C磁性物理的基礎(chǔ)最新版本

1、編輯課件C.磁性物理的基礎(chǔ)磁有序的基本相互作用2007.5編輯課件 1、經(jīng)典偶極子相互作用 2、交換相互作用 3、超交換相互作用 4、RKKY相互作用 5、雙交換相互作用 6、庫(kù)侖相互作用 7、電子能帶理論磁有序的各種相互作用編輯課件 磁偶極子也可稱為磁雙極子，一個(gè)磁偶極子m=qd, 當(dāng)d非常小時(shí)可以看成是一個(gè)點(diǎn)，例如一個(gè)原子的磁矩。首先看一個(gè)磁偶極子在r 處產(chǎn)生的磁場(chǎng)。設(shè)r 為偶極子中距p 點(diǎn)的距離，p 點(diǎn)距+q和-q的距離為l1 , l2 。偶極子軸與r的夾角為,引入標(biāo)量勢(shì)21120210441l lllqlqlq簡(jiǎn)單計(jì)算用r 和dcos表示l1和l2,得到20204coscos4rmrd

2、q用矢量表示304rrmmcos12dll221rl lcos21drlcos22drlqd=m+q-q dPrl1l2一、經(jīng)典偶極子相互作用編輯課件如果在p點(diǎn)由另一個(gè)偶極子m2占據(jù) ,則m1和m2的相互作用勢(shì)右圖中六種情況下，二個(gè)偶極子間的相互作用：( 1 )m1和m2在一條直線上( 2 )m1和m2同向并列平行( 3 )m1和m2反平行并列編輯課件( 4 )m1=m2,偶極子軸向與r成角或-角。( 5 )m1m2 , 在任意座標(biāo)系中的方向余弦為i ,i ,ri 則 相互作用能為1m2mr16244032101010rB用第二種情況，估計(jì)原子間的自旋相互作用爾格/原子經(jīng)典的偶極子相互作用表達(dá)

3、式編輯課件氫分子交換模型 和海森伯交換模型二、交換相互作用編輯課件 在一個(gè)氫分子體系中，由a，b兩個(gè)氫原子組成，a和b為兩個(gè)氫原子的核，如果它們距離R很大，可以近似地認(rèn)為是兩個(gè)弧立的無相互作用的原子，體系的能量為2E0 。如果兩個(gè)氫原子距離有限，使原子間存在一定的相互作用，這時(shí)體系的能量就要發(fā)生變化。產(chǎn)生相互作用使體系能量降低，則體系穩(wěn)定。 兩個(gè)氫原子組成氫分子后，體系要增加核之間的相互作用項(xiàng)核之間的相互作用項(xiàng)e2/R，電子相互作用項(xiàng)電子相互作用項(xiàng) e2/r,以及電子和另一個(gè)核之間的交叉作用電子和另一個(gè)核之間的交叉作用項(xiàng)項(xiàng)(-e2/ra2)和(-e2/rb1).氫分子體系的哈密頓量可寫成下到形

4、式：其中前四項(xiàng)是兩個(gè)弧立氫原子的電子動(dòng)能和勢(shì)能，后四項(xiàng)是相互作用能。a(1)是a原子中的電子1的波函數(shù)b(2)是b原子中的電子2的波函數(shù)a(2)是b原子中的電子2在a原子的波函數(shù)b(1)是a原子中的電子1在b原子的波函數(shù)氫分子的電子位置,a,b原子核; 1，2電子令：編輯課件這一體系的波函數(shù)無法直接得到，仍用單電子波函數(shù)的線性組合由這個(gè)線性組合，可得到對(duì)稱( S )和反對(duì)稱( A )的波函數(shù)Sab表式重迭積分自旋函數(shù)為兩個(gè)孤立原子的電子波函數(shù)組合兩個(gè)原子交叉電子波函數(shù)的組合(1)表示電子1自旋為+1/2(2)表示電子2自旋為+1/2(1)表示電子1自旋為-1/2(2)表示電子2自旋為-1/2s

