅2 | +(2c)=5144|PF1, IPF2 匕33|PF1 |PF2|當(dāng)/卩汩卩:二仝。0時，同理求得|PFi|=4, |PF2|=2法二：當(dāng)/ PF2F1=900, x

10、P =名師精編_ 秀資料4-4yp=_3 : P( 5, -3)又 F2 ( . 5 , 0) |PF2|= 3313|PFi|=2a-|PF2|= 13334 P (士一(5, ±_(5 )。下略。55x* 2+y2=(j5)2當(dāng)/ FiPF2=90°，由丿x2 y2得:=193評注：由|PFi|>|PF21的條件，直角頂點應(yīng)有兩種情況，需分類討論。例3、已知x2+y2=1，雙曲線(x-1)2-y2=1，直線同時滿足下列兩個條件：與雙曲線交于不同兩點； 與圓相切，且切點是直線與雙曲線相交所得弦的中點。求直線方程。分析：選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把條件直線是圓的切線”切

11、點M是弦AB中點”翻譯為關(guān)于參數(shù)的方程組。法一：當(dāng)斜率不存在時，x=-1滿足;當(dāng)斜率存在時，設(shè) 直線與O O相切，設(shè)切點為:y=kx+bM，貝U |OM|=1kJ 1 =1 b2=k+1y =kx +b2 2(X -1)-y得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b 2=0當(dāng) k 工土且40 時，設(shè) A (X1, yj, B (x?, y?),則中點 M (x°, y°) , x1 +x22(1 kb)1 -k21 kb1 -k2,u k +byo=kxo+b=1 -k2k 二 3b332 2/ M 在O O 上 xo +yo =1222 2 (1+kb) +(k+b) =

12、(1-k )由得：k胚k =或3b=2 V332當(dāng)yoK時,代入(x-1)2-y-yo +xo =1可進一步化簡方程為:Xo + 1 yxyoyo2=1 得：(yo2-x°2)x2+2(xo-yo)2x-1=0由中點坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理得:222(1-2xo )x +2(xo +xo-1)x- 1=oxo 二筈1 .即1 2xo322xo -xo -2xo+1=0直線方程為：3或y于仆3法二：設(shè) M (Xo, yo),則切線 AB 方程 x°x+y°y=1當(dāng)y°=o時,xo=±1，顯然只有x=-1滿足；評注：不管是設(shè)定何種參數(shù)，都必須將形的兩個條

13、件(相切”和中點”)轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程組,名師精編_ <秀資料 所以提高閱讀能力，準(zhǔn)確領(lǐng)會題意，抓住關(guān)鍵信息是基礎(chǔ)而又重要的一步。2例4、A、B是拋物線y =2px （ p>0）上的兩點，且 OA丄OB ,（i）(2)(3)(4)分析:求A、B兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積; 求證：直線AB過定點；求弦AB中點P的軌跡方程；求厶AOB面積的最小值；設(shè) A (xi,yi), B (X2,y2),中點P (xo,yo)(i)k OA :Xi,kOB AX2/ OA 丄 OBkoAkoB =-1 yi2=2pxi,2y2 =2pX2/ yi MQ y20- yiy2=-4p2 yi 環(huán)2

14、xiX2+yiy2=02y2yiy2 -02p2 XiX2=4p(2)t yi2=2pxi, y22=2px2(yi-y2)(y什y2)=2p(xi-x2)yi -y2 _ 2pXr x2yi y2kAB :yi2py2直線AB :y -yi2pyi y2(x Xi)2pxyi y2yi2pxiyi y22pxy -yi y2yi2 -2pxi y°2yi y22yi = 2pxi,2yiy2 - -4p2px2-4Pyi y2y yiy2（2p） AB過定點（2p, 0），設(shè)M(2p, 0)2pk22(2pk , -2pk)2(3)設(shè) OA : y=kx，代入 y =2px 得：x

