數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

1、v5.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法v5.2無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器的基本結(jié)構(gòu)）濾波器的基本結(jié)構(gòu)v5.3有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（FIR）濾波器的基本結(jié)構(gòu)）濾波器的基本結(jié)構(gòu)v5.4 數(shù)字濾波器的格型結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器的格型結(jié)構(gòu)5.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法 一個(gè)數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為： 01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z(5-1)10( )()()NMkkkky na y nkb x nk直接由此式可得出表示輸入輸出關(guān)系的常系數(shù)線性差分方程為(5-2)v可見(jiàn)，數(shù)字

2、濾波器的功能就是把輸入序列通過(guò)一定的運(yùn)算(如(5-2)式)變換成輸出序列。v可以用以下兩種方法來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器：一種方法是把濾波器所要完成的運(yùn)算編成程序并讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行，也就是采用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)；另一種方法是設(shè)計(jì)專用的數(shù)字硬件、專用的數(shù)字信號(hào)處理器或采用通用的數(shù)字信號(hào)處理器來(lái)實(shí)現(xiàn)。v實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器需要3種基本的運(yùn)算單元:加法器、單位延時(shí)和常數(shù)乘法器。v這些基本的單元可以有兩種表示法: 方框圖法和信號(hào)流圖法，如圖 5-l 所示。 方框圖法：明顯直觀；信號(hào)流圖法：簡(jiǎn)單方便。以如下二階數(shù)字濾波器為例其方框圖結(jié)構(gòu)如圖5-2所示，信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)如圖 5-3所示。120( )(1)(2)( )y nay

3、 na y nbx n v在上面的信號(hào)流圖中1，2，3，4，5稱為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，x(n)處為輸入節(jié)點(diǎn)或稱源節(jié)點(diǎn)，表示注入流圖的外部輸入或信號(hào)源，y(n)處為輸出節(jié)點(diǎn)或稱阱節(jié)點(diǎn)。源結(jié)點(diǎn)沒(méi)有輸入支路，阱節(jié)點(diǎn)沒(méi)有輸出支路。如果某節(jié)點(diǎn)有一個(gè)輸入、一個(gè)或多個(gè)輸出，則此節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于分支節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn) 2,3 相當(dāng)于分支節(jié)點(diǎn)。如果某節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入，則此節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于相加器。節(jié)點(diǎn) 1,5 相當(dāng)于相加器。 v運(yùn)算結(jié)構(gòu)是重要的,不同結(jié)構(gòu)所需的存儲(chǔ)單元及乘法次數(shù)是不同的,前者影響復(fù)雜性，后者影響運(yùn)算速度。此外,在有限精度(有限字長(zhǎng))情況下,不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差、穩(wěn)定性是不同的。v由于無(wú)限長(zhǎng)單位沖激（IIR）濾波器與有限

4、長(zhǎng)單位沖激響應(yīng) (FIR) 濾波器在結(jié)構(gòu)上各有不同的特點(diǎn),所以我們將分別對(duì)它們加以討論。5.2 無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(IIR)濾波器濾波器的基本結(jié)的基本結(jié)構(gòu)構(gòu)v無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(IIR) 濾波器有以下幾個(gè)特點(diǎn)： (1)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)的； (2)系統(tǒng)函數(shù) H(z) 在有限z平面 (0|z|0 處收斂，在 |z|0 處 只有零點(diǎn)，有限 z 平面只有零點(diǎn)，而全部主部 極點(diǎn)都在 z=0 處（因果系統(tǒng)）； 3）結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒(méi)有輸出到輸入的 反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也 包含有反饋的遞歸部分。v設(shè) FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)為一個(gè) N

