傅立葉積分變換

1、第一章傅里葉積分變換積分變換簡(jiǎn)介所謂積分變換，實(shí)際上就是通過(guò)積分運(yùn)算， 把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種 變換這類(lèi)積分一般要含有參變量，具體形式可寫(xiě)為:b記為ak(t, )f tdt > F .這里f t是要變換的函數(shù)，稱(chēng)為原像函數(shù)；F .是變換后的函數(shù)，稱(chēng)為像函數(shù)； kt,.是一個(gè)二元函數(shù)，稱(chēng)為積分變換核數(shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問(wèn)題變?yōu)楸容^簡(jiǎn)單的問(wèn)題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得到原問(wèn)題的解女口，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對(duì)數(shù)將數(shù)的積、商運(yùn)算化為較簡(jiǎn)單的和、 差運(yùn)算； 再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐標(biāo)變換， 復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問(wèn)題的思路都屬于這種情況基于這種思想，便

2、產(chǎn)生了積分變換其主要體現(xiàn)在：數(shù)學(xué)上：求解方程的重要工具；能實(shí)現(xiàn)卷積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化工程上：是頻譜分析、信號(hào)分析、線(xiàn)性系統(tǒng)分析的重要工具§ 1.1傅里葉級(jí)數(shù)與積分1.傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式在高等數(shù)學(xué)中有下列定理：定理1.1設(shè)fT t是以T 0 ：T ：為周期的實(shí)函數(shù)，且在-T,T 上滿(mǎn)足狄利克雷I 2 2丿條件，即fT t在一個(gè)周期上滿(mǎn)足：（1連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；（2）只有有限 個(gè)極值點(diǎn)則在連續(xù)點(diǎn)處，有fT t =:.ancosn t bnsinn t（I）2 山其中 aT 2T fT t dt,an=1fTtcosn tdt n=1,2,1 02t fT t sinn

3、 tdt n 二 1,2.,T -i在間斷點(diǎn)to處，（1）式右端級(jí)數(shù)收斂于fT（to +°）+ fT（to 一0）2ifTt 詣，2 n丄ein ' eJn ta°、2n J： <an ibnein t. . an - ibn e-ln t2 丿an - ibn2C今,則i_li_i 'e ee e又 cos,si n2fT t 八Cnein t+，+cnein 帖 +，)+(ceJ<J+C/e_L2t3+-+c_ne_JnM+，)(2)(2)式稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，具有明顯的物理意義容易證明Cn可以合寫(xiě)成一個(gè)式子，即:T G二匚即仃t e

4、也n=0,_1,_2，.T _22 傅里葉積分任何一個(gè)非周期函數(shù) f t ,都可看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT t當(dāng)TT +8時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的即Tlim fr t = f t .由公式(2)、得:八 Tifr t.jr fTe" d. ein t,T n)2一可知:閃T1f(t )= lim 乞|J2r fT任 e"%i e呻,IF n 4 三V'n令 'n = n，= : n = n ' n ,則，=或 T于是d °0 I"If (t )= lim乞 | 再樸仕I蝕=TT -T n) 2f t叭、Tn S.1 匕：ii t注意到當(dāng)也CnT

5、O,即Tt °O時(shí),唏(叫)©(% )=J f (l個(gè)七習(xí)E疋® 2兀 q°從而按照積分的定義,或者（4）可以寫(xiě)為:1Hueii .皿戶(hù)石口 L/a e如*滬曲.公式（5）稱(chēng)為函數(shù)f t的傅氏積分公式定理1.2若ft在（-R , +R）上滿(mǎn)足條件J? t dt收斂,（1） f t在任一有限區(qū)間上滿(mǎn)足狄氏條件；（2） f t在無(wú)限區(qū)間（-R, + g）上絕對(duì)可積則（5 ）在ft的連續(xù)點(diǎn)成里；而在ft的間斷點(diǎn)t0處應(yīng)以f to° f to-0來(lái)代替.2上述定理稱(chēng)為傅氏積分定理可以證明，當(dāng)f t滿(mǎn)足傅氏積分定理?xiàng)l件時(shí)，公式（5）可以寫(xiě)為三角形式，即1

