四年級奧數(shù)-教師版-第六講幻方與數(shù)陣圖精品資料

1、第六講幻方與數(shù)陣圖知識導(dǎo)航三階幻方的性質(zhì)：1. 中心位置上的數(shù)等于幻和除以3；2.角上得數(shù)等于和它不相鄰的兩條邊上的數(shù)的平均數(shù)；3.中心數(shù)兩頭的數(shù)等于中心數(shù)的2 倍。例 1：我們先來一起解決三道難度相差很大的題目，目的在于總結(jié)出三階幻方的若干重要性質(zhì)。如下圖，將 1 9 填入 3×3 的方格表中，使得每行每列以及兩條對角線上的三個數(shù)字之和都相等，你一共可以得到多少種填法？第 1 題解析： 首先，我們思考要填出一個三階幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我們就知道，那個所謂的“幻和”，即每行、每列、每條對角線三個數(shù)的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我們按照行（按照列也一樣）把幻方中的

2、九個數(shù)加起來，那么它們的總和不就是3 倍的“幻和”嗎？而另一方面，我們也知道，由于1到 9 這九個數(shù)字都只各用了一次，所以 3 倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（請復(fù)習(xí)學(xué)過的等差數(shù)列知識）。于是最后，我們終于得到這個至關(guān)重要的“幻和”就是45÷ 3=15。接下來第二步，我們來關(guān)心一下中間一格應(yīng)該填哪個數(shù)字。同學(xué)們可能會說，中間一定填 5，因?yàn)?1 到 9 的中間數(shù)字就是 5，而幻方又是上下左右對稱的。沒錯，同學(xué)們有這樣的數(shù)學(xué)直觀很好，但是為了確定我們的判斷，還是需要嚴(yán)格地說明一下。ABCDEFGHI看上面的表格，由于我們還沒有填入任何一個數(shù)字，所以就用了九

3、個大寫字母來表示。下面就需要技巧了，我們現(xiàn)在只考慮包含E 的四條直線：因?yàn)锳+E+I =15,B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我們把這四個式子的左右兩邊分別相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I） +3×E=60,而不就是所填數(shù)的總和嗎？不論填法如何，這個數(shù)是不變的，它就是 45，于是那么我們就得到E=5 了。解： 根據(jù)上面的分析，我們知道“幻和”=15 ，而 E=5 。從而我們知道A+I=B+H=C+G=D+F=10 ，也意味著在所有經(jīng)過中心的直線上，兩端的數(shù)字奇偶性相同。然后我們可以通過枚舉的方法確定每個位置上數(shù)字的奇偶性：（大家

4、自己完成）偶奇偶奇5奇偶奇偶我們可以看到，如果4 個角上的偶數(shù)被確定下來，那么其余4 個奇數(shù)也就被確定了，所以我們可以只考慮這4 個偶數(shù)的填法。利用一點(diǎn)簡單的乘法原理，大家就可以知道本題共有8 種填法。具體填法如下：294276834816753951159357618438672492492438672618357951159753816276834294總結(jié)： 這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：奇偶性分析并不是解決幻方題的典型方法，只在某些特殊的題目中會被用到。在上面這個解題過程中，我們用到了一點(diǎn)技巧，希望同學(xué)們加以領(lǐng)會。本題中，我們看到所有經(jīng)過中心的直線上，兩端數(shù)字的平均數(shù)就等于中間這個E。那么我們來問一

5、個深入一點(diǎn)的問題：你認(rèn)為這是在這道題中才產(chǎn)生的特殊性質(zhì)，還是所有的三階幻方都應(yīng)該具有類似的性質(zhì)？還有，就是上面我們曾經(jīng)得出的那個“幻和”的 3 倍就等于這九個數(shù)之和的這條性質(zhì)，它能不能推廣到所有的三階幻方？【鞏固】 . 請你將 311 這 9 個數(shù)字填入下面的方格中，使橫、豎、斜行三個數(shù)的和相等。解析： 首先將這列數(shù)中的中間數(shù)放在中間的格子里可知幻和是7× 3=21；其次；將最小的數(shù)和最大的數(shù)分別放在這個數(shù)的橫向或豎向的兩邊；第三，中間數(shù)前面的第2和第 4個數(shù)分別填在最大數(shù)的兩側(cè)，這時就可以輕松的確定剩下的幾個空了。48943711371161056例 2：下圖是一個三階幻方，請說明