5、 點(diǎn)序列，0nN-1，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 就是說(shuō)，它有（N-1）階極點(diǎn)在z=0處，有（N-1）個(gè)零點(diǎn)位于有限z平面的任何位置。vFIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)。（5-10）01( )( )( )1MkkkNkkkb zYzHzXza z10( )()()NMkkkky na y n kb x n kv（5-10）式的系統(tǒng)的差分方程表達(dá)式為v很明顯，這就是線性移不變系統(tǒng)的卷積和公式，其結(jié)構(gòu)如圖 5-15所示，稱為橫截型結(jié)構(gòu)、卷積型結(jié)構(gòu)或直接型結(jié)構(gòu)。將轉(zhuǎn)置定理用于圖 5-15，可得到圖 5-16 的轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)。一、橫截型（卷積型、直接型）一、橫截型（卷積型、直接型）（5-11）v將H（z）分

6、解成實(shí)系數(shù)二階因子的乘積形式v其中 N/2 表示取 N/2 的整數(shù)部分。若 N 為偶數(shù)，則 N-1 為奇數(shù)，故系數(shù) 中有一 個(gè)為零。這是因?yàn)椋@時(shí)有奇數(shù)個(gè)根，其中復(fù)數(shù)根成共軛對(duì)，必為偶數(shù)，必然有奇數(shù)個(gè)實(shí)根。圖 5-17 畫出了 N 為奇數(shù)時(shí) FIR 濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu) ，其中每一個(gè)二階因子用圖 5-15的橫截型結(jié)構(gòu)。v這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn) ，因而在需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí) ，可以采用它。但是這 種結(jié)構(gòu)所需要的系數(shù) 比卷積型的系數(shù) 和h(n)要多 ，因而 所需的乘法次數(shù)也比卷積型的要多。2k0,1,2;1,2,2ikikN二、級(jí)聯(lián)型二、級(jí)聯(lián)型212211010)()()(NkkkkNnnzzzn

7、hzHv 圖5-17 FIR濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)（N為奇數(shù)）三、頻率抽樣型三、頻率抽樣型v 在第三章中已經(jīng)說(shuō)過(guò)，把一個(gè) N 點(diǎn)有限長(zhǎng)序列的 z 變換 H(z)H(z) 在單位圓上作 N 等分抽樣,就得到 ,其主值序列就等于 的離散傅里葉變換 。那里也說(shuō)到用 表示 H(z)H(z) 的內(nèi)插公式為 H k()hn( )h n H k這個(gè)公式就為FIR 濾波器提供了另外一種結(jié)構(gòu) ，這種結(jié)構(gòu)由兩部分級(jí)聯(lián)組成。 1101(1)5 131NnkkNH kH zzNW z H kv其中級(jí)聯(lián)的第一部分為v v這是一個(gè) FIR 子系統(tǒng) , 是由 N 節(jié)延時(shí)單元構(gòu)成的梳狀濾波器 , 令v則有 1015 14NCkk

8、H zH zH zN 15 15NCH zz 10NCH zz221,0,1,1NjiijiNizezeiN 即 HCU) 在單位圓上有 N 個(gè)等問(wèn)隔角度的零點(diǎn) , 它的頻率 響應(yīng)為212sin5 162wNjjwjwNcwNHeeje 因而幅度響應(yīng)為相角為2s i n2j wcw NHe20,0N24m1,warg,NN22m 1 22mmm,wNNjwcmwwNHem到到到其子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及頻率響應(yīng)幅度如圖5-18所示圖5-18 梳狀濾波器結(jié)構(gòu)及頻率響應(yīng)幅度 v級(jí)聯(lián)的第二部分為v它是由N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)組成，而這每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)都是一個(gè)諧振器v令 的分母為零，即令v可得到此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)

9、極點(diǎn) 111001NNkkkkNHkHzWz kH Z 111005171NNkkkkNH kHzWz110kNWz2jkkNkNzWe 也就是說(shuō)，此一階網(wǎng)絡(luò)在頻率為 處響應(yīng)無(wú)窮大，故等于諧振頻率為 的無(wú)損耗諧振器。這個(gè)諧振器的極點(diǎn)正好與梳狀濾波器上的一個(gè)零點(diǎn)（i=k) 相抵消 , 從而使這個(gè)頻率 (= )上的頻率響應(yīng)等于H(k)。這樣,N個(gè)諧振器的N個(gè)極點(diǎn)就和梳狀濾波器的N個(gè)零點(diǎn)相互抵消,從而在N個(gè)頻率抽樣點(diǎn) ( = , k=0,1,.,N 一 1)的頻率響應(yīng)就分別等于N個(gè)H(k)值。 N個(gè)并聯(lián)諧振器與梳狀濾波器級(jí)聯(lián)以后，就得到圖5-19的頻率抽樣結(jié)構(gòu)。 2wkN2kN2kN2kN 頻率抽樣