6、-° -f COS，t - d d 二0 -f t ,在ft連續(xù)點(diǎn)處，f(t+0)+f(t 0)其它2 ,其§ 1 2傅里葉積分變換上一節(jié)介紹了：當(dāng)f t滿(mǎn)足一定條件時(shí)，在f t的連續(xù)點(diǎn)處有:1 -be -be.f (t)=書(shū) U LJ " ed 可e% .從上式出發(fā)，設(shè)(1)1 *f(t戶(hù)議LcF® e曲稱(chēng)(1)式，即F 二.；f t e-dt為f t的傅里葉變換簡(jiǎn)稱(chēng)傅氏變換，記為F =Ff t.1稱(chēng)式，即f (t )=J F ¥吋d為傅里葉逆變換簡(jiǎn)稱(chēng)傅氏逆變換 ，記為2兀上0f t =Ff t .(1)式和式，定義了一個(gè)變換對(duì)FQ和f t也

7、稱(chēng)F2 為f t的像函數(shù);f t為的原像函數(shù)，還可以將ft和F 用箭頭連接：ft- F 0,t vO性例1求函數(shù)f(t)=s的傅氏變換及其積分表達(dá)式其中Pe_p, t 王0為指數(shù)衰減函數(shù)，在工程中常遇到解:根據(jù)定義，有0 這個(gè)函數(shù)稱(chēng)F 二 _. f te4 Ldt 'e-11 'dt =這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.根據(jù)積分表達(dá)式的定義，有1 -be .f t = F 鼻 ld 2兀q注意到e1 b = cos t sin 't，上式可得cos t isin t d =丄- :"cost sin ».一：22因此- cos t sin t0,血=*

8、n/2,_Pnet : 0,t =0,t 0.例2求f t i； = Ae的傅氏變換其中代.0 -鐘形脈沖函數(shù)解：根據(jù)定義，有:-.t: 't2 tFQ ： I f te 丄 Nt 二 _Aeetdt,這里利用了以下結(jié)果:1 0 .2.傅里葉變換的物理意義如果仔細(xì)分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式毗.*1-be.八二nPft 亍 fd、以及Cn和F的表達(dá)式1 T . .Cn =.2TfT tePt n=0,_1,_2,F f tedt,2由此引出以下術(shù)語(yǔ)：在頻譜分析中，傅氏變換F 又稱(chēng)為f t的頻譜函數(shù)，而它的模I F Q i|稱(chēng)為f t的振幅頻譜（亦簡(jiǎn)稱(chēng)為譜）.由于 是連續(xù)變化

9、的，我們稱(chēng)之為連續(xù)頻譜 因此對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜.顯然，振幅函數(shù)| F |是角頻率，的偶函數(shù)，即| F| =| F -|,| F|的輻角argF稱(chēng)為相角頻譜，顯然0j f (t bin 國(guó)tdt argF = arcta n =_f t cos tdt相角頻譜argF Q i是 的奇函數(shù).例3求單個(gè)矩形脈沖函數(shù)Et§f(t)»0，t a,的頻譜圖解:F 一 J tedt 二a"aEe2 Jdta旦"ia2sin頻譜為 |F | =|竺sin 灼2更深入詳細(xì)的理論會(huì)在有關(guān)專(zhuān)業(yè)課請(qǐng)畫(huà)出其頻譜圖.以上術(shù)語(yǔ)初步揭示了傅氏變換在頻譜分

