線性方程組解的結(jié)構(gòu)與向量空間學(xué)習(xí)教案_第1頁
線性方程組解的結(jié)構(gòu)與向量空間學(xué)習(xí)教案_第2頁
線性方程組解的結(jié)構(gòu)與向量空間學(xué)習(xí)教案_第3頁
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文檔簡介

1、會計學(xué)1第一頁,共41頁。1 學(xué)習(xí)(xux)目的及思路2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(jigu)3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)4 向量空間第1頁/共41頁第二頁,共41頁。 sectionsectionsectionsection1學(xué)習(xí)目的(md)及思路第2頁/共41頁第三頁,共41頁。第四章掌握齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及齊次線性方程組解的表示方法; 掌握非常齊次線性組解的結(jié)構(gòu)及有無解的判定(pndng)方法,在有解的情況下,會求出它的所有解;掌握向量組的正交化過程。的結(jié)構(gòu)非的結(jié)構(gòu)矩陣第3頁/共41頁第四頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章重點(zhngdin) 線性方程組解的

2、結(jié)構(gòu)及解的求法難點 線性方程組解的 求解第4頁/共41頁第五頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第一章“ 工 欲 善 其 事 , 必 先 利 其 器工 欲 善 其 事 , 必 先 利 其 器 ” 長期以來“線性代數(shù)”課程一直采用板書式的教學(xué)方式,教學(xué)手段比較落后然而經(jīng)典線性代數(shù)的課程中介紹的都是手工推導(dǎo)(tudo)的方法,不適合高階矩陣的分析與計算,學(xué)生初學(xué)起來比較吃力所以需要引入計算機(jī)數(shù)學(xué)語言來解決這些估計問題,利用計算機(jī)的仿真軟件處理代數(shù)問題可以達(dá)到事半功倍的效果。因此,我們補(bǔ)充了二方面內(nèi)容,一方面用MATLAB仿真直觀顯示問題的幾何意義,另一方面用MATLAB軟件輔助運(yùn)算

3、,使學(xué)生獲得用軟件輔助解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的能力。第5頁/共41頁第六頁,共41頁。 sectionsectionsectionsection2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(jigu)第6頁/共41頁第七頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章齊次線性方程組的一般形式為 或矩陣形式為000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa0AX第7頁/共41頁第八頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章定義1 設(shè) 是齊次線性方程組的一組解向 量,滿足 (1) 線性無關(guān), (2)方程組的任意一個解都可由 線性表示; 則稱 為方程組

4、的一個基礎(chǔ)解系. r,21r,21r,21r,21問題一 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是否一定存在(cnzi)?問題二 若齊次線性方程組存在(cnzi)基礎(chǔ)解系,那它含有多少個解 向量?第8頁/共41頁第九頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章性質(zhì)1 若 為方程組的解,則 也是方程組的解. 21,XX21X證明(zhngmng) 因為 000)(2121AAA所以 是方程組的解. 21X性質(zhì)2 若 為方程組的解, 是任意實數(shù), 則 也是方程組的解. XX證明(zhngmng) 00)()(AA因為 所以 也是方程組的解. X第9頁/共41頁第十頁,共41頁。例1 求齊次線性方程

5、組的通解與基礎(chǔ)解系02203402220224321432143214321xxx-xxxxxxxxxxxxx解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行(jnxng)初等行變換,化為行最簡形0000000034210352011221341122121221A線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章第10頁/共41頁第十一頁,共41頁。其對應(yīng)(duyng)同解方程組為432431342352xxxxxx4433432431342352xxxxxxxxxx線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章或第11頁/共41頁第十二頁,共41頁。令 依次等于 ,從而得到方程組的通解43xx ,21cc,103435012

6、2214321ccxxxx基礎(chǔ)(jch)解系 TT103435012221,線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章第12頁/共41頁第十三頁,共41頁。341001xx 得基礎(chǔ)(jch)解系 TT103435012221,1034350122214321ccxxxx通解(tngji)21cc,為任意常數(shù)線性代數(shù) 第四章注:說明不一定存在基礎(chǔ)解系,基礎(chǔ)解系中解向量 的個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩。第13頁/共41頁第十四頁,共41頁。第四章第14頁/共41頁第十五頁,共41頁。 sectionsectionsectionsection3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(jigu)第15頁/共

7、41頁第十六頁,共41頁。 非齊次線性方程組一般形式為 矩陣形式為 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bAx 線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章第16頁/共41頁第十七頁,共41頁。設(shè) 及 都是非齊次線性方程組的解, 則 是其導(dǎo)出組的解. 1x2x21x0)(2121bbAAA21xxxxbbAAA0)(x線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章第17頁/共41頁第十八頁,共41頁。定理1 若 是非齊次線性方程組的一個已知解, 是 其導(dǎo)出組的通解,則非齊次線性方程組的通解為x線性代數(shù)(xin xn di sh)

