第13章非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜(魏)

1、結(jié)束2021年12月12日星期日1第十三章第十三章 非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖非正弦非正弦周期信號(hào)周期信號(hào)分解為傅分解為傅里葉級(jí)數(shù)里葉級(jí)數(shù)非正弦周期非正弦周期信號(hào)穩(wěn)態(tài)電信號(hào)穩(wěn)態(tài)電路的分析路的分析瞬時(shí)值、瞬時(shí)值、有效值、有效值、平均功率平均功率分析計(jì)算分析計(jì)算(諧波分諧波分析法析法)對(duì)稱三相對(duì)稱三相電路的高電路的高次諧波次諧波對(duì)稱分量對(duì)稱分量分析法分析法結(jié)束2021年12月12日星期日2 重點(diǎn)重點(diǎn)1. 非正弦周期電流和電壓的有效值、平均值非正弦周期電流和電壓的有效值、平均值; 2. 非正弦周期電流電路的平均功率；非正弦周期電流電路的平均功

2、率；3. 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算(諧波分析法諧波分析法)。難點(diǎn)難點(diǎn)1. 響應(yīng)的疊加；響應(yīng)的疊加；2. 電路中電路中LC對(duì)不同次諧波的諧振。對(duì)不同次諧波的諧振。結(jié)束2021年12月12日星期日3 與其它章節(jié)的聯(lián)系與其它章節(jié)的聯(lián)系 本章主要討論在非正弦周期電流、電壓信號(hào)本章主要討論在非正弦周期電流、電壓信號(hào)的作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計(jì)算方法。的作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計(jì)算方法。 非正弦周期信號(hào)可以分解為直流分量和一系非正弦周期信號(hào)可以分解為直流分量和一系列不同頻率的正弦量之和，對(duì)每一信號(hào)單獨(dú)作列不同頻率的正弦量之和，對(duì)每一信號(hào)單獨(dú)作用下的響應(yīng)，與直流電路及交流電路

3、的求解方用下的響應(yīng)，與直流電路及交流電路的求解方法相同，應(yīng)用疊加定理將各分量的響應(yīng)疊加得法相同，應(yīng)用疊加定理將各分量的響應(yīng)疊加得最后結(jié)果，最后結(jié)果，是前面內(nèi)容的綜合。是前面內(nèi)容的綜合。結(jié)束2021年12月12日星期日413- -1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào)生產(chǎn)實(shí)際中，會(huì)碰到許多非正弦信號(hào)，原因有：生產(chǎn)實(shí)際中，會(huì)碰到許多非正弦信號(hào)，原因有：激勵(lì)本身是非正弦信號(hào)；激勵(lì)本身是非正弦信號(hào)； 在電氣工程、電子信息、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)等技在電氣工程、電子信息、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)等技術(shù)領(lǐng)域中經(jīng)常用到非正弦信號(hào)，例如交流發(fā)電機(jī)術(shù)領(lǐng)域中經(jīng)常用到非正弦信號(hào)，例如交流發(fā)電機(jī)的輸出電壓嚴(yán)格地說(shuō)是非正弦量。的輸出電壓嚴(yán)

4、格地說(shuō)是非正弦量。電路中含有非線性元件。電路中含有非線性元件。例如整流電路等。例如整流電路等。不是正弦波不是正弦波；按周期規(guī)律變化。按周期規(guī)律變化。 非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)f (t) = = f (t + + nT)結(jié)束2021年12月12日星期日5實(shí)踐中常見(jiàn)的非正弦周期信號(hào)實(shí)踐中常見(jiàn)的非正弦周期信號(hào)T2T鋸齒波鋸齒波T尖頂脈沖尖頂脈沖T整流波整流波數(shù)字電路、計(jì)算機(jī)的數(shù)字電路、計(jì)算機(jī)的CP等等通過(guò)顯像管偏轉(zhuǎn)通過(guò)顯像管偏轉(zhuǎn)線圈的掃描電流線圈的掃描電流晶閘管的觸發(fā)脈沖等晶閘管的觸發(fā)脈沖等橋式或全波整流橋式或全波整流電路的輸出波形電路的輸出波形otiotuT方波方波otuo

