剛體的角動量、轉動慣量

1、前面引入了勢能的概念，這為我們系統、全面研究機械前面引入了勢能的概念，這為我們系統、全面研究機械能打下了基礎。功能原理實際上是系統動能定理的變形。能打下了基礎。功能原理實際上是系統動能定理的變形。 設一系統在外力作用下設一系統在外力作用下從狀態(tài)從狀態(tài)“1”1”變化到狀態(tài)變化到狀態(tài)“2” 2” 其動能從其動能從E Ek1k1變化到變化到E Ek2k2依動能定理依動能定理2F3F1F3m2m1m12F32F23F31F21F13F 功能原理、能量守恒定律功能原理、能量守恒定律Principle of Work and Energy. Law of Conservation of Energy系統內

2、力功系統內力功12kkEEAAA非保守內力保守內力外力保守內力的功等于系統勢能增量的負值保守內力的功等于系統勢能增量的負值 12勢勢勢勢保保守守內內力力EEA 系統的外力，盡管有保系統的外力，盡管有保守力、非保守力之分，但在守力、非保守力之分，但在所研究的系統內，相互作用的雙方不在一個系統中，所研究的系統內，相互作用的雙方不在一個系統中，從而不能構成系統勢能。從而不能構成系統勢能。1212)(kkppEEEEAA非保內力外力而非保守內力沒有與之而非保守內力沒有與之相應的勢能改變。相應的勢能改變。故有：故有：2F3F1F3m2m1m12F32F23F31F21F13F 12勢勢勢勢保守內力保守內

3、力EEA “同狀態(tài)的量同狀態(tài)的量”合并：合并：式中式中21EE ,分別為作功前后系統的機械能分別為作功前后系統的機械能12kkEEAAA非保守內力保守內力外力非保守內力外力AA)(12ppEE12kkEE非保守內力外力AA)(12kkEE)(12ppEE)()(1122pkpkEEEEAA非保守內力外力12EEAA非保守內力外力令令稱為系統的機械能稱為系統的機械能EEEpk式中式中21EE ,分別為作功前后系統的機械能分別為作功前后系統的機械能稱為稱為功能原理功能原理: :說明說明:1:1功能原理說明只有外力及非保守內力才功能原理說明只有外力及非保守內力才能改系統的機械能能改系統的機械能. .

4、功能原理功能原理: :當系統從狀態(tài)當系統從狀態(tài)11變化到狀態(tài)變化到狀態(tài)22時時, ,它的機械能的增量等于外力及非保守內力作它的機械能的增量等于外力及非保守內力作功之總和功之總和. .例例: :提高杠鈴的機械能靠外力提高杠鈴的機械能靠外力, ,而馬達的停止而馬達的停止轉動是靠非保守內力轉動是靠非保守內力-摩擦力摩擦力. .12EEAA非保守內力外力2 2、功能原理與動能原理并無本質差別功能原理與動能原理并無本質差別, ,區(qū)別在區(qū)別在于功能原理引入了勢能概念于功能原理引入了勢能概念, ,而無需計算保守而無需計算保守力的功力的功. .動能原理則應計算包括保守內力在內動能原理則應計算包括保守內力在內的

5、所有力的功的所有力的功. .3 3、推論推論：當：當0 非非保保守守內內力力外外力力AA時時12EE 或：或：1122pkpkEEEE 機械能守恒定律：如果系統內除了保守內力機械能守恒定律：如果系統內除了保守內力以外，其它外力及和非保守內力都不作功，以外，其它外力及和非保守內力都不作功，那么系統的動能、勢能可以轉化，但系統的那么系統的動能、勢能可以轉化，但系統的總機械能保持不變?？倷C械能保持不變。)(0 非保守內力非保守內力外力外力AA12EE 0 非保守內力非保守內力外力外力AA2 2、機械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的、機械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特例。特例。能量守恒定律：能量不

6、能消滅，只能轉化，能量守恒定律：能量不能消滅，只能轉化，只能從一種形式向另一種形式轉化。只能從一種形式向另一種形式轉化。注意注意1 1、機械能守恒的條件：、機械能守恒的條件：守恒定律是由于對稱性的結果守恒定律是由于對稱性的結果近代物理證明近代物理證明守恒定律是由于對稱性的結果守恒定律是由于對稱性的結果。今后的物理學將從對稱性出發(fā)介紹守恒定律。今后的物理學將從對稱性出發(fā)介紹守恒定律。從某種意義上講，守恒定律更重要。從某種意義上講，守恒定律更重要。A A、自然界的一切過程都遵守守恒定律。每一守、自然界的一切過程都遵守守恒定律。每一守 恒定律的發(fā)展、推廣和修正，在科學史上都恒定律的發(fā)展、推廣和修正，