10、結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是它的系數(shù) 就是濾波器在 處的響應(yīng)，因此控制濾波器的頻率響應(yīng)很方便。但是結(jié)構(gòu)中所乘的系數(shù) 及 都是復(fù)數(shù)，增加了乘法次數(shù)和存儲(chǔ)量，且所有極點(diǎn)都在單位圓上，由系數(shù) 決定。所以系統(tǒng)量化時(shí)，這些極點(diǎn)會(huì)移動(dòng)，有些就不能被梳狀濾波器的零點(diǎn)抵消（零點(diǎn)由延時(shí)單元決定，不受量化影響)。如果極點(diǎn)移到Z平面單位圓外，系統(tǒng)就不再穩(wěn) 定。 H k w Hk H kkNWkNW 為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點(diǎn) ,可以將頻率抽樣結(jié)構(gòu)做一點(diǎn)修正,即將所有零、極點(diǎn)都移到單位圓內(nèi)某一靠近單位圓、半徑為r（r小于或近似等于 1)的圓上 (r為正實(shí)數(shù) )如圖 5-20所示。 v這時(shí) 11011NNNrkkNHkrzHz

11、NrWz rH k rHkH k1r 5 18kkNNrz rWz WHkH zH zH k而 為新抽樣點(diǎn)上的抽樣值，但是由于因此有即所以 進(jìn)一步簡(jiǎn)化公式。首先，諧振器的各個(gè)根（ 的極點(diǎn)）為 11011NNNkkNH kr zH zNrWz H z2,0,1,1jkNkzrekN 為了使系數(shù)為實(shí)數(shù)，可將共軛根合并，在z平面上這些共軛根在半徑為的圓周上以實(shí)軸為軸成對(duì)稱分布，如圖5-21所示，滿足也即*Nkkzz*22*jN kjkN kkNNNrWrer erW 其次，由于h(n)是實(shí)數(shù)，故H(k)=DFTh(n)也是共軛對(duì)稱的，即 *11,2, ,N2,1,2, ,1,N2NNNkH kHN

12、kR kNk,當(dāng) 為 奇 數(shù) 時(shí)當(dāng) 為 偶 數(shù) 時(shí) k1()1*1*1101122z115 191111,2,2,212 cos1,2,1,2kN kNNkkNNkkH kH NkHrWzrWzH kHkrWzrWzNkNzNzrkr zkNN為奇數(shù)為偶數(shù)因此，可以將第k個(gè)與第(N-k)個(gè)諧振器合并為一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)，以 表示為 kHk 其中 012Re2 RekkkNH krH k W由于這個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi) , 而不是在單位圓上 , 因而從頻率響應(yīng)的幾何解釋知道，它相當(dāng)于一個(gè)有限Q（品質(zhì)因數(shù) )的諧振器，諧振頻率為2kwkN其結(jié)構(gòu)如圖5-22所示除共軛輔根外，尚有實(shí)根。(5-2

13、0)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如圖5-21（a）所示，有一對(duì)實(shí)根（相當(dāng)于k=0及k= 兩點(diǎn))2zr 01210121NHHzrzH NHzrz因而對(duì)應(yīng)的一階網(wǎng)絡(luò)為其結(jié)構(gòu)如圖5-23所示(5-21)(5-22) 將諧振器的實(shí)根、復(fù)根以及梳狀濾波器合起來(lái)得到修正后的頻率抽樣型總結(jié)構(gòu)。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)： 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，如圖521（b）所示，只有一個(gè)實(shí)根（相當(dāng)于k=0的點(diǎn)） Z=r因而只有一個(gè)網(wǎng)絡(luò) 而沒(méi)有 。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，其結(jié)構(gòu)如圖524所示。圖中第一個(gè) 及最后一個(gè) 是一階的，其具體結(jié)構(gòu)如圖523所示，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，沒(méi)有 。其他各 都是二階的，其具體結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖522所示。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)： 頻率抽樣結(jié)構(gòu)的另一個(gè)特點(diǎn)是它的零

