四種命題四種命題間的相互關(guān)系

1、四種命題四種命題間的相互關(guān)系1、四種命題的概念，寫出某個(gè)命題的逆命題、否命題和逆否命題。2、四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系。3、會(huì)用命題的等價(jià)性解決問題。【核心掃描】：1、結(jié)合命題真假的判定，考查四種命題的結(jié)構(gòu)。(重點(diǎn))2、掌握四種命題之間的相互關(guān)系。(重點(diǎn))3、等價(jià)命題的應(yīng)用。(難點(diǎn))1、四種命題的概念(1)互逆命題：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。其中一個(gè)命題叫原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題。若原命題為“若p，則q”，則逆命題為“若q，則P”。(2)互否命題：對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題

2、的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題。如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的否命題。也就是說，若原命題為“若p，則q”則否命題為“若非p，則非q”。(3)互為逆否命題：對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆否命題也就是說，若原命題為“若p，則q”，則逆否命題為若非q，則非p。 任何一個(gè)命題的結(jié)構(gòu)都包含條件和結(jié)論，通過條件和結(jié)論的不同變換都可以得到這個(gè)命題的逆命題、否命題和逆否命題，因而任何一個(gè)命題都有逆命題、否命題和逆否命題。2、四種

3、命題的相互關(guān)系3、四種命題的真假性(1)四種命題的真假性，有且僅有下面四種情況：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系：兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系在四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)可能會(huì)有幾種情況？因?yàn)樵}與逆否命題，逆命題和否命題互為逆否命題，它們同真同假，所以真命題的個(gè)數(shù)可能為0，2，4.一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用非p和非q分別表示p與q的否定，則四種命題的形式可表示為：原命題：若P，則q；逆命題：若q，則p；否命題：若非P，則非q；逆否命題：若非q，則 非 p

4、.(1)關(guān)于四種命題也可敘述為：交換命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原命題的逆命題；同時(shí)否定命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原命題的否命題；交換命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題(2)已知原命題，寫出它的其他三種命題：首先，將原命題寫成“若p，則q”的形式，然后找出條件和結(jié)論，再根據(jù)定義寫出其他命題。然后，對(duì)于含有大前提的命題，在改寫時(shí)大前提不動(dòng)。如“已知a，b為正數(shù)，若a>b，則|a|>|b|”中，“已知a，b為正數(shù)”在四種命題中是相同的大前提，寫其他命題時(shí)都把它作為大前提。四種命題的真假關(guān)系原命題為真，它的逆命題不一定為真；原命題為真，它的否命

5、題不一定為真；原命題為真，它的逆否命題一定為真；原命題的逆命題為真，它的否命題一定為真？四種命題的等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用：判斷某個(gè)命題的真假，如果直接判斷不易，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假。例如帶有否定詞的命題真假的判斷。因此，證明某一問題時(shí)，若直接證明不容易入手，可以通過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題四種命題之間的轉(zhuǎn)換【例1】寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題(1)如果直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)當(dāng)x2時(shí)，x2x60.思路探索：可先分清命題的條件和結(jié)論，寫成“若p，則q”的形式，再寫出逆命題、否命

6、題和逆否命題。解：(1)逆命題：如果直線垂直于平面，那么直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；否命題：如果直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么直線不垂直于平面；逆否命題：如果直線不垂直于平面，那么直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(2)逆命題：如果x>0，那么x>10；否命題：如果x10，那么x0；逆否命題：如果x0，那么x10.(3)逆命題：如果x2x60，那么x2；否命題：如果x2，那么x2x60；逆否命題：如果x2x60，那么x2.規(guī)律方法：1、寫命題的四種形式時(shí)，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題。2、在寫命題時(shí)，為

7、了使句子更通順，可以適當(dāng)?shù)奶砑右恍┰~語，但不能改變條件和結(jié)論。寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題。(1)垂直于同一平面的兩直線平行；(2)若m·n<0，則方程mx2xn0有實(shí)根解(1)逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一個(gè)平面否命題：如果兩條直線不垂直于同一平面，那么這兩條直線不平行逆否命題：如果兩條直線不平行，那么這兩條直線不垂直于同一平面(2)逆命題：若方程mx2xn0 有實(shí)數(shù)根，則m·n<0.否命題：若m·n0，則方程mx2xn0 沒有實(shí)數(shù)根逆否命題：若方程mx2xn0 沒有實(shí)數(shù)根，則m·n0.題型二四種命題真假的判斷

