第六章概率分布

1、第六章概率分布孫麗平 第一節(jié)概率的基本概念第二節(jié)正態(tài)分布第三節(jié)二項分布第四節(jié)抽樣分布第一節(jié)概率的基本概念一、什么是概率二、概率的基本性質三、概率分布類型第一節(jié)概率的基本概念一、什么是概率（一）定義概率:隨機事件出現(xiàn)可能性大小的客觀指標隨機事件：又叫隨機現(xiàn)象，指在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。在心理與教育研究中，大部分現(xiàn)象屬于隨機事件我們隊將可能贏得今晚的這場比賽。今天下午下雨的機會有40。這個冬天的周末我很可能有個約會。如果我在教職員停車區(qū)停車，我可能會收到一張傳票。我有50比50的機會通過今天的化學考試。（二）概率分類1、先驗概率（1）定義：隨機事件的概率按古典概率模型推算而得（2）

2、條件：實驗的每一種可能結果是有限的（結果類別有多少種確定） 每一個基本事件出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）（3）舉例：拋硬幣，抽撲克2、后驗概率（1）定義：以隨機事件A在大量重復試驗中出現(xiàn)的穩(wěn)定頻率值作為隨機事件A的概率估計值，這樣求得的概率稱為后驗概率（2）特點： 當觀測次數(shù)無限增大時，計算出的概率估計值越趨近真實的概率值 當進行多次觀測時，按觀測結果計算的概率基本接近先驗概率（3）舉例：一年中下雨天試驗在相同條件下，對事物或現(xiàn)象所進行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)試驗具有以下特點可以在相同的條件下重復進行每次試驗的可能結果可能不止一個，但試驗的所有可能結果在試驗之前是確切知道的在試驗

3、結束之前，不能確定該次試驗的確切結果二、概率的基本性質（一）概率的公理系統(tǒng)1、任何一個隨機事件A的概率都是非負的2、在一定條件下必然發(fā)生的必然事件的概率為13、在一定條件下必然不發(fā)生的事件，即不可能事件的概率為0注意：公理2、3的逆定理不成立（二）概率的加法定理加法定理：指兩個互不相容事件A、B之和的概率，等于兩個事件概率之和，寫作P（A+B）=P(A)+P(B)互不相容事件：在一次實驗或調查中，若事件A發(fā)生則事件B就不一定發(fā)生，否則二者為相容事件互不相容事件特點：無論互不相容事件有多少，其總和的概率永遠不會大于1設某地有甲、乙兩種報紙，該地成年人中有20%讀甲報紙，16%讀乙報紙，8%兩種報

4、紙都讀。問成年人中有百分之幾至少讀一種報紙。 （三）概率的乘法定理乘法定理：兩個獨立事件同時出現(xiàn)的概率等于該兩事件概率的乘積獨立事件：一個事件的出現(xiàn)對另一個事件的出現(xiàn)不發(fā)生影響設有1000中產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？三、概率分布類型（一）什么叫概率分布概率分布：對隨機變量取值的概率分布情況用數(shù)學方法（函數(shù)）進行描述（二）分類1、根據(jù)隨機變量是否具有連續(xù)性，分為離散分布和連續(xù)分布離散分布：離散隨機變量的概率分布，最常用的是二項分布連續(xù)分布：連續(xù)隨機變量的概率分布，最常用的是正態(tài)分布2、根據(jù)分布函數(shù)的來源而劃分為經(jīng)驗分布和理論分布經(jīng)驗分布