7、在科學史上都 曾對人類認識自然的過程起過巨大的推動曾對人類認識自然的過程起過巨大的推動 作用作用-守恒定律是尋找和發(fā)現新事物的守恒定律是尋找和發(fā)現新事物的 理論依據。理論依據。B B、凡違背守恒定律的過程都不能實現、凡違背守恒定律的過程都不能實現-守恒守恒 定律是判斷一個工程過程能否實現的判據。定律是判斷一個工程過程能否實現的判據。C C、守恒定律是解決實際問題的有力工具。、守恒定律是解決實際問題的有力工具。 如光與原子的作用，過程的細節(jié)相當雜，如光與原子的作用，過程的細節(jié)相當雜， 但可利用守恒定律加以研究。但可利用守恒定律加以研究。例例1 1、一條均勻鏈條，質量為、一條均勻鏈條，質量為m m

8、，總長，總長L L成直線狀成直線狀放在桌上，設桌面與鏈條之間的磨擦系數為放在桌上，設桌面與鏈條之間的磨擦系數為 ?，F已知鏈條下垂長度為現已知鏈條下垂長度為a a時，鏈條開始下滑，試時，鏈條開始下滑，試計算鏈條剛巧全部離開桌面時的速率。計算鏈條剛巧全部離開桌面時的速率。aal,已知：已知：v求：求：解：解：1 1）利用動能定理）利用動能定理v以鏈條為研究對象以鏈條為研究對象0212mvAAfW求重力的功：求重力的功：ygdydAW)/(lmNlaWgydyAxYygfavfmgxY求重力的功：求重力的功：ygdydAW)/(lmNlaWgydyA)(2122alg)(222allmg求摩擦力的功

9、：求摩擦力的功：0alfidxfA0alfdx0alxgdx2)(2alg2)(2allmgavfmgxY)/(lmN)(222allmgAW2)(2allmgAf0212mvAAfW代入動能定理：代入動能定理：)(222allmg2)(2allmg221mv)()(222alallgvavfmgxYlm/2)(2allmgAf12EEAf以鏈條和地球為研究對象：以鏈條和地球為研究對象：)2()(1alagglalE22212mvlmgE由功能由功能原理：原理：以地面為勢能零點以地面為勢能零點122)(2EEallmg)(al lavfmgxY)(lmN2)(2allmgAf12EEAflal

10、gE)(122212mvlmgE)()(222alallgv2)(2allmg)212(2mvlmg)2()(algalalg)2(algal概要：實際的物體運動不總是可以看成質點的概要：實際的物體運動不總是可以看成質點的運動。運動。在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的力在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的力學研究對象。即每個質元之間的距離無論運學研究對象。即每個質元之間的距離無論運動或受外力時都保持不變。動或受外力時都保持不變。( (形變和內部運形變和內部運動都可以忽略，突出物體的整體運動動都可以忽略，突出物體的整體運動) ) m mi i m mj ji jrc一、何謂剛體一、何謂剛體剛體

11、內任意兩點的連線在運動剛體內任意兩點的連線在運動各個時刻的位置都彼此平行。各個時刻的位置都彼此平行。剛體運動的兩種基本形式剛體運動的兩種基本形式1 1、平動、平動剛體平動時，其上各點具有相同的速度、加速度、及剛體平動時，其上各點具有相同的速度、加速度、及相同的軌跡。只要找到一點的運動規(guī)律，剛體的運動相同的軌跡。只要找到一點的運動規(guī)律，剛體的運動規(guī)律便全知道了。通常用質心的運動來代替整個剛體規(guī)律便全知道了。通常用質心的運動來代替整個剛體的平動。的平動。 剛體上各質元均繞同一條剛體上各質元均繞同一條固定的轉軸做圓周運動。固定的轉軸做圓周運動。2 2、剛體的定軸轉動、剛體的定軸轉動b.b.描述的物理

12、量描述的物理量 在自己的轉動平面內作在自己的轉動平面內作圓周運動圓周運動a.a.各點運動的特點各點運動的特點任一質點圓周運動的任一質點圓周運動的線量線量( (速度、加速度速度、加速度) )一般不同一般不同各質元相對位置不變，各質元相對位置不變，角量角量如角位移、角速度、角如角位移、角速度、角加速度加速度不變不變。一般運動一般運動 = (= (平動平動)+()+(轉動轉動) )原則原則: : 隨某點隨某點( (基點基點) )的平動的平動 + + 過該點的定軸轉動過該點的定軸轉動 基點任選（一般就選質心）?；c任選（一般就選質心）。3 3、剛體的一般運動、剛體的一般運動任一質點圓周運動的線量和角量

