舒幼生力學(xué)PPT課件

1、1第零章數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識A A 行列式行列式B B 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算C C 一元函數(shù)微積分一元函數(shù)微積分D D 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分第1頁/共84頁2A 行列式行列式A.1 行列式行列式2 21 1- -1 1- -1 1- -2 2- -1 11 11 12 2z zy yx xF Fz zk kF Fy yj jF Fx xi i第2頁/共84頁3333332323131232322222121131312121111a aa aa aa aa aa aa aa aa a元素：ijija ai: 行標(biāo); j: 列標(biāo)2222212112121111a aa aa aa a1

2、11 1a a三階行列式可以一般地表述成2階、1階、零階行列式分別表述成第3頁/共84頁4行列式的運算規(guī)則可用下述遞歸方式定義：遞歸方式定義：定義定義11 11 11 11 11 11 1a aa aa a12122121222211112222212112121111a aa aa aa aa aa aa aa a232322221313121231313333323213131212212133333232232322221111333332323131232322222121131312121111a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a

3、a aa aa aa aa aa aa aa aa a第4頁/共84頁5性質(zhì)性質(zhì)1：行列可互換性：行列可互換性z zy yx xz zy yx xF FF FF Fz zy yx xk kj ji iF Fz zk kF Fy yj jF Fx xi i第5頁/共84頁6性質(zhì)性質(zhì)2：一行的公因子可以提出：一行的公因子可以提出333332323131232322222121131312121111333332323131232322222121131312121111a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa akkkk第6頁/共84

4、頁7性質(zhì)性質(zhì)4：如果行列式中兩行成比例，：如果行列式中兩行成比例， 那么行列式為零。那么行列式為零。0333332323131131312121111131312121111a aa aa aa aa aa aa aa aa akkk性質(zhì)性質(zhì)3：對換行列式中兩行的位置，：對換行列式中兩行的位置， 行列式反號。行列式反號。第7頁/共84頁8A.2 應(yīng)用應(yīng)用3 33 333332 232321 131312 23 323232 222221 121211 13 313132 212121 11111b bx xa ax xa ax xa ab bx xa ax xa ax xa ab bx xa

5、ax xa ax xa a333332323131232322222121131312121111a aa aa aa aa aa aa aa aa aD D 引入分母行列式線性代數(shù)方程組第8頁/共84頁92D , , a aa ab ba aa ab ba aa ab bD D333332323 3232322222 2131312121 11 13,2, 1 iDDxii引入分子行列式方程組的解能表述為第9頁/共84頁10例例1. 公比公比0q1的無窮等比級數(shù)求和的無窮等比級數(shù)求和qSa aqaqaqaqa aqaqaqaS3232qaS1第10頁/共84頁11例2. 求無窮串并聯(lián)系列的電

6、阻RAB設(shè)AB間的電阻為RAB則有ABABRRRR1112第11頁/共84頁12思考題思考題1：取火柴游戲：取火柴游戲 N N根火柴，根火柴，2 2人取，每人一次取人取，每人一次取1 1至至a a根，最后取者為負(fù)（根，最后取者為負(fù)（a1)a1) 對先取者，什么樣的對先取者，什么樣的NN是必勝態(tài)，是必勝態(tài)，什么樣的什么樣的NN是必敗態(tài)是必敗態(tài)第12頁/共84頁13思考題思考題2：機(jī)器貓與玩具鼠：機(jī)器貓與玩具鼠 鼠鼠 貓貓不動不動0 1 2 3 只要貓捉到鼠，游戲結(jié)束，問貓捉到鼠只要貓捉到鼠，游戲結(jié)束，問貓捉到鼠的概率的概率P=P=？第13頁/共84頁14B 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算B.1 矢

