初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題典整除

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題典數(shù)的整除 題l 所有四位數(shù)中，有（）個(gè)數(shù)能同時(shí)被入3，5，7和11整除？ （A）l（B）2（C）3（D）4 題2 設(shè)n是 100到 200之間的自然數(shù)，則滿足7n2是5的倍數(shù)的。共有（）個(gè)題3一個(gè)六位數(shù)能被12整除，這樣的六位數(shù)共有多少個(gè) （A）4 （B）（C）8（D）12 題4 已知7241可被40至50之間的兩個(gè)整數(shù)整除，這兩個(gè)整數(shù)是（）， 題6 n是一個(gè)兩位數(shù)，它的數(shù)碼之和為a當(dāng)n分別乘以3，5，79以后得到4個(gè)乘積如果其每一個(gè)積的數(shù)碼之和仍為a，那么，這樣的兩位數(shù)n有（） 題8設(shè)某個(gè)n位正整數(shù)的n個(gè)數(shù)宇是1，2，n的一個(gè)排列，如果它的前k個(gè)數(shù)字所組成的整數(shù)能被k整除，其

2、中k1，2，n，那么就這個(gè)n位數(shù)為一個(gè)“好數(shù)”例如，321就是一個(gè)三位“好數(shù)”，因?yàn)?整除3，2整除32，3整除321那么六位“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）題9能被11整除的最小的九位數(shù)是題12在自然數(shù)1，2，3，1990，1991中不能披7整除的數(shù)有（）個(gè)題13將自然數(shù)N接寫(xiě)在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫(xiě)在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)，在小于l30的自然數(shù)中，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）題14在所有的五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能被11整除的數(shù)是（）。題15定義：如果n個(gè)不同的正整數(shù)，對(duì)其中的任意兩個(gè)數(shù)，這兩數(shù)的積能被這兩數(shù)的和整除那么，叫這組數(shù)為n個(gè)數(shù)的祖沖之

3、數(shù)組。例如：60，120，180這三個(gè)數(shù)就構(gòu)成一個(gè)三個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，（因（60×120）÷（60120），（60×180）÷（60180），（120×180）÷（120180）都是整數(shù)）請(qǐng)你寫(xiě)出一組四個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組題16 設(shè)a、b、c為整數(shù)，且ab和ab均可被c整除，求怔：a3b3可被c2整除題17 設(shè)a、b、c為正整數(shù)，求證：a3（bc）b3（ca）c3（ab）可被abc整除題19 一個(gè)魔方是由自然數(shù)組成的正方形網(wǎng)格。它有如下性質(zhì)：每一行，每一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)的和都相同，這個(gè)值稱為魔方和。求證：每一個(gè)3×3大小的魔

4、方的魔方和都能被3整除。題20 求證：如果兩個(gè)不可約分?jǐn)?shù)的和是整數(shù)，那么這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同。題21 設(shè)a和b為自然數(shù)，使得a2ab1可被b2ba1整除，求證：ab。題22 自然數(shù)a、b、c、d都可以被abcd整除，其中abcd0。求證：abcd1。題23 使求出所有這樣的自然數(shù)n，使得n33可被n3整除。題26 圓上有9個(gè)數(shù)碼，已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針?lè)较蛴浵?，得到一個(gè)9位數(shù)并且能被27整除。求證：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針?lè)较蛴浵碌脑?，那么所得的一個(gè)9位數(shù)也能被27整除。題27 任意給定一個(gè)自然數(shù)A，把A的各位數(shù)字按逆序?qū)懗鰜?lái)，形成一個(gè)新的自然數(shù)A。試證：AA是9的倍數(shù)。題