15、=0, x=1冋理，以代k得Bk2丄ixo =p(k +)k2iy。=P( -k)l. k- .2i . ik2-k2 =()k2 k k22即 yo =px o-2pxop(p)222中點M軌跡方程y =px-2p評注：充分利用（1 ）的結(jié)論。軌跡方程1、 求軌跡方程的幾個步驟：（建-設(shè)-列-化-證）a. 建系（建立平面直角坐標(biāo)系，多數(shù)情況此步省略）b. 設(shè)點（求哪個點的軌跡，就設(shè)它（x,y）c. 列式（根據(jù)條件列等量關(guān)系）d. 化簡（化到可以看出軌跡的種類）e. 證明（改成：修正）（特別是三角形、斜率、弦的中點問題）2、求動點軌跡方程的幾種方法a. 直接法：題目怎么說，列式怎么列。b. 定

16、義法：先得到軌跡名稱c. 代入法（相關(guān)點法）：設(shè)所求點（x，y）另外點（Xi, y2）找出已知點和所求點的關(guān)系c.參數(shù)法：（x,y ）中x,y都隨另一個量變化而變化 一消參e.待定系數(shù)法：先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程 一：定義法求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè) 中的幾何條件，通過坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時，要特 別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要動點滿足已知曲線定義時，通過待定系數(shù)法就可以直接得 出方程。5例1:已知 ABC的頂點A , B的坐標(biāo)分

17、別為（-4, 0）, （4, 0）, C為動點，且滿足sin B si nAsi nC,4 求點C的軌跡。55【解析】由sin B sin A sin C,可知b a c = 10，即| AC | | BC | = 10，滿足橢圓的定義。令442 211 ( x = _5)，圖形為橢2592 2橢圓方程為 務(wù)丫2 = 1，則a二5,c二4= b =3，則軌跡方程為a b圓（不含左，右頂點）?！军c評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。二：直接法此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例2: 一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求 AB中點P的軌跡方程？解設(shè)M點的坐標(biāo)

18、為（x, y）由平幾的中線定理：在直角三角形 AOB 中,OM=丄 AB 二1 2a 二 a,2 2=a, x2 y2.x2 y2M點的軌跡是以 O為圓心，a為半徑的圓周.1【點評】此題中找到了 OM= AB這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直接法有下列幾種情況: 21 ）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動點的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān) 系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設(shè)條件的等式：有時題中無坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式， 得出其軌跡方程。3）運用有關(guān)公式：有時要運用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動點坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即 得

19、其軌跡方程。名師精編_ 秀資料4) 借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時可借助平面幾何中的有關(guān)定理、 性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定 理的方法是求動點軌跡的重要方法 三：參數(shù)法此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3.過點P (2, 4)作兩條互相垂直的直線 ",-，若li交x軸于A點，I2交y軸于B點，求線段AB的 中點M的軌跡方程?！窘馕觥糠治?:從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點M的運動是由直線li引發(fā)的，可設(shè)出li的斜率k作為參數(shù)，建立動點M坐標(biāo)

20、(x, y)滿足的參數(shù)方程。解法1:設(shè)M (x, y),設(shè)直線li的方程為y 4 = k ( x 2), (k工0)1由Ii_l2,則直線2的方程為-4(x-2)k42.li與x軸交點A的坐標(biāo)為2,0), *與y軸交點B的坐標(biāo)為(0,)，kk M為AB的中點，2 一4k24 -2=i 一2k (k為參數(shù))消去 k, 得 x+ 2y 5= 0。另外，當(dāng)k= 0時，AB中點為M (i, 2),滿足上述軌跡方程；當(dāng)k不存在時，AB中點為M (i, 2),也滿足上述軌跡方程。綜上所述,M的軌跡方程為x + 2y 5 = 0。分析2：解法i中在利用kik2= i時，需注意燈、k2是否存在，故而分情形討論

21、，能否避開討論呢？ 只需利用厶PAB為直角三角形的幾何特性：i|MP | I AB I解法 2:設(shè) M (x , y),連結(jié) MP ,則 A (2x , 0), B (0 , 2y),/ li丄12 , PAB為直角三角形i由直角三角形的性質(zhì) ,| MP | AB |.廠2)2(廠4)2=2 心廠(2y)2化簡，得x+ 2y 5= 0,此即M的軌跡方程。分析3:設(shè)M (x , y),由已知li± l2 ,聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：kik2= i,即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用 M點坐標(biāo)表示A、B兩點坐標(biāo)。事實上，由 M為AB的中點，易找出它們的坐標(biāo)之間 的聯(lián)系。解法 3:設(shè) M (

