高中數(shù)學(xué)必修解三角形教案

1、2.1.1 正弦定理教學(xué)要求：通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi) 容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類 根本問題教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其根本應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ：1. 討論：在直角三角形中，邊角關(guān)系有哪些？三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)如何解直角三角形？那么斜三角形怎么辦？2.由的邊和角求出未知的邊和角，稱為解三角形已學(xué)習(xí)過任意三角形的哪些邊角關(guān)系？?jī)?nèi)角和、大邊對(duì)大角量化？ t引入課題：正弦定理二、講授新課：1.教學(xué)正弦定理的推導(dǎo)：是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確特殊情況：

2、直角 三角 形中的正 弦定理:sin A= sinB= - sin C=1 即ccac=sin Ab csinB si nC能否推廣到斜三角形?先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是 CD根據(jù)三角函數(shù)的定義，有aCD asin B bsinA ,貝U sin Absin Ba同理，-si nA si nC思考如何作高？，從而sin Absin B sin C*其它證法：:等積法在任意斜ABC當(dāng)中 S11abc= absi nC acsi nB22丄 bcsin A.2兩邊同除以丄abc即得:2sin A sinB sinCC ab ZBA c D證明二：外

3、接圓法如下圖，/A=Z D, 色sin A sin DCD 2r ,同理=2R = 2Rsin Bsin CrULrULLT DLIID uuu證明三：向量法過 A作單位向量 j垂直于 AC,由AC + CB=AB邊同乘以 單位向量j得正弦定理的文字語言、符號(hào)語言，及根本應(yīng)用：三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值 2. 教學(xué)例題： 出例如1:在 ABC中， A 45° , B 60° , a 42cm,解三角形分析條件知兩角一邊T 討論如何利用邊角關(guān)系t示范格式t小結(jié)：已出例如2:ABC中, c 6,A 450,a2,求

4、b和B,C .分析條件t 討論如何利用邊角關(guān)系t示范格式t小結(jié)：兩邊及一邊對(duì)角 練習(xí)： ABC中，b 3,B60°,c 1,求a和A,C .在 ABC中，a 10 cm, b 14 cm, A 40°，解三角形角度精確到1° ,邊長(zhǎng)精確到 1 cm 討論：兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，如何判斷解的數(shù)量？3. 小結(jié)：正弦定理的探索過程；正弦定理的兩類應(yīng)用；兩邊及一邊對(duì)角的討論三、穩(wěn)固練習(xí)：sin A sinB sinC1. ABC 中，A=60 ° , a 3，求 a b c.2. 作業(yè)：教材P5練習(xí)1 2 , 2題2.1.2 余弦定理一教學(xué)要求：掌握余

5、弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并 會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類根本的解三角形問題教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其根本應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：向量方法證明余弦定理.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ：1. 提問：正弦定理的文字語言？符號(hào)語言？根本應(yīng)用？2. 練習(xí)：在厶 ABC中， c 10, A=45 , C=30，解此三角形 宀變式3. 討論：兩邊及夾角，如何求出此角的對(duì)邊？二、講授新課：1. 教學(xué)余弦定理的推導(dǎo)： 如圖在 ABC中，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為 c、a、b.iLur uuu uuu/ AC AB BC ,niur iiirniiill uiiiilliui2 ill niriui2

6、 AC ?AC(ABBC)?(ABBC)AB2AB?BCBC22c 2accosB a .LUL2LLLLLLToLLL2AB 2| AB|?| BC|cos(180 B) BC即 b2 c2 a2 2accosB,試證： a2 b2 c2 2bccos A, c2 a2 b2 2abcosC.提出余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去 這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍用符號(hào)語言表示a2 b2 c2 2bccosA，等； 宀根本應(yīng)用：兩邊及夾角 討論：三邊，如何求三角？.222t 余弦定理的推論：cosA 一 c，等 .2bc 思考：勾股定理與余弦定理之間的關(guān)系？2. 教

7、學(xué)例題： 出例如1 ：在 ABC中，a 2 3 , c 62 , B 600，求b及A分析條件t 討論如何利用邊角關(guān)系t 示范求bt 討論：如何求 A?兩種方法答案：b 2 2 , A 600 t 小結(jié)：兩邊及夾角在 ABC中，a 13cm , b 8cm , c 16cm，解三角形分析條件t討論如何利用邊角關(guān)系t分三組練習(xí) t 小結(jié)：已知兩角一邊3. 練習(xí)： 在厶ABC中， a= 7, b = 10 , c = 6，求A、B和C. 在厶ABC中， a= 2 , b = 3, C= 82。，解這個(gè)三角形 .4. 小結(jié)： 余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余 弦定理的特例；余