5、ti結(jié)束2021年12月12日星期日6實(shí)踐中常見(jiàn)的非正弦周期信號(hào)（續(xù)）實(shí)踐中常見(jiàn)的非正弦周期信號(hào)（續(xù)）正弦電壓在鐵心線圈正弦電壓在鐵心線圈中產(chǎn)生的電流波形中產(chǎn)生的電流波形三角波三角波PWM調(diào)制器的時(shí)調(diào)制器的時(shí)間基準(zhǔn)信號(hào)波形間基準(zhǔn)信號(hào)波形半波半波otuT階梯波階梯波由數(shù)字電路或計(jì)算由數(shù)字電路或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的正弦信號(hào)機(jī)產(chǎn)生的正弦信號(hào)整流波整流波T尖頂波尖頂波otiT2otuTT2otiTT2控制控制電壓電壓結(jié)束2021年12月12日星期日713- -2 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)1. 非正弦周期函數(shù)的分解非正弦周期函數(shù)的分解根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)：若非正弦周期信號(hào)根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)：若

6、非正弦周期信號(hào) f(t) 滿足滿足“狄里赫利條件狄里赫利條件”，就能展開(kāi)成一個(gè)，就能展開(kāi)成一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。系數(shù)系數(shù) a0、ak、 bk 分別為：分別為：f(t) = = a0 + +akcos(k 1t) + + bksin(k 1t)k= =1a0= =T10Tf(t) dtak= =T20Tf(t) cos(k 1t) dtbk= =T20Tf(t) sin(k 1t) dt結(jié)束2021年12月12日星期日8根據(jù)給定根據(jù)給定 f(t) 的形式，的形式，積分區(qū)間也可以改為：積分區(qū)間也可以改為：積分區(qū)間也可以是積分區(qū)間也可以是 02p p 或或 -p-pp p ，例如：

7、，例如：= =p p1f(t)cos(k 1t)d( 1t)-p-pp p02p pak= =p p1f(t)cos(k 1t)d( 1t)a0= =Tf(t) dt- -T/21T/2ak= =T2f(t) cos(k 1t) dt- -T/2T/2bk= =T2f(t) sin(k 1t) dt- -T/2T/2= =p p1f(t)sin(k 1t)d( 1t)-p-pp p02p pbk= =p p1f(t)sin(k 1t)d( 1t)a0 = =f(t)d( 1t)12p p02p p結(jié)束2021年12月12日星期日9展開(kāi)式同時(shí)存在正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)，在進(jìn)行不展開(kāi)式同時(shí)存在正弦項(xiàng)和余弦

8、項(xiàng)，在進(jìn)行不同信號(hào)的對(duì)比時(shí)不方便，而且數(shù)同信號(hào)的對(duì)比時(shí)不方便，而且數(shù) ak、bk的意義的意義也不明確。將展開(kāi)式合并成也不明確。將展開(kāi)式合并成電工技術(shù)中更為電工技術(shù)中更為適用的形式適用的形式 余弦級(jí)數(shù)：余弦級(jí)數(shù)：則則 f(t) = = A0+ +k= =1Akmcos (k 1t + + k)式中：式中： A0 = = a0Akm= =ak2+ + bk2 k = = arctgak - -bkf(t) = = a0+ +akcos(k 1t) + + bksin(k 1t)k= =1令令 ak= = Akmcos k bk= = - -Akmsin k 結(jié)束2021年12月12日星期日10 A

9、0 是是 f(t) 的的恒定分量恒定分量，或稱為或稱為直流分量直流分量。 k= =1的項(xiàng)的項(xiàng) Amcos( 1t + 1) 具有與具有與 f(t) 相同的頻率，稱相同的頻率，稱基波分量基波分量。 基波占基波占f(t)的主要成分，基本代表了的主要成分，基本代表了f(t)的特征。的特征。 k2的各項(xiàng)，分別稱為的各項(xiàng)，分別稱為二次諧波，三次諧波二次諧波，三次諧波等。等。 統(tǒng)稱統(tǒng)稱高次諧波高次諧波。Akm= =ak2+ + bk2 k = = arctgak - -bkf(t) = = A0+ +k= =1Akmcos (k 1t + + k)結(jié)束2021年12月12日星期日112. 非正弦周期信號(hào)的

