格型自適應(yīng)濾波器

1、第四章 格型自適應(yīng)濾波器本章研究另一類(lèi)線性自適應(yīng)濾波器，其是設(shè)計(jì)基于階數(shù)更新和時(shí)間更新的遞歸算法。這種新的自適應(yīng)濾波器與前面章節(jié)所研究的濾波器的不同之處在于階數(shù)更新。而這可以利用均勻采樣后時(shí)間數(shù)據(jù)的時(shí)移特性來(lái)實(shí)現(xiàn)。就結(jié)構(gòu)而言，階更新獲得一種計(jì)算高效、模塊化以及格型的結(jié)構(gòu)；它可將前面m-1階計(jì)算得到的信息傳遞到更新后的m階濾波器。最后結(jié)果是實(shí)現(xiàn)其計(jì)算復(fù)雜度與濾波器m階呈線性關(guān)系的自適應(yīng)濾波器。與其他類(lèi)型線自適應(yīng)濾波器相同，階遞歸自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)也是基于下面兩種方法：1 隨機(jī)梯度法 它建立在前向線性格型預(yù)測(cè)器和后向格型預(yù)測(cè)器的基礎(chǔ)上。2 最小二乘法 它建立在卡爾曼濾波器與最小二乘濾波器之間對(duì)應(yīng)關(guān)

2、系的基礎(chǔ)上。LMS和RLS濾波器同屬于橫向自適應(yīng)濾波器，在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)橫向?yàn)V波器的最優(yōu)階數(shù)通常是未知的，這就需要通過(guò)比較不同階數(shù)的濾波器來(lái)確定最優(yōu)的階數(shù)。但是，當(dāng)改變橫向?yàn)V波器的階數(shù)時(shí)，LMS和RLS算法必須重新運(yùn)行，這顯然是很不方便且費(fèi)時(shí)，而格型濾波器解決了這一難題。格型濾波器最突出的特點(diǎn)是局部相關(guān)聯(lián)的?；瘔K結(jié)構(gòu)，格型系數(shù)對(duì)于數(shù)值擾動(dòng)的低靈敏性，以及格型算法對(duì)于信號(hào)協(xié)方差矩陣特征值擴(kuò)散的相對(duì)惰性，使得其算法具有快速收斂和優(yōu)良數(shù)值特性，已被廣泛應(yīng)用于信號(hào)預(yù)測(cè)和濾波處理。4.1 梯度自適應(yīng)格型算法梯度自適應(yīng)格型（GAL，gradient-adeptive lattice ）濾波器具有對(duì)稱(chēng)的格

3、型結(jié)構(gòu)，從隨機(jī)梯度法得出的階遞歸自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，但在特性方面是近似的；其設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單性在于格型濾波器的每一級(jí)只有一個(gè)反射系數(shù)。其設(shè)計(jì)準(zhǔn)則和LMS算法一樣是使均方誤差為最小。圖4.1示出了一個(gè)單級(jí)格型預(yù)測(cè)器的方框圖：圖4.1單級(jí)格型預(yù)測(cè)器6其輸入輸出關(guān)系用單個(gè)參數(shù)反射系數(shù)來(lái)表征。假設(shè)輸入數(shù)據(jù)廣義平穩(wěn)且km為復(fù)值。對(duì)于km的估計(jì)，首先考慮代價(jià)函數(shù) (4-1)其中，是第m級(jí)前向預(yù)測(cè)誤差，是第m級(jí)后向預(yù)測(cè)誤差。和在第二章已有定義，它們都是在本級(jí)濾波器輸出端測(cè)量的；為統(tǒng)計(jì)期望算子；引入1/2是為了簡(jiǎn)化表達(dá)式。格型濾波器的輸入輸出關(guān)系為： (4-2) (4-3)把式(4-2)和(4-3)代入(4-1)

4、，并對(duì)代價(jià)函數(shù)求關(guān)于km的偏導(dǎo)數(shù)，我們得到： (4-4)如令該梯度等于零，則當(dāng)代價(jià)函數(shù)取得最小值時(shí)，即得反射系數(shù)最優(yōu)值為： (4-5)式(4-5)就是反射計(jì)算的計(jì)算公式。由于式(4-5)涉及使用集平均。設(shè)輸入信號(hào)是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用平均值代替式中分子分母的期望值。于是，m級(jí)格型預(yù)測(cè)器反射系數(shù)的估計(jì)為： (4-6)我們定義： (4-7)是直到時(shí)刻n（包含n）測(cè)得的m級(jí)輸入前向預(yù)測(cè)誤差和延遲的后向預(yù)測(cè)誤差的總能量.將式(4-6)中的與其他和式分離，即得計(jì)算總能量的遞歸公式: (4-8)采用類(lèi)似方式，可對(duì)6式中的分子寫(xiě)出遞歸公式，它表示時(shí)間平均互相關(guān) (4-9)將式(4-8)和式(4-9)代入式(4

