北京交通大學(xué)(數(shù)字信號處理研究生課程)ch5_2FIR窗函數(shù)法

1、近代數(shù)字信號處理近代數(shù)字信號處理(Advanced Digital Signal Processing) 電子電子信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院信號與圖像處理研究室 吉伯斯吉伯斯(1839-1903 )出生于康涅狄格新港口市，1854-1858年在耶魯大學(xué)學(xué)習(xí),獲學(xué)士學(xué)位。1863年(美國提供授予博士學(xué)位的第3年),在耶魯大學(xué)的設(shè)菲爾德學(xué)院獲得工程學(xué)博士學(xué)1871-1903在耶魯作數(shù)學(xué)物理學(xué)的教授（18711880年約翰斯霍普金斯雇用他時沒有工資）。1879年，被選入國家科學(xué)協(xié)會。 問題：理想濾波器的問題：理想濾波器的Hd (ejW W )已知，設(shè)計一物理可實(shí)已知，設(shè)計一物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，使其頻率

2、響應(yīng)逼近現(xiàn)的濾波器，使其頻率響應(yīng)逼近Hd (ejW W )。 W WW WW Wde )e (21jjd2dkHkh hd k一般情況下是非因果無限長序列，一般情況下是非因果無限長序列，需對其進(jìn)行需對其進(jìn)行和和處理。處理。(1) 將將hdk 關(guān)于關(guān)于k =0對稱截短，即對稱截短，即hk= hdk, - -L k L(2) 將其右移將其右移L使其成為因果系統(tǒng)使其成為因果系統(tǒng)hk= hdk - - L， 0 0 k 2L只能設(shè)計只能設(shè)計I型或型或III型線性相位型線性相位FIR濾波器濾波器(1)確定線性相位因子確定線性相位因子ej(- -0.5MW W+ +b b) )和幅度函數(shù)和幅度函數(shù)Ad (

3、W W )(2) 計算計算hdk ，取其在，取其在0 k M范圍的值范圍的值hk= hdk， 0 0 k M可設(shè)計四種類型的線性相位可設(shè)計四種類型的線性相位FIR濾波器濾波器2d12d02d1khkhkhkhMkMkk+-+-+WWWd)e ()e (212jjd2HH-2d2khkhk-結(jié)論：上述方法所設(shè)計的濾波器是在積分平方結(jié)論：上述方法所設(shè)計的濾波器是在積分平方 誤差最小意義下的最佳濾波器。誤差最小意義下的最佳濾波器。 1根據(jù)要求確定線性相位根據(jù)要求確定線性相位FIR濾波器的類型濾波器的類型2確定理想濾波器的幅度函數(shù)確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W W)和相位和相位f fd(W W) f

4、 fd(W W)= - -0.5MW W +b b3計算計算IDTFT得得hdkWWWWfdee )(21j)(jd2ddkAkh4截短截短hdkhk= hdk， 0 0 k M設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位性相位FIR濾波器。濾波器。 (1) 確定線性相位確定線性相位FIR濾波器類型：可選用濾波器類型：可選用I型或型或II型型(2) 確定理想濾波器的幅度函數(shù)確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W W)和相位和相位f fd(W W) 其其他他 0 1)(2c1cdW WW WW WW WAf fd(W W)= - -0.5MW W 設(shè)計一個幅度

5、響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位性相位FIR濾波器。濾波器。 WWWWfdee )(21j)(jdddkAkh-(3) 計算計算IDTFT得得hdkWWWWWWWWde21de21)5 . 0(j)5 . 0(jc21c1c2cMkMk-+)5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cMkMk-WWWW(4) 截斷截斷hdkdkwkhkhN長度為長度為N=M+1的矩形窗的矩形窗設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位性相位FIR濾波器。濾波器。 khk00A(W)W0.30.7單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)

6、 幅度函數(shù)幅度函數(shù) W Wc1=0.3 ，W Wc2=0.7 ，MM3030 設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位性相位FIR濾波器。濾波器。 當(dāng)當(dāng)W Wc1=0，濾波器為理想低通，濾波器為理想低通 )5 . 0(Sac22cdMkkh-WW當(dāng)當(dāng)W Wc2= ，濾波器為理想高通，濾波器為理想高通( (M必須為偶數(shù)必須為偶數(shù)) ) )5 . 0(Sa5 . 0c11cdMkMkkh-WW)5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cdMkMkkh-WWWW051-40-30-21-100M=14M=30矩形窗設(shè)計的矩形窗