5、28 設(shè)n是正奇數(shù)，試證：1n2n9n3（1n6n8n）能被18整除。題29 求證：被1001整除。題30 求證：7|（2222555555552222）。題31 求證：對(duì)任何自然數(shù)，數(shù)（2n1）n3都可被2n3整除。題33 給定自然數(shù)a，b和n，已知對(duì)任何自然數(shù)k（k0），數(shù)akn能被bk整除，證明：abn。題34 設(shè)k為正奇數(shù)，證明12n整除（1k2knk）。題35 求證：467|512367537203。題36 已知最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)可以表示成。試證：分子m是質(zhì)數(shù)1993的倍數(shù)。題37 設(shè)p與q是自然數(shù)，滿足。求證：p可被質(zhì)數(shù)1979整除。題38 設(shè)p為奇質(zhì)數(shù)，求證：的分子a是p的倍數(shù)。題39 給

6、定，其中是不可約分?jǐn)?shù)，試證：m能被5整除。題40 試證：將和寫(xiě)成一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，m不會(huì)是5的倍數(shù)。題41 設(shè)n是正偶數(shù)，求證：（2n1）不整除（3n1）。題42 試證：對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n，數(shù)1199721997n1997不能被n2整除。題46 一個(gè)自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個(gè)新的自然數(shù)b，如果a恰是b的3被，我們稱a是一個(gè)“希望數(shù)”。（1）請(qǐng)舉例說(shuō)明：“希望數(shù)”一定存在。（2）請(qǐng)證明：如果a，b都是“希望數(shù)”，則一定有729|ab。題47 求證：對(duì)任何自然數(shù)n，都有120|n55n34n。題48 求證：n（n21）（n25n26）可以被120整除。題49 試證：n2（n21）（n24）可

7、以被360整除。題50 設(shè)n是任意自然數(shù)，求證：是整數(shù)。題51 若干個(gè)整數(shù)的和能被6整除，求證：這些數(shù)的立方和也能被6整除。題52 今有6根金屬棒，每根的長(zhǎng)度都是1m，能否將它們鋸成10根27cm長(zhǎng)、12根15cm長(zhǎng)和25根6cm長(zhǎng)的短棒？（鋸棒時(shí)的損耗可忽略不計(jì)）題53 柯樓南契大蛇有1000個(gè)頭。神話中的大力士能一次用劍看去1，17，21或33個(gè)頭，但是大蛇又相應(yīng)地生出10，14，0或48個(gè)頭。問(wèn)大力士能戰(zhàn)勝柯樓南契大蛇嗎？題54 一天我發(fā)現(xiàn)了如下的魔術(shù)錢幣機(jī)：如果我放入一枚一分的硬幣，出來(lái)一枚5分硬幣和一枚一角硬幣；如果我放進(jìn)一枚5分硬幣，機(jī)器給出四角硬幣，而如果我放如一枚一角硬幣，我取

8、回3枚一分的硬幣我用一枚一分的硬幣開(kāi)始，反復(fù)進(jìn)行以上過(guò)程，能出現(xiàn)我剛好有一美元硬幣的機(jī)會(huì)嗎？驗(yàn)證答案題55 是否存在兩個(gè)不等于0的整數(shù)a和b，其中之一可被它們的和整除，另一個(gè)可被它們的差整除？題56 一個(gè)凸n邊形被劃分成黑、白兩色的若干個(gè)三角形，使得任意兩個(gè)三角形要么有公共的邊（這時(shí)它們?nèi)静煌伾从泄岔旤c(diǎn)，要么沒(méi)有公共頂點(diǎn)。而多邊形的每條邊都是某個(gè)黑色三角形的邊。證明：3|n。題57 求證：不存在整數(shù)a、b、c、d，使當(dāng)x19時(shí)，ax3bx2cxd1，以及當(dāng)x62時(shí)，ax3bx2cxd2。題58 公共汽車票的號(hào)碼是一個(gè)六位數(shù)，若一張車票的號(hào)碼的前三個(gè)數(shù)字之和等于后三個(gè)數(shù)字之和，剛稱這張車票是幸運(yùn)的試證：所有幸運(yùn)車票號(hào)碼的和能被13整除，題59 某商場(chǎng)向顧客發(fā)放9999張購(gòu)物券，每張購(gòu)物券上印有一個(gè)四