8、弦定理的應(yīng)用范圍：三邊求三角；兩邊及它們的夾角，求 第三邊 .三、穩(wěn)固練習(xí)：1. 在 ABC中,假設(shè) a2 b2 c2 be，求角 A.(答案：A=12O°)2. 三角形 ABC中，A= 120 ° , b = 3, c = 5,解三角形.t 變式：求 sin Bsin C； sin B sin C.3. 作業(yè)：教材 P8 練習(xí) 1、 2(1)題 .2.1 .3正弦定理和余弦定理練習(xí)教學(xué)要求：進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容，能熟練運(yùn)用余弦定理、正弦定理解答有關(guān)問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式 教學(xué)重點(diǎn)：熟練運(yùn)用定理 .教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相

9、互轉(zhuǎn)化教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ：1. 寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式2. 討論各公式所求解的三角形類型二、講授新課：1. 教學(xué)三角形的解的討論：出例如1:在厶ABC中，以下條件，解三角形(i )A=-,a = 25, b= 502 ;(ii ) A= , a= 25 2 , b =66502 ;(iii ) A =c50 6,a =b= 50 2 ;(iiii ) A= , a= 50 , b =636502.分兩組練習(xí)t討論：解的個(gè)數(shù)情況為何會(huì)發(fā)生變化?用如以下圖示分析解的情況.A為銳角時(shí)邊a,b和 ACCCa<CH=bs inA無解a=CH=bsi nACH=bs in Avav

10、b僅有一個(gè)解有兩個(gè)解HB*a b僅有一個(gè)解練習(xí)：在厶ABC中，以下條件，判斷三角形的解的情況2 ii )A=, a = 25 , b= 10、. 232 (i ) A=,a = 25 , b= 50、2 ；(3例1.根據(jù)以下條件，判斷解三角形的情況(1) a = 20, b = 28, A= 120 ° .無解 a = 28, b = 20 , A = 45 ° 一解 c= 54 , b = 39 , C = 115 ° 一解 b = 11 , a= 20, B = 30°兩解2. 教學(xué)正弦定理與余弦定理的活用： 出例如 2：在厶ABC中， sin A：

11、 sin B： sin C=6 : 5 : 4，求最大角的 余弦分析：條件可以如何轉(zhuǎn)化？ t角引入?yún)?shù)k，設(shè)三邊后利用余弦定理求出例如3 :在 ABC中，a= 7, b= 10, c = 6，判斷三角形的類型分析：由三角形的什么知識(shí)可以判別?斷t求最大角余弦，由符號(hào)進(jìn)行判a2b2c2A是直角AB是直角三角形結(jié)論：活用余弦定理，得到:a2b2c2A是鈍角AB是鈍角三角形a2b2c2A是銳角AB是銳角三角形 出例如4 : ABC中，bcosC ccosB，試判斷厶 ABC的形狀.分析：如何將邊角關(guān)系中的邊化為角？t 再思考：又如何將角化為邊?3. 小結(jié)：三角形解的情況的討論；判斷三角形類型；邊角關(guān)

12、系如何互化sin Asin B三、穩(wěn)固練習(xí):1. a、b ABC的邊，A、B分別是a、b的對(duì)角,的值2. 在厶 ABC 中，sin As in B：si n C= 4:5:6 ，那么 cos A：cos B：cos C=.3. 作業(yè)：2.2三角形中的幾何計(jì)算一、設(shè)疑自探正弦定理、余弦定理是兩個(gè)重要的定理，在解決與三角形有關(guān)的 幾何計(jì)算問題中有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于本節(jié)課你想了解哪些內(nèi)容？1怎樣運(yùn)用正弦定理、余弦定理處理三角形中的計(jì)算問題？2處理三角形中的計(jì)算問題應(yīng)該注意哪些問題？二、解疑合探例一：如下圖，在梯BCA 30， ADB形ABCD 中，AD | BC，AB45 求BD的長(zhǎng).5, AC9,