7、量的疊加與分解既有大小，又有方向的量是矢量，記為A標(biāo)量：只有大小，沒有方向矢量的大小稱為矢量的模，記為 A單位方向矢量AAAA/ 或第14頁/共84頁15萬有引力定律r rr rMmMmGGF F3 3MmFr第15頁/共84頁16矢量的代數(shù)性質(zhì)矢量的疊加:矢量的和標(biāo)積和矢積：矢量的乘矢量與標(biāo)量的關(guān)系數(shù)乘：標(biāo)量與矢量的乘積仍是一個矢量BA矢量之間的關(guān)系第16頁/共84頁173 32 21 13 32 21 1A A) )A AA A( (A AA AA ACBAABC兩個矢量的和矢量的疊加滿足交換律和結(jié)合律第17頁/共84頁18矢量矢量的分解的分解x xy yz zi ij jk kA Ax

8、xA Ay yA Az zA Ax xy yA Ai ij jk kk kA Aj jA Ai iA AA Az zy yx xz zy yx xz zy yx xA A, ,A A, ,A A 或或 A A, ,A A, ,A A : :A Ax x軸單位矢量軸單位矢量y y軸單位矢量軸單位矢量z z軸單位矢量軸單位矢量可簡寫為: k kB BA Aj jB BA Ai iB BA Ak kB Bj jB Bi iB Bk kA Aj jA Ai iA AB BA Az zz zy yy yx xx xz zy yx xz zy yx x第18頁/共84頁19k k維空間維空間i ik k1

9、 1i ik kk k2 22 21 11 1e eA Ae eA Ae eA Ae eA AA Ai i k k1 1i i2 2i iAAAAie e) )BB(A(ABBA Ak k1 1i ii ii iK維空間矢量矢量的模矢量的和第19頁/共84頁20思考題思考題3 3： k k維空間正方維空間正方“體體”頂點數(shù)頂點數(shù)棱數(shù)棱數(shù)面數(shù)面數(shù)面積面積體積體積3維正方體維正方體81266a2a32維正方維正方“體體”4444aa21維正方維正方“體體”2122a第20頁/共84頁21(1)從度量的角度分析，為什么數(shù)學(xué)上給出 S1=2(2)對k維空間正方“體”， 用遞歸方法求出它的頂點數(shù)、棱數(shù)和

10、“面”數(shù)； 若棱長為a，再求它的“體積” Vk和“面積” Sk第21頁/共84頁22B.2 矢量矢量的的標(biāo)積標(biāo)積 0 0 規(guī)定規(guī)定 coscosB BA AABA AB B/B B /ABAABBA/顯然有矢量的模量AAA第22頁/共84頁23矢量標(biāo)積的一些基本性質(zhì)矢量標(biāo)積的一些基本性質(zhì) B BA AB BA AB B) )A AA A( (A AB BB BA A) )B BA A(B B) )A A(2 21 12 21 1)( 為標(biāo)量 B BA AB BA AB BA AB BA A) )B BB B( () )A AA A( (2 22 21 12 22 21 11 11 12 21

11、12 21 1第23頁/共84頁24三維空間三維空間0 0i ik kk kj jj ji iz zz zy yy yx xx xz zy yx xz zy yx xB BA AB BA AB BA A) )k kB Bj jB Bi i(B(B) )k kA Aj jA Ai i(A(AB BA A單位矢量的標(biāo)積滿足正交性歸一性1 1k kk kj jj ji ii iiAxA矢量的某一分量第24頁/共84頁25j j若i若i 1 1j j若i若i 0 0 e ee eijijj ji ik k維空間維空間i ik k1 1i ii iBBA ABBA A正交歸一性第25頁/共84頁26例題

12、例題3 重力功的計算重力功的計算b ba al l ) )g g( (mmWWz平面xyabazbzPlgmb ba az zmmg gmmg gh h) )z zmmg g( (z za ab b第26頁/共84頁27B.3 矢量矢量的的矢積矢積或由左手系確定的方向或由右手系確定平行四邊形的面積）,( sinCABC : :C CB BA A三維空間兩個矢量的矢積定義為A AB B B(右)(右)C C(左)(左)C C第27頁/共84頁28矢積的一些基本性質(zhì)矢積的一些基本性質(zhì) ) )BBA A(BB) )A A(2 22 21 12 22 21 11 11 12 21 12 21 1BBA

