二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案

1、課 題 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案自主預(yù)習(xí)案一、 預(yù)習(xí)目標(biāo)：了解“楊輝三角”，認(rèn)識(shí)“楊輝三角”中行、列數(shù)字的特點(diǎn)及其組合數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式系數(shù)之間的聯(lián)系。二、 預(yù)習(xí)內(nèi)容：閱讀P.26-27內(nèi)容，了解二項(xiàng)式系數(shù)表及楊輝三角，探索歸納出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。導(dǎo)入新課1二項(xiàng)式定理及其特例：（1） （2） 2二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式： 新課探究1二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取時(shí)，如下表所示： 圖1 圖2上表叫 表，表中每行兩端都是 ，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于 早在1621年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作詳解九章算法中就有類似的表（如上圖2），這個(gè)表稱為 。利用這一性質(zhì)，可根據(jù)相應(yīng)于的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)寫(xiě)

2、出相應(yīng)于的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)。 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和。 2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是，可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）、每一行兩端都是1，其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即，這實(shí)際上是由組合數(shù)的性質(zhì)得到的（2）、對(duì)稱性，在二項(xiàng)展開(kāi)式的每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即：，這個(gè)性質(zhì)實(shí)際上也是由組合數(shù)的性質(zhì)得到的。直線是圖象的對(duì)稱軸（3）、增減性與最大值 二項(xiàng)式系數(shù)先增大，到達(dá)某一值后又逐漸減小，并且二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)必在 位置上，也就是說(shuō)，

3、二項(xiàng)式系數(shù)先從1開(kāi)始遞增，達(dá)到中間位置取最大值，然后又逐漸遞減到1.當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，展開(kāi)式共有（n+1）項(xiàng)，所以展開(kāi)式的中間一項(xiàng)，即 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為 ；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，展開(kāi)式共有（n+1）項(xiàng)，所以展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)，即第 項(xiàng)，和第 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，最大值為=。（4）、二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于 ，即在中，令，則有 探究展示案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合楊輝三角掌握二項(xiàng)式系數(shù)的概念和性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)計(jì)算和證明一些與二項(xiàng)式展開(kāi)有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。二、合作學(xué)習(xí)例1：（自主學(xué)習(xí)）根據(jù)“楊輝三角”寫(xiě)出：（1）的二項(xiàng)式系數(shù)； （2）展開(kāi)式中的第3項(xiàng)的系數(shù).例2：（小組合作）寫(xiě)出的展開(kāi)式中：（1）通

4、項(xiàng)；（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）各項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(4)各項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)；（5）各項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)；（6）二項(xiàng)式系數(shù)的和；（7）各項(xiàng)的系數(shù)的和。例3：運(yùn)用二項(xiàng)式定理證明：（1）；（2）（3）結(jié)論（1）、（2）分別表示什么意思？點(diǎn)評(píng)：和是兩個(gè)重要的結(jié)論，大家要熟練掌握。例4：利用賦值法求證：.合作提高1.已知，求：（1）； （2）； （）；（）2. 設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）A、-150 B、150 C、300 D、-3003.已知，則等于（）A、 B、 C、D、4. 在的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是.5.已知：的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)6 證明：能被7整除。7今天是星期一，則過(guò)2102天后是星期幾？課堂小結(jié) ：1性質(zhì)是組合數(shù)公式的再現(xiàn)，性質(zhì)是從函數(shù)的角度研究的二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性，性質(zhì)是利用賦值法得出的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；2因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法。二、當(dāng)堂檢測(cè).若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A、 B、 C、D、.設(shè)，則中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A、 B、 C、 D、.展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為；展開(kāi)式中的系數(shù)為.