湖北剩州市沙市第五中學高中數(shù)學1.2.2正余弦定理在三角形中的應用導學案新人教A版必修5

1、高中數(shù)學高一年級必修五第一章 第1.2.2節(jié)：正、余弦定理在三角形中的應用導學案學習目標能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題，掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用。并結合三角形的有關知識解決三角形面積有關的問題。讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)問題的能力，讓學生在歸納探究中體驗成功收獲的愉悅。學習重點、難點重點：能推導三角形的面積公式并利用面積公式及正弦定理、余弦定理來解決有關三角形面積的題目。 難點：利用正弦定理、余弦定理解決簡單的面積問題，并能利用三角形的有關知識及正、余弦定理來證明與三角形邊角有關的恒等式

2、。 學法指導教師可放手讓學生探究，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能夠不拘一格，一題多解。D知識鏈接回顧我們的探究經(jīng)歷，從初中的直角三角形出發(fā)，引入三角形中的某個角，采取將銳角三角形、鈍角三角形轉化為直角三角形的策略，結果探究出了三角形中的兩個重要定理正弦定理和余弦定理，給我們解決三角形問題帶來了極大的便利，那么我們不禁要問：利用三角形的有關知識還能推導出什么有用的結果呢？由此展開新課。E自主學習三角形的面積公式提出問題在ABC中，若AC3，BC4，C60°.問題1：ABC的高AD為多少？提示：ADAC·sin C3×sin 60°

3、.問題2：ABC的面積為多少？提示：SABCBC·AD×4×3.問題3：若ACb，BCa，你發(fā)現(xiàn)ABC的面積S可以直接用a，b，C表示嗎？提示：能Sabsin C.導入新知三角形的面積公式(1)Sa·ha(ha表示a邊上的高)(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B.化解疑難三角形的面積公式Sabsin C與原來的面積公式Sa·h(h為a邊上的高)的關系為：hbsin C，實質上bsin C就是ABC中a邊上的高F.合作探究三角形的面積計算例1在ABC中，已知C120°，AB2，AC2，求ABC的面積解由正弦定理知，即，所以

4、sin B，由于ABAC，所以CB，故B30°.從而A180°120°30°30°.所以ABC的面積SAB·AC·sin A·2·2·sin 30° .類題通法1求三角形面積時，應先根據(jù)題目給出的已知條件選擇最簡便、最快捷的計算方法，這樣不僅能減少一些不必要的計算，還能使計算結果更加接近真實值2事實上，在眾多公式中，最常用的公式是SABCabsin Cbcsin Aacsin B，即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積，反過來，給出三角形的面積利用上述公式也可求得相

5、應的邊或角，應熟練應用此公式活學活用1(1)在ABC中，若A60°，b16，SABC64，則c_.(2)在ABC中，若a3，b2，c4，則其面積等于_解析：(1)由已知得SABC·bc·sin A，即64×16×c×sin 60°，解得c16.(2)由余弦定理得cos A，所以sin A ，于是SABCbcsin A×2×4×.答案：(1)16(2)三角形中的恒等式證明問題例2在ABC中，求證：.解法一：左邊·右邊，其中R為ABC外接圓的半徑.法二：左邊右邊，(cos C0).類題通法

6、解決此類問題，既要用到三角形中特有的恒等變形公式，又要用到任意角三角函數(shù)的恒等變形公式，兩者要結合，靈活運用三角形邊和角的相互轉換公式，主要是正弦定理、余弦定理這兩個定理，因此這類題型都可用不同的途徑求解活學活用2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，求證：c.證明：由余弦定理的推論得cos B，cos A，代入等式右邊，得右邊c左邊，c.三角形中的綜合問題例3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面積為2，求b，c.解(1)由3cos(BC)16cos Bcos C，得3(cos B

7、cos Csin Bsin C)1，即cos(BC)，從而cos Acos(BC).(2)由于0<A<，cos A，所以sin A.又SABC2，即bcsin A2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213，解方程組得或類題通法解決三角形的綜合問題，除靈活運用正、余弦定理及三角形的有關知識外，一般還要用到三角函數(shù)、三角恒等變換、方程等知識因此，掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式和性質是解題關鍵活學活用3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos，·3.(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值解：(1)cos，cos A2c