13、例二：如下圖， 在四邊形ABCD中，AD CD,AD 10，AB 14， BDA 60， BCD 135，求 BC的長(zhǎng)。答案：BC 8.2例三：如下圖， 圓0的半徑是1,點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線 上, BC 1,點(diǎn)P是圓0上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作等邊三角形PCD ,且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè)。1 假設(shè) POB，試將四邊形OPDC的面積y表示成 的函數(shù)；2求四邊形OPDC面積的最大值。例五：如下圖，在等腰 ABC中，底邊BC 1, BD交AC于D,求BD的取值范圍。底角B的平分線解： ABC C, A 180BDC A ABD 18022 ABC ,ABC ABC2180- ABC2在B

14、CD中，由正弦定理，得BDsin CBC ,即 BDsin BDC ' sin ABCsin (1801ABC)2BDsin ABC3sin( ABC)2ABCABC2 sin? cos L2ABC sin ABC ? cos 2c ABC2 cos 一 22 ABC d4 cos1。22" ABC4 cos 2cos ABC ?sin ABC21ABC cos 2ABC2ABCcos 245 ,1,BD的取值范圍為四、運(yùn)用拓展1在 ABC 中，A 60 , ABABC的外接圓和內(nèi)切圓的半16,徑。S abc 220 3,求 BC及答案：BC 49, R寧，113 r3A2在

15、 ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且B 2A, 求b的取值范圍。a答案：b的取值范圍是1,2a§ 3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)1、掌握正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用它們解斜三角形。2、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理進(jìn)行三角形邊與角的互化。3、培養(yǎng)和提高分析、解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1、正弦定理與余弦定理及其綜合應(yīng)用。2、利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行三角形邊與角的互化。教學(xué)過程、復(fù)習(xí)引入1 、正弦定理:sin A sin B2R sin C2 、余弦定理:b2 c22bccosA,b2 c2 a2cos A -2bcb22ca cosB,cosBc2 a2 b22cac

16、2a2b22abcosCcosC2ab二、例題講解引例：我軍有A、B兩個(gè)小島相距10海里，敵軍在 C島，從A島望C島和B島成60 °的視角，從B島望C島和A島成75 °的視角，為提高炮彈命中率,須計(jì)算B島和C島間的距離，請(qǐng)你算算看。解：A 600 B 750 C450A 600由正弦定理知10帀sin 600 sin 45°0BC5.6海里750例1 如圖，自動(dòng)卸貨汽車采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長(zhǎng)度如圖.車廂的最大仰角為60 °，油泵頂點(diǎn) B與車廂支點(diǎn) A之間的距離為 1.95m , AB與水平線之間的夾角為60020/ , AC長(zhǎng)為1.

17、40m，計(jì)算BC的長(zhǎng)保存三個(gè)有效數(shù)字分析：這個(gè)問題就是在ABC中， AB=1.95m , AC=1.4m,BAC 606 20' 66 20求BC的長(zhǎng)，由于的兩邊和它們的夾角，所以可根據(jù)余弦定理求出BCo解：由余弦定理，得2 2 2BC AB AC 2AB AC cos A1.952 1.402 2 1.95 1.40 cos66 20'3.571BC 1.89(m)C答：頂杠 BC長(zhǎng)約為1.89m.解斜三角形理論應(yīng)用于實(shí)際問題應(yīng)注意：1、認(rèn)真分析題意，弄清元素和未知元素。2、要明確題目中一些名詞、術(shù)語的意義。如視角，仰角，俯角，方位角等等。3、動(dòng)手畫出示意圖，利用幾何圖形的性

18、質(zhì)，將和未知集中到一個(gè)三角形中解決。練1.如圖，一艘船以32海里/時(shí)的速度向正北航行，在A處看燈塔 S在船的北偏東20°, 30分鐘后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東650方向上，求燈塔S和B處的距離.保存到0.1 解：AB 16由正弦定理知ABsin 450BSsin 200BS 曲“ *7.7海里sin 450答：燈塔 S和B處的距離約為7.7海里例2.測(cè)量高度問題如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高AB,從與煙囪底部在同一水平直線上的C, D兩處，測(cè)得煙囪的仰角分別是45°和60°, C、D間的距離是12m.測(cè)角儀器高1.5m.求煙囪的高。圖中給出了怎樣的

