勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)分享資料

1、2021/3/291第十七章第十七章 勾股定理知識(shí)點(diǎn)總勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)結(jié)2021/3/2921.勾股定理勾股定理 如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c,那么那么a2+b2=c2.2021/3/293練習(xí)：練習(xí)：1.如圖所示，用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形如圖所示，用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形（兩直角邊長(zhǎng)分別是（兩直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為c）和一個(gè)邊長(zhǎng)為）和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形。形。（1）畫(huà)出拼成的圖形的示意圖；）畫(huà)出拼成的圖

2、形的示意圖；（2）利用該圖形證明勾股定理。）利用該圖形證明勾股定理。c ca ab bc ca ab bc ca ab bc cc cc cc cc ca ab b2021/3/294練習(xí)：練習(xí)：拼圖證明法一：拼圖證明法一：c cc cc cc c正方形的面積：正方形的面積：c ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab ba ab bb ba aa ab bb ba a2c1個(gè)三角形的面積：個(gè)三角形的面積：ab214個(gè)三角形的面積：個(gè)三角形的面積：ab214大正方形的面積：大正方形的面積：22baab214c）（所以：所以： ab2c222bab2aab2bab2ac2

3、22222cba2)ba ( 2021/3/295練習(xí)：練習(xí)：拼圖證明法二：拼圖證明法二：c cc cc cc c正方形的面積：正方形的面積：c ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab b2c1個(gè)三角形的面積：個(gè)三角形的面積：ab214個(gè)三角形的面積：個(gè)三角形的面積：ab214小正方形的面積：小正方形的面積：222cba2ab）（ 22cabab214）（所所以以：222caab2bab22021/3/296練習(xí)：練習(xí)：2.把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形，那么把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形，那么圖中三角形面積之和與四邊形圖中三角形面積之和與四邊形A

4、BCD面積之間的關(guān)系用面積之間的關(guān)系用式子可表示為式子可表示為_(kāi),整理后即整理后即為為_(kāi).A AB BC CD DE Ea aa ab bb bc cc c2021/3/2971.勾股定理勾股定理 如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c,那么那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：勾股定理的主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊）已知直角三角形的兩邊求第三邊;在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，a,b,ca,b,c分別是分別是A,B,CA,B,C的對(duì)邊的對(duì)邊已知已知a,ba,b，求，求c c已知已知a,ca,c，求，

5、求b b已知已知b,cb,c，求，求a a22bac22acb22bca2021/3/298練習(xí)：練習(xí)：1.在在ABC中，中，C=90，A、B、C的對(duì)邊分別的對(duì)邊分別為為a、b、c.（1）當(dāng)）當(dāng)a=3,b=4時(shí)，時(shí)，c=_；（2）當(dāng)）當(dāng)AB=10,BC=8時(shí)，時(shí)，AC=_.2.如圖，直角三角形中未知邊如圖，直角三角形中未知邊x=_,y=_.x x15158 824242525y y5 56 617177 72021/3/2991.勾股定理勾股定理 如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c,那么那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：勾股定

6、理的主要應(yīng)用：（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊直角三角形的另兩邊;2021/3/2910練習(xí)：練習(xí)：1.若一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)是若一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)是7cm，另一條直，另一條直角邊比斜邊短角邊比斜邊短1cm，則斜邊的長(zhǎng)是，則斜邊的長(zhǎng)是_cm.2.直角三角形的斜邊比一直角邊長(zhǎng)直角三角形的斜邊比一直角邊長(zhǎng)2cm，另一直角邊長(zhǎng)，另一直角邊長(zhǎng)為為6cm，則它的斜邊長(zhǎng)為（，則它的斜邊長(zhǎng)為（ ）A.2cm B.6cm C.8cm D.10cm3.已知直角三角形中，已知直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)

7、是 cm，則另一條直角邊的長(zhǎng)是（則另一條直角邊的長(zhǎng)是（ ）A.4cm B. cm C.6cm D. cm3234362525D DC C2021/3/29111.勾股定理勾股定理 如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c,那么那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：勾股定理的主要應(yīng)用：（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題.2021/3/2912練習(xí)：練習(xí)：1.如圖，已知如圖，已知ABC中，中，ACB=90，以，以ABC的各邊的各邊為邊在為邊在ABC外作三個(gè)正方形，外作三個(gè)正方形，S1、S2、