10、頻譜非正弦周期信號(hào)的頻譜 f(t)中各次諧波的幅值和初相不同，對(duì)不同的中各次諧波的幅值和初相不同，對(duì)不同的 f(t)，正弦波的頻率成份也不一定相同。為形象地反映各正弦波的頻率成份也不一定相同。為形象地反映各次諧波的頻率成份，以及各次諧波幅值和初相與頻次諧波的頻率成份，以及各次諧波幅值和初相與頻率的關(guān)系，引入振幅頻譜和相位頻譜的概念。率的關(guān)系，引入振幅頻譜和相位頻譜的概念。 振幅頻譜：振幅頻譜： f(t)展開(kāi)式中展開(kāi)式中Akm與與 (= =k 1)的關(guān)系。的關(guān)系。 反映了各頻率成份的振幅所占的反映了各頻率成份的振幅所占的“比重比重”，因，因 k是是正整數(shù)，故頻譜圖是離散的，也稱線頻譜。正整數(shù)，故

11、頻譜圖是離散的，也稱線頻譜。 相位頻譜：指相位頻譜：指 k與與 的關(guān)系。的關(guān)系。f(t) = = A0+ +k= =1Akmcos (k 1t + + k)結(jié)束2021年12月12日星期日12鋸齒波的鋸齒波的振幅頻譜圖振幅頻譜圖 今后若無(wú)說(shuō)明，均指振幅頻譜。今后若無(wú)說(shuō)明，均指振幅頻譜。iotI- -IT/2- -T/2Ti(t) = =p p2Icos( 1t- -90o) + +21cos(2 1t+ +90o) + +31cos(3 1t- -90o) + +41cos(4 1t+ +90o) + + 鋸齒波的鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為o 12 2 13 3 14 4 1

12、5 5 1Ikm2Ip pI2p pI3p pI4p p結(jié)束2021年12月12日星期日13(1) 若若f(t)是偶函數(shù)是偶函數(shù)即滿足即滿足 f(t)= f(- -t)(2) 若若f(t)是奇函數(shù)是奇函數(shù)outT/2- -T/2則則 ak= 0，只求只求bk即可：即可：A0 = =T20f(t) dtT/2ak = =T40f(t) cos(k 1t)dtbk = =T40f(t) sin(k 1t)dtiotT- -T/2T/2T/2T/2即滿足即滿足 f(- -t) = -= - f(t)則則 bk= 0。3. 波形特征及其與級(jí)數(shù)分解的關(guān)系波形特征及其與級(jí)數(shù)分解的關(guān)系結(jié)束2021年12月1

13、2日星期日14(3)若若f(t)為為“鏡鏡”對(duì)稱對(duì)稱 滿足滿足 f(t) = -= - f(tT/2) 則則a2k = = b2k = = 0, otf(t)T/2T移動(dòng)半個(gè)周期，得移動(dòng)半個(gè)周期，得另半個(gè)周期的鏡像另半個(gè)周期的鏡像知知 A0是是 f(t) 在一在一個(gè)周期內(nèi)與橫軸個(gè)周期內(nèi)與橫軸圍成的面積。圍成的面積。t1A由由A0 = =T10Tf(t) dt所以即使所以即使 f(t)不是不是“鏡鏡”對(duì)稱，對(duì)稱，只要它的正、負(fù)只要它的正、負(fù)半周與橫軸圍成的面積半周與橫軸圍成的面積相等，就有相等，就有 A0 = =0。另。另外，對(duì)某些外，對(duì)某些 f(t)，求，求 A0時(shí)也可以不用積分。時(shí)也可以不用

14、積分。無(wú)直流分量；無(wú)直流分量；展開(kāi)式中展開(kāi)式中不含偶次諧波。不含偶次諧波。又稱又稱奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)。結(jié)束2021年12月12日星期日15(4)若若 f(t)為半波對(duì)稱為半波對(duì)稱即滿足即滿足 f(t) = = f(tT/2) 對(duì)某些對(duì)某些 f(t)，適當(dāng)移動(dòng)縱坐標(biāo)，適當(dāng)移動(dòng)縱坐標(biāo)(另選一個(gè)計(jì)時(shí)起另選一個(gè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)點(diǎn))，就變?yōu)榕己瘮?shù)或奇函數(shù)。，就變?yōu)榕己瘮?shù)或奇函數(shù)。 Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)，由于與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)，由于ak、bk與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，所以關(guān)，所以 k與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，但各次諧波的相對(duì)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，但各次諧波的相對(duì)位置不變。位置不變。 也可以先移坐標(biāo)軸，待求得系數(shù)后，再找到原也可以先移