7、設(shè)計的FIR低通低通濾波器在不同階數(shù)時的幅度函數(shù)濾波器在不同階數(shù)時的幅度函數(shù)(W Wc= /2) 所設(shè)計濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，所設(shè)計濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的且最大波紋大約為幅度的9%9%，這個現(xiàn)象稱為，這個現(xiàn)象稱為Gibbs 現(xiàn)象?，F(xiàn)象。 由于所設(shè)計濾波器的單位脈沖響應(yīng)由于所設(shè)計濾波器的單位脈沖響應(yīng)dkwkhkhNN=M+1利用利用DFTF的性質(zhì)可得所設(shè)計的性質(zhì)可得所設(shè)計FIR濾波器的幅度函數(shù)濾波器的幅度函數(shù) A(W W)逼近逼近Ad(W W)的好壞，取決于窗函數(shù)的的好壞，取決于窗函數(shù)的W(W W) WWd)()(21)(d-

8、WAA)2/sin()2/sin(e)e (2/ )1(jjWWWWNWN-2NN04NW3N)(WW矩形窗的幅度矩形窗的幅度函數(shù)函數(shù)W(W W)1. W(W W)的主瓣寬度的主瓣寬度 4 /N2. 旁瓣相對衰減為常數(shù)旁瓣相對衰減為常數(shù)N/20c-WWA(W W)主要由主瓣的面積確定主要由主瓣的面積確定A(W W)的波動由旁瓣引起的波動由旁瓣引起)(W-W-cW-cW)(d A)(W WAWcW-1NN/2/2cc+-WWWA(W W)逐漸減小，形成了濾波器的過渡帶逐漸減小，形成了濾波器的過渡帶 )(W-W)(d A-cW-cW)(W WAWcW-1)(W-W)(d A-cW-cWcW WW

9、W )(W WAWcW-10.5A(W Wc)= =0.5 Nc/2+ + W WW WA(W W)完全由旁瓣的面積確定完全由旁瓣的面積確定 )(W-W)(d A-cW-cW)(W WAWcW-10.5 矩形窗截斷產(chǎn)生的波峰大約是矩形窗截斷產(chǎn)生的波峰大約是9%，故用矩形窗設(shè)，故用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減計出的濾波器阻帶最大衰減 - -20lg (9%) 21dB )(W WAWcWcW-10.5N41. 窗函數(shù)的主瓣寬度決定了窗函數(shù)的主瓣寬度決定了H(ejW W )過渡帶的寬度過渡帶的寬度, ,窗函數(shù)長度窗函數(shù)長度N增大，增大， 過渡帶減小。過渡帶減小。2. 旁瓣的大小決定了旁瓣的大小

10、決定了FIR濾波器在阻帶的衰減濾波器在阻帶的衰減用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為 20lg (9%) - -21dB 其他其他 001MkkwAp =- -20lg(1- - p) 0.82dB, As = - -20lg( s ) 21dB10.50.091.09WWcN8 . 1p=s=0.09-其他 00)/2cos(5 . 05 . 0MkMkkwAp 0.056dB, As 44dBWWcN2 . 60.006411.00641-0.0064 p= s =0.0064由由Hann窗與矩形窗的比較窗與矩形窗的比較(W Wc= /2 , M=38)

11、051-80-60-44-200Square HannGain dB-其它 00)/2cos(46. 054. 0MkMkkwAp 0.019dB, As 53dBWWcN0 . 71.00220.002211-0.0022 p= s =0.0022HammingHamming窗與窗與Hann窗的比較窗的比較(W Wc= /2 , M=38)01-70-52-44-200Hann Hamming+-其它 00)/4cos(08. 0)/2cos(5 . 042. 0MkMkMkkwAp 0.0017dB，As 74dBW

12、WcN4 .111.00020.00021-0.0002 p= s =0.0002BlackmanBlackman窗窗與與HammingHamming窗的比較窗的比較(W Wc= /2 , M=38)01-100-75-52-200Hamming BlackmanMkIMkIkw - - - 0 ,)()/211(020b bb bb b 是一可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)窗函數(shù)的形狀。是一可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)窗函數(shù)的形狀。I0 0 x ): ): the modified zeroth-order Bessel function.I0 0 x ) )可用冪級數(shù)

