復變函數(shù)與積分變換第三講

1、第三講第三講 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件初等函數(shù)初等函數(shù)& 1. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件& 2. 舉例舉例2.2 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件 如果復變函數(shù)如果復變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定義域義域 D內(nèi)處處可導，則函數(shù)內(nèi)處處可導，則函數(shù) w = f (z) 在在 D內(nèi)解析。內(nèi)解析。 本節(jié)從函數(shù)本節(jié)從函數(shù) u (x , y) 及及 v (x , y) 的可導性，探求的可導性，探求函數(shù)函數(shù)w=f (z) 的可導性，從而給出判別函數(shù)解析的的可導性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的

2、求導方法。一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導方法。問題問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？如何判斷函數(shù)的解析性呢？一一. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(則則可可導導在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf )()()(,yyixxzzyixziyxz xyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxz ),(),(),(),(lim )()(lim)(00 )0( yzzz若若沿沿平平行行于于實實軸軸的的方方式式xvixu xyxvyxxvixyxuyxxuxx ),(),(li

3、m),(),(lim00 yiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyz ),(),(),(),(lim)()(lim)(00 )0( xzzz若若沿沿平平行行于于虛虛軸軸的的方方式式y(tǒng)vyui 1 yiyxvyyxviyiyxuyyxuyy ),(),(lim),(),(lim00 yuiyv yuiyvxvixuzf )( 存存在在A 記憶記憶yvxvyuxu 定義定義 方程方程稱為稱為Cauchy-Riemann方程方程(簡稱簡稱C-R方程方程).yuxvyvxu yuxvyvxu 定理定理1 設(shè)設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 內(nèi)有定義，內(nèi)有

4、定義， 則則 f (z)在點在點 z=x+iy D處可導的充要條件是處可導的充要條件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在點在點 (x, y ) 可微，且滿足可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述條件滿足時上述條件滿足時,有有xxivuzf )( yxiuu yyiuv xyivv 最易記憶僅用u 表示僅用v 表示證明證明（由由f (z)的可導的可導 C-R方程滿足上面已證！只須證方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導的可導 函數(shù)函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 函數(shù)函數(shù) w =f (z)點點 z可導，即可導，即)( )()()(

5、zfzzfzzfz 設(shè)設(shè)則則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可寫為）式可寫為因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zy

6、xyx zyzxzyx 2121 所以所以u(x, y)，v(x, y)在點在點(x, y)處可微處可微. （由函數(shù)（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點在點(x,y)處可微及滿足處可微及滿足 C-R方程方程 f (z)在點在點z=x+iy處可導）處可導）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)點可微，即：點可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(0)(1|,1|4

7、231 izyizxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf )()()()(4231 定理定理2 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)解析充要內(nèi)解析充要 條件是條件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D內(nèi)內(nèi)可微，且可微，且 滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu A 由此可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的由此可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系聯(lián)系. .當一個函數(shù)可導時當一個函數(shù)可導時, ,僅由其實部或虛部就可以僅由其實部或虛部就可以求出導數(shù)來求出導數(shù)來. .A 利用該定理可以判斷

8、那些函數(shù)是不可導的利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導的. .使用時使用時: i) 判別判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導數(shù)的連續(xù)性，偏導數(shù)的連續(xù)性， (因為因為u(x,y),v(x,y)具有一階連續(xù)偏導數(shù)可推出它們可微具有一階連續(xù)偏導數(shù)可推出它們可微) ii) 驗證驗證C-R條件條件.iii) 求導數(shù)求導數(shù)：yvyuixvixuzf 1)( A 前面我們常把復變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成前面我們常把復變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的的, , 但是求復變函數(shù)的導數(shù)時要注意但是求復變函數(shù)的導數(shù)時要注意, , 并不是兩個并不是兩個實函數(shù)分別關(guān)于實函數(shù)分別關(guān)于x, ,y求導簡單拼湊成的求導簡單拼湊

9、成的. .二二. 舉例舉例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：解解 (1) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則則1001 yvxvyuxuyvxu 析析。在在全全平平面面不不可可導導，不不解解故故zw 解解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則則 u=excosy, v= exsinyyeyvyexvyeyuyexuxxxxcossinsincos xvixuzf )( 且且且且都都連連續(xù)續(xù)yuxvyvxu 在在全全平平面面可可導導，解解析析。

10、故故)sin(cos)( yiyezfx yieyexxsincos )(zf 僅在點僅在點z = 0處滿足處滿足C-R條件，故條件，故。處處可可導導，但但處處處處不不解解析析僅僅在在02 zzw解解 (3) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則則 0022 yvxvyyuxxu例例2 求證函數(shù)求證函數(shù).01),(),(2222dzdwiyxzzyxyiyxxyxivyxuw 處解析，并求處解析，并求在在 證明證明 由于在由于在z0處，處，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函數(shù)，都是可微函數(shù)，且滿足且滿足C-R條件：條件：,)(22222yxxyyvxu 222