15、坐標(biāo)軸，待求得系數(shù)后，再找到原函數(shù)的系數(shù)。函數(shù)的系數(shù)。otuT/2- -T/2TT 是整流是整流電源周期電源周期即展開(kāi)式中不含奇次諧波。即展開(kāi)式中不含奇次諧波。則則a2k+1 = = b2k+1 = = 0結(jié)束2021年12月12日星期日16例：例：求右圖方波的傅里葉求右圖方波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式及頻譜。級(jí)數(shù)展開(kāi)式及頻譜。矩形波電流在一個(gè)周矩形波電流在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為期內(nèi)的表達(dá)式為:解：解：i(t) = =Im ， 0tT/20 ， T/2tToti(t)T/2ImT t2p pp pI0 = =T T0i(t)dtT T1= =T T0Im dtT T /2 /21= =2Im直流分量直流

16、分量:基波、諧波分量基波、諧波分量:bk = =p p0i(t) sin(k t) d( t)2 2p p1 = =p p0Im sin(k t) d( t)p p1= =0k 為偶數(shù)為偶數(shù)kp p2Imk 為奇數(shù)為奇數(shù)= =Imkp p1- -cos(kp p)結(jié)束2021年12月12日星期日17ak = =p p0Im cos(k t)d( t)p p1oti(t)T/2ImT t2p pp p= =Imkp psin(k t)0p p= = 0i(t) = =2Im(sin t + +31+ +2Imp psin3 t + +51sin5 t + +)f(t) = = a0+ +akco

17、s(k 1t) + + bksin(k 1t)k= =1代入代入得得 i(t) 的展開(kāi)式為的展開(kāi)式為(k為奇數(shù)為奇數(shù))Ikm= =ak2+ + bk2= = bk = =kp p2Im諧波振幅諧波振幅結(jié)束2021年12月12日星期日18o ti(t)i(t) = =2Im(sin t + +31+ +2Imp psin3 t + +51sin5 t + +)基波分量基波分量三次諧波三次諧波五次諧波五次諧波直流分量直流分量o ti(t)取到取到5次諧波的情況次諧波的情況實(shí)用中，根據(jù)展開(kāi)式的收實(shí)用中，根據(jù)展開(kāi)式的收斂速度和誤差要求取前幾項(xiàng)，斂速度和誤差要求取前幾項(xiàng)，高次諧波可以忽略。高次諧波可以忽

18、略。結(jié)束2021年12月12日星期日19矩形波的幅度頻譜矩形波的幅度頻譜矩形波的相位頻譜矩形波的相位頻譜13 32Imp pok 3 3 5 5 7 7 115 517 7 kok 3 3 5 5 7 7 - -90o k = = arctgak - -bk= -= -90oAkm= = bk = =kp p2Im結(jié)束2021年12月12日星期日2013- -3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率sin、cos在一個(gè)周期在一個(gè)周期內(nèi)的積分為內(nèi)的積分為0；回憶回憶三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)02p pcosk t d( t) = = 002p pcos2k t d( t) = p=

19、 p例如例如(k為整數(shù)為整數(shù),下同下同)正交性質(zhì)正交性質(zhì) (kq)02p pcosk t sinq t d( t) = =002p pcosk t cosq t d( t) = =002p psink t sinq t d( t) = =0sin2、cos2 在一個(gè)周在一個(gè)周期內(nèi)的積分為期內(nèi)的積分為p p；結(jié)束2021年12月12日星期日211.有效值有效值則則 I = =T0Ti2(t)dt若若 i(t) = = I0 + +S Sk= =1Ikm cos(k 1t + + k)i(t)2= = I0 2+ +2I0 S Sk= =1Ikmcos(k 1t+ + k)+ + k= =1S S

20、Ikmcos(k 1t+ + k)2 T10TI0 dt = = I0 22 第一項(xiàng)第一項(xiàng)第二項(xiàng)第二項(xiàng)T10T2I0 Ikmcos(k 1t+ + k) dt = = 0 1三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)束2021年12月12日星期日22k= =1S S Ikm cos(k 1t+ + k)2S Sk= =12Ikmcos(k 1t+ + k) Iqmcos(q 1t+ + q) + +T10TS Sk= =1Ikmcos2(k 1t+ + k) dt 2T10TS Sk= =12Ikmcos(k 1t+ + k) (k q)整理上述結(jié)果得到：整理上述結(jié)果得到：S Sk= =1Ikmcos2(