6、幻和等于3 倍的 E 且 D+F=2× E。DEF第 2 題解析： 有了第1 題的基礎(chǔ)，大家應(yīng)該對本題感到不是那么陌生了，只要把第一部分解題過程搬過來就行。這道題也是讓大家看一看如何把一個特殊的解題過程變成一條普遍的規(guī)律或性質(zhì)。解： 首先把題目中的空白格子標(biāo)上不同的字母，以便表述。1 題的ABCDEFGHI首先，只考慮包含E 的四條直線，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H= “幻和”，C+E+G= “幻和”，D+E+F= “幻和”。然后，把這四個式子的左右兩邊分別相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”,而另一方面，如果我們只考慮幻方的三行

7、，則有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。所以， 3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F ，于是 D+F=2× E?？偨Y(jié)： 同樣的分析辦法，還可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E(請大家自己說明本題回答了例1 評議中提出的兩個問題，從而我們得到三階幻方的兩條重要性)。質(zhì)。性質(zhì)性質(zhì)1：“幻和”的3 倍等于這九個數(shù)之和；2：所有經(jīng)過中心的直線上，兩端數(shù)字的平均數(shù)就等于正中間的數(shù)字。BAC第 3 題例 3：上 圖是一個三階幻方，請說明A+B=2× C。解析： 這是一道難題，它之所以難

8、，就在于條件太少，只有三階幻方的概念可以用。于是我們就想到利用性質(zhì)1 和 2，看看能不能解決問題。當(dāng)然，只利用題目中的A、 B、 C 三個位置上的數(shù)字是不可能做出來的，至少還要利用一個其它位置上的數(shù)字作為過渡，比如我們可以選擇左上角的數(shù)字，并用x來表示它：xBA*C下面我們要用到比較法，其實(shí)也就是性質(zhì)1。解： 現(xiàn)在考慮* 處的數(shù)字。如果我們只看上面第一行和右邊第一列，可以知道*+C=B+x，也就是 *=B+x-C ；而如果我們只看中間第二行和左上到右下的對角線，可以知道 x+C=A+*，也就是 *=x+C-A 。所以 B+x-C=x+C-A，兩邊可以都去掉x，就得到A+B=2× C。

9、總結(jié)： 這就是幻方的性質(zhì)3，也被形象的稱為“T”字型性質(zhì)。當(dāng)然，類似本題中這樣 A+B=2× C 的性質(zhì)還有另外 3 種不同方向的表達(dá)形式，大家應(yīng)該自己可以總結(jié)出來。“ T”字型性質(zhì)是非常重要，而且神奇的性質(zhì)，它神奇就神奇在三階幻方有無窮多個，看起來好像數(shù)字怎么填都可以。但是這條性質(zhì)卻告訴我們在離得這么遠(yuǎn)的三個位置上的數(shù)字之間卻有著這樣簡單的關(guān)系，三階幻方中的數(shù)字不是隨便怎么填都可以的，中間還潛藏著一些更深層次的特殊性質(zhì)。這正是數(shù)學(xué)的魅力所在。例 4：那么究竟我們總結(jié)出來的3 條性質(zhì)有什么用呢，請完成下面的三階幻方：1710019299519第 4 題（1）第 4題（2）解析： 本題

10、需要綜合利用上面的 3 條性質(zhì)以及比較法來解決，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出來了，一切就都沒問題了。但是不同人的解題順序和利用性質(zhì)的方式可能很不一樣，所以下面我只是提供一種可行的解題順序和方法，大家應(yīng)該有自己的解題順序和方法。這類題是簡單的。解：（ 1）BA100 1995根據(jù)性質(zhì) 2， A=100× 2- 19=181 ， B=100×2- 95=105 ；“幻和” =100×3=300 。下面就只要根據(jù)幻方的概念填就可以了。答案如下：24171 105181 100199529176（ 2）17A29C19B根據(jù)比較法， A=19+29 - 17=31；根據(jù)性質(zhì)3， B=(17+29) ÷ 2=23；根據(jù)性質(zhì)2，C=(19+31)÷ 2=25，“幻和”=25 ×3=75。下面也就只要根據(jù)幻方的概念填就可以了。答案如下：271731292521193323總結(jié)：最后重申幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：I. 這些性質(zhì)只適用于三階幻方，對于四階和四階以上的幻方，有些性質(zhì)可能就不成立了，而有些需要修改，請同學(xué)們慎重，具體問題具體處理。II. 這幾條性質(zhì)適合于所有的三階幻方，并沒有局限性。2、四階幻方4 階幻方的填法