22、x , y) , / M 為 AB 中點， A (2x , 0) , B (0 , 2y )。名師精編優(yōu)秀資料又 11, 12過點 P (2 , 4),且 1l 丄 12二 PA丄 PB,從而 kpA kpB = 1,而kPA4 一04 -2yPB2 -02打于化簡得X 20注意到li丄x軸時,12丄y 軸，此時 A (2, 0), B ( 0, 4)中點M (1, 2),經(jīng)檢驗，它也滿足方程 x + 2y 5= 0 綜上可知，點 M的軌跡方程為x + 2y 5= 0?！军c評】1解法1用了參數(shù)法，消參時應(yīng)注意取值范圍。解法2,3為直接法，運用了 kpAkPB = 1, MP |= 1 | AB

23、 |2 這些等量關(guān)系。用參數(shù)法求解時，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有 向線段的數(shù)量，直線的斜率，點的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特別注意它 的取值范圍對動點坐標(biāo)取值范圍的影響練習(xí)一、選擇題：6拋物線y =x上的點到直線2x - y = 4的最短距離是()3匯=5A. 5B. 5C.52 28設(shè)卩2是橢圓496的兩個焦點，P是橢圓上的點，且'PRF2的面積為()A.4B.6C.2 2PF1 : PF2 = 4: 3D.4.22 2x. y_2 ,210設(shè)P為橢圓a b=1()、上 點, 兩焦點分別為F,F2，如果卩時2-75&

24、lt;6代3B. 3C2D. 2 PF2F1 =15'，則橢圓的離心率為()、填空題：本大題共 5小題,每小題5分，共25分將答案填在題中橫線上14過橢圓2 2X . y164內(nèi)一點"(彳1)引一條弦，使弦被M點平分，則這條弦所在的直線方程是215動點P在曲線y=2x +1上移動，則點P和定點A(0,T)連線的中點的軌跡方程是 三、解答題(本大題共6個大題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16. (2)已知雙曲線的一條漸近線方程是x 20，并經(jīng)過點2,2，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.18.（本小題滿分13 分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到兩點（°，

25、- 3）、© -3）的距離之和等于4.設(shè) 點P的軌跡為C .（I）求曲線C的方程；（II）設(shè)直線 八雙1與C交于A B兩點，若O-OB，求k的值32°.已知兩點（°， 3） ,（°， -3） 曲線G上的動點P（x,y）使得直線pa、PB的斜率之積為_4.（I）求G的方程;（II）過點C© 一1）的直線與G相交于E、T TF兩點，且EC = 2CF，求直線EF的方程.21.已知兩點耳(- 2,0) 、F2(、.2，°)，曲線 c 上的動點p(x,y)滿足pF1pF2 |PF1|1 PF2l=2（I）求曲線C的方程；（II）設(shè)直線 1&#

26、176;"+血2°）,對定點 A（°,-1）, 是否存在實數(shù) m ,使直線1與曲線C有兩個不同的交點M、N，滿足|AM F| AN I?若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由.名師精編優(yōu)秀資料20)圓錐曲線測試?yán)砜拼鸢敢?、選擇題(滿分 50分，每題5分)12345678910ACCCBBABCA二、填空題(滿分 25分，每題5 分)214. x 2y-4=o 15. y =4x2 216解：(2)設(shè)雙曲線方程為：x - 4y =入,雙曲線經(jīng)過點(2, 2), 入=22 *- 4? 22-122y故雙曲線方程為： 32=11212分18解：(I)設(shè) P (x.y),由橢圓定義可知，點故曲線C的方程為P的軌跡C是以為焦距，長半軸為2的橢圓.它的短半軸2x2-14(n)設(shè) A(xi,y1),B(X2,y2)，其坐標(biāo)滿足f