14、、極點(diǎn)數(shù)目只取決于單位抽樣響應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，因而，只要單位沖激響應(yīng)點(diǎn)數(shù)相同，利用同一梳狀濾波器、同一結(jié)構(gòu)而只有加權(quán)系數(shù) 不同的諧振器，就能得到各種不同的濾波器，因而圖524結(jié)構(gòu)是高度模塊化的，適用于時(shí)分復(fù)用。四、快速卷積結(jié)構(gòu)四、快速卷積結(jié)構(gòu) 在第三章中已經(jīng)講過(guò)，只要將兩個(gè)有限長(zhǎng)序列補(bǔ)上一定的零值點(diǎn)，就可以用兩序列的圓周卷積代替兩序列的線性卷積。也就是將x(n)和h(n)都變成L點(diǎn)序列，即將N1點(diǎn)輸入 補(bǔ)L N1個(gè)零值點(diǎn)，將N2點(diǎn)沖激響應(yīng) 補(bǔ)L N2個(gè)零值點(diǎn)，只要滿足 則x(n)與y(n)的L點(diǎn)圓周卷積就代表它們的線性卷積。 實(shí)際上，我們并不是在時(shí)域做圓周卷積，而是利用“時(shí)域序列的圓周卷積等效于頻域的

15、離散頻譜的乘積”這一性質(zhì)先在離散頻域進(jìn)行。具體表示方法如下： 1、將x(n)和h(n)變成L點(diǎn)序列，2、求x(n)與y(n)各自的L點(diǎn)DFT則L點(diǎn)的圓周卷積就能代表線性卷積，即： 這樣，我們就得到圖525的快速卷積結(jié)構(gòu)。當(dāng)N1，N2足夠長(zhǎng)時(shí)，用這種結(jié)構(gòu)計(jì)算線性卷積要快得的。實(shí)際上，這里的DFT和IDFT都是采用第四章的快速傅立葉變換計(jì)算方法（取L=2P，p為正整數(shù)）。五、線性相位五、線性相位FIRFIR濾波器的結(jié)構(gòu)濾波器的結(jié)構(gòu) FIR濾波器的線性相位是非常重要的，因?yàn)閿?shù)據(jù)傳輸以及圖像處理都要求系統(tǒng)具有線性相位，而FIR濾波器由于它的沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因而有可能做成嚴(yán)格線性相位的。 我們知道，

16、如果FIR濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)， ，且滿足以下的條件： 偶對(duì)稱 奇對(duì)稱也就是說(shuō)，其對(duì)稱中心在 則這種FIR濾波器就具有嚴(yán)格線性相位，下面我們來(lái)導(dǎo)出這種濾波器的結(jié)構(gòu)。 下面對(duì)N為奇數(shù)以及N為偶數(shù)兩種情況分別加以討論。 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)： 設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)為 滿足以上任一種對(duì)稱條件。其系統(tǒng)函數(shù)為代入線性相位奇偶對(duì)稱條件 可得： 其中，方括號(hào)內(nèi)的“”號(hào)表示h(n)是偶對(duì)稱，“”表示h(n)呈奇對(duì)稱。h(n)奇對(duì)稱時(shí)，必有 （見(jiàn)（525b）式，由（527）式可畫出N為奇數(shù)時(shí)，線性相位FIR濾波器的直接結(jié)構(gòu)的流圖如圖526所示。其中，方括號(hào)內(nèi)的“”號(hào)表示h(n)是偶對(duì)稱，“”表示h(