5、sss編輯課件 和分別表示自旋在z方向的分量，Sz=1/2和Sz=-1/2,也就是向上和向下的自旋狀態(tài)。由于電子是費(fèi)密米粒子，含有軌道和自旋的整個(gè)體系是反對(duì)稱的。因此可得到這里,因?yàn)镾1+S2=0所以是單重項(xiàng) ,因?yàn)?S1+S2=1 , ms=1, 0, -1 所以是三重項(xiàng)體系的哈密頓量為e2/Rab與電子坐標(biāo)無關(guān)，與Sab有關(guān)。可求得兩種狀態(tài)的能量固有值1,2s1,2ASA1,2s1,2A編輯課件求解得到EH是孤立氫原子的能量。兩個(gè)電子軌道重迭的勢(shì)能為求解U和J 得到U是庫(kù)侖能，J 是交換能，通常U和J 都是正值。由于1/ra1和1/rb2都是a和b弧立原子的，只考慮交換相，則1222122

6、)2 , 1 (barerereV編輯課件 與經(jīng)典的概念相對(duì)應(yīng)，因-e|a(1)|2是a原子的電子云密度 a1, -e|b(2)|2是b原子的電子云密度b2, 所以積分U的第一項(xiàng)e2/r12是這兩團(tuán)電子云相互排斥庫(kù)侖勢(shì)能(0)。 第三項(xiàng)：e2/rb1表示原子核b(電荷為e)對(duì)a原子電子云的吸引作用的庫(kù)侖勢(shì)能，因?yàn)閞b1是核b到a中電子云的距離。 同樣，U的第二項(xiàng)e2/ra2表示原子核a對(duì)b原子電子云的吸引作用的庫(kù)侖勢(shì)能。這些都在零級(jí)近似計(jì)算中略去，在一級(jí)近似中不為零。U U的物理意義的物理意義：編輯課件 J 沒有經(jīng)典概念對(duì)應(yīng)，完全是量子力學(xué)效應(yīng)，來源于量子力學(xué)全同粒子系的特性，即耒源于電子1和

7、2的交換。 可以把-eab看做一種交換電子云密度ab。這種交換電子云只出現(xiàn)在電子云a和電子云b相重疊的地方，因?yàn)橹挥性谙嘀丿B的地方，a和b才都不為零。 積分A的第一項(xiàng)e2/r是兩團(tuán)交換電子云的相互排斥作用勢(shì)能。 第二項(xiàng)e2/ra2中的e2此時(shí)用ab代之，表示核a對(duì)交換電子云的作用能乘上重疊積分S。 第三項(xiàng)e2/rb1與第二項(xiàng)一樣，表示核b對(duì)交換電子云的作用能乘上重疊積分S。J J 的物理意義的物理意義：drSba)2()2(編輯課件 EA和ES兩種狀態(tài)的能量差ex僅與 J 有關(guān)。J 是電子之間、電子和原子核之間靜電作用的一種形式,ex通常稱為交換能，稱稱 J為交換積分為交換積分，它是由于電子云

8、交疊而引起的附加能量。 對(duì)于含有幾個(gè)未成對(duì)電子組成的原子的合成自旋為Si和Sj , 則 ijiijjijijjiijArr Vrr d d 2111ijijijVerrr2exijEJS S 編輯課件 圖中給出單重項(xiàng)和三重項(xiàng)的波函數(shù)S(1.2) ,A(1,2) 以及能量ES和EA作為Rab的函數(shù)。討論計(jì)算的結(jié)果： 對(duì)于氫分子ESEA,自旋反平行的單重項(xiàng)(S=0)是穩(wěn)定態(tài),并由極小值給出穩(wěn)定的原子間距R0和解離能 -D(R0)|。 用EA和ES的差，耒判斷具有兩個(gè)電子的分子是怎樣組成的。ex=-2J0，即EA0，相互結(jié)合是鐵磁性的。 當(dāng)兩個(gè)原子的波函數(shù)相互正交的情況時(shí)，即Sab2=0時(shí)ex= E

9、A-ES = -2J (判別式)(氫分子情況)ES0, 則J0 反平行EAES ,ex0 平行編輯課件討論鐵磁性形成的條件，即J0 (J=Aij)的條件 ( 1 )兩個(gè)近鄰原子的電子波函數(shù)在中間區(qū)域有較多的重疊；而且數(shù)值較大,e2/rij的貢獻(xiàn)大，可得 J 為正值； ( 2 )只有近鄰原子間距a大于軌道半徑 r 的情況下才有利于滿足條件(1)，角量子數(shù) l 比較大的軌道態(tài)(如3d和4f )波函數(shù)滿足這兩個(gè)條件可能性較大。編輯課件 奈耳根據(jù)上述兩個(gè)條件，總結(jié)了不同3d和4f以及4f等元素及合金的交換積分J與(a-2r)的關(guān)系。從圖中給出的J0和J0的情況相對(duì)應(yīng)的元素和合金與實(shí)際情況是一致的。 斯

