復(fù)變函數(shù)PPT第二章PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)PPT第二章第二章一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分二、解析函數(shù)的概念三、函數(shù)解析的充要條件小結(jié)與思考第1頁/共39頁例2 .Im)(的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性討討論論zzf zzfzzfzf )()(解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(時(shí)時(shí)趨趨于于沿沿實(shí)實(shí)軸軸方方向向當(dāng)當(dāng) yzzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0 )0( 時(shí)時(shí)趨趨于于沿沿虛虛軸軸方方向向當(dāng)當(dāng) xzzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy .Im)(在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處不不可

2、可導(dǎo)導(dǎo)故故zzf 第2頁/共39頁例3. 132)( 25域域上上的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的解解析析性性區(qū)區(qū)域域及及該該區(qū)區(qū)求求函函數(shù)數(shù) zzzzf解 01 2，當(dāng)當(dāng) z , )( 外處處解析外處處解析在復(fù)平面內(nèi)除在復(fù)平面內(nèi)除所以所以izzf . 為它的奇點(diǎn)為它的奇點(diǎn)iz 2時(shí)，時(shí)，即即iz 不解析不解析函數(shù)函數(shù))( zf22524)1(2)32()1)(110()( zzzzzzzf.)1(16106 22246 zzzzz例4. )( 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zzf 第3頁/共39頁 練習(xí)：證明 在 處可導(dǎo), 2( )f zz z 0z 但處處不解析. 證明根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，200( )(0)

3、limlim0.zzf zfzz 因此 在 處可導(dǎo)，且 ( )f z0z (0)0.f 當(dāng) 時(shí), 由 得 00z 22000, zzzzz z 22000( )()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z故2000000( )()().f zf zzzzzzzzzzz 雖然020000lim()22,zzzz zz zz 但是當(dāng) z分別從平行于x, y軸方向趨于z0時(shí)， 分別 00zzzz 以1和-1為極限，因此 不存在. 000limzzzzzz 第4頁/共39頁例6 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析:.Re)3();sin(cos)()2(;)1(2

4、zzwyiyezfzwx 解:,)1(222yxzw , 0,22 vyxu. 0, 0,2,2 yvxvyyuxxu偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面上處處連續(xù)，但只在z=0滿足CR方程， ,0 2處可導(dǎo)處可導(dǎo)僅在僅在故函數(shù)故函數(shù) zzw .在復(fù)平面內(nèi)處處不解析在復(fù)平面內(nèi)處處不解析且且0)( zf第5頁/共39頁)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx , .uvuvxyyx 且且四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù) . ,)(處處解析處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)故故zf).()sin(cos)(zfyiy

5、ezfx 且且第6頁/共39頁zzwRe)3( ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù) , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時(shí)時(shí)僅當(dāng)僅當(dāng) yx ,0 Re處可導(dǎo)處可導(dǎo)僅在僅在故函數(shù)故函數(shù) zzzw .在復(fù)平面內(nèi)處處不解析在復(fù)平面內(nèi)處處不解析且且0)( zf第7頁/共39頁例7 .)( 2在復(fù)平面上不解析在復(fù)平面上不解析證明證明iyxzf 證, 2yvxu 因?yàn)橐驗(yàn)? 1, 0, 0,2 yvxvyuxxu ,21 )(上上可可導(dǎo)導(dǎo)僅僅在在直直線線故故函函數(shù)數(shù) xzf .在在復(fù)復(fù)平平面面上上不不解解析析要使CR方程成立，則有, 12 yvxux

6、.21 x即即. , , , )( 2323的值的值試確定試確定函數(shù)函數(shù)為解析為解析設(shè)設(shè)nmllxyxiynxmy 例8 第8頁/共39頁練習(xí)： 解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在復(fù)平面內(nèi)處處在復(fù)平面內(nèi)處處取何值時(shí)取何值時(shí)問常數(shù)問常數(shù)設(shè)設(shè)zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求第9頁/共39頁證xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常數(shù)

7、常數(shù)常數(shù)常數(shù)所以所以 vu . )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)在區(qū)域在區(qū)域因此因此Dzf內(nèi)內(nèi)為為一一常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)處處處處為為零零，則則在在區(qū)區(qū)域域如如果果例例DzfDzf)( )( 9 第10頁/共39頁參照以上例題可進(jìn)一步證明: . , )( 則以下條件彼此等價(jià)則以下條件彼此等價(jià)內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域如果如果Dzf ; )( )1(為常數(shù)為常數(shù)zf; 0)()2( zf ;)( )3(常數(shù)常數(shù) zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常數(shù)常數(shù) zf ;)(Im )6(常數(shù)常數(shù) zf;)7(2uv .)( arg )8(常數(shù)常數(shù) zf . )9(為不全為零的實(shí)常數(shù)）為不全

8、為零的實(shí)常數(shù)），（cbacbvau 第11頁/共39頁? ),(),()( )2(解解析析時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼條條件件判判斷斷yxivyxuzf ? )( )1(00解解析析有有無無區(qū)區(qū)別別可可導(dǎo)導(dǎo)與與在在在在點(diǎn)點(diǎn)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)zzzf , )()1(00可導(dǎo)可導(dǎo)解析必在解析必在在點(diǎn)在點(diǎn)zzzf反之不對. , 0 )( 02處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在例如例如 zzzf . 0 0處不解析處不解析但在但在 z ; ),( ),( )2(內(nèi)是否可微內(nèi)是否可微在在和和首先判斷首先判斷Dyxvyxu; , :R-Cxvyuyvxu 條件條件其次再看是否滿足其次再看是否滿足 . )( 的