17、n)呈奇對(duì)稱。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：由（528）式可以畫出N為偶數(shù)時(shí)，線性相位FIR濾波器的直接結(jié)構(gòu)的流圖如圖527所示。 由以上流圖看出線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu)比一般直線型結(jié)構(gòu)可以節(jié)省一半數(shù)量的乘法次數(shù)。 我們?cè)诘谄哒翭IR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一章中還要討論到線性相位FIR數(shù)字濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。 課件制作人：陸茵 向仲卿 蔣道乾 5.4 數(shù)字濾波器的格型結(jié)構(gòu) 上面我們討論了 IIR 濾波器和 FIR 濾波器的各種結(jié)構(gòu) , 下面我們來(lái)討論一種新的結(jié)構(gòu)形式, 即格型 (Lattice) 結(jié)構(gòu)。事實(shí)證明 : 由于它的模塊化結(jié)構(gòu)便于實(shí)現(xiàn)高速并行處理；一個(gè) m 階格型濾波器可以產(chǎn)生從 1 階到 m 階的 m 個(gè)橫向

18、濾波器的輸出性能 ; 它對(duì)有限字長(zhǎng)的舍入誤差不靈敏。由于這些優(yōu)點(diǎn) , 使得這種結(jié)構(gòu)在現(xiàn)代譜估計(jì)、語(yǔ)音信號(hào)處理、自適應(yīng)濾波等方面得到了廣泛的應(yīng)用。我們分別就全零點(diǎn)系統(tǒng)、全極點(diǎn)系統(tǒng)及極、零點(diǎn)系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)進(jìn)行以下討論。一一、全零點(diǎn)系統(tǒng)、全零點(diǎn)系統(tǒng) (FIR (FIR 系統(tǒng)系統(tǒng) ) ) 的格型結(jié)構(gòu)的格型結(jié)構(gòu) 一個(gè) M 階的 FIR 濾波器的橫向結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可寫成系數(shù) 表示 M 階 FIR 系統(tǒng)的第 i 個(gè)系數(shù),式中假定H(z）的首項(xiàng)系數(shù)以 h(0)=1。而此全零點(diǎn)FIR系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)則如圖5-28所示。 下面我們來(lái)分析這一格型結(jié)構(gòu) , 討論如何由橫向結(jié)構(gòu)(卷積結(jié)構(gòu)或者直接結(jié)構(gòu)）的參量導(dǎo)出格

19、型結(jié)構(gòu)的參量,或者由格型結(jié)構(gòu)的參量如何導(dǎo)出橫向結(jié)構(gòu)的參量。 在FIR的橫向結(jié)構(gòu)中有M個(gè)參數(shù) bi(M)或h(i)i=1,2,M,共需M次乘法，M次延遲;在FIR格型結(jié)構(gòu)中也有M個(gè)參數(shù)ki(i=1,2,M)，ki稱之為反射系數(shù)，共需2M次乘法，M次延遲。 此格型結(jié)構(gòu)的信號(hào)只有正饋通路，沒(méi)有反饋通路，所以是一個(gè)典型的FIR系統(tǒng)。 格型濾波器結(jié)構(gòu)中的基本傳輸單元如圖5-29所示，有如下的表達(dá)式： fm(n)=fm-1(n)+kmgm-1(n-1), m=1,2,M (5-30) gm(n)=kmfm-1(n)+gm-1(n-1), m=1,2,M (5-31)并且有)()(00zGzF 若定義 分別

20、是由輸入端到第m個(gè)基本傳輸單元上端和下端所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù) 可以看出,當(dāng) m=M 時(shí), BM(z)=B(z)。同樣可以看出,m-1 級(jí)的 Bm-1(z) 與圖 5-29的基本單元級(jí)聯(lián)即得到m級(jí)的Bm(z),因此格型結(jié)構(gòu)有著模塊化的結(jié)構(gòu)形式。 1、首先,我們來(lái)看從高階Bm(z)到低一階的Bm-1(z)以及反過(guò)來(lái)從Bm-1(z)到Bm(z)的遞推關(guān)系,這也就隱含了格型結(jié)構(gòu)的 ki(i=1,2 ,M)和橫向結(jié)構(gòu)的各系數(shù) b bi i(m)(m)(i(i= = 1,1,2, 2, ,m;m=1,2 ,m;m=1,2 ,M) ,M)的遞推關(guān)系。對(duì)(5-30)式、 (5-31)式取 z 變換,可得 將(5-