19、一個(gè)幾何圖形？什么，求什么?分析：因?yàn)?AB AA A B，又AA1.5m所以只要求出A,B即可解：在 BC1D1 中,BD1C1180060° 120°,C1BD1600° 04515由正弦定理得:BC,sin G BD1sin BDGBC1Ci D1 sin sin C1BD1C1BD112si n12O0 sin 150(18、S6j6)m從而：A1B22BC1186、運(yùn) 28.392m因此：AB ABAA,28.392 1.529.89229.89m答：煙囪的高約為29.89m練習(xí)：在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角600,點(diǎn)A的俯角450,鐵塔BC局

20、部高32B =600I在塔底C處測(cè)得32米，求山高 CD。解：在 ABC 中，/ ABC=30°,=45/ ACB =135 ° ,/ CAB =180 ° - ( / ACB+Z ABC)=180 ° - (135 ° +30 ° )=158又 BC=32,由正弦定理BCACsin BACsin ABC得：ACBCsin ABCsin BAC32 s in 30°sin 15°6 .2 16'6 2m課堂小結(jié)1、本節(jié)課通過舉例說明了解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法

21、。2、在分析問題解決問題的過程中關(guān)鍵要分析題意，分清與所求，根據(jù) 題意畫出示意圖，并正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理解題。3、在解實(shí)際問題的過程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想，其流程圖可表示為：解三角形檢驗(yàn)答正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用一、知識(shí)梳理1 .內(nèi)角和定理：在 ABC 中，ABC ； sin( A B) sin C ；cos(A B) cosC面積公式S ABC absin C2bcsin A2acsin B2在三角形中大邊對(duì)大abc2R形式一:sin Ai sin Bsin C(解三角形的重要工具)a2Rsin Ab2Rsin B形式二:c2Rs inC(邊角轉(zhuǎn)化的重要工具)形式三:a : b: c

22、sin A:si nB:si nC形式四abcsin A,sini B,sin C2R2R2R角，反之亦然2正弦定理： 在一個(gè)三角形中各邊和它的所對(duì)角的正弦的比相等3.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2 b2 c2 2bccos Ac2a2 2ca cosB2 2a b 2ab cosC(解三角形的重要工具cos A.2 2 2 2b c ar acosB c2b22bc2accosC2ab二、方法歸納abc(1)兩角A、B 與一邊 a,由 a+b+C- n及 si nAsin BsinC，可求出角c,再求b、c.(2)兩邊b、2 2

23、2c與其夾角 A，由a =b + c -2 b ccosA，求出a ,再由余弦定理，求出角B、C.(3)三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab(4)兩邊a、b及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理sin Asin B，求出形式二:另一邊b的對(duì)角B,由C=n -( A+B)，求出c,再由si nA si nC求出c.而通過si nAsinB求b時(shí)，可能出一解，兩解或無解的情況a = b sinA 有一解b>a>b sinA 有兩解 a > b 有一解a >b有一解三、課堂精講例題問題一：利用正弦定理解三角形【例 1】在 ABC中，假設(shè)b5 ,B -4,sin A1-,

24、那么35血a.3【例2】在厶ABC中，a =3, b =、.2 ,B=45 °,求A、C和c.【適時(shí)導(dǎo)練】1. ( 1 ) ABC 中，a =8,B=60 °,C=75 °,求b;(2) ABC 中，B=30° ,b =4,c=8,求 C、A、a.問題二：利用余弦定理解三角形【例3】設(shè)ABC的內(nèi)角 A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c. a 1，b 2， cosCi求 ABC的周長(zhǎng)；n求cos A C的值.【例4】2021重慶文數(shù)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a、b、c,且 3b2 +3c2-3 a2=4 , 2 b c .(i )求sinA的值

25、;2sin(A -)sin(B C(n )求41 cos2A4)的值.【適時(shí)導(dǎo)練】2 在厶ABC中，a、bc分別是角 A, B, C的對(duì)邊，且cosB =_ bcosC 2a c1求角 B的大??；2假設(shè)b= 13 , a + c=4，求 ABC的面積問題三：正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用【例5】(2021山東文數(shù))在ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a , b ,c. cosA-2cosC = 2c-a【例6】(2021全國卷I理)在ABC中，內(nèi)角A B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a、22b、c,a c2b，且 sin AcosC3cosAsinC,求 bcosBb(I)求空2的值；sin A卄1(II)右cosB= 4，ABC的周長(zhǎng)為5，求b的長(zhǎng)。3. 在厶ABC中，a、b、c分別是角 A、B、C的對(duì)邊，且 8 sin 2B C 2 cos22A= 7.(1)求角 A的大??；(2)假