13、表示為可用冪級數(shù)表示為210!)2/(1)( + + nxxInn一般求一般求20項就能達(dá)到所需精度。項就能達(dá)到所需精度。0246810121416182000.51b b=00246810121416182000.51b b=10246810121416182000.51b b=3A= - -20lg (min p， s )21 ,285. 295. 7sp-AAMWW-+-21 , 05021 ),21(07886. 0)21(5842. 050 ),7 . 8(1102. 04 . 0AAAAAAb用用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的I型線性相位型線性相位FIR低低通

14、濾波器。通濾波器。W Wp=0.2, W Ws=0.4 ，Ap=0.3dB, As=50dB1. 估計估計b b b b 0.1102 0.1102As- -8.7)2. 估計濾波器的階數(shù)估計濾波器的階數(shù)M 285. 295. 7spWW-sAM3. 設(shè)定理想低通的截頻設(shè)定理想低通的截頻2/ )(spcW WW WW W+ + 4. hk=hdk wkwp=0.3*pi; ws=0.4*pi; As=50; M=ceil(As-7.95)/(ws-wp)/2.285)M=M+mod(M,2)beta=0.1102*(As-8.7); w=kaiser(M+1,beta); wc=(wp+ws)

15、/2;alpha=M/2;k=0:M;hd=(wc/pi)*sinc(wc/pi)*(k-alpha); h=hd.*w;omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,omega);magdB=20*log10(abs(mag);plot(omega/pi,magdB);axis(0,1,-70,0);grid;用用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的I型線性相位型線性相位FIR低低通濾波器。通濾波器。W Wp=0.2, W Ws=0.4 ，Ap=0.3dB, As=50dB用用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的I型線性相位型線

16、性相位FIR低低通濾波器。通濾波器。W Wp=0.2, W Ws=0.4 ，Ap=0.3dB, As=50dB設(shè)計結(jié)果設(shè)計結(jié)果Gain response of lowpass FIR filter00.40.5-80-50-300Normalized frequencyGain, dBM=60Ap=0.0105 dBAs=50.7524 dB理想低通濾波器截頻的取值對設(shè)計結(jié)果的影響理想低通濾波器截頻的取值對設(shè)計結(jié)果的影響W Wc=W Wp+0.4(W Ws-W Wp)W Wc=W Wp+0.5(W Ws-W Wp)W Wc=W Wp+0.6(W Ws-W Wp)理想數(shù)字微分器

17、的頻率響應(yīng)為理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為HDIF(ejW W)=jW W , |W W| 。試用窗口法設(shè)計一線性相位。試用窗口法設(shè)計一線性相位FIR濾波濾波器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。解：解： 1) 確定線性相位確定線性相位FIR濾波器類型：濾波器類型：其他0)e(jdWWWAfd(W)= -0.5MW+0.5WWWWfdee )(21j)(jdDIFdkAkh-2) 確定理想濾波器的幅度函數(shù)確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W W)和相位和相位f fd(W W)3) 計算計算IDTFT得得hdk由于由于HDIF(ejW W)=jW W，幅度函數(shù)奇對稱，幅

18、度函數(shù)奇對稱，故，故選用選用或或理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為HDIF(ejW W)=jW W , |W W| 。試用窗口法設(shè)計一線性相位。試用窗口法設(shè)計一線性相位FIR濾波濾波器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。解：解： 3) 計算計算IDTFT得得hdkWWWde2j)5 . 0(jDIFMkkh-+-為奇為偶為偶MMkMkMMkMMkMkMk )5 . 0()1(5 . 0 , , 05 . 0, ,5 . 0)1(2)5 . 05 . 0()5 . 0(4) 截斷截斷hDIFkDIFkwkhkhN理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為理想數(shù)

19、字微分器的頻率響應(yīng)為HDIF(ejW W)=jW W , |W W| 。試用窗口法設(shè)計一線性相位。試用窗口法設(shè)計一線性相位FIR濾波濾波器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。A(W W) -0 0W WMM1010 -A(W W)W W0 0MM991.1.由于由于III型性相位型性相位FIR濾波器在濾波器在W W= 存在固有的零點(diǎn)，所以存在固有的零點(diǎn)，所以M=10的微分器的幅度函數(shù)在的微分器的幅度函數(shù)在W W= 附近誤差較大。附近誤差較大。 2. 2. 由于由于MM為偶時為偶時hDIFk衰減較慢衰減較慢( (按按|k- -0.5|- -1速率衰減速率衰減 )