5、-6)，可得反射系數(shù)估計(jì)值的遞歸關(guān)系式為： (4-10)為了最終確定梯度格型濾波器算法的表達(dá)式，對(duì)式(4-8)和式(4-10)做如下兩點(diǎn)修改：1 引入步長(zhǎng)參數(shù)，用來(lái)控制從一次迭代到下一次迭代傳遞中每個(gè)反射系數(shù)的調(diào)整量： (4-11)2 修改式(4-8)的能量估計(jì)器，使之成為如下形式： (4-12)式中是一個(gè)介于0<<1之間的新參數(shù)。導(dǎo)出式(4-10)的遞歸估計(jì)器，原來(lái)假設(shè)工作在平穩(wěn)情況下，為了處理非平穩(wěn)情況下的統(tǒng)計(jì)變量，引入修改后的式(4-11)。修改的目的是使估計(jì)器具備記憶功能，并借助預(yù)測(cè)能量最接近的過(guò)去值及現(xiàn)在值來(lái)計(jì)算反射系數(shù)的估計(jì)值。在GAL算法中，當(dāng)反射系數(shù)的更新式中使用時(shí)

6、變步長(zhǎng)參數(shù)=時(shí)引入了一種類(lèi)似于歸一化LMS算法的歸一化形式。由式(4-12)可以看出，對(duì)于較小的前后向預(yù)測(cè)誤差，參數(shù)相應(yīng)較小；或者等效地，步長(zhǎng)參數(shù)相應(yīng)較大。從實(shí)用觀點(diǎn)看，這種性能很比較需要。本質(zhì)上，小的預(yù)測(cè)誤差意味著自適應(yīng)格型預(yù)測(cè)器正在為它所運(yùn)行的外部環(huán)境提供一個(gè)精確的模型。因此，如果預(yù)測(cè)誤差增大，應(yīng)該是外部環(huán)境變化引起的；在這種情況下，能夠?qū)@種變化作出快速響應(yīng)的自適應(yīng)格型器將是高度合乎需要的。事實(shí)上，可通過(guò)設(shè)定為一個(gè)較大值來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目的，這也使得GAL算法中的式(4-10)一開(kāi)始就能夠快速收斂到新的環(huán)境。但是，加到自適應(yīng)格型預(yù)測(cè)器的輸入數(shù)據(jù)含噪過(guò)多（即有用信號(hào)上加有很強(qiáng)的白噪聲成分）則由自

7、適應(yīng)格型預(yù)測(cè)器所產(chǎn)生的預(yù)測(cè)誤差相應(yīng)就大。在這種情況下，參數(shù)取較大值，或者等效地，步長(zhǎng)參數(shù)取較小值。因此，這時(shí)GAL算法中式(4-10)并不恰好像我們所希望的那樣，能對(duì)外界環(huán)境的變化作出快速相應(yīng)。GAL算法的流程歸納如下：參數(shù)：M=最終預(yù)測(cè)階數(shù)中的=0.09多級(jí)格型預(yù)測(cè)：對(duì)于階數(shù)m=1,2,M,置 (4-13)取0.01，取為0。.對(duì)于時(shí)間步：n=1,2,置 (4-14)對(duì)于預(yù)測(cè)階數(shù)m=1,2,M,和對(duì)于時(shí)間步：n=1,2,計(jì)算 (4-15) (4-16) (4-17) (4-18)4.2 GAL算法仿真分析用自適應(yīng)預(yù)測(cè)來(lái)驗(yàn)證新算法的收斂性能。自適應(yīng)預(yù)測(cè)示意圖如圖2.7所示。所示。計(jì)算機(jī)仿真條件