21、35)式除以Fo(z),(5-36)式除以Go(z),考慮到(5-34)式的表示方法,可得 或者，反過(guò)來(lái)求解Bm-1(z)和 得到)()(00zFzG)()(00zGzF這四個(gè)式子給出了格型結(jié)構(gòu)中從高階到低一階或從低階到高一階的系統(tǒng)函數(shù)的遞推關(guān)系。應(yīng)當(dāng)注意，BM(z)=B(z),即包含有 B(z) 在內(nèi)。 下面再將這四個(gè)關(guān)系式加以推導(dǎo),得出Bm(z)與 Bm-1(z)的互相遞推關(guān)系。由(5-34)式知因而將它代入（5-37）式、（5-38）式，令m=1，可得也就是滿足同樣，令m=2,3, ,M, 代人(5-37)式、(5-38)式,就不難推出 將（5-43）式分別代人(5-37)式、(5-39

22、)式,可得這是兩個(gè)重要的從低階到高階或從高階到低階的遞推關(guān)系。注意 ,這里有 M 階 FIR 系統(tǒng)的B(z)。)()1 ()(11111111zBzzkzzkzB2、其次,我們來(lái)直接給出格型結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)與橫式濾波器各系數(shù)的關(guān)系。將(5-34a) 式的 代入(5-44)式,利用待定系數(shù)法,可得遞推關(guān)系上式中i=1,2,(m-1);m=2,M 。111111)(miimimzbzB)1 (111111111miimimmmiimimiimizbzkzbzb11111111mimimimmmmiimimmmmiimizbkzkzbzbzb同理可推出下式：上式中i=1,2,(m-1);m=2,M 。

23、 3、綜上,當(dāng)給出 H(z)=B(z)=BM(z) 時(shí) , 可按以下步驟求出 k1,k2,KM: (1)由(5-46)式求出kM=bM(M)； (2)從(5-47)式,由kM及系數(shù)b1(M), b2(M), ,bM(M)求出Bm-1(z)的系數(shù)b1(M-1),b2(M-1) , ,bM-1(M-1)或者由(5-45) 式直接求出 BM-1(z),則kM-1=bM-1(M-1) ； (3)重復(fù)(2),可全部求出kM,kM-1,k1,BM-1(z),B1(z)。 例 5-1 一個(gè)FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為試求其格型結(jié)構(gòu)。解： H(z)=（1-1.1313708z-1+0.64z-2)(1-0.7z-1

24、) =1-1.8313708z-1+1.4319595z-2-0.448z-3這是一個(gè)三階系統(tǒng)，因而 b1(3)=-1.8313708, b2(3)=1.4319595, b3(3)=-0.448, k3=b3(3)=-0.448按照（5-47）式，可知因而同樣可得因而圖5-30給出了此例題的格型結(jié)構(gòu)。二、全極點(diǎn)系統(tǒng)(IIR系統(tǒng))的格型結(jié)構(gòu)全極點(diǎn)IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為(遞歸結(jié)構(gòu))其中ai(M)表示M階全極點(diǎn)系統(tǒng)的第i個(gè)系數(shù)。下面來(lái)討論格型結(jié)構(gòu)和ai(M)的關(guān)系。將(5-30)式加以變化后,把(5-30)式、(5-31) 式重寫如下: fm-1(n)=fm(n)-kmgm-1(n

25、-1), m=1,2,M (5-49) gm(n)=kmfm-1(n)+gm-1(n-1), m=1,2,M (5-50)這就是全極點(diǎn)IIR系統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)的基本單元,可用圖5-31表示,這時(shí)fm(n)是上支路的輸入言號(hào),fm-1(n) 是上支路的輸出信號(hào), 而gm-1(n)是下支路的輸入信號(hào),gm(n)是下支路的輸出信號(hào)。 假定所給系統(tǒng)是M階系統(tǒng)，并令x(n)=fM(n),f0(n)=g0(n)=y(n), 由圖5-31作為基本單元所構(gòu)成的全極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)為圖 5-32 所示。 下面,我們利用與全零點(diǎn)格型濾波器推導(dǎo)中的相同方法,來(lái)導(dǎo)出圖5-32的全極點(diǎn)格型濾波器的系統(tǒng)函數(shù),并導(dǎo)出利用IIR濾波器的