8、os21，sin A.又由·3，得bccos A3，bc5，SABCbcsin A2.(2)bc5，bc6，b5，c1或b1，c5.由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，a2.典例(12分)如圖，在四邊形ABCD中，ACCDAB1，·1，sinBCD.(1)求BC邊的長；(2)求四邊形ABCD的面積解題流程規(guī)范解答(1)ACCDAB1，···cosBAC2cosBAC1， cosBAC，BAC60°.(3分)在ABC中，由余弦定理有：BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC22122×2&#

9、215;1×3，BC(6分)(2)由(1)知，在ABC中有：AB2BC2AC2，ABC為直角三角形，且ACB90°，(7分)SABCBC·AC××1.(8分)又BCDACBACD90°ACD，sinBCD，cosACD，(9分)從而sinACD，(10分)SACDAC·CD·sinACD×1×1×.(11分)S四邊形ABCDSABCSACD.(12分)名師批注向量數(shù)量積運算公式易用錯，在ABC中，和夾角有時誤認為ABC，從而不得分 利用了誘導公式求cosACD，求解時對取正負號不把握活

10、學活用在ABC，中，AB2，cos C，D是AC上一點，AD2DC，且cosDBC.求：(1)BDA的大小；(2) ·.解：(1)由已知得cosDBC，cos C，從而sinDBC，sin C，cosBDAcos(DBCC)××，BDA.(2)設DCx，則AD2x，AC3x，設BCa，則在DBC中，由正弦定理得，ax.在ABC中，由余弦定理，得4(3x)2(x)22·3x·x·.解得x1，3，.··cos(C)2××4.G.課堂小結由學生整理學習了哪些內容？有什么收獲？H達標檢測一、選擇題1在A

11、BC中，已知AB2，BC5，ABC的面積為4，若ABC，則cos 是()A. B.C± D±解析：選CSABCAB·BCsinABC×2×5×sin 4.sin .又(0，)，cos ±±.2在ABC中，已知A30°，a8，b8，則ABC的面積為()A32 B.16C32或16 D32或16解析：選D在ABC中，由正弦定理，得sin B，又ba，B60°或120°.當B60°時，C180°30°60°90°，SABC×8

12、15;832；當B120°時，C180°30°120°30°，SABCabsin C×8×8×16.3在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面積SABC，則邊BC的邊長為()A. B.3C. D7解析：選ASABCAB·ACsin A，AC1由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·ACcos A412×2×1×cos 60°3.即BC.4ABC的周長為20，面積為10，A60°，則BC的邊長等于()A5 B.6C7 D8解析：選C如圖

13、由題意得由(2)得bc40.由(3)得a2b2c2bc(bc)23bc(20a)23×40a7.5某人從出發(fā)點A向正東走x m后到B，向左轉150°再向前走3 m到C，測得ABC的面積為 m2，則此人這時離開出發(fā)點的距離為()A3 mB. mC2 mD. m解析：選D在ABC中，SAB×BCsin B，×x×3×sin 30°，x.由余弦定理，得AC (m)二、填空題6ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為_解析：不妨設b2，c2，cos A，則a2b2c22bc·cos A9，a3.又s

14、in A ，外接圓半徑為R.答案：7一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過 h，該船實際航程為_解析：如圖所示，在ACD中，AC2，CD4，ACD60°，AD212482×2×4×36，AD6，即該船實際航程為6 km.答案：6 km8在ABC中，ab2，bc2，又知最大角的正弦等于，則三邊長為_解析：由題意知a邊最大sin A，A120°，a2b2c22bccos A.a2(a2)2(a4)2(a2)(a4)a29a140，a2(舍去)，a7.ba25，cb23.答案：a7，b5，c3三、解答題9在ABC中，若c4，b7，BC邊上的中線AD的長為，求邊長a.解：AD是BC邊上的中線，可設CDDBx，則CBa2x.c4，b7，AD，在ACD中，有cos C，在ABC中，有cos C.解得x.a2x9.10(2010