21、k 1t+ + k) 2= =S Sk= =1Ik 2 = =Iqmcos(q 1t+ + q)dt = = 0正交性質(zhì)正交性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)束2021年12月12日星期日23 結(jié)論結(jié)論同理，非正弦周期電壓同理，非正弦周期電壓u(t)的有效值為的有效值為當(dāng)給出的電流或電壓是展開(kāi)的級(jí)數(shù)形式時(shí)，當(dāng)給出的電流或電壓是展開(kāi)的級(jí)數(shù)形式時(shí)，可分別用以上兩式計(jì)算有效值?？煞謩e用以上兩式計(jì)算有效值。U0 + +2 S Sk= =1Uk 2 U = =周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。量有效值平方和的方根。I0 + +2 S Sk=

22、 =1Ik 2 I = =非正弦周期電流的有效值與各分量的關(guān)系為非正弦周期電流的有效值與各分量的關(guān)系為結(jié)束2021年12月12日星期日242.平均值平均值IavT10T| i(t) | dt相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值。波整流后的平均值。def直流量的直流量的平均平均值：值：Iav = =T10TI0 dt = = I0正弦量的正弦量的平均平均值：值：Iav = =T10T| Imcos t | dt 0.637Im 0.898I在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)非在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)非正弦周期電流或電壓正弦周期電流或電壓的的平均值也同樣定義平均值也同樣定義為為絕對(duì)值的平均值。絕對(duì)值的平均值

23、。Uav= =T10T|u(t)| dtIavot| i |TT20.637Im結(jié)束2021年12月12日星期日25對(duì)同一非正弦量對(duì)同一非正弦量, ,不同類型的儀表測(cè)量結(jié)果不同不同類型的儀表測(cè)量結(jié)果不同: :直流儀表直流儀表( (磁磁電系儀表電系儀表) )表表針的偏轉(zhuǎn)角針的偏轉(zhuǎn)角測(cè)量結(jié)果是測(cè)量結(jié)果是直流量。直流量。T10Ti dta a 交流儀表交流儀表( (電電磁系儀表磁系儀表) )表表針的偏轉(zhuǎn)角針的偏轉(zhuǎn)角測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果是是有效值。有效值。全波整流全波整流( (磁磁電系儀表電系儀表) )表表針的偏轉(zhuǎn)角針的偏轉(zhuǎn)角測(cè)量結(jié)果是測(cè)量結(jié)果是平均值。平均值。T10Ti2 dta a T10T| i |

24、 dta a 結(jié)束2021年12月12日星期日263.平均功率平均功率任意任意一端口一端口+ +- -uiP = =T10Tui dtP = = U0 I0 + +k= =1Uk Ikcosj jk設(shè)設(shè) i = = I0 + +S Sk= =1Ikm cos(k 1t+ + ik)u = = U0+ +S Sk= =1Ukm cos(k 1t+ + uk)利用三角函數(shù)的正交性得利用三角函數(shù)的正交性得u與與 i參考方向關(guān)聯(lián)參考方向關(guān)聯(lián), 一端口吸收的平均功率為一端口吸收的平均功率為平均功率平均功率= =直流分量的功率直流分量的功率+ +各次諧波的平均功率。各次諧波的平均功率。 結(jié)論結(jié)論式中：式中

25、：j jk = = uk - - ik式中，式中， Uk 、Ik 是第是第 k次諧波的有效值；次諧波的有效值；j jk 是第是第 k次次諧波電流與電壓的相位差。諧波電流與電壓的相位差。結(jié)束2021年12月12日星期日2713- -4 非正弦電流電路的計(jì)算非正弦電流電路的計(jì)算分解；分解；計(jì)算；計(jì)算；疊加。疊加。把給定電源的非正弦把給定電源的非正弦周期電流或電壓作傅周期電流或電壓作傅里葉級(jí)數(shù)分解里葉級(jí)數(shù)分解。利用直流和正弦交流利用直流和正弦交流電路的計(jì)算方法，對(duì)電路的計(jì)算方法，對(duì)直流和各次諧波激勵(lì)直流和各次諧波激勵(lì)分別計(jì)算其響應(yīng)。分別計(jì)算其響應(yīng)。 將以上計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換將以上計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時(shí)值迭加。