8、為:設(shè)輸入信號(hào)x(n)由二階AR模型所產(chǎn)生x(n)=1.558x(n-1)-0.81x(n-2)+V(n) (4-19)其中a1=1.558，a2=-0.81,V(n)為一白噪聲， 我們用一個(gè)二階LMS自適應(yīng)橫向預(yù)測(cè)器和一個(gè)二階梯度自適應(yīng)格型預(yù)測(cè)器分別對(duì)a1和a2作出估計(jì)，通過(guò)迭代，這兩種方法的估計(jì)值和分別分別趨于1.558和-0.81。需要注意的是，因?yàn)樽赃m應(yīng)格型預(yù)測(cè)器估計(jì)出的是反射系數(shù)和，所以需要將其進(jìn)行換算，也即和可按下式算出： (4-20) (4-21)圖4.2示出了三種算法的n，n曲線。圖4.2 兩種算法權(quán)值收斂軌跡以上曲線均為獨(dú)立實(shí)驗(yàn)100次取平均得來(lái)。由圖4.2可見(jiàn)，LMS算法和

9、GAL算法算得的和都分別趨于1.558和-0.81，但自適應(yīng)格型算法的收斂速度比橫向自適應(yīng)算法快很多。梯度自適應(yīng)格型濾波器算法的反射系數(shù)用遞推算法得來(lái)，不涉及矩陣求逆，其計(jì)算量比LMS略高，比RLS算法低。可應(yīng)用與比LMS算法要求高的場(chǎng)合。但是，一些場(chǎng)合往往需要更高的收斂速度才能滿(mǎn)足要求。這就迫使我們研究一種收斂更快的格型算法。那就是下面要介紹的LSL算法。4.3 最小二乘格型算法基于最小二乘法的階遞歸自適應(yīng)濾波器比較精確；但其算法表達(dá)式需要更多的軟件編碼關(guān)系。其算法的復(fù)雜性在于最小二乘格型預(yù)測(cè)器的每一級(jí)需要兩個(gè)不同的反射系數(shù)來(lái)表征它，一個(gè)用于前向預(yù)測(cè)，另一個(gè)用于后向預(yù)測(cè)。這種非對(duì)稱(chēng)的格型濾波

10、器的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則采用最小二乘（LS）方法，使預(yù)測(cè)誤差的平方和為最小。圖4.3是一個(gè)LS格型濾波器。其中和分別為第m級(jí)格型濾波器的前向殘差和后向殘差，稱(chēng)為反射系數(shù)，p為濾波器的階數(shù)15。與只有一個(gè)反射系數(shù)的LMS格型濾波器不同的是，LS格型濾波器的前向反射系數(shù)和后向反射系數(shù)是不相等的。圖4.3 RLS自適應(yīng)格型濾波器19由上圖可以寫(xiě)出前、后向預(yù)測(cè)誤差的方程，即有 (4-22) (4-23)式(4-22)和式(4-23)表明了以下事實(shí)：(1) 第m級(jí)濾波器在n時(shí)刻的前（后）向預(yù)測(cè)誤差不僅與前一級(jí)n時(shí)刻的前向預(yù)測(cè)誤差有關(guān)，而且還決定于前一級(jí)n-1時(shí)刻的后向預(yù)測(cè)誤差。(2) LS格型濾波器設(shè)計(jì)的核心問(wèn)題就

11、是推導(dǎo)前、后向反射系數(shù)的遞推公式，即如何使用前級(jí)濾波器的有關(guān)參數(shù)推出本級(jí)的前、后向反射系數(shù)。(3) LS格型濾波器既含有階數(shù)遞歸（本級(jí)參數(shù)與前級(jí)參數(shù)有關(guān)），又包含了時(shí)間遞推（當(dāng)前時(shí)刻的濾波器參數(shù)與前一時(shí)刻的參數(shù)有關(guān)）。定義以下參數(shù)：偏相關(guān)系數(shù) (4-24)前、后預(yù)測(cè)誤差剩余 (4-25) (4-26)前向反射系數(shù) (4-27)后向反射系數(shù) (4-28)引入個(gè)分量的單位向量（也叫抽取向量），得到角度參量的定義式為： (4-29)迭代公式為： (4-30)所以，可得到LS格型（Least Square Lattice, LSL）自適應(yīng)濾波算法如下1015：初始化 (4-31) (4-32) (4-