10、圖阿特和如弗里曼分別計(jì)算了鐵的交換積分J 值，發(fā)現(xiàn)J 值比相對(duì)于保證3d金屬出現(xiàn)鐵磁性所要求的數(shù)值小得多。說明海森海森伯交換作用模型只能給出定性結(jié)果。伯交換作用模型只能給出定性結(jié)果。晶格常數(shù) :Fe: 2.8662; Co: a-2.507, c-4.069; Ni: 3.5238離子半徑：Fe2+ 0.75;Fe3+ 0.60; Co2+ 0.72; Ni2+ 0.70編輯課件1.471.631.821.971.52編輯課件原子間距離太遠(yuǎn)，表現(xiàn)孤立原子特性 原子間距離適當(dāng)時(shí)，a原子核將吸引b原子的外囲電子，同樣b原子核將吸引b原子的外囲電子。原子間電子密度增加。電子間產(chǎn)生交換作用，或者說a、

11、b原子的電子進(jìn)行交換是等同的，自旋平行時(shí)能量最小。鐵磁耦合 a.b原子核外電子因庫(kù)侖相互作用相互排斥，在原子中間電子密度減少。 原子間距離再近，這種交換作用使自旋反平行，a、b原子的電子共用一個(gè)電子軌道，抅成反鐵磁耦合鐵磁性的起源-直接交換相互作用ab(1)(2)rabb(2)a(1)ababab編輯課件附錄 原子軌道： 從量子力學(xué)角度，原子核外電子不能給出精確的軌道，而是用軌道函數(shù)，即電子的分布，代替精確軌道。原子軌道是該電子坐標(biāo)的函數(shù)( r )，其物理圖像是：在r 處無窮小體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的幾率為*(r)(r)d。因此知道原子軌道的形式，就可以指出原子中任一點(diǎn)的電子密度。 例如：一個(gè)處于氫

12、原子基態(tài)的電子，分布在形式為原子軌道(1軌道)上，其中a0是常數(shù)，即Bohr半徑(5.29x10-11m),意味此軌道是球形(因?yàn)楹瘮?shù)僅與r有關(guān)，與和無關(guān))。編輯課件 反對(duì)稱函數(shù)： 若f(-x)等于-f(x)，則函數(shù)f(x)是反對(duì)稱。在一個(gè)由N個(gè)不可區(qū)分的粒子組成的體系(如氫分子)的波函數(shù)，對(duì)于粒子交換是反對(duì)稱的，即交換任何一對(duì)粒子坐標(biāo)時(shí)，波函數(shù)變號(hào)，(r1,r2)= -(r2,r1)。對(duì)于氫分子a(1)b(2)-a(2)b(1),因?yàn)殡娮咏粨Q了坐標(biāo)，等價(jià)于交換粒子，結(jié)果波函數(shù)改變符號(hào)。當(dāng)兩個(gè)氫原子靠近時(shí)，在重疊區(qū)由于波函數(shù)符號(hào)相反，在重疊區(qū)電子密度減少，使體系能量增大。因?yàn)槿绻娮用芏燃哟笥?/p>

13、利于兩原子核靠近。重疊區(qū)電子密度減少，使兩原子核排斥增大距離。編輯課件 根據(jù)波函數(shù)定義，如果對(duì)整個(gè)空間積分，即在整個(gè)空間的幾率必然等于1。1dN1舉氫分子為例： 12212 , 1babasN 12212 , 1babaAN做歸一化處理 dNNdbabababass122112212 , 12 , 11其中 112122121ddbabababa 2121221drdrSbabaab2121abSN2121abSN得到同樣可得到 如果實(shí)際計(jì)算出耒等于N。則波函數(shù)除以 即歸一化，歸一化函數(shù)為( 1/ 是歸一化常數(shù) ):NN歸一化函數(shù)：編輯課件 正交函數(shù)：如果積分021 則稱這兩個(gè)函數(shù)1和2是正交