26、為瞬時(shí)值迭加。 注意注意交流各次諧波電路計(jì)交流各次諧波電路計(jì)算可應(yīng)用相量法，迭算可應(yīng)用相量法，迭加時(shí)必須用瞬時(shí)值；加時(shí)必須用瞬時(shí)值；L、C 對(duì)直流分量、對(duì)直流分量、各次諧波分量的各次諧波分量的“態(tài)態(tài)度度”是不同的：是不同的：XkL= = k LXkC=-=-k C1將通過(guò)例題說(shuō)明。將通過(guò)例題說(shuō)明。 結(jié)束2021年12月12日星期日28例例1uS = = 10+ +141.40cos( 1t)+ +47.13cos(3 1t) + +28.28 cos(5 1t)+ +20.20 cos(7 1t) + +15.71 cos(9 1t) + + V, 試求試求 i 和和P。 k = = 0，C

27、有隔直作用有隔直作用k = = 1，基波作用，基波作用 .Im(1)= =3 - - j9.45141.4 0o解：分析步驟解：分析步驟分解；分解；已是級(jí)數(shù)形式。已是級(jí)數(shù)形式。分別求各分量單獨(dú)作分別求各分量單獨(dú)作用的結(jié)果；用的結(jié)果； 注意感抗、容抗與頻注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系！率的關(guān)系！ = =14.2672.39o AP(1)= = I(1)2R = =21Im(1)2R= = 305.02WRC+ +- -uSi3W W- -j9.45W W所以所以 I0 = = 0，P0 = = 0結(jié)束2021年12月12日星期日29同理可求得：同理可求得：和和 P(5)、P(7)、P(9)。用疊加原

28、理，用疊加原理，按時(shí)域形式按時(shí)域形式疊加疊加k = = 3，XC(3)= =31XC(1)=-=-39.45= -= -3.15W W .Im(3) = =3 - - j3.1547.13 0o = = 10.83 46.4o AP(3)= = I(3)2R = =21Im(3)2R = = 175.93 W .Im(5)、 .Im(7)、 .Im(9)i = = 14.26cos( 1t+ +72.39o)P = = P0 + + P(1) + + P(3) + + + +P(9) 注意：注意：同頻率的電壓電流構(gòu)成有功功率。同頻率的電壓電流構(gòu)成有功功率。72.39o A, .Im(1) =

29、= 14.26P(1) = = 305.02W+ + 10.83cos(3 1t+ +46.4o) + + = = 669.8WRC+ +- -uSi3W W- -j9.45W W結(jié)束2021年12月12日星期日30例例2：已知：已知u(t)是周期函數(shù)是周期函數(shù)(波波形如圖形如圖), 求理想變壓器原邊求理想變壓器原邊電流電流i1(t)及輸出電壓及輸出電壓u2的有效的有效值。值。L= =1/2p p mH , C= =125/p p F2410.5u/Vt/ms012解：解： = = 2p p/T = = 2p p103 rad/su(t)= =12+12cos t當(dāng)當(dāng)u= =12V作用時(shí)，電容

30、開(kāi)作用時(shí)，電容開(kāi)路、電感短路，有：路、電感短路，有：i1 = = 12/8 = = 1.5 A ,2 : 18W W- -+ +uL- -+ +u2Ci1i2u2 = = 0 。當(dāng)當(dāng)u= =12cos t 作用時(shí)：作用時(shí)：XC = -1/= -1/ C= - = - 4 W W2p p103125 10- -6- - p p= =結(jié)束2021年12月12日星期日31XL= = L= = 2p p103 2p p10- -3= =1W WXC = - = - 4 W W2 : 18W W- -+ +L- -+ +C .I1 .I2- -j4W Wj1W W .U212V .I1m = =j4 .

31、U1m= =120oj4= - = - j3 A .U1m = = .Um0o V .U2m = =n1 .U1m = = 6 0o VU2 = = = 1226= = 4.243V ,i1 = =1.5 + + 3cos( t - -90o) A8W W- -+ +C .I1- -j4W W12V- -+ + .U1j4W WL副邊阻抗副邊阻抗j1W W 折算到原邊折算到原邊為為j4W W。(Zeq= =n2ZL)發(fā)生并聯(lián)諧振發(fā)生并聯(lián)諧振結(jié)束2021年12月12日星期日32例例3：已知：已知求求Uab、i 及功率表的讀數(shù)。及功率表的讀數(shù)。2u1 = = 220 cos t Vu2 = =22