10、析中的應(yīng)用,中詳細(xì)介紹！§ 1.3單位脈沖函數(shù)在物理和工程技術(shù)中，有許多物理、力學(xué)現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì).它反映出除了連續(xù)分布的量以外，還有集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量，例如沖力、脈沖電壓、點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等等.研究此類(lèi)問(wèn)題需要引入一個(gè)新的函數(shù)，把這種集中的量與連續(xù)分布的量來(lái)統(tǒng)一處理。單位脈沖函數(shù)，又稱(chēng)狄拉克(Dirac)函數(shù)，簡(jiǎn)記為:.一函數(shù)，便是用來(lái)描述這種集中量分布的密度 函數(shù).下面我們通過(guò)兩個(gè)具體的例子，說(shuō)明這種函數(shù)引入的必要性1在原來(lái)電流為零的電路中，某一瞬時(shí)(設(shè)為t = 0)進(jìn)入一單位電量的脈沖，現(xiàn)在要確定 電路上的電流i(t),以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù) ，貝Uq(t)=

11、弓,1,t=0,由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率，即i(t)dq(t) _ ljm q(t：t) q(t)dt：t所以，當(dāng)t=0時(shí)，i(t) =0;當(dāng)t=0時(shí)，由于q(t)不連續(xù)，從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下，q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù)，得q(0：t) q(0)At這表明在通常意義下的函數(shù)類(lèi)中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度為此，引進(jìn)一稱(chēng)為狄拉克(Dirac)的函數(shù).有了這種函數(shù)，對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量，例如點(diǎn)電荷點(diǎn)源，集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等，就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式加以解決1單位脈沖函數(shù)的定義 定義1如果函數(shù),.(

12、t)稱(chēng)滿(mǎn)足i) 、(t)=0，(當(dāng) t=0 時(shí))ii) J6(tdt=1，或者 代(tdt = 1，其中I是含有t=0的任何一個(gè)區(qū)間，則稱(chēng)§(t) 為：一函數(shù).更一般的情況下，如果函數(shù)滿(mǎn)足i) 、(t -a) =0, (當(dāng) t = a 時(shí))ii) t -adt =1，或者 t - a dt =1，其中I是含有t = a的任何一個(gè)區(qū)間，則稱(chēng)為、(t -a)函數(shù).在現(xiàn)實(shí)生活中，這種函數(shù)并不存在，它只是如下特殊規(guī)律的數(shù)學(xué)抽象；在某定點(diǎn)非常狹小 的區(qū)域內(nèi)，所討論的問(wèn)題取非常的值； 在這個(gè)領(lǐng)域之外，函數(shù)值處處為0如函數(shù)-丄，a<t<a + h;0(t -a)=h0， t va，t

13、>a +h，則脈沖函數(shù)-：h(t - a)的極限為=、(ta),而把、；(t -a)的積分理解為:a:!h帆=h(t -a)dt= a 啊鋰-a)dt =特殊情況下，a = 0時(shí)有a- I a1dt = 1.h1Ft" h，0 t : h;t : 0,t h,于是*、.；hh 1lhi叫.二 h(t)dt= 0 ：.h(t)dt= 0hdt一般工程上都稱(chēng)一函數(shù)為單位脈沖函數(shù)，將：一函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線(xiàn)段來(lái)表示，這線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示:.一函數(shù)的積分值，稱(chēng)為：一函數(shù)的強(qiáng)度下面我們推出:.一函數(shù)的一個(gè)重要結(jié)果，稱(chēng)為一函數(shù)的篩選性質(zhì)：若f t為連續(xù)函數(shù)，則有CO,(t)f t dt

14、 = f 0 .(1)更一般情況，有(ta)f t dt = f a其中ft在t =a處連續(xù)由(1)可以求出單位脈沖函數(shù)的傅氏變換、；(t - a)、；(t - a)F，二t 】 t etdt=et&=1可見(jiàn)，單位脈沖函數(shù)：(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì)；同理 ，：(t - a)和e七亦構(gòu)成了一 個(gè)傅氏變換對(duì).同時(shí)，若F =2(<、:時(shí)，則由傅氏逆變換得1 比1 O0.f (t )=2? L/ ® e d =書(shū) J,頑 ® e d =e 1故1和2 A i<” 也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì)。同理，2二：(；.-：；o)和ei ot亦構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì).需要