8、S3分別表示這分別表示這三個(gè)正方形的面積，三個(gè)正方形的面積，S1=6，S3=25，則，則S2=_.S S3 3S S2 2S S1 1A AB BC C19192021/3/2913練習(xí)：練習(xí)：2.如圖，直線如圖，直線l經(jīng)過(guò)正方形經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B，點(diǎn)，點(diǎn)A、C到直到直線線l的距離分別是的距離分別是1、2，則正方形的邊長(zhǎng)是，則正方形的邊長(zhǎng)是_2021/3/2914練習(xí)：練習(xí)：3.在直線上依次擺著在直線上依次擺著7個(gè)正方形個(gè)正方形(如圖如圖)，已知傾斜放置的，已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的，水平放置的4個(gè)正方個(gè)正方形的面積是形的面積是

9、S1，S2，S3，S4，則，則S1S2S3S4_4 4A AB BC CD DE E2021/3/29151.勾股定理勾股定理 如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c,那么那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：勾股定理的主要應(yīng)用：（4）求作長(zhǎng)度為求作長(zhǎng)度為 的線段的線段.2021/3/2916練習(xí)：練習(xí)：1.在數(shù)軸上畫(huà)出表示在數(shù)軸上畫(huà)出表示 及及 的點(diǎn)的點(diǎn)1013x x0 01 1-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5A AB BC C1 12021/3/2917練習(xí)：練習(xí)：1.在數(shù)軸上畫(huà)出表示在數(shù)軸上畫(huà)出表示 及及 的點(diǎn)的點(diǎn)101

10、3A A0 01 12 23 34 4-1-1x xB BC C2 22021/3/29182.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理是勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角判定一個(gè)三角形是否是直角三角形三角形的一種重要方法，它通過(guò)的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)來(lái)確確定三角形的可能形狀定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1 1）首先確定最）首先確定最長(zhǎng)長(zhǎng)邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為c c

11、；（2 2）驗(yàn)證）驗(yàn)證c c2 2與與a a2 2+b+b2 2是否具有相等關(guān)系，若是否具有相等關(guān)系，若c c2 2a a2 2+b+b2 2，則則ABCABC是以是以CC為直角的直角三角形為直角的直角三角形2021/3/2919練習(xí)：練習(xí)：1.已知已知ABC的三邊長(zhǎng)的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足：滿足：(a+c)(a-c)=b2,則（則（ ）A.a邊所對(duì)的角是直角邊所對(duì)的角是直角B.b邊所對(duì)的角是直角邊所對(duì)的角是直角C.c邊所對(duì)的角是直角邊所對(duì)的角是直角D.ABC不是直角三角形不是直角三角形A A2021/3/2920練習(xí)：練習(xí)：2.已知已知a，b，c是是ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)

12、系式：式： ,則則ABC一定是（一定是（ ）A.等腰三角形等腰三角形 B.直角三角形直角三角形C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.鈍角三角形鈍角三角形3.若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a，b，且，且a，b滿足滿足 ，它的第三邊長(zhǎng)為，它的第三邊長(zhǎng)為5，則這個(gè)三角形是，則這個(gè)三角形是_三角形（按角分類(lèi)填寫(xiě)）三角形（按角分類(lèi)填寫(xiě)）C C0babac22204b9a6a2直角直角2021/3/29213. 原命題與逆命題原命題與逆命題互逆命題互逆命題: 兩個(gè)命題中兩個(gè)命題中, , 如果第一個(gè)命題的題設(shè)是如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論第二個(gè)命題的結(jié)論, , 而第一個(gè)命題的

13、結(jié)論又是第二而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)個(gè)命題的題設(shè), ,那么這兩個(gè)命題叫做那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題互逆命題. . 如果把其中一個(gè)叫做如果把其中一個(gè)叫做原命題原命題, , 那么另一那么另一個(gè)叫做它的個(gè)叫做它的逆命題逆命題. . 互逆定理互逆定理: 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命真命題題, , 那么它也是一個(gè)那么它也是一個(gè)定理定理, , 這兩個(gè)定理叫做這兩個(gè)定理叫做互逆定互逆定理理, , 其中一個(gè)叫做另一個(gè)的其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理逆定理. .2021/3/2922練習(xí)：練習(xí)：1.下列說(shuō)法，正確的是（下列說(shuō)法，正確的是（ ）A.真命題的逆命題是真命