20、 )，所以，所以其幅度函數(shù)有較大的波動。其幅度函數(shù)有較大的波動。窗函數(shù)法的窗函數(shù)法的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)若若FIR濾波器有濾波器有4個頻帶，其分別為個頻帶，其分別為 0 W W f1 f2 W W f3 f4 W W f5 f6 W W FIR濾波器在濾波器在4個頻帶中的幅度值個頻帶中的幅度值為為 a1 a2 a3 a4(通帶取通帶取1，阻帶取，阻帶取0) FIR濾波器在濾波器在4個頻帶中的波動個頻帶中的波動 1 2 3 4則可以利用則可以利用MATLAB中的中的kaiserord和和fir1函數(shù)實(shí)現(xiàn)函數(shù)實(shí)現(xiàn) f= f1 f2 f3 f4 f5 f6; a= a1 a2 a3 a4; dev=

21、 1 2 3 4; M,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev); h = fir1(M,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta) 試用試用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的具有窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的具有2個通帶個通帶FIR濾波器濾波器W Ws1=0.1, , W Wp1=0.2 ， W Wp2=0.4, , W Ws2=0.5, , W Ws3=0.6, , W Wp3=0.7, , W Wp4=0.8, , W Ws4=0.9, , s=0.01 f=0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9;a=0,1,0,1,0;Rs=0.01;d

22、ev=Rs*ones(1,length(a);N,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev);h = fir1(N,Wc,ftype,kaiser(N+1,beta);omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,omega);plot(omega/pi,20*log10(abs(mag);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain, dB);grid;axis(0 1 -80 5); 試用試用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的具有窗設(shè)計滿足下列指標(biāo)的具有2個通帶個通帶FIR濾波器濾波器W Ws1=0

23、.1, , W Wp1=0.2 ， W Wp2=0.4, , W Ws2=0.5, , W Ws3=0.6, , W Wp3=0.7, , W Wp4=0.8, , W Ws4=0.9, , s=0.01 01-80-70-60-50-40-30-20-100Normalized frequencyGain, db例：用例：用Hamming窗設(shè)計一個逼近截頻為窗設(shè)計一個逼近截頻為W Wc c的的IVIV型線性相位型線性相位FIRFIR 高通濾波器高通濾波器-其他 02je)e(cc5 . 0jjdWWWWWMHW WW WW WW WW W

24、deje21j5 . 0j2dkMcckh - - - ) )ccMkMkMkW WW W )5 . 0( j)2)(5 . 0( jee)5 . 0(21- - - - - - ) )ccMkMkMkW WW W)5 . 0( j)5 . 0( jee)5 . 0(21- - - -+ +- - - MkMkMkkhc, 1 , 0,)5 . 0()5 . 0(cos - - - - W W例：用例：用Hamming窗設(shè)計一個逼近截頻為窗設(shè)計一個逼近截頻為W Wc c的的IVIV型線性相位型線性相位FIRFIR 高通濾波器高通濾波器W Wc=0.6 HP濾波器的幅度響應(yīng)濾波器的幅度響應(yīng) I

25、型型 M=50 I V型型 M=51 01-110-80-530Gain response of highpass FIR filterNormalized frequencyGain, dBtype I type IVM=60;Wc=0.4; % Wc=0.4*pi;k=0:M;h=Wc*sinc(Wc*(k-M/2);subplot(2,1,1);stem(h,b.);w=linspace(0,pi-0.1,1000);mag=freqz(h,1,w);subplot(2,1,2);plot(w/pi,20*log10(abs(mag);grid on;xlabel(No

26、rmalized frequency);ylabel(Gain, dB);設(shè)計滿足下列指標(biāo)的設(shè)計滿足下列指標(biāo)的I型和型和II型線性相位型線性相位FIR低通濾低通濾波器。波器。W Wc=0.4 rad010203040506070-0.30.4FIR Filter-hk01-120-100-80-60-40-20020FIR Filter-20lg(abs(HejW)Normalized frequencyGain, dB設(shè)計滿足下列指標(biāo)的設(shè)計滿足下列指標(biāo)的I型和型和II型線性相位型線性相位FIR低通濾低通濾波器。波器。W Wc=0.4 rad010203040506070-0.