11、)(2yxxyxvyu 故函數(shù)故函數(shù)w=f (z)在在z0處解析，其導數(shù)為處解析，其導數(shù)為xvixudzdw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 0)( yyxxiuvivuzf證明證明22222222)(2)(yxxyiyxxy 2222)()(yxiyx 222)( zz 22)( zzz 21z 0 yyxxvuvu)()(2121復復常常數(shù)數(shù)CiCCzfCvCu 例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù)，是一解析函數(shù)， 且且f (z)0，那么曲線族，那么曲線族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，這里必互相正交，這里C1

12、、 C2常數(shù)常數(shù).那么在曲線的交點處，那么在曲線的交點處，i)uy、 vy 均不為零時，均不為零時，由隱函數(shù)求導法則知曲線族由隱函數(shù)求導法則知曲線族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為中任一條曲線的斜率分別為 yxuuk/1 yxvvk/2 01)( yvyuizf0不不全全為為與與yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：兩族曲線互相正交，即：兩族曲線互相正交.ii) uy，vy中有一為零時，不妨設(shè)中有一為零時，不妨設(shè)uy=0，則，則k1=， k2=0（由（由C-R方程）方程）

13、即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的一條是鉛直的, 它們?nèi)曰ハ嗾?。它們?nèi)曰ハ嗾弧?)(,)()(2222在復平面內(nèi)處處解析在復平面內(nèi)處處解析取何值時取何值時問常數(shù)問常數(shù)若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 練習練習: 用用C-R方程可解得方程可解得 a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2& 1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)& 2. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)& 3. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)& 4. 乘冪與冪函數(shù)乘冪與冪函數(shù)& 5. 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)2.

14、3 初等函數(shù)初等函數(shù) 本節(jié)將實變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)本節(jié)將實變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的推廣到復變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。性質(zhì)，并說明它的解析性。內(nèi)內(nèi) 容容 簡簡 介介一一. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：0exp)1( zz)0exp,( xez事實上事實上xezzfxz exp)(,)2(時時為為實實數(shù)數(shù)當當)0( y)2(12(的的例例見見 , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的

15、指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)定定義義復復變變數(shù)數(shù)對對定義定義.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在復平面上處處解析，在復平面上處處解析， expexp)2 , 1(,21zzjiyxzjjj 左左邊邊設(shè)設(shè)事事實實上上)exp(expexp:)4(2121zzzz 加法定理加法定理.exp zez代代替替為為了了方方便便，我我們們用用以以后后)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sinsinsincoscos2121212121yyyyiyyyyexx )exp(21zz )sin()cos(212121yyiyyexx 右右邊邊 :)(的的周

16、周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( ikzeikzf 2)2(, 事事實實上上A 這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。11)sin()(cos(0 eyyiyyeeexxzz又又2121zzzzeee )2sin2(cos kikez ikzee 2 )(zfez 為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)。是是以以ikTezfz 2)( zzee1 沒沒有有冪冪的的意意義義. .它它的的定定義義為為僅僅僅僅是是個個符符號號 ，)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公公式

17、式 就就得得時時, ,的的實實部部特特別別當當?shù)降紸 )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例21 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikz) )sin(cos(xixeeeyixyzi )4sin4(cos(41)1(41 ieei )2, 0, 1)sin(cos( kyxyiyeexz ,sincossincos,0:yiyeyiyexiyiy 時時當當由由指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的定定義義二二. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復變數(shù)情形推廣到復變數(shù)情形的正弦與余弦函數(shù)的正弦與余弦函數(shù)稱為稱為zeezieezzizizizi )3(2

18、cos2sin定義定義:從從而而得得到到)2(2cos2sinRyeeyieeyiyiyiyiy 周周期期函函數(shù)數(shù)是是及及 2cossin)1 Tzz2)2cos()2()2( zizieezzzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在復復平平面面上上處處處處解解析析)(21)(sinizizeeiz q正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)222iiziizeeee cos2zeeiziz 類類似似可可得得zzsin)2sin( zeeizizcos)(21 .cos,sin)3是是偶偶函函數(shù)數(shù)是是奇奇函函數(shù)數(shù)zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin( 同理

19、同理z公公式式對對一一切切式式由由Euler,)3()4思考題思考題. 1cos, 1sin:,cos,sin zzzz有類似的結(jié)果有類似的結(jié)果是否與實變函數(shù)是否與實變函數(shù)作為復變函數(shù)作為復變函數(shù)2cos2sinzizizizieezieez 都都成成立立zizeizsincos 三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)由由正正弦弦和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)定定義義)5 1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossi

20、n)sin(sinsincoscos)cos( )4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函數(shù)的定義得由正弦和余弦函數(shù)的定義得 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函數(shù)的定義其它三角函數(shù)的定義(詳見詳見P51) chyiyshyieeiyyyycos2sin)4()7當當式式知知由由)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根為為即即方方程程的的零零點點Zkkzz 2cos 的零點為的零點為.1sin, 1co

21、s不不再再成成立立在在復復數(shù)數(shù)范范圍圍內(nèi)內(nèi) zz)1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定義定義稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)q雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函數(shù)數(shù)偶偶函函數(shù)數(shù) shzchz,)2.,一一定定是是多多值值函函數(shù)數(shù)反反函函數(shù)數(shù)且且是是周周期期函函數(shù)數(shù)，故故它它的的定定義義的的函函數(shù)數(shù)雙雙曲曲函函數(shù)數(shù)均均是是由由復復指指數(shù)數(shù)三三角角函函數(shù)數(shù)yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定義義析

22、析在在整整個個復復平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解和和chzshzchzshzshzchz )()()3三三. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，Lnzwzfwzzew 記記作作稱稱為為對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)把把滿滿足足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 對數(shù)的定義對數(shù)的定義.2,)0(的的一一個個整整數(shù)數(shù)倍倍相相差差其其任任意意兩兩個個相相異異值值即即虛虛部部無

23、無窮窮多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虛虛部部是是的的模模的的實實自自然然對對數(shù)數(shù)；它它實實部部是是它它的的的的對對數(shù)數(shù)仍仍為為復復數(shù)數(shù)這這說說明明一一個個復復數(shù)數(shù)izzzz 的的無無窮窮多多值值函函數(shù)數(shù)是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值稱稱為為的的一一單單值值函函數(shù)數(shù)為為時時當當記記作作LnzLnzzzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故故 )1ln(1a.(負數(shù)也有對數(shù)).(負數(shù)也有對數(shù))復數(shù)都有意義復數(shù)都有意義對一切非零對一切非零, ,不僅對正數(shù)有意義不僅對正數(shù)有意義1)1)Lnzw azLnzazlnln0 的的主主值值當當例例如如

24、iazLnzaaz lnln)0(的的主主值值當當特別特別A ZkikaLna 2lnZkikaaLn )12(ln)(i 1lni ikLn )12()1( (2) 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).,這這與與實實函函數(shù)數(shù)不不同同多多值值性性了了對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的周周期期性性導導致致 2 2) ),)()12121LnzLnzzzLn .ln:)2處處處處連連續(xù)續(xù)在在除除去去原原點點與與負負實實軸軸外外連連續(xù)續(xù)性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln續(xù)續(xù)除除原原點點外外在在其其它它點點均均連連其其中中z.arg 連連續(xù)續(xù)在在原原點點與與負負實實軸軸上上都都不不而而z

25、見見1-6例例4.ln,在在復復平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)除除原原點點及及負負實實軸軸外外z2121LnzLnzzzLn 0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原點點及及負負實實軸軸外外是是解解z .ln:)3平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析在在除除去去原原點點與與負負實實軸軸的的解解析析性性zzLnzLnz1)( 且且負負實實軸軸外外均均是是解解析析的的，的的每每個個分分支支除除了了原原點點和和.,2ziez求求設(shè)設(shè) 例例4iLnz2 , 1, 0222ln kiki 的的正正整整數(shù)數(shù)。為為大大于于其其中中不不再再成成立立，但但11,nLnznzLn

26、nLnzLnznn 四四. 乘冪乘冪 與冪函數(shù)與冪函數(shù) babzq 乘冪乘冪ab, 0, aba且且為為復復數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定義定義.bLnabea 定定義義乘乘冪冪,0,為為實實數(shù)數(shù)實實變變數(shù)數(shù)情情形形ba A )2(argln kaiaLna 多值多值 一般為多一般為多值值 )2(arg kaianlbbLnabeea 為單值為單值且且ba推廣到復數(shù)情形：推廣到復數(shù)情形：.,它它是是單單值值函函數(shù)數(shù)為為整整數(shù)數(shù)時時bababebkibkelnln)2sin2(cos bLnabea 為為整整數(shù)數(shù)當當 b)0,( qqpqpb且且為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)當當)2arg(lnikaiabqpea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp q支支具具有有為為無無理理數(shù)數(shù)或或復復數(shù)數(shù)時時當當bab,.無無窮窮多多支支)2(argln kaiaqpqpee )2(ln k