14、的；若它們的重疊積分為零，它們就是正交的。例如，兩個(gè)相距較遠(yuǎn)的氫原子上的1s軌道是正交的。 對(duì)稱函數(shù)： 若f(-x)=f(x)稱為對(duì)稱函數(shù)。對(duì)氫分子a(1)b(2)+a(2)b(1)是對(duì)稱函數(shù)。表示在兩原子核中間電子密度增大，因?yàn)殡娮涌梢栽赼和b原子的軌道上。這里波函數(shù)僅包括軌道函數(shù)，不包括自旋函數(shù)。包括自旋函數(shù)的波函數(shù)，根據(jù)泡利原理只能是反對(duì)稱的。編輯課件 19341934年克喇末首先提出超交換模型年克喇末首先提出超交換模型( (間接交換間接交換) )耒解釋耒解釋反鐵磁性自發(fā)反鐵磁性自發(fā)磁化的起因。磁化的起因。例如MnO的反鐵磁性,Mn離子中間有O 2-離子，因此離子間的距離大，直接交換作用

15、非常弱。然而，Mn離子之間通過O 2-而有一個(gè)超交換作用。其機(jī)理是：O 2- 離子的電子結(jié)構(gòu)為(1s)2(2s)2(2p)6,其中p-軌道向近鄰的Mn離子M1和M2伸展，一個(gè)p- 可以轉(zhuǎn)移到M1的Mn離子的3d軌道，由于Mn 2+離子已經(jīng)有五個(gè)半滿電子，按照洪德法則，氧的p-電子自旋只能與Mn 2+的五個(gè)電子自旋反平行。同時(shí)p 軌道上剩余的一個(gè)電子自旋必然是與轉(zhuǎn)移出去的電子自旋反平行。它與M2之間的交換作用使它與另一個(gè)Mn離子M2的自旋反平行，結(jié)果M1和M2反平行。三、超交換相互作用Mn2+有5個(gè)3d電子正好半滿。 當(dāng)當(dāng)M M1 1-O-M-O-M2 2是是180180度，超交換作用最強(qiáng)。隨角

16、度變小度，超交換作用最強(qiáng)。隨角度變小超交換減弱，當(dāng)超交換減弱，當(dāng)9090度夾角時(shí)，相互作用傾向變?yōu)檎?。度夾角時(shí)，相互作用傾向變?yōu)檎?。P-P+Mn12+Mn22+O2-激發(fā)交換編輯課件 1950年安德森Anderson發(fā)展上述理論，對(duì)超交換作用進(jìn)行具體計(jì)算，應(yīng)用到亜鐵磁性應(yīng)用到亜鐵磁性上。其思路為：O2-外層電子為2p6,p電子的空間分布呈啞鈴狀，當(dāng)氧離子與陽(yáng)離子相近鄰時(shí)，氧離子的p電子可以激發(fā)到d 狀態(tài)，而與3d過渡族的陽(yáng)離子的電子按洪德法則而相耦合，此時(shí)剩余的未成對(duì)的p電子則與另一近鄰的陽(yáng)離子產(chǎn)生交換作用，這種交換作用是以這種交換作用是以氧離子為媒介的，氧離子為媒介的，稱為超交換作用或間

17、接交換作用。稱為超交換作用或間接交換作用。 根據(jù)洪德法則，當(dāng)陽(yáng)離子M1的3d電子數(shù)小于5 時(shí)，處于 激發(fā)態(tài)的p電子自旋將平行于M1的3d電子自旋。反之，如M1的3d電子數(shù)大于或等于5時(shí)，則反平行。由于2p成對(duì)電子自旋是反平行的，剩下一個(gè)p電子將與M2上的d 電子產(chǎn)生負(fù)的交換作用。結(jié)論：陽(yáng)離子未滿殼層電子數(shù)等于或超過半數(shù)時(shí)，超交換作用有利于,陽(yáng)離子間磁矩反平行排列。對(duì)多數(shù)鐵氧體，相鄰離子間自旋呈反平行排列，即超交換作用為負(fù)值。編輯課件Jpd是O- 的電子自旋S=1/2與Fe2+ 的S=2兩個(gè)自旋間的直接交換作用。超交換相互作用過程磁性離子價(jià)態(tài)不變激發(fā)激發(fā)交換交換Fe2+Fe2+Fe2+Fe1+M