32、0 cos t+ +100 cos(3 t+ +30o)V22解：解：三次諧波作用：三次諧波作用：4402 + + 1002= = Uab= = 451.22V 一次諧波作用：一次諧波作用： .Uab(1)= = 440 0o V .I(1) = =60+j20440= = 6.96 - -18.4o A .Uab(3)= = 10030o V .I(3) = =60+j60= = 1.18 - -15o A10030oi = =6.9622cos(3 t- -15o)A+ +1.18P = = 2206.96 cos18.4測(cè)量的是測(cè)量的是u1的功率的功率= = 1452.92W- -+ +

33、 .I .U1j20W W- -+ + .U2W*60W Wabcos( t- -18.4o)結(jié)束2021年12月12日星期日33例例4：已知：已知 L= =0.1H，C3= =1 F，電容電容C1中只有基波電流，電容中只有基波電流，電容C3中只有三次諧波電流，求中只有三次諧波電流，求C1、C2和各支路電流。和各支路電流。 給定給定iS= =5+ +20cos1000t+ +10cos3000t A。LC2C1C3iSi1i2i3200W W100W W解：解： C1、C3“有隔直通有隔直通交交”的作用，所以的作用，所以i2、i3中不含直流分量。中不含直流分量。I1(0)= =5AC1中只有基

34、波電流，說(shuō)中只有基波電流，說(shuō)明明 L和和 C2對(duì)三次諧波發(fā)對(duì)三次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振：生并聯(lián)諧振： I2(0)= = I3(0)= =0，C2 = =9 9 2 2L1= =910 FC3中只有三次諧波電流，中只有三次諧波電流，說(shuō)明說(shuō)明L、C1、C2對(duì)基波對(duì)基波發(fā)生串聯(lián)諧振：發(fā)生串聯(lián)諧振：j C11+ +j( L-1/-1/ C2)L/C2= = 0C1 = =980 F結(jié)束2021年12月12日星期日34基波作用時(shí)發(fā)生串聯(lián)諧振基波作用時(shí)發(fā)生串聯(lián)諧振i2(1)= =20cos1000t Ai1(1)= = i3(1)= = 0 三次諧波作用時(shí)發(fā)生三次諧波作用時(shí)發(fā)生并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振 .I3m(3)

35、= =100+ +200- -j103/310010= =9- -j1030= = 2.23 48o A .I1m(3)= = .IS(3)- - .I3m(3)- -11o ALC2C1C3iSi1i2i3200W W100W WiS= =5+ +20cos1000t+ +10cos3000t ALC2C1C3iSi1i2i3200W W100W W并聯(lián)并聯(lián)諧振諧振i2(3)= = 0。Z1(3)= = 100 W WZ3(3)= = 200 - - j3103W W= =8.67結(jié)束2021年12月12日星期日35iS= =5+ +20cos1000t+ +10cos3000t A直流作用

36、時(shí)直流作用時(shí) I1(0)= =5A，I2(0)= = I3(0)= =0基波作用時(shí)基波作用時(shí) i2(1)= =20cos1000t Ai1(1)= = i3(1)= = 0 三次諧波作用時(shí)的瞬時(shí)值三次諧波作用時(shí)的瞬時(shí)值i3(3)= =2.23cos(3000t+ +48o)A i1(3)= =8.67cos(3000t- -11o)A 按時(shí)域形式疊加：按時(shí)域形式疊加：i1= =5+ +8.67cos(3000t- -11o)Ai2= =20cos1000t Ai3= =2.23cos(3000t+ +48o)A .I3m(3) 三次諧波作用時(shí)三次諧波作用時(shí) = = 2.23 48o A .I1

37、m(3)= =8.67 - -11o Ai2(3)= = 0。LC2C1C3iSi1i2i3200W W100W W結(jié)束2021年12月12日星期日36*13- -5 對(duì)稱三相電路的高次諧波對(duì)稱三相電路的高次諧波設(shè)三相電源滿足設(shè)三相電源滿足uB= =u( t- -120o)uC= =u( t+ +120o)三相發(fā)電機(jī)、變壓器、電三相發(fā)電機(jī)、變壓器、電動(dòng)機(jī)等都帶有鐵心，所以動(dòng)機(jī)等都帶有鐵心，所以由它們組成的對(duì)稱三相電由它們組成的對(duì)稱三相電路，其電壓、電流都含有路，其電壓、電流都含有高次諧波分量。高次諧波分量。uA= =u( t)uo t由于電網(wǎng)中的電壓是鏡對(duì)由于電網(wǎng)中的電壓是鏡對(duì)稱的，為奇諧函數(shù)