14、題真命題的逆命題是真命題B.原命題是假命題，它的逆命題也是假命題原命題是假命題，它的逆命題也是假命題C.定理一定有逆定理定理一定有逆定理D.命題一定有逆命題命題一定有逆命題D D2021/3/2923練習(xí)：練習(xí)：2.下列定理，有逆定理的是（下列定理，有逆定理的是（ ）A.對(duì)頂角相等對(duì)頂角相等B.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C.兩個(gè)全等三角形的面積相等兩個(gè)全等三角形的面積相等D.平面內(nèi)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距平面內(nèi)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等離相等D D2021/3/2924練習(xí)：練習(xí)：3.“如果如果x=3，那么，那么 ”的逆命題是的逆命題是_，

15、該逆命題是，該逆命題是_命題（填命題（填“真真”或或“假假”）；）；“如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零”的逆命題的逆命題是是_，該逆命題是，該逆命題是_命題（命題（填填“真真”或或“假假”）3x 如果如果那么那么x=3x=3假假如果兩個(gè)數(shù)的和為零，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)如果兩個(gè)數(shù)的和為零，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)真真2021/3/2925練習(xí)：練習(xí)：4.命題命題“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等等”是是_命題（命題（填填“真真”或或“假假”），它的逆命題是），它的逆命題是_該逆命題是該逆命題是_命題（命

16、題（填填“真真”或或“假假”）假假如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等真真2021/3/29264. 勾股數(shù)勾股數(shù) （1）能夠構(gòu)成）能夠構(gòu)成直角三角形直角三角形的的三邊長(zhǎng)三邊長(zhǎng)的的三個(gè)正整數(shù)三個(gè)正整數(shù)稱稱為為勾股數(shù)勾股數(shù)，即，即a2+b2=c2中中a，b，c，為正整數(shù)時(shí)，稱，為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)為一組勾股數(shù). （2）記?。┯涀〕Ｒ?jiàn)的勾股數(shù)常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如可以提高解題速度，如3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9,40,41等等 （3）如果）如果(a，b，c)是勾股數(shù)，當(dāng)是勾股數(shù)

17、，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，若以為正整數(shù)時(shí)，若以at，bt，ct為三角形的三邊長(zhǎng)，則此三角形必為直角三為三角形的三邊長(zhǎng)，則此三角形必為直角三角形角形.2021/3/2927練習(xí)：練習(xí)：1.若正整數(shù)若正整數(shù)a,b,c是一組勾股數(shù)，則下列各組數(shù)中，一定是一組勾股數(shù)，則下列各組數(shù)中，一定是勾股數(shù)的是（是勾股數(shù)的是（ ）A.a+1,b+1,c+1 B.a2,b2,c2 C.2a,2b,2c D.a-1,b-1,c-12.下列幾組數(shù)：下列幾組數(shù)：其中是勾股數(shù)的有其中是勾股數(shù)的有_（只填序號(hào)）（只填序號(hào)）C C.15453504030321，；，；，2021/3/29285.分類(lèi)討論思想分類(lèi)討論思想._x, x,

18、4 , 312則則長(zhǎng)分別是長(zhǎng)分別是已知：直角三角形的邊已知：直角三角形的邊.2525 或或7 7解：解：情形一：情形一：當(dāng)斜邊為當(dāng)斜邊為x x時(shí)，則兩直角邊分別為時(shí)，則兩直角邊分別為3 3，4.4.根據(jù)勾股定理根據(jù)勾股定理解：解：情形二：情形二：當(dāng)斜邊為當(dāng)斜邊為4 4時(shí)，則兩直角邊分別為時(shí)，則兩直角邊分別為x x，3.3.根據(jù)勾股定理根據(jù)勾股定理22243x1692522243x22234x91672021/3/29295.分類(lèi)討論思想分類(lèi)討論思想的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度。求求邊邊上上的的高高線線，中中，BC, 8ADBC17AC10ABABC. 2A AB BC CD D101017178 822ADA

19、BBD22810 36622ADACCD22817 22817 22515DCBDBC15621解：解：情形一：情形一：2021/3/29305.分類(lèi)討論思想分類(lèi)討論思想的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度。求求邊邊上上的的高高線線，中中，BC, 8ADBC17AC10ABABC. 222ADABBD22810 36622ADACCD22817 22817 22515BDDCBC6159解：解：情形二：情形二：D DC CB BA A8 8101017172021/3/29315.分類(lèi)討論思想分類(lèi)討論思想分類(lèi)思想分類(lèi)思想: 1.直角三角形中，已知兩條邊直角三角形中，已知兩條邊,不知道是直角邊還是斜不知道是直角邊還是斜