15、指出的是，此處的廣義積分是按(1)式計(jì)算的，不是普通意義下的積分值，我們稱(chēng)這種傅氏變換為廣義的傅氏變換 .根據(jù)傅氏積分公式，函數(shù) f t能取傅里葉積分變換的前提條件是它首先應(yīng)絕對(duì)可積即實(shí)際上這個(gè)條件非常強(qiáng)，它要求f t條件較高，因而一些常見(jiàn)的函數(shù)都不滿(mǎn)足這一點(diǎn)如常數(shù)、符號(hào)函數(shù)、單位階躍函數(shù)及正余弦函數(shù)等都不滿(mǎn)足絕對(duì)可積的條件！如此一來(lái)，較強(qiáng)的條件使得傅里葉變換的應(yīng)用受到限制為克服這一缺陷，我們把單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換應(yīng)用到其他函數(shù)的傅氏變換中，得到它們的廣義傅氏變換0, t<01例i證明單位躍階函數(shù) u（t）=丿的傅氏變換為 +仍g1, t> 0iw證明：首先注意，這里的變換顯然

16、指的是廣義變換.我們用考察逆變換的方法證明事1實(shí)上，若F,則i©1 說(shuō)*1°015）=亍/3個(gè)"血=口一+向3爬002兀q2兀上0 io1 : 1 1 +=f e1仙d豹+ f 感佃 e1仙doo2 二-：i 2r： -1 二si nt,1d 兀、0灼2為了說(shuō)明ft二u t，就必須計(jì)算積分，由積分，有七灼右灼2:sin t-，t c0; d國(guó)=<0,t = 0;712,t°,將此結(jié)果代入f t的表達(dá)式，當(dāng)t = 0時(shí)，可得f（t）=丄沁也+丄兀也21+12'二 2'二11t 0;i 2兀2t 0,1j這就表明的傅氏變換為i®

17、; 丿 1 f t = u t，因此，u t和構(gòu)成了一個(gè)傅ico氏變換對(duì)。所以單位躍階函數(shù)u t的積分表達(dá)式可以寫(xiě)成.1 處 si ntot1.ut亠嘰2，5例2求正弦函數(shù)f t i=sin0t的傅氏變換.氐S七0t解:F =sin jte小dt='eee4tdt2i=1 二 e 0t -e，'”0也2i=一2 - - 0 ?-2 N 亠,:”o=j , N f 亠心0 ，一 ,01.即F sin 0t= i亠八0). 十八0 1.同理，可得F cos，0t = i，山 Q 亠心0、，- - '0 丨注：我們介紹、：一函數(shù)，主要是提供一個(gè)應(yīng)用工具，而不去追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)

18、性§ 1 4傅里葉變換的性質(zhì)為了能更好的用傅里葉變換這一工具解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題，它的一些基本性質(zhì)必須熟練掌握.為了敘述方便起見(jiàn)，假定在這些性質(zhì)中，凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿(mǎn)足傅氏積分定 理中的條件，在證明這些性質(zhì)時(shí)，不再重述這些條件.1 線(xiàn)性性質(zhì)設(shè)R、F2 分別是fl t、f2 t的傅氏變換，即F . t 二Fj ,j "，2，其中q,a2是兩個(gè)常數(shù)，則(3.19)F 忖人 t +a2 f2 t iJnaiFi" kazF?".逆變換也具有類(lèi)似的性質(zhì)，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的性質(zhì)2 位移性質(zhì) 設(shè)F* ti：； = F，則對(duì)于實(shí)常數(shù)t。、0有F« t _t-

19、e j t0F 顯而易見(jiàn)，位移公式的作用是：知道了一個(gè)函數(shù)的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！同理可得F0 ?=e j t0 f t推論設(shè)Ff t i：； = F ,則對(duì)于實(shí)常數(shù)0，有F ：f t cos0t ； =1 F 亠心0 F，；d0 1,F ' f t sin - '0 =2 匸亠心0 - F軽書(shū)。1.提示：利用歐拉公式和位移性質(zhì)容易證明.3微分性質(zhì) 如果f t在(-R，+ a)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且當(dāng)t > -:時(shí)，f t t0，則 F ：f t i F ：f t".證明：根據(jù)定義，得Ff t ?=二 f te'dt /-eJ &