8、【例2】有下列四個(gè)命題：“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題；“若a>b，則a2>b2”的逆否命題；“若x3，則x2x6>0”的否命題；“同位角相等”的逆命題其中真命題的個(gè)數(shù)是_思路探索 可先逐一分清兩個(gè)命題的條件和結(jié)論，再利用有關(guān)知識(shí)判斷真假解析“若xy0，則x，y不是相反數(shù)”，是真命題“若a2b2，則ab”，取a0，b1，a2b2，但a>b，故是假命題“若x>3，則x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x4>3不是不等式的解，故是假命題“相等的角是同位角”是假命題答案1規(guī)律方法：要判斷四種命題的真假：首先，要熟練四種命題的相互關(guān)系，注意它們之

9、間的相互性；其次，利用其他知識(shí)判斷真假時(shí)，一定要對(duì)有關(guān)知識(shí)熟練掌握下列命題中是真命題的是：()A、命題“若0<logab<1，則0<a<1<b”的逆命題B、命題“若b3，則b29”的逆命題C、命題“當(dāng)x2時(shí)，x23x20”的否命題D、命題“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的逆否命題解析對(duì)于A，逆命題為“若0<a<1<b，則0<logab<1”，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象得，當(dāng)0<a<1<b時(shí)，logab<0，A為假；B項(xiàng)，逆命題是“若b29，則b3”，它未必成立，因?yàn)閎可能等于3，所以B為假；C項(xiàng)，否命題是“當(dāng)x2時(shí)，x23x20

10、”，因?yàn)閤1時(shí)也可以使x23x20成立，所以為假；D項(xiàng)，逆否命題是“兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角不相等，則這兩個(gè)三角形不相似”，因?yàn)樵}與逆命題同真假，且原命題為真，所以逆否命題為真，故選D.答案D等價(jià)命題的應(yīng)用判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，則a1”的逆否命題的真假審題指導(dǎo)：本題的命題意圖是考查逆否命題的應(yīng)用，由于原命題與它的逆否命題同真同假，所以可寫出原命題的逆否命題，再判斷其真假，或者由判斷原命題的真假得出逆否命題的真假。規(guī)范解答 法一：原命題的逆否命題：已知a，x為實(shí)數(shù)，若a<1，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集真假判

11、斷如下： 3分拋物線yx2(2a1)xa22開口向上，判別式(2a1)24(a22)4a7， 6分若a<1，則4a7<0.即拋物線yx2(2a1)xa22與x軸無交點(diǎn). 9分所以關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集故原命題的逆否命題為真. 12分法二：先判斷原命題的真假因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，所以(2a1)24(a22)0， 4分即4a70，又因?yàn)樵}與其逆否命題等價(jià)，所以逆否命題為真。12分由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的命題具有等價(jià)性，所以我們?cè)谥苯幼C明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過

12、證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題。判斷命題“若m>0，則方程x22x3m0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題的真假解m>0，12m>0，12m4>0.方程x22x3m0的判別式12m4>0.原命題“若m>0，則方程x22x3m0有實(shí)數(shù)根”為真又因原命題與它的逆否命題等價(jià)，所以“若m>0，則方程x22x3m0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題也為真反證法的應(yīng)用1、反證法的理論基礎(chǔ)：反證法就是證明結(jié)論的反面不成立，從而證明原結(jié)論成立。由于互為逆否命題的兩個(gè)命題具有等價(jià)性，從邏輯角度看，原命題為真，則它的逆否命題也為真。在直接證明原命題有困難時(shí)，就可轉(zhuǎn)化為證明它的逆

13、否命題成立。 2、反證法的思想方法：命題“若p，則q”的逆否命題是“若非q，則非p”，假設(shè)q不成立，即非q成立，由此進(jìn)行推理，則非p一定成立，這與p成立矛盾，那么就說明“假設(shè)q不成立”為假，從而可以導(dǎo)出“若p，則q”為真，達(dá)到論證的目的，這就是反證法的思想方法3、反證法證明命題的步驟：(1)反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的否定成立；(2)歸謬：從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3)說明：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確否定結(jié)論是反證法的第一步，它的正確與否，對(duì)于反證法有直接影響若a2b2c2，求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)。思路分析：可以證明原命題的逆否命題為真命題，也可以運(yùn)用反證法。法一：依題意，就是證明命題“若a2b2c2，則a，b，c不可能都是奇數(shù)”為真命題。為此，只需證明其逆否命題“若a，b，c都是奇數(shù)，則a2b2c2.”為真命題即可。a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)。于是a2b2為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，即a2b2c2。原命題的逆否命題為真命題，所以原命