8、第四章第18頁/共41頁第十九頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章例1 求解非齊次線性方程組7737169334154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解 對 增 廣 矩 陣 B 施 行 初 等(chdng)行 變換,先化為行階梯形 再化為行最簡形.第19頁/共41頁第二十頁,共41頁。0000000000322131103727320186412043260432601115177371161933411111151B可見 =24(未知數(shù)個數(shù)),所以方程組有無窮多組解,其同解方程組為)()(BRAR線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章

9、第20頁/共41頁第二十一頁,共41頁。4433432431322131372732xxxxxxxxxx若取 ,則由上式可得方程組的一個特解0,043xx線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章第21頁/共41頁第二十二頁,共41頁。原方程組的導(dǎo)出組的一個(y )基礎(chǔ)解系為10212701313221,003237故原方程組的通解為 2211ccx21,cc為任意常數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章特解第22頁/共41頁第二十三頁,共41頁。第四章第23頁/共41頁第二十四頁,共41頁。 sectionsectionsectionsection4向量(xingling)空間第2

10、4頁/共41頁第二十五頁,共41頁。定義1 設(shè)有n 維列向量 令 稱 為向量x與y的內(nèi)積. nnyyyyxxxx2121,nnyxyxyxyx2211,yx時 , 其 內(nèi) 積 可 用 矩 陣 形 式(xngsh)表示為nnTyyyxxxyxyx2121),(,線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章當(dāng)x 與y 都是n 維列向量第25頁/共41頁第二十六頁,共41頁。定義(dngy)2 設(shè)有n 維列向量nxxxx21令 稱 為向量x的范數(shù)(或長度). 22221,nxxxxxxx定義3 設(shè) , , 令0 x0yyxyx,arccos稱為向量(xingling)與向量(xingling)的夾角

11、.線性代數(shù) 第四章第26頁/共41頁第二十七頁,共41頁。第四章定義4 設(shè)x,y 是兩個n 維向量,若 =0,則稱x與y正交. ,yx定義5 若非零向量 兩兩正交,則稱該向量組是 正交向量組. 稱由單位向量組成的正交向量組為標(biāo)準(zhǔn) 向量組,或單位正交向量組. r,21定義6 如果n 階方陣A 滿足 (即 ) 則稱A 為正交矩陣, 稱線性變換 為正交變換.EAAT1 AATAXY 第27頁/共41頁第二十八頁,共41頁。010100001313232323132323231cossinsincos,EnTnTT,121jijijTi當(dāng)當(dāng)01nji, 2 , 1,線性代數(shù)(xin xn di sh)

12、 第四章第28頁/共41頁第二十九頁,共41頁。定理2 方陣為正交矩陣的充分(chngfn)必要條件是它的列(或行)向 量都是單位向量,且兩兩正交. 性質(zhì): 正交變換保持(boch)向量的長度不變.線性代數(shù) 第四章第29頁/共41頁第三十頁,共41頁。定義7 設(shè)n 維向量的全體構(gòu)成的集合為 , V 是 的非空子集. 若V 對于向量加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉,即對任意的 和常數(shù) 都有 那么就稱V 為 的一個子空間. nRnRV,VV,nR線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章第30頁/共41頁第三十一頁,共41頁。設(shè)V 為 的子空間,若V 中的向量組 滿足 (1) 線性無關(guān); (2)V 中任意

13、一個向量都可由 線性表示. 那么向量組 就稱為V 的一個基,r 稱為V 的維數(shù),記作 ;并稱V 為一個 r 維向量子空間. nRr,21r,21r,21r,21rV dim正交基:兩兩正交的向量組成(z chn)的基.正交規(guī)范基:由單位向量組成(z chn)的正交基.線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章第31頁/共41頁第三十二頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章線性代數(shù)第四章第32頁/共41頁第三十三頁,共41頁。打開(d ki)微信掃一掃線性代數(shù)學(xué)到老第33頁/共41頁第三十四頁,共41頁。第一章藍(lán)色主色調(diào):四種(s zhn)紅色黑色白色第34頁/共41頁第三十五頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第一章第35頁/共41頁第三十六頁,共41頁。小標(biāo)題:微軟雅黑28藍(lán)色文字內(nèi)容(nirng):微軟雅黑24藍(lán)色行距:1.3倍行距線性代數(shù)(xin xn di sh) 第一章第36頁/共41頁第三十七頁,共41頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第一章24721262612412111231231231122462262724xxxxxxxxx 6100298024721()()3R AR B例1 求解(qi ji

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