20、#39;df (t)' tF!r *rJ'*If=f t 打二- f t -r eJ tdt = F(f t ?.一般地，如果f(n!t 在 (-m , + 8 )上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且當(dāng) :時(shí)，有f k t ：r 0 k =012 ,n -1 .則 Ff n t,；=（i）nFlf t ?.類(lèi)似地可推得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:4.積分性質(zhì)fnF inF”f *d t如果當(dāng) t；：時(shí)，g t 二._f t dt > 0,則5.對(duì)稱(chēng)性質(zhì)F f tdl.1 F：f t /.-i 若 Flf ti； = F，則FF t ； = 2 二f - ，特別地，若f t偶函數(shù)，則FF

21、 f .思考題：若 Ff t，問(wèn) FT t6相似性質(zhì)若F f t ： = F，則對(duì)于非零實(shí)常數(shù)a，有F” （at丄F巴,a la丿特別地，若 a - -1,則F* -t：； = F -，稱(chēng)為翻轉(zhuǎn)性質(zhì).卷積是積分變換中的一個(gè)重要概念，這一運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題如線(xiàn)性系統(tǒng)分析中有著重要應(yīng)用.下面著重介紹卷積概念與卷積定理.1.卷積定義設(shè)函數(shù)f! t , f2 t在整個(gè)數(shù)軸上有定義，則.Jf2 t - d.稱(chēng)為函數(shù)f1 t與f2 t的卷積，記為fi tf2 t .即fl tf2t 二；fi f2td .2 卷積的性質(zhì)2.1 交換律fi tf2 t =f2 tfit .2.2 結(jié)合律fi t f2 tf3 t

22、 = fi tf2 t bf3t.2.3 分配律 fit f2 t f3 tHfi tf2 tfitf3t .2.4卷積滿(mǎn)足如下不等式fi (tf2(t W f2(t卜I fi(t p思考題：?jiǎn)杅 t ' t A?0, t v 0,Q t c 0,例 i 設(shè) fi(t)=f2(t)=求 fi(" f2(t).i,t0;e，t0.解代入定義，計(jì)算積分:ttfi t仇 t = fi f2 t - d = 0 i f2 t d t_ 0 0i L - d.；e d =i d t 一0 .3 卷積定理卷積在積分變換中有著十分重要的的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在卷積定理上定理7.3設(shè)fi t ,f

23、2 t滿(mǎn)足傅氏積分定理中的條件，記Ff, t 1二F ,F f = F-，則F：fi tt ；二 Fi F2 .證明：根據(jù)定義，有Ffi tf2:y fi tf2 t e4 ldtUf2td e4 tdt=e" f2 t _ e4 d dt；fiett- eidtld=F1 I.' ! I F2 I.' ： .1.類(lèi)似地，可以證明1Ff t f2t RF22?？梢詫⒉惶菀子?jì)算的卷積運(yùn)算化為普通乘法，這就使得卷積在線(xiàn)性系統(tǒng)分析中成為特別有用的方法解：法一，用卷積定理：1F 仃 tF 'cos 0tF J t /例 2 若 ft = cos - 0t u t ,

24、 求 Ff t2 :1 1u0 i亠心 f 亠c0 2 二i 1 1 1，_. '000“ 二.，.- p 掙心 2ii 而由卷積定理，又有二FFi 。同理可得門(mén)u -心0新亠.由此，最終可得法二，用位移公式：F f (t=Fu(t ye' ot - e°t廠1 1 1 02i°例 3 若 f t i；二e" cos 0t u t C 0),求 F'f t 解：因?yàn)樗杂晌灰乒礁道锶~積分變換內(nèi)容小結(jié)、概念、術(shù)語(yǔ)傅里葉積分變換（正變換，逆變換）；原象函數(shù)，象函數(shù)； S函數(shù)（單位脈沖函數(shù)）； 卷積；頻譜函數(shù)；能量譜密度 *，相關(guān)函數(shù)* 二、公