12、33)對(duì)計(jì)算 (4-34) (4-35) (4-36)對(duì)于計(jì)算 (4-37) (4-38) (4-39) (4-40) (4-41) (4-42)其中，參數(shù)應(yīng)選擇接近穩(wěn)態(tài)預(yù)測(cè)誤差的平方值。4.4 最小二乘格型算法特性分析格型算法與橫向算法最顯著的不同是它具有輸入信號(hào)正交化的功能。首先考慮格型濾波器第階抽頭處，格型算法中前向預(yù)測(cè)誤差必然與過(guò)去的數(shù)據(jù)樣本正交以達(dá)到最小均方誤差值，即 (4-43) (4-44)其中代表統(tǒng)計(jì)期望。同理，對(duì)于反向預(yù)測(cè)誤差有 (4-45) (4-46)這里的選取滿(mǎn)足正交條件，同樣兩個(gè)預(yù)測(cè)誤差滿(mǎn)足同樣的正交條件。然后考慮格型濾波器第階抽頭處，表示由預(yù)測(cè)的的誤差。因?yàn)殡A預(yù)測(cè)誤

13、差利用了時(shí)刻的所有信息，所以，第m階預(yù)測(cè)中必須包含從可以預(yù)測(cè)得到關(guān)于的信息，然而許多信息已經(jīng)包含在之中，而正交化就要求我們只考慮帶來(lái)的新信息。因此，考慮反向預(yù)測(cè)誤差，它表示由預(yù)測(cè)的誤差，也就是說(shuō)代表了樣本中的新信息，于是關(guān)于的一種可取的遞推表達(dá)式為 (4-47) (4-48)這里的使?jié)M足新的正交條件 (4-49)類(lèi)似的，可以得到反向預(yù)測(cè)器的遞推式 (4-50) (4-51)于是 (4-52)按照同樣的分析，我們可以把自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波器擴(kuò)展到更高階數(shù)。因此，利用格型結(jié)構(gòu)只要繼續(xù)增加濾波器的階數(shù)即可構(gòu)成預(yù)測(cè)濾波器。這正是格型結(jié)構(gòu)的逐級(jí)正交性，每個(gè)反射系數(shù)都可以分別予以確定。格型濾波器的正交性就是：反

14、向預(yù)測(cè)誤差可以由信號(hào)延遲形式的格蘭姆施密特型正交化公式導(dǎo)出。正交變量的這個(gè)特性使格型結(jié)構(gòu)有利于自適應(yīng)濾波，也容易確定信號(hào)能量通過(guò)每個(gè)預(yù)測(cè)級(jí)后的衰減。這個(gè)特點(diǎn)可用于按比例確定預(yù)測(cè)誤差以保證良好的數(shù)值特性。一些重要的特性如下： (4-53)， (4-54) (4-55) (4-56) (4-57) (4-58)如果信號(hào)在自相關(guān)函數(shù)已知的情況下是平穩(wěn)的，每一級(jí)的前向與反向預(yù)測(cè)誤差能量均相同，那么兩個(gè)反射系數(shù)相等，而且可用對(duì)稱(chēng)的雙乘法器格型結(jié)構(gòu)計(jì)算這些預(yù)測(cè)誤差的遞推式。假如被建模的信號(hào)是平穩(wěn)的，通過(guò)組合取樣數(shù)據(jù)估計(jì)和，可確定單一的反射系數(shù)。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)來(lái)說(shuō)，使反射系數(shù)隨時(shí)間變化可產(chǎn)生自適應(yīng)估計(jì)。在諸

15、如雜波抑制、噪聲消除和均衡等應(yīng)用中，格型結(jié)構(gòu)正交性的主要意義在于得到快速的跟蹤或者收斂特性。由于反向預(yù)測(cè)誤差是輸入時(shí)間序列延遲型的格蘭姆施密特正交化，因而格型算法得到了廣泛的應(yīng)用。4.5 LSL算法聯(lián)合估計(jì)過(guò)程在許多應(yīng)用情況下，我們希望由期望響應(yīng)所表述某個(gè)過(guò)程性質(zhì)的預(yù)測(cè)和由輸入信號(hào)所包含的有關(guān)過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)和估計(jì)，這時(shí)，如何推導(dǎo)出一個(gè)自適應(yīng)格型濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)與期望信號(hào)的匹配就很重要。將后向預(yù)測(cè)誤差序列用于另一自適應(yīng)處理過(guò)程中是格型聯(lián)合估計(jì)過(guò)程的核心。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，聯(lián)合處理分為2個(gè)階段，利用格型濾波結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的后向預(yù)測(cè)誤差序列再同時(shí)經(jīng)過(guò)單獨(dú)的另外一次常規(guī)自適應(yīng)濾波處理。經(jīng)過(guò)格型結(jié)構(gòu)濾波后, 提取其中產(chǎn)生的

