柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

1、畢業(yè)作品作品名稱：柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面姓名：XXX學(xué)號:XXXXXXXXX系別：XXXXX專業(yè)：XXXX指導(dǎo)教師：XXXreview課件說明課件說明 重點重點：柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義和一般方程的求法，橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)與形狀，空間區(qū)域的作圖。 難點難點：尋找柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的準(zhǔn)線，在作空間區(qū)域時，分析并作出幾個曲面的交線。 目的目的：使學(xué)生能夠建立柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面方程的統(tǒng)一的思想方法，二次曲面的類型、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，用平行截線法（截痕法）討論二次曲面性質(zhì)。掌握平行截線法，能識別常見二次曲面的方程和圖形，掌握二次曲面的性質(zhì)。柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

2、 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 1、柱面、柱面 2、錐面、錐面 3、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面 4、橢球面、橢球面 5、雙曲面、雙曲面 6、拋物面、拋物面第一節(jié) 柱面定義定義平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線C叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線L叫柱叫柱面的面的母線母線.設(shè)柱面的準(zhǔn)線為設(shè)柱面的準(zhǔn)線為)1 (0),(0),(21zyxFzyxF母線的方向數(shù)為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線上一點，則過點上一點，則過點M1的母線方程為的母線方程為)2(111ZzzYyy

3、Xxx且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)從（從（2）（）（3）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0這就是以這就是以（1 1）為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面母線橢圓柱面母線/ 軸軸x12222 byax雙曲柱面母線雙曲柱面母線/ 軸軸zpzx22 拋物柱面母線拋物柱面母線/ 軸軸y 只含只含yx,而缺而缺z的方

4、程的方程0),( yxF，在，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱軸的柱面，其準(zhǔn)線為面，其準(zhǔn)線為xoy面上曲線面上曲線C.定理定理 一個關(guān)于一個關(guān)于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標(biāo)的齊次方程總表示頂點在坐標(biāo)原點的錐面。原點的錐面。齊次方程齊次方程：設(shè)設(shè)為實數(shù)，對于函數(shù)為實數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)f(x,y,z)，如果有，如果有f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z)則稱則稱f(x,y,z)為為的的齊次函數(shù)，齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0稱為齊次稱為齊次方程。方程。例如，方程例如，方程 x2+y2- -z2=0圓錐面圓錐面又如，方程又如，方程 x2+y

5、2+z2=0原點（虛錐面）原點（虛錐面）第二節(jié) 錐面) 1 (0),(0),(21zyxFzyxF錐面錐面1、定義、定義 在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。2 2、錐面的方程、錐面的方程設(shè)錐面的準(zhǔn)線為設(shè)錐面的準(zhǔn)線為頂點為頂點為A(x0,y0,z0)，如果，如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上任一點，為準(zhǔn)線上任一點，則錐面過點則錐面過點M1的母線為：的母線為：)2(01

6、0010010zzzzyyyyxxxx且有且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0 （3）從（從（2）（）（3）中消去參數(shù)）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（這就是以（1）為準(zhǔn)線，以）為準(zhǔn)線，以A為頂點的錐面方程。為頂點的錐面方程。例例1、求頂點在原點，準(zhǔn)線為、求頂點在原點，準(zhǔn)線為czbyax12222的錐面的方程。的錐面的方程。答：答：0222222czbyax（二次錐面）（二次錐面）第三節(jié) 旋轉(zhuǎn)曲面 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面一、定義一、定義: 以一條平面曲線以一條平面曲線C繞其平面上的繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做一條直線旋

7、轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的的軸軸. 曲線曲線C稱為放置曲面的稱為放置曲面的母線母線oC緯線緯線經(jīng)線經(jīng)線Logo所以過M1的緯圓的方程為()()()()()() 3 (0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX 當(dāng)點M1跑遍整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：)4(0),(0),(:11121111zyxFzyxFC從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)

8、曲面的方程。二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：)1 (0),(0),(:21zyxFzyxFC旋轉(zhuǎn)直線為：)2(:000ZzzYyyXxxL其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設(shè)M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。例1、求直線0112zyx繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸通過原點，所以過M1的緯圓方程是：2121212221110)()()(zyx

9、zyxzzyyxx又由于M1在母線上，所以又有：0112111zyx即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面：三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面： 已知yoz面上一條曲線C, 方程為f (y, z) = 0, 曲線C繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)M1(0, y1, z1)是C上任意一點, 則有f( y1, z1) = 0當(dāng)C繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M (x, y, z)時, 有|1221yyxzz221yxy將z1 = z, 代入

10、方程F( y1, z1) = 0, xozy0),( zyf), 0(111zyM Mdyoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞繞z軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周的轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程.同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:0) ,(22zyxF即規(guī)律：規(guī)律： 當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。xozy解解

11、yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 例2: 求直線 z = ay 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxyz = ay解: 將 y 用 代入直線方程, 得22yx)(22yxaz平方得:z2 = a2 ( x2 + y2 )該旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面, 其頂點在原點.例例3 3 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（單葉

12、）（雙葉）（雙葉）例4、將圓0)0()(222xabazby繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：22222)(azbyx即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（長形）（短形）（短形）第四節(jié) 二次曲面二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程三元二次方程相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的平面截痕法平面截痕法： 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平

13、面與曲面用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面一、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面所表示的曲面稱之為二次曲面ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = Company LogozoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得橢圓kzckbyax2222221當(dāng) |k | c 時, |k |越大, 橢圓越小;當(dāng) |k | =

14、 c 時, 橢圓退縮成點.二二. 幾種常見二次曲面幾種常見二次曲面.（一） 橢球面1 用平面z = 0去截割, 得橢圓012222zbyax1222222CzbyaxCompany Logo3 類似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得橢圓:,012222xczby.012222yczax特別: 當(dāng)a=b=c時, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原點o, 半徑為a的球面.（二）雙曲面（二）雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（1）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點截得中心在原點 的橢圓的橢圓.)0 , 0

15、 , 0(O Company Logo與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當(dāng)當(dāng) 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線截得中心在原點的雙曲線. 012222yczax實軸與實軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz 122122221yybyczax雙曲線的雙曲線的中心中心都在都在 軸上軸上.y與平面與平面 的交線為雙曲線的交線為雙曲線.1yy )(1by ,)1(221by x實軸與實軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸

16、與 軸平行軸平行.,)2(221by z實軸與實軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)3(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得雙曲線均可得雙曲線.單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是兩對相交直線兩對相交直線.ax 雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo（三）拋物

17、面（三）拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標(biāo)原點截得一點，即坐標(biāo)原點)0 , 0 , 0(O設(shè)設(shè)0, 0 qp原點也叫橢圓拋物面的原點也叫橢圓拋物面的頂點頂點.與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 11212122zzqzypzx當(dāng)當(dāng) 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz)0(1 z與平面與平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得

18、拋物線截得拋物線與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋物線.1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點頂點 qyy2, 0211（3）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得拋物線均可得拋物線.同理當(dāng)同理當(dāng) 時可類似討論時可類似討論.0, 0 qpzxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：當(dāng)特殊地：當(dāng) 時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)閝p zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p（由（由 面上的拋物線面上的拋物線 繞它的軸繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）旋轉(zhuǎn)而成的）xozpzx22 11222zzpzyx與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )0(1 z當(dāng)當(dāng) 變動時，這種圓變動時，這種圓的的中心中