25、式、定理傅里葉積分公式；S函數(shù)性質(zhì)；傅里葉積分變換性質(zhì)（線(xiàn)性，微分公式，積分公式，位移公式）卷積定理；三、基本運(yùn)算用定義直接求簡(jiǎn)單函數(shù)的傅里葉變換用積分變換的性質(zhì)、卷積定理并結(jié)合變換表間接求稍復(fù)雜些函數(shù)的變換 積分變換求解微分方程§ 1.6傅里葉變換的應(yīng)用首先可以用傅里葉變換求解微分積分方程，運(yùn)用傅氏變換的線(xiàn)性性質(zhì)，微分性質(zhì)以及積分性質(zhì)，可以把線(xiàn)性常系數(shù)微（積）分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過(guò)解代數(shù)方程與求傅氏逆變換，就可以得到原方程的解.另外，傅氏變換還可以用來(lái)求解一些數(shù)學(xué)物理方程.例1求解微分積分方程tax t bx t c x d = f t其中-：:t ”：；Z'，a，b，

26、c均為常數(shù).解：設(shè) X 二Ft=Ff t ，則caiX bXX ：於 i= F ，i«例2求解常微分方程y x?-a2yx = f x , ；im y x = 0, lim y x =0,:：X ：:.解：記F Cy t '. *, F H ,那么方程兩端同取傅里葉變換，并注意到條件及線(xiàn)性關(guān)系、微分公式，得到：i 2丫心 j- a2Y= F ,即- 2Y i- a2YF P' ,從而將未知函數(shù)的常為微分方程化為其象函數(shù)的代數(shù)方程。求解，得丫一 Ja最后，取逆變換，并應(yīng)用卷積定理和查表，得y(x)=FYP=-F®)3 ax1汽e=f<2a .丿2a Jf

27、(teaZdt.i22af二- f x -=ff (國(guó)仆其次，我們要介紹傅氏變換與逆變換在電路與通訊等方面的應(yīng)用如對(duì)于圖1中所示的RLC串聯(lián)電路，由電流與電阻上的電壓、電感上的電壓及電容上的電壓滿(mǎn)足如下的關(guān)系式du . diu Ri*, i* C ,u = L ,(1)dt dt用U、I分別表示電壓u、電流i的傅氏變換，則由傅氏變換性質(zhì)，有U 二 Rl,l 二 iC，U,U 二 iL l,i =,(2)而得復(fù)阻抗ZR =R,對(duì)電阻R,U IZ = =<Zc =1/iCB,對(duì)電容 C(3)Zl =ig,對(duì)電感L,對(duì)于串聯(lián)電路，因?yàn)閁 U1UZ1IZ2I =乙 z2 I =ZI ,(4)則Z

28、-乙Z2是此電路的等效復(fù)阻抗.對(duì)于并聯(lián)電路,因-|1 2Ui U2N NZU /Z1Z2Z而Z勺藝 是此電路的等效復(fù)阻抗 以上復(fù)阻抗與使用復(fù)數(shù)歐姆定律求得的是相同的乙+Z2對(duì)于圖1所示的RLC串聯(lián)電路，其總復(fù)阻抗為Z = ZR ZL Zc1 1二 R iLR i (L),iCC以U入、U出分別表示輸入電壓u入、輸出電壓u出(t)的傅氏變換，則入二ZI= |R + iLl，lI,U 出=ZcICcoiC因而得RLC串聯(lián)電路的頻率特性U 出 Z-I Z-1U 入ZIZ 1 - LC 2 iRC 1 * e (1-LC 2)2 (RC )2其中=arctgRC 0,當(dāng) 1 - LC 2 _0,1 L