13、 ABBA ABBA ABBA A) )BBBB( () )A AA A( (A ABBBBA ABBA ABBA ABB) )A AA A( (2 21 12 21 1反交換律分配律進(jìn)一步可導(dǎo)出其它較復(fù)雜的公式,例如第28頁/共84頁29 B BA Ak kB BA Aj jB BA Ai i B BA Az zz zy yy yx xx x0 0k kk kj jj ji ii ij ji ik k ; ; i ik kj j ; ;k kj ji i矢積只能在三維空間中進(jìn)行, 對于坐標(biāo)基矢有矢積的行列式表示第29頁/共84頁30例例4 矢積在物理學(xué)中的應(yīng)用一矢積在物理學(xué)中的應(yīng)用一FrMp

14、rLBvqFv力矩力矩v角動量角動量v洛侖茲力洛侖茲力第30頁/共84頁31baBlIFv安培力安培力v畢奧畢奧-沙伐爾定律沙伐爾定律304 rrlIBlIBablIrP例5 矢積在物理學(xué)中的應(yīng)用二第31頁/共84頁32B.4 B.4 矢量矢量的的三重積三重積 z zz zz zy yy yy yx xx xx xC CB BA AC CB BA AC CB BA A) )C CB B( (A A幾何意義：平行六面體的體積平行六面體的體積)(CBAABC) )B BA A( (C C) )A AC C( (B B) )C CB B( (A A三重標(biāo)積的循環(huán)可交換性三重標(biāo)積第32頁/共84頁33

15、C)BA(B)CA()CB(A矢量的三重矢積)(CBA0 0) )C CB B( (A A 共共面面 C C , , B B , ,A A ABCCB三重矢積必在B、C確定的平面內(nèi)， 是B、C的線性組合。第33頁/共84頁34A組2、3、6、8、10、11、14、15、18B組22、23、24數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識作業(yè)題第34頁/共84頁35C 一元函數(shù)微積分一元函數(shù)微積分C.1 微分微分一元函數(shù)可記為一元函數(shù)可記為y(x) y xyxxxyyy或或OF(x)y 自變量 x 的增量:x函數(shù)增量:)()(xyxxyy第35頁/共84頁36BAyxxAy)y()y(yxxx線性函數(shù)當(dāng)自變量的增量很小時，其它

16、函數(shù)的增量能否寫成類似的形式？第36頁/共84頁37拋物線函數(shù)拋物線函數(shù)2Ayx2)A(A2yxxx含有高階無窮小，其它函數(shù)類似。第37頁/共84頁38xsinsiny yxey xxxxsin cos1)(cos sin y) 1(xxeey第38頁/共84頁39)()(xydxxydy自變量增量0 x時, 稱為自變量微分,改記成dx相應(yīng)的函數(shù)增量0y, 稱為函數(shù)微分,記成dydy與dx的關(guān)系微分 忽略高階無窮小AdxdyBAxy ,dxdxxAdyAxy)2( ,2dxxdxxdyxysincos) 1(cossin ,sin第39頁/共84頁40AxBdxAxAxBdxAx 簡書為1co

17、s 1cosdxdx簡書為dxdxdxdxsin sin簡書為dxdxdxdx tan tan簡書為edxedxdxdx11)1 ( )1 (簡書為數(shù)學(xué)上可以證明, 對無窮小量dx, 有64274821785251654759457134076630353 772749669676209369995952497757247 66028747135259045235367182818284. 2e第40頁/共84頁41C.2 微商（導(dǎo)數(shù)）微商（導(dǎo)數(shù)） )(dxdyxyxxyxxyxy)()( 定義dxdyy 或OxxyyPQxy幾何意義: 平均變化率函數(shù)在x處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)曲線在x處切線的斜率t