20、邊時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論。邊時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論。 2.當(dāng)已知條件中沒(méi)有給出圖形時(shí)，應(yīng)認(rèn)真讀句、畫(huà)圖，當(dāng)已知條件中沒(méi)有給出圖形時(shí)，應(yīng)認(rèn)真讀句、畫(huà)圖，避免遺漏另一種情況。避免遺漏另一種情況。2021/3/29326.方程思想方程思想例例. .小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多子垂到地面還多1 1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5 5米后，米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來(lái)嗎？發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來(lái)嗎？ A AB BC C5 5米米(X+1)(X+1)米米x x米米2021/3/29336.方程思想方程思想例例

21、2.2.有一個(gè)水池，水面是一個(gè)有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1010尺的正方形尺的正方形，在水池在水池正中央正中央有一根蘆葦，它有一根蘆葦，它高出水面一尺高出水面一尺。如果把。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，邊的水面，水的深度水的深度與這根與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？分別是多少？1 1尺尺1010尺尺5 5尺尺x x尺尺(x+1)(x+1)尺尺解：解：設(shè)水深為設(shè)水深為x x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（為（x+1x+1）尺。）尺。根據(jù)勾股定理得：根據(jù)勾股定理得：(x+1)(x+1)2 2 - x-

22、x2 2 = 5= 52 2解得：解得：x = 12x = 12 x+1 = 13 x+1 = 13水深為水深為1212尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為1313尺。尺。2021/3/29346.方程思想方程思想方程思想：方程思想： 直角三角形中，當(dāng)無(wú)法已知兩邊求第三邊時(shí)，應(yīng)直角三角形中，當(dāng)無(wú)法已知兩邊求第三邊時(shí)，應(yīng)采用間接求法：靈活地尋找題中的等量關(guān)系，利用勾采用間接求法：靈活地尋找題中的等量關(guān)系，利用勾股定理列方程。股定理列方程。2021/3/29357.折疊問(wèn)題折疊問(wèn)題例例1.1.如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A A與與B B重合，折痕

23、為重合，折痕為DEDE，若已知，若已知AC=10cmAC=10cm，BC=6cm,BC=6cm,你能求你能求出出CECE的長(zhǎng)嗎？的長(zhǎng)嗎？A AB BC CD DE E10cm10cm6cm6cmx x(10-x)(10-x)(10-x)(10-x)解：解：設(shè)設(shè)CECE的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 x cm.x cm.AE = AC - CEAE = AC - CE = 10 - x = 10 - xBE = 10 - xBE = 10 - x根據(jù)勾股定理得：根據(jù)勾股定理得：(10-x)(10-x)2 2 - x- x2 2 = 6= 62 2解得：解得：x = 3.2 cmx = 3.2 cmCECE的長(zhǎng)為的

24、長(zhǎng)為 3.2 cm.3.2 cm.2021/3/29368.展開(kāi)思想展開(kāi)思想 例例1.1.小明家住在小明家住在1818層的高樓，一天，他與媽媽去買(mǎi)竹竿。層的高樓，一天，他與媽媽去買(mǎi)竹竿。買(mǎi)最長(zhǎng)的買(mǎi)最長(zhǎng)的吧！吧！快點(diǎn)回家，好快點(diǎn)回家，好用它涼衣服。用它涼衣服。糟糕，太糟糕，太長(zhǎng)了，放長(zhǎng)了，放不進(jìn)去。不進(jìn)去。 如果電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是如果電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是1.51.5米、米、1.51.5米、米、2.22.2米，米，那么，能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大長(zhǎng)度大約是多少米？那么，能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大長(zhǎng)度大約是多少米？2021/3/29378.展開(kāi)思想展開(kāi)思想1.51.5米米1.51.5米米2.22.2米米2.22.2米米A AB BC CBCBC2 2 = CD= CD2 2 + BD+ BD2 2 = 1.5 = 1.52 2 + 1.5+ 1.52 2 = 4.5 = 4.5ABAB2 2 = AC= AC2 2 + BC+ BC2 2 = 2.2 = 2.22 2 + 4.5+ 4.5 = 9.34 = 9.34 9 9AB3AB3米米A AB BC CD D1.51.5米米1.51.5米米D DB BC C2021/3/29388.展開(kāi)思想展開(kāi)思想2 2B BC C例例2.2.如圖是一個(gè)