29、C 2 二，當(dāng) 1 LC 2 ： 0,如果將(7)式中的代以p,便得傳遞函數(shù)U 出(P)1U 入(p)1 LCp2 RCp現(xiàn)在介紹用復(fù)數(shù)歐姆定律來(lái)求電路的頻率特性若電路中某元件(如電阻R、電感L、或電容C )的實(shí)電壓、實(shí)電路分別為 u = u0 cos( t亠心J、i* = i0 cos( t亠c：2),這里、2表示了 U與i*得位相情況，而U =U0ei(t1),i0eicr；2)(9)叫做復(fù)電壓與復(fù)電流,其中u =ReU上二Re I .對(duì)于電阻 R,當(dāng)u=u0 COS(1),“R 唁cos(1)，對(duì)于電容C ,當(dāng)U二Uo COS(，t亠1),則i* 二 C- -C u0 sin( t 】)

30、二 C，u0 cos(，t ?dtJI)，對(duì)于電感L ,當(dāng)i* = i0 cos( t 篤),則u=Ldu0cos(QL .i0sin( t)dt小兀-C u0cos( t< )，將上述用余弦函數(shù)表示的實(shí)電壓、實(shí)電流均表示成指數(shù)形式的復(fù)電壓、復(fù)電流R、L、C上的復(fù)阻抗,則分別得到(10)U =u°e，I 乂十宀肯I iC 二 Zc, (11)I 皿,UU = iL/： -ZL ,(12)以上三式中復(fù)電壓 U、復(fù)電流I、與復(fù)阻抗Z的關(guān)系式就稱(chēng)為復(fù)數(shù)歐姆定律 ，其中所求的 的復(fù)阻抗與用傅式變換求得的復(fù)阻抗表示式(4.3)完全一樣.由此同樣可得 RLC串聯(lián)電路的頻率特性，如(4.7)

31、式所示.如果輸入實(shí)電壓口入=u0cost,則復(fù)電壓U入二U0ert,從(4.7)即得輸出復(fù)電壓UoU°ei( t )出 J(1 LC 2)2 +(RC 巧2(13)U 出（t）二Uo(1-LC，)2 (RC )2這里所說(shuō)電壓的穩(wěn)態(tài)量是指當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)后電壓的近似值此外，從上述RLC串聯(lián)電路的頻率特性還可列出描述電路的微分方程，由（7）,可得（1 _LC 2 iRC ）U 出=U 入，即2L LC U 出 RCi U 出 U 出二 U 入，所以輸出復(fù)電壓U出滿(mǎn)足復(fù)形式的微分方程LCU 出 RCU 出 U 出二 U 入，（15）(16)將上式兩邊取實(shí)部，便得輸出電壓U出所滿(mǎn)足的微分方程LC

32、u 出 RCu 出 u 出=u 入=u0 cos t而（4.14）式所示電壓的穩(wěn)態(tài)量實(shí)際上是非齊次微分方程（16）的一個(gè)特解，略去了齊次方程的那一部分解（當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)，這種解將衰減接近于0）.其次，考慮一種最簡(jiǎn)單的低通濾波器，如圖2所示，當(dāng)輸入電壓口入=u0 COS t時(shí),1 1電感L上的阻抗為 L ,電容C上的阻抗為.當(dāng)頻率，較低時(shí)，小,而 大，因3 Co1此低頻率部分的信號(hào)較易通過(guò)L ,不易通過(guò)C ,當(dāng)頻率較高時(shí)，大， 小，因此8高頻率部分的信號(hào)不易通過(guò)L,這樣通過(guò)負(fù)載電阻 R的主要是低頻信號(hào).這種特性也可從電路的頻率特性看出，以U入、U出分別表示輸入復(fù)電壓與輸出復(fù)電壓，而圖5.4.1并臂