13、的關系任一質點圓周運動的線量和角量的關系22ntrarrdardt22020t2012tt勻變速轉動常用公式勻變速轉動常用公式剛體可以看作無數多質點的集合，剛體是一個質點系剛體可以看作無數多質點的集合，剛體是一個質點系, ,剛體的角動量應該等于各質元角動量的矢量和。剛體的角動量應該等于各質元角動量的矢量和。設有一以角速度設有一以角速度 繞繞OZOZ軸軸旋轉的均勻細棒，旋轉的均勻細棒，t t時刻時刻正好位于某平面內，現正好位于某平面內，現將棒分割成許多質元將棒分割成許多質元nimmmm21,O OZ Z m m i i iriviRiL二、二、 剛體的角動量及其沿定軸的分量剛體的角動量及其沿定軸

14、的分量先研究一個質元先研究一個質元im對對O O點的角動量點的角動量 m m i iiiiivrmLiriviL m m j j jLjvO OZ ZLjriRiv iriL的大小的大小iiniivrmL1故棒的總角動量故棒的總角動量 大?。捍笮。篖iiiivrmL 方向如圖，可見角動量不一定與方向如圖，可見角動量不一定與Z Z軸方向相同。軸方向相同。ivO OZ Z m m i i iriL m m j j LizLiR但我們感興趣的是研究定但我們感興趣的是研究定軸轉動，即要研究角動量軸轉動，即要研究角動量在在Z Z軸的分量軸的分量izL)(2iiizzRmLLcosiiivrm故：故：co

15、siizLL2iiRm)(iiiiRRm則剛體對則剛體對Z Z軸的角動量軸的角動量JLz稱為稱為剛體對剛體對Z Z軸的轉動慣量軸的轉動慣量2iiRmJ令三、轉動慣量的計算三、轉動慣量的計算2iiRmJ233222211RmRmRmJz1m2m3m1R2R3R1 1、對質點系、對質點系M M對質量連續(xù)分布的剛體對質量連續(xù)分布的剛體則應無限分割則應無限分割niiinRmJ12limMdmR2dm為質元質量；為質元質量；R R為質元到轉軸之間的垂直距離。為質元到轉軸之間的垂直距離。imR R計算方法：計算方法：. .確定剛體的質量密度確定剛體的質量密度. . .建立坐標系，坐標原點為軸建立坐標系，坐

16、標原點為軸. . .確定質量元確定質量元dm.dm. .由定義計算由定義計算. .2 2、對質量連續(xù)的剛體、對質量連續(xù)的剛體例：求質量為例：求質量為m,m,長為長為L L的均勻細棒對下面三種的均勻細棒對下面三種 轉軸的轉動慣量：轉軸的轉動慣量：轉軸通過棒的中心轉軸通過棒的中心o o并與棒垂直并與棒垂直轉軸通過棒的一端轉軸通過棒的一端B B并與棒垂直并與棒垂直轉軸通過棒上距質心為轉軸通過棒上距質心為h h的一點的一點A A 并與棒垂直并與棒垂直h hO O質質B BA AX Xdxx已知：已知：L L、m m求：求：J JO O、J JB B、J JA A解：以棒中心為原點建立坐標解：以棒中心為

17、原點建立坐標OXOX、將棒分、將棒分割成許多質元割成許多質元dm.dm.dxdmLm/dm22222LLodxxdmxdmRJ求：求：J JO O2312112mLL求：求：J JB BdmxLdmRJB22)2(23313mLL2/2/2)2/(LLdxxLdxdmLm/h hO O質質B BA AX XdxxdmdmRJA2求求J JA ALhL23122/2/2)(LLdxxh22121mhmL dxdmLm/h hO O質質B BA AX Xdxxdm2mh222)()2(12131LmmLmLJJOB質心222)(121)121(mLmhmLJJOA質心或：或：2)2(LmJJcB2mhJJcA注意注意dxdmLm/h hO O質質B BA AX Xdxxdm平行軸定理平行軸定理：剛體對任一軸：剛體對任一軸A A的轉動慣量的轉動慣量J JA A和和通過質心并與通過質心并與A A軸平行的轉軸平行的轉動慣量動慣量J Jc c有如下關系：有如下關系：2mdJJCAm為剛體的質量、為剛體的質量、d為軸為軸A A與軸與軸C