26、遞歸結(jié)構(gòu)的系數(shù)ajM(見(jiàn)(5-48)式)求得參數(shù)k1,k2,kM的方法。我們采用的是遞推的方法。 (1)令圖5-32中M=1,即對(duì)應(yīng)于一階的全極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu),由(5-49) 式及(5-50)式(m=M=1)可知 f0(n)=f1(n)-k1g0(n-1) (5-51) g1(n)=k1f0(n)+g0(n-1) (5-52)由一階情況下(見(jiàn)圖5-32，M=1)有 f0(n)=g0(n)=y(n) f1(n)=x(n)則(5-51)式及(5-52)式可寫成 )()()(00zYzGzF y(n)=f1(n)-k1y(n-1)=x(n)-k1y(n-1) (5-53) g1(n)=k1y(n)+y(

27、n-1) (5-54)可以看出(5-53)式表示x(n)作為輸入,y(n)作為輸出的一階IIR系統(tǒng),(5-54)式則表示y(n)g0(n)作為輸入 , g1(n)作為輸出的一階FIR系統(tǒng),由(5-53)式取z變換可得令 1+k1z-1=A1(z)則同樣,將(5-54)式取z變換可得令則 （2）上面是一階系統(tǒng)的推導(dǎo)。下面討論二階全極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)。在圖5-32中令M=2,則由(5-49)式及(5-50)式可得 在此二階情況下有 f0(n)=g0(n)=y(n) f2(n)=x(n)考慮到(5-51)式及(5-52)式,則可將(5-55)式及(5-56)式變成y(n)=-k1(1+K2)y(n-1)-

28、k2y(n-2)+f2(n) =-kl(1+k2)y(n-1)-k2y(n-2)+x(n) (5-57) g2(n)=k2y(n)+k1(1+k2)y(n-1)+y(n-2) (5-58) 這里可明顯看出,(5-57)式表示一個(gè)二階IIR系統(tǒng),輸入是x(n)f2(n),輸出是y(n)；而(5-58)式表示一個(gè)二階FIR系統(tǒng),輸入是y(n),輸出是g2(n)。對(duì)(5-57)式取z變換，可得令則有同樣，對(duì)(5-58)式取z變換，可得令 則有從而可得(3)由此類推，若定義則有且有由此看出，圖5-32對(duì)應(yīng)的是一個(gè)全極點(diǎn)的IIR系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)。和全零點(diǎn)FIR系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)圖的圖5-28相比較,由于兩個(gè)結(jié)

29、構(gòu)的基本差分方程(5-30)式、(5-31)式與(5-49)式、 (5-50)式) 是一樣的,所以系數(shù)k1,k2,kM以及ai(m)(i=1,2,m;m=1,2,M)與FIR系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法是一樣的,不同之處是這里(全極點(diǎn)系統(tǒng))的系數(shù)是ai(m），代替了全零點(diǎn)系統(tǒng)中的系數(shù)bi(m)。例5-2一個(gè)全極點(diǎn)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為求此全極點(diǎn)系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)。解：這個(gè)例子的分母多項(xiàng)式和全零點(diǎn)系統(tǒng)的多項(xiàng)式是完全相同的,因而求解方法完全和上一個(gè)例子相同。即k3=-0.448, k2=0.7650549, k1=-0.8433879其格型結(jié)構(gòu)如圖5-33所示。三、零、極點(diǎn)系統(tǒng)(IIR系統(tǒng))的格型結(jié)構(gòu) 我們知道,一個(gè)在有限z平面(0|z| )既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)的IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為這一系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)如圖5-34所示。由圖5-34