9、解析性的解析性最后判定最后判定zf第12頁/共39頁一、調(diào)和函數(shù)的定義二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系小結(jié)與思考三、求已知實(shí)部或虛部的解析函數(shù)第13頁/共39頁iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列條條件件求求解解析析函函數(shù)數(shù)例222vuvuxyyxyxxy 解(, )(0,0)( ,)(2)(2)x yv x yyx dxxy dyc 曲線積分法(2)(2)vvdvdxdyyx dxxy dyxy0(2)xyoxdxxy dyc22222xyxyc 第14頁/共39頁222211( )()(2)22f zxyxyixxyyc 故2( )1(1)12if iiiici 代代入入上上

10、式式得得，A 2221()()(1)22ixiyxiyici zic21( )(1)222iicf zz2222222xyuxxyyvxyc 第15頁/共39頁22ydxxdyxdxydy vvdvdxdyxy cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 22( )( )1f zuivuxxyyf ii (2)(2)yx dxxy dy222()22xydxyd第16頁/共39頁2vxyy )21221()()(2222cyxyxixyyxzf xyxyxvxv 2)( 2 cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( 22( )

11、( )1f zuivuxxyyf ii 22( )2yvxyx 第17頁/共39頁( )xxxyfzuivuiu)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 2()()xiyi xiy zi 2iczizf 222)(22( )( )1f zuivuxxyyf ii (2)(2 )xyi xy(2)()ixiy第18頁/共39頁解. , 數(shù)數(shù)和和由由它它們們構(gòu)構(gòu)成成的的解解析析函函共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)并并求求其其為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)證證明明),(3),(23yxvyxyyxu ,6 xyxu 因?yàn)橐驗(yàn)?6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu , 0 2222 yu

12、xu于是于是 . ),( 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)故故yxu,6 xyxuyv 因?yàn)橐驗(yàn)?yxyvd6),(32xgyxv yuxv 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?3322xy 例3第19頁/共39頁yuxv 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?3322xy )(32xgy ,3322xy xxxgd3)( 2故故,3Cx )為任意常數(shù)為任意常數(shù)C(,3),(23Cxyxyxv 得解析函數(shù)).3(3)(2323Cxyxiyxyzf 這個(gè)函數(shù)可以化為).()(3Czizf 第20頁/共39頁例4 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函數(shù)求一解析函數(shù)和函數(shù)和函數(shù)為調(diào)為調(diào)已知已知解

13、, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxex 第21頁/共39頁 , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)(Cyyg 故故,)sincos(Cyxyyyxeux 于是于是,)1(Czizez ivuzf )(Ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1( , 0)0( f由由, 0 C 得得所求解析函數(shù)為.)1()(

14、zizezfz 第22頁/共39頁例).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求為解析函數(shù)為解析函數(shù)使使再求再求為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)使使值值求求 解根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得, 1 k,2 xxu 因?yàn)橐驗(yàn)? 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu Cxdydxyyxvyx 2)2(),( ),()0,0(,)2()(222iCzCxyiyxzf , 1)( if由由 , 0 C得得.2)(222zxyiyxzf CxyCxdyy 2200第23頁/共39頁一、指數(shù)函數(shù)二、對數(shù)函數(shù)四、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)三、冪函數(shù)五、反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)小結(jié)與思考第

15、24頁/共39頁例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解 .cos)Re( , yeeeexzxz 實(shí)部實(shí)部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 第25頁/共39頁例2 解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:.)4(;)3(;)2(;)1(4343322iiiieeee )(2Arg為為整整數(shù)數(shù)kkyez .,(- arg 內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)輻輻角

16、角為為區(qū)區(qū)間間其其輻輻角角主主值值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie ,24 Arg(3)43 kei ;24arg43 ie ,24 Arg(4)43 kei ;24arg43 ie第26頁/共39頁例3 解 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應(yīng)的主值以及與它們相應(yīng)的主值求求 ,22ln2Ln ik 因?yàn)橐驗(yàn)?ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因?yàn)橐驗(yàn)?)()12(為整數(shù)為整數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以 第27頁/共39頁例4解).3(L

17、n)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln第28頁/共39頁例5解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因?yàn)橐驗(yàn)?31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln(0,1,)k ,LnLn)(Ln)1(21

18、21zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)和和其其它它各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)主主值值支支的的復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)包包括括原原點(diǎn)點(diǎn)在在除除去去負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 第29頁/共39頁例6 . 1 2的的值值和和求求ii解Ln1221e ike 22 )22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中第30頁/共39頁 ikie 21 2 ?kiee ., 2, 1, 0 kLniieee 因?yàn)閑xp( )cos1sin1,i

19、i)21(exp)Lnexp(ikieiei )2exp( ki 22 (cos1sin1)exp( ).kkeiei所以與的不一致性.約定:( )exp( ( ),f zef z ( )exp( ( )Ln ) ().f zaf zaae答案課堂練習(xí).3)( 5 計(jì)算計(jì)算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik第31頁/共39頁例7 . 2 1的的值值及及其其主主值值求求i 解2Ln)1(12iie )22(ln)22(ln kike ., 2, 1, 0 k其中其中) 2ln2)(1(ikie )22sin(ln)22cos(ln 22ln kikek )2sin(ln)2cos(ln2 2iek )2sin(ln)2cos(ln2 0ik 時(shí)時(shí)，得得其其主主值值為為第32頁/共39頁例8 . )(1 的的輻輻角角的的主主值值求求ii 解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 .,2, 1,0 k其其中中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21co