38、。稱的，為奇諧函數(shù)。所以所以三相電壓的傅里葉級(jí)數(shù)三相電壓的傅里葉級(jí)數(shù)展展開(kāi)式中開(kāi)式中僅含有奇次諧波，僅含有奇次諧波，不含直流和偶次諧波。不含直流和偶次諧波。則稱則稱uA、uB、uC為對(duì)為對(duì)稱非正弦三相電源。稱非正弦三相電源。io t平頂波平頂波尖頂波尖頂波結(jié)束2021年12月12日星期日371. 分析以分析以u(píng)A、 uB、uC為例為例的展開(kāi)式的展開(kāi)式(k為奇數(shù)為奇數(shù))：注意到三角函數(shù)的周期性，注意到三角函數(shù)的周期性， 展開(kāi)式可以整理為展開(kāi)式可以整理為uA = =Um1cos( 1t+ + 1 1)+ +Um3cos(3 1t+ + 3 3)+ +Um5cos(5 1t+ + 5)+ +Um7c

39、os(7 1t+ + 7) + + + + Um(k)cos(k 1t+ + k) uB = =Um1cos( 1t- -120o+ + 1 1)+ +Um3cos(3 1t- -360o+ + 3 3) + +Um5cos(5 1t- -600o+ + 5)+ +Um7cos(7 1t- -840o+ + 7 )uC = =Um1cos( 1t+ +120o+ + 1 1)+ +Um3cos(3 1t+ +360o+ + 3 3) + +Um5cos(5 1t+ +600o+ + 5)+ +Um7cos(7 1t+ +840o+ + 7 )+ + + + Um(k)cosk( 1t- -12

40、0o)+ + k)+ + + + Um(k)cosk( 1t+ +120o)+ + k)結(jié)束2021年12月12日星期日38uA = =Um1cos( 1t+ + 1 1) + + Um3cos(3 1t+ + 3 3)+ +Um5cos(5 1t+ + 5) + + Um7cos(7 1t+ + 7) + + uB = =Um1cos( 1t- -120o+ + 1 1) + + Um3cos(3 1t+ + 3 3) + +Um5cos(5 1t+ +120o+ + 5)+ +Um7cos(7 1t- -120o+ + 7 ) + + uC = =Um1cos( 1t+ +120o+ +

41、1 1) + + Um3cos(3 1t+ + 3 3) + +Um5cos(5 1t- -120o+ + 5)+ +Um7cos(7 1t+ +120o+ + 7 ) + + 討論討論(n= =0,1,2,3, )：基波、基波、7次、次、 、(k= =6n+ +1)次諧波分別是正序?qū)ΨQ的次諧波分別是正序?qū)ΨQ的三相電壓，構(gòu)成三相電壓，構(gòu)成正序組正序組；5次次、11次、次、 、(k= =6n+ +5)次諧波分別構(gòu)成次諧波分別構(gòu)成負(fù)序組負(fù)序組；3次次、9次、次、 、(k= =6n+ +3) 次諧波分別構(gòu)成次諧波分別構(gòu)成零序組零序組。結(jié)束2021年12月12日星期日39 結(jié)論結(jié)論三相對(duì)稱的非正弦周期

42、量三相對(duì)稱的非正弦周期量(奇諧波奇諧波)可以分解可以分解為為 3類對(duì)稱組，即正序?qū)ΨQ組、負(fù)序?qū)ΨQ組類對(duì)稱組，即正序?qū)ΨQ組、負(fù)序?qū)ΨQ組和零序?qū)ΨQ組。和零序?qū)ΨQ組。分析計(jì)算時(shí)，按分析計(jì)算時(shí)，按 3 類對(duì)稱組分別進(jìn)行。類對(duì)稱組分別進(jìn)行。對(duì)于對(duì)于正序和負(fù)序?qū)ΨQ組，可直接引用第正序和負(fù)序?qū)ΨQ組，可直接引用第12章的方章的方法和有關(guān)結(jié)論。法和有關(guān)結(jié)論。下面僅分析零序組分量的響應(yīng)。下面僅分析零序組分量的響應(yīng)。結(jié)束2021年12月12日星期日40(1)對(duì)稱的電源對(duì)稱的電源零序組電壓源等幅同相零序組電壓源等幅同相k=3,9,15, k=6n+3 .UA(k)= = .UB(k)= = .UC(k)= = .US(k)在三角形電源的回路在三角形電源的回路中將