18、an)()(dxxydxxydxdyy第41頁/共84頁42例例6 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾個實例函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾個實例AyBAxy AxyAxy2 2 sin xy xdxdxxdxdxxycossincos1cossinxyxysin cos第42頁/共84頁43導(dǎo)數(shù)的一些重要性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的一些重要性質(zhì)22112211 yAyAyyAyAy212121 yyyyyyyy22212121 yyyyyyyyy第43頁/共84頁44復(fù)合函數(shù)的微商復(fù)合函數(shù)的微商)( )(xuuuyyxuxuyy鏈?zhǔn)椒▌t:xuxuydxdududydxdyy第44頁/共84頁45例7 幾個函數(shù)的求導(dǎo))sin(CBxAyCBxuuAy

19、sin可看作)cos()cos(CBxABBuAuyyxux第45頁/共84頁46xAycos可變換為可變換為)2sin(xAy即得即得xAxAysin)2cos(第46頁/共84頁47xytan可變換為可變換為xxycossin即得即得xxxxxxy22cos1cos)(cossincos)(sin第47頁/共84頁48,2, 1 kxyk可遞歸地得到1kkxy)()()()(11111kkkkkkxxxxxxxxxx1 x既有第48頁/共84頁49三個常用導(dǎo)數(shù)公式三個常用導(dǎo)數(shù)公式1)(xx是任意實數(shù)aaaxxln)(xx1)(ln ?xe第49頁/共84頁50二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)dxdydxd

20、dxydy )(簡寫成 22dxydy nnndxydy)( 依此類推, n階導(dǎo)數(shù)記作第50頁/共84頁51例如 , 2 , 1 )()(keexnx , 2 , 1 , 0 cossin)14(kxxkxxksinsin)24(xxkcossin)34(xxksinsin)44(第51頁/共84頁52增加而增加隨xyxy 0)(極大值或極小值? 則由該點的二階導(dǎo)數(shù)來確定增加而減小隨xyxy 0)(對應(yīng)極值點 0)( xy導(dǎo)數(shù)與極值OxyyPx0 xQMdxydy第52頁/共84頁530)( 0)(00 xyxy極大值點0)( 0)(00 xyxy極小值點OxyyPx0 xQMN第53頁/共8

21、4頁54非極值點，稱為拐點xy3xy 0)0( y0)0( y在 x = 0 處第54頁/共84頁55例題 找出 xsin的全部極值點 , 2, 1, 0 )21(2k0kx極大值點極小值點, 2, 1, 0 21) 1(2k0kx第55頁/共84頁56泰勒展開)()()()(0000 xxxydxxydyxyxy導(dǎo)數(shù)的一個重要應(yīng)用函數(shù)的冪級數(shù)展開dxxx00自變量函數(shù)增量也可寫成)()()(00000 xxxyxxxyxy猜想函數(shù)有如下的冪級數(shù)展開0030320201000)()()()()()(nnnxxAxxAxxAxxAxxAxy-泰勒(Taylor)級數(shù)第56頁/共84頁57確定泰勒

22、級數(shù)的展開系數(shù)展開式兩邊對 x 依次求導(dǎo), 再取 x = x0, 可確定所有項的系數(shù), 2 , 1 ),(!1 ),(0)(00nxynAxyAnn泰勒級數(shù)的收斂性因為y(x)是有限的, 所以至少要求0)(!1)( ,00)(0nnnnxxxynxxAn第57頁/共84頁58 函數(shù)y(x)若能在x0兩側(cè)某范圍內(nèi)展開為泰勒級數(shù)，便稱這一范圍為y(x)的收斂區(qū)域。xx sin11 )1 (1xx11 1xx11 )1ln(xxxx cosxex x0= 0的泰勒級數(shù)，也稱為馬克勞林(Maclaurin)級數(shù)第58頁/共84頁592468-101 第1項! 7! 5! 3sin753xxxxx前3項