33、上的復(fù)阻抗與串臂上的復(fù)阻抗分別為Zrc 二,Zr = r iL iRC R又電路的總復(fù)阻抗為2Z 乂 ZrcR r - RLC， i(rRC L)，1 +iRC ®根據(jù)復(fù)數(shù)歐姆定律,U入二ZI、u出二ZrcI ,因此圖541中電路的頻率特性為U出uTZrcIZrcZI1- - LC 2 H rCR1 R”2二 arctgi 0,1 十丄一LCco2 KO,J R1 R_lc2r2二，1 LC : 0.R由于U入二u0eLt,從上式可得輸出復(fù)電壓U出二u°ei(tj(18)而輸出實(shí)電壓的穩(wěn)態(tài)量為1 R-lc22 rCu出(t)二 ReU 出(19)Uocos(V),R”2從上

34、式看出：當(dāng)很大時(shí)，的振幅比輸入電壓的振幅u0小得多，而當(dāng)，很小時(shí)，u»的出出振幅接近于U0：,這也說(shuō)明了突2中所示的電路是一種低通濾波器.另外，從(17)式，有1 丄 - LC 2rC 丄 _ R.1R U出二U入,由此即可得到輸出電壓u出所滿(mǎn)足的微分方程LCu-1 rC - uI R丿二 u 入=u0 cos t .(20)下面介紹傅氏變換在無(wú)線(xiàn)電通訊中的某些應(yīng)用在近代通訊中，一種傳遞信號(hào)的重要方式是借助于高頻電磁波在空間中進(jìn)行傳播，如短波無(wú)線(xiàn)電話(huà)就是這樣，其中還要用到連續(xù)信號(hào)或脈沖的調(diào)制和調(diào)解，而在數(shù)學(xué)理論上則要使用復(fù)式分析的方法在§ 2例4中所述的調(diào)幅信號(hào)f(t)CO

35、Sot就是對(duì)連續(xù)信號(hào) f(t)用較高頻率-'0的余弦波COS ot進(jìn)行調(diào)制，而 脈沖調(diào)制是用需要傳輸?shù)南⑿盘?hào)去調(diào)制一串矩形脈沖的某些參量(如幅值、相位等)隨消息信號(hào)的強(qiáng)弱而變化，以下，我們只討論脈沖調(diào)幅為此，我們來(lái)敘述和證明時(shí)間抽樣定理：設(shè)f(t)是一個(gè)連續(xù)信號(hào)，其頻率不超過(guò) B赫茲，即其頻譜F(co)在Al >B時(shí)為0,1則f (t)可以由在時(shí)間上離散的、相互間隔為,:t秒的瞬時(shí)值2Bf (n =0, _1,_2,|)完全確定，并且有2Bf(t)八fn :n sin(2 二 Bt-n二)2B 2二 Bt -(21)為了導(dǎo)出(21)式，先對(duì)f(t)作傅式變換，有F()二f qQ

36、If fedte<oO0,岡 a2兀 B,<2： B,(22)1 嚴(yán)斶f(t)F( )e d 2 :(23)對(duì)F(co)在>B上進(jìn)行以T =4二B為周期的開(kāi)拓這樣就可將F ()在v 2兀B上展成復(fù)數(shù)形式的復(fù)式級(jí)數(shù)0(24)F()二、其中12 “B_L-F(co)e 2Bd, n = 0,±1,±2,川,(26)將(4.25)與(4.23)進(jìn)行比較,可知2B . 2B，n 巾-1，-2，川.因此有了樣點(diǎn)值 f|2B，n=0,二h 二2, | I (，便得 cn(n =0,二1,二 2,|(),再代入(24),就可求得F( ),即e2B2B；L 2B(27)將(27)代入(23),有f(t)二 14 二 Bn-：(28)2sin，B(t 喘)t 2B_ 品 f( n sin(2 兀 Bt n兀)n* 2B 2 二 Bt- n 二這就是(21)式.從(21)式看出：由信號(hào)f(t)的一串樣點(diǎn)值,(n =0,±1,±2,川)可以完全確定2Bf(t)，但在實(shí)際通信系統(tǒng)中的信號(hào)都是限制在間隔T的某段有限時(shí)間內(nèi)，T稱(chēng)為信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，而在其他時(shí)間內(nèi)的信號(hào)可忽略不計(jì)，因此，信號(hào)f(t)可由間隔為T(mén)