16、后向預(yù)測(cè)誤差序列作為聯(lián)合估計(jì)的輸入信號(hào)。因?yàn)楹笙蝾A(yù)測(cè)誤差彼此之間具有正交的特性, 使得格型結(jié)構(gòu)前后兩級(jí)間是去耦的, 因此級(jí)間信號(hào)抗干擾性得到了保障。對(duì)后向預(yù)測(cè)誤差序列做加權(quán)求和, 并與參考信號(hào)進(jìn)行比較, 以獲得誤差。通過(guò)對(duì)期望信號(hào)引入方式的分析, 聯(lián)合估計(jì)過(guò)程有兩種模式, 分為總體誤差更新和階誤差遞歸更新方式, 它們對(duì)權(quán)值的更新的方式不同?？傮w誤差更新方式如圖4.4所示：圖4.4總體誤差更新方式Error! Reference source not found.以當(dāng)前時(shí)刻的總體誤差即為期望信號(hào)與整個(gè)濾波系數(shù)同時(shí)和所有估計(jì)器輸入信號(hào)的乘積之差作為調(diào)整下一時(shí)刻整個(gè)濾波系數(shù)的修正因子;總體誤差為:

17、(4-59)階誤差遞歸更新方式如圖4.5所示：圖4.5階誤差更新方式Error! Reference source not found.在當(dāng)前時(shí)刻先從第一級(jí)濾波系數(shù)進(jìn)行調(diào)整, 逐次計(jì)算每一個(gè)濾波系數(shù)的更新, 調(diào)整后的單級(jí)誤差成為下級(jí)單元的期望信號(hào), 依次遞歸計(jì)算每一級(jí)的誤差和濾波系數(shù)以達(dá)到整體最優(yōu)。單級(jí)誤差為: (4-60) m=0,1,2,M (4-61)如果一定需要嚴(yán)格限制估計(jì)過(guò)程中濾波模型本身噪聲所帶來(lái)的測(cè)量誤差, 那么就有必要采用后一種模型中的直接獲取法進(jìn)行聯(lián)合估計(jì),因?yàn)殡A誤差遞歸更新模型以每一級(jí)為最優(yōu)處理對(duì)象, 致使總的M級(jí)測(cè)量誤差之和也將最小; 但是如果不需要嚴(yán)格關(guān)注濾波模型本身噪

18、所帶來(lái)的測(cè)量誤差, 從實(shí)用性的角度考慮, 普遍采用前一種易于實(shí)現(xiàn)的總體誤差更新模型。在這兩種聯(lián)合過(guò)程估計(jì)模型中，濾波系數(shù)的更新均可以采用NLMS 算法或者是RLS算法以及其他類(lèi)型的更新算法。為了更少的增加計(jì)算復(fù)雜度，對(duì)于濾波系數(shù)的更新采用歸一化LMS算法。這樣，總體算法可以稱(chēng)為：LSL-NLMS算法。聯(lián)合過(guò)程估計(jì)的總體結(jié)構(gòu)如圖4.6所示：圖4.6聯(lián)合過(guò)程估計(jì)的總體結(jié)構(gòu)Error! Reference source not found.上圖中，下半部分的期望相應(yīng)估計(jì)器推導(dǎo)流程歸納為：對(duì)預(yù)測(cè)階數(shù)：m=0,1,2,M，置 (4-62)對(duì)時(shí)間步n=0,1,2,置 (4-63) (4-64)對(duì)于預(yù)測(cè)階數(shù)m=0,1,2,M和時(shí)間步n=0,1,2,計(jì)算 (4-65) (4-66) (4-67) (4-68)其中取0.05。4.6 LSL-NLMS算法的仿真分析仿真一：下面通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬來(lái)檢驗(yàn)RLS自適應(yīng)格型聯(lián)合過(guò)程估計(jì)算法的性能，并將其和GAL、RLS及LMS算法作對(duì)比。仿真條件和4.2節(jié)一樣，通過(guò)對(duì)比權(quán)矢量系數(shù)a1，a2的預(yù)測(cè)值和的軌跡來(lái)評(píng)價(jià)兩種算法的性