23、前2項前4項前9項第59頁/共84頁60! 7! 5! 3sin753xxxxx! 6! 4! 21cos642xxxxxixeixsincos奇函數(shù)偶函數(shù)例題8 導(dǎo)出歐拉(Euler)公式第60頁/共84頁61! 5! 4! 3! 215432xxxxxex比較得xixeixsincos第61頁/共84頁62矢量微商矢量微商ktAjtAitAtAzyx)()()()(許多物理量是矢量，一般都隨時間和空間坐標(biāo)而變化。任意矢量A(t)可分解為其中基矢均不隨t變化。A對t的導(dǎo)數(shù)為kdttAdttAjdttAdttAidttAdttAdttAdttAdtAdzzyyxx)()()()()()()()

24、(即有kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx第62頁/共84頁63rkdttdzjdttdyidttdxdtrdv)()()(ktzjtyitxtr)()()()(例如質(zhì)點位矢 r 分解成速度加速度rkdttzdjdttydidttxddtrddtvda 22222222)()()(第63頁/共84頁64dtBdABdtAdBAdtd)(矢量A(t)與矢量B(t)的標(biāo)積zzyyxxBABABABAdtBAddtBAddtBAddtBAdzzyyxx)()()()(即得第64頁/共84頁65 B BA Ak kB BA Aj jB BA Ai i B BA Az zz zy yy yx x

25、x xdtBdABdtAddtBAd)(第65頁/共84頁66C.3 積分積分)( )(xfxF)()()()()(12212121xFxFdxxfdxxfxdFxxxxxx若稱 f (x) 是 F (x) 的導(dǎo)函數(shù)， F (x) 是 f (x) 的原函數(shù)定積分Oxyx1x2xx+dx)(xf第66頁/共84頁67)()()()(122121xFxFxdFdxxfxxxx積分的上限積分的下限)()(xfxF)()(xFxf原函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)積分積分是求導(dǎo)的逆運算第67頁/共84頁68最簡單的積分Oxyx1x2xx+dx)(xfhxfahxxF)( ,)()()()()(121221xFxFxxh

26、dxxfxx第68頁/共84頁69CxFdxxf)()(不定積分不定積分: 求函數(shù)的所有原函數(shù)求函數(shù)的所有原函數(shù)1 11CxdxxCxxdxsincosCxxdxcossinCedxexxCxdxxln1幾個常用公式:第69頁/共84頁70dxxfAdxxfAdxxfAxfA)()()()(22112211不定積分的一個重要性質(zhì)定積分的幾何意義Oxyx1x2xx+dx?)(21xxdxxf第70頁/共84頁71例題9 定積分與曲線長度21212)(1xxxxdxxfdlldxydydxdl222)(1)()(Oxyx1x2xdxdydly = f (x)第71頁/共84頁72D 多元函數(shù)微積分

27、D.1 偏微商（偏導(dǎo)數(shù)）),(321kxxxxyy多元函數(shù)是由多個獨立自變量構(gòu)成的函數(shù)理想氣體的狀態(tài)方程RpVT長方形的體積高寬長V第72頁/共84頁7311xyyx僅由自變量x1的無窮小變化引起的函數(shù)增量),(),(3213211kkxxxxyxxxdxxy稱為函數(shù)對x1的偏微分類似可引入函數(shù)對其它自變量的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)對x1的偏微商或偏導(dǎo)數(shù)第73頁/共84頁74例如：理想氣體的狀態(tài)方程RpVTRVpTRpVTT 對p求偏導(dǎo)數(shù)時將V處理為常量T 對V 求偏導(dǎo)數(shù)時將p處理為常量第74頁/共84頁75k 個自變量均有無窮小增量時引起的 y 增量kkdxxydxxydxxydy2211例如 理想氣體的狀態(tài)方程dVRpdpRVdT