18、MMM編輯課件1800相互作用的情況900相互作用的情況編輯課件編輯課件 1954年茹德曼Ruderman和基特爾Kitter在解釋Ag110核磁共振吸收線增寬時(shí)，引入了核自旋與導(dǎo)電電子交換作用，導(dǎo)致核與核之間的交換作用，使共振吸收線增寬。1956和57年糟谷Kasuya和芳田Yosida在此模型基礎(chǔ)上研究了Mn-Cu合金核磁共振超精細(xì)結(jié)構(gòu)，提出Mn的d電子和導(dǎo)電電子交換作用，使電子極化而導(dǎo)致Mn原子中d電子與近鄰d電子的間接交叉模型。四、RKKY相互作用編輯課件 RKKY模型更適合用于稀土金屬的情況，其基本特點(diǎn)是，4f電子是局域的，6s電子是游動(dòng)的，f電子與s電子發(fā)生交換作用，使s電子極化，

19、這個(gè)極化了的s電子的自旋對(duì)f電子自旋取向有影響，結(jié)果形成以游動(dòng)的s電子為媒介，使磁性原子(或離子)中局域的4f電子自旋與其近鄰磁性原子的4f電子自旋產(chǎn)生交換作用，這是一種間接交換作用。若以si和sj表示兩近鄰磁性離子中4f局域電子自旋，交換作用可寫為2112)(2SSRJR12為離子間距離，J(R12)為交換積分編輯課件 導(dǎo)電電子與4f電子自旋的交換相互作用引起導(dǎo)電電子的振蕩極化，與局域自旋S相距為r處的導(dǎo)電電子的極化( r )可表示為)2()(rkSFrF式中kF是費(fèi)密面的波矢，或在k-空間費(fèi)密球的半徑。函數(shù)F(x)為 (x=2kFr )sincos(1)(4xxxxxF 若兩個(gè)稀土原子或離

20、子間距離為Rmn, J(Rmn)為兩個(gè)稀土原子中局域電子的交換積分，)2()(mnfmnRkAFRJ4sincos)(xxxxxF32)0(23fFekjENA其中Ne為導(dǎo)電電子總數(shù)，x=2kfRmn.函數(shù)F(R )是按R-3衰減，以(2kf) -1為振蕩周期 編輯課件編輯課件 在稀土金屬中，對(duì)磁性有貢獻(xiàn)的4f電子是局域的，距離原子核只有0.5 - 0.6埃。4f層以外有5p65d16s2等電子殼層對(duì)它起了屏蔽作用。因此，不同原子中的4f電子間不可能存在直接交換作用，但其自發(fā)磁化可用s-f電子交換作用模型來說明。 (a) (a) (b) (c) (d) (b) (c) (d) (e) (f)(

21、e) (f)圖 重稀土元素中非共線磁結(jié)構(gòu)示意圖，同一元素在不同溫度具有不同的磁結(jié)磁構(gòu)： （a）鐵磁性Gd,Tb,Dy（b）簡(jiǎn)單螺磁性Tb,Dy,Ho（c）鐵磁螺磁性（錐面）Ho,Er(d) 反向錐面（復(fù)雜螺磁性）Er（e）正弦形縱向自旋玻璃Er, Tm（f）方波模（反向疇）Tm 稀土鐵族合金的鐵磁性s-f 電子交換作用編輯課件 3d-4f 相互作用 (過渡元素3d電子與稀土元素4f電子的相互作用) 在稀土過渡族金屬間化合物中，4f電子是局域的，而3d電子是巡游的。而實(shí)驗(yàn)得出輕稀土(n7)與過渡金屬的化合物中，稀土磁矩與過渡金屬磁矩是反平行耦合。怎樣解釋？5dJLs3dN 7JLs5d3dN 7

22、在體系中，4f4f電子自旋通過電子自旋通過RKKYRKKY相互作用使相互作用使近鄰的近鄰的5d5d電子平行耦合電子平行耦合，而5d電子自旋與3d電子自旋之間是反平行耦合。 在n7時(shí)，稀土元素的總磁矩與自旋磁矩是反平行的，結(jié)果稀土離子的磁矩與3d電子磁矩平行耦合。 n 7時(shí)，稀土元素的總磁矩與自旋磁矩是平行的，結(jié)果稀土磁矩與3d電子磁矩成反平行耦合。編輯課件五、雙交換相互作用 以氧原子作為中間媒介，兩個(gè)不同價(jià)態(tài)的過渡族離子間的交換相互作用。例如LaCaMnO3中Mn離子有二個(gè)價(jià)態(tài)Mn3+和Mn4+。此時(shí)與超交換作用不同，氧原子的一個(gè)p電子進(jìn)入Mn4+中，該Mn4+離子變?yōu)镸n3+,而氧原子另外一

23、邊的Mn3+離子中的一個(gè)電子交換到氧原子的p電子軌道，這樣Mn3+離子變?yōu)镸n4+。由于Mn4+離子中的電子是未半滿(n0; n5時(shí),JI0時(shí)，電子被激發(fā)到費(fèi)米能級(jí)以上的能態(tài)。( E Ef )費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)0)()(dEEgEfN溫度不為零時(shí) 212322221EmEgg( E )稱態(tài)密度函數(shù)溫度高于絕對(duì)零度的情況編輯課件晶體的能帶結(jié)構(gòu)晶體的能帶結(jié)構(gòu)-近自由電子模型近自由電子模型在這種模型中能帶電子看作是僅僅受到離子實(shí)周期勢(shì)場(chǎng)的微擾。 當(dāng)晶體中電子波長(zhǎng)接近晶格常數(shù)時(shí)，將產(chǎn)生布拉格反射。由于布拉格反射，將不存在薛定格方程的類波解，從而在能量與波矢的關(guān)系曲線上產(chǎn)生能隙。第一級(jí)布拉格反射和第一

24、個(gè)能隙出現(xiàn)在k=/a處。在k空間，-/a與+/a之間的區(qū)域就是晶格的第一布里淵區(qū)。其余的能隙則出現(xiàn)在整數(shù)n取其它值( n/a )。Egk-/a/a禁帶禁帶第一允第一允許能帶許能帶第二允第二允許能帶許能帶AABBE( b )k( a )E( a )自由電子的能量E對(duì)波矢k的關(guān)系曲線；( b )晶格常數(shù)為a的單原子線型晶格中能量對(duì)波矢關(guān)系曲線。 能隙Eg與波矢k =/a的笫一級(jí)布拉格反射的相互關(guān)系。編輯課件能隙產(chǎn)生的機(jī)理：能隙產(chǎn)生的機(jī)理： 當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)的波矢k滿足布拉格反射條件k=/a時(shí)，一個(gè)向右行進(jìn)的波受到布拉格反射后將變成向左行進(jìn)的波(反射波的相角改變1800，使得駐波模式從coskx變?yōu)閟in

25、kx )。每次相繼的布拉格反射使行進(jìn)方向重新逆轉(zhuǎn)一次。形成即不向左，也不向右的駐波。它由以下兩個(gè)行波exp/cos/sin/i x ax aix a構(gòu)成兩個(gè)不同的駐波 /2cos/i x ai x aeex a /2 sin/i x ai x aeeix a 兩個(gè)駐波和使電子聚集在不同區(qū)域內(nèi)，因此這兩個(gè)波在晶格離子場(chǎng)中具有不同的勢(shì)能值。對(duì)于(+)波，其電荷密度為 圖(a)表示正離子實(shí)電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能的變化。離子實(shí)帶有正電荷，電子在正離子場(chǎng)中勢(shì)能是負(fù)的，吸引電子。 22cos/x a a離子實(shí)離子實(shí)勢(shì)能勢(shì)能U U( a )x編輯課件對(duì)于另一個(gè)駐波 22sin/x a 它傾向于使電子分布偏離離子實(shí)

26、。如圖(b)所示。( + )的勢(shì)能低于行波勢(shì)能，而( - )的勢(shì)場(chǎng)高于行波勢(shì)能。如果+ )和( - )的能量相差Eg，那末能隙的寬度為Eg。a( b )x行波行波幾率密度幾率密度 2 2編輯課件能隙有多大能隙有多大在布里淵區(qū)邊界K=/a處，其波函數(shù)對(duì)原子線單位長(zhǎng)度歸一化之后便是：2cos/x a2sin/x a和如果晶體電子的勢(shì)能寫作 cos2/U xUx a則兩個(gè)駐波態(tài)之間能量差的一級(jí)近似為 1220gEdxU x222cos 2/cos/sin/dxUx ax ax aU可以看出，這個(gè)能隙等于晶體勢(shì)的傅里葉分量。U(x)U0 x0-(a+b)-ba a+b簡(jiǎn)單周期勢(shì)場(chǎng)簡(jiǎn)單周期勢(shì)場(chǎng)- -方型勢(shì)阱方型勢(shì)阱電子的波動(dòng)方程為 2222dU xEm dx編輯課件01052015234kaE/(n2 2/2ma2) 在0 xa的區(qū)域內(nèi)，U=0。在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的本征函數(shù)是向右和向左行進(jìn)的平面波的線性組合iKxiKxAeBe能量