5、：根據(jù)觀察或實驗所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對頻率分布。經(jīng)驗分布往往是總體的一個樣本，它可對所研究的對象給以初步描述，并作為推論總體的依據(jù)理論分布（1）隨機變量概率分布的函數(shù)是數(shù)學模型 （2）按某種數(shù)學模型計算出的總體的次數(shù) 分布3、根據(jù)概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征劃分為基本隨機變量分布與抽樣分布基本隨機變量分布：二項分布和正態(tài)分布抽樣分布：樣本統(tǒng)計量的理論分布。樣本統(tǒng)計量有：平均數(shù)、標準差、方差、相關系數(shù)、回歸系數(shù)、百分比率第二節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布及其特征（一）定義正態(tài)分布又叫常態(tài)分布，是連續(xù)隨機變量概率分布的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計的理論與實際應用中占有最重要地位的一種理論分布。（二）正態(tài)分布

6、曲線函數(shù)y = 隨機變量隨機變量 X 的頻數(shù)的頻數(shù) ,叫概率密度，即正態(tài)分布的縱坐叫概率密度，即正態(tài)分布的縱坐標標 = 總體方差總體方差 =3.14159; e = 2.71828X = 隨機變量的取值隨機變量的取值 (- X ) = 總體均值總體均值如果隨機變量如果隨機變量x的概率密度函數(shù)為上述表達式，則稱的概率密度函數(shù)為上述表達式，則稱x服從服從正態(tài)分布，寫為正態(tài)分布，寫為f(x)不是概率密度函數(shù) y表示X 的所有取值 x 及其頻數(shù)y在平面直角坐標系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數(shù) x1 x2，P(x1 X x2)是該曲線下從x1 到 x2的面積xab（三）正態(tài)分布的特征5、方差相等、

7、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖6、均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖7、正態(tài)曲線下的概率規(guī)律 7、在正態(tài)分布曲線下，標準差與概率有一定的關系。在正態(tài)分布中，平均數(shù)上下各延伸一個標準差，包括總面積的68.26%，意即正態(tài)分布中，從-1s到1s包括了68.26%的個案。正負1.96個標準差之間，包括了總面積的95%。正負2.58個標準差包含總面積的99%28三、標準正態(tài)分布（一）概念1、一般的正態(tài)分布取決于均值和標準差 2、計算概率時 ，每一個正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的3、若能將一般的正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布，計算概率時只需要查一張表（二）標準正態(tài)分布的重要性（三）標準正態(tài)分布表

8、的編制與使用1、編制原則從Z=0開始，逐漸變化Z分數(shù)，計算從Z=0至某一定值之間的概率。因為正態(tài)分布是對稱分布，且對稱軸為過=0，即Z=0點的縱線，故當Z0時的相對應的Z分數(shù)下的概率值相等。正態(tài)分布表一般包括3欄：第一欄是Z分數(shù)單位，一般標為Z，在平均數(shù)這一點上Z=0，在平均數(shù)以上分數(shù)為正值，在平均數(shù)以下分數(shù)為負值。第二欄為密度函數(shù)或比率數(shù)值，即某一Z分數(shù)點上的曲線縱坐標的高度。第三欄為概率值（p），即不同Z分數(shù)點與平均數(shù)之間的面積與總面積之比2、正態(tài)分布表的使用（1）依據(jù)Z分數(shù)求概率（p）求某Z分數(shù)值與平均數(shù)（Z=0）之間的概率。如求Z=1到平均數(shù)之間的概率求某Z分數(shù)以上或以下的概率，如求Z

9、=1以上的概率是多少求兩個Z分數(shù)之間的概率，如果Z分數(shù)為同號則相減，如果為異號則相加（2）從概率（p）求Z分數(shù)已知從平均數(shù)開始的概率值求Z值。如已知平均數(shù)以上0.25的概率，求Z值已知位于正態(tài)分布兩端的概率值求該概率值分界點的Z值。如求上端0.01概率分界點的Z值若已知正態(tài)曲線下中央部分的概率，求Z分數(shù)是多少。如求正態(tài)曲線中間部分0.95概率兩處分界點的Z值（3）已知概率或Z值，求概率密度函數(shù)四、次數(shù)分布是否為正態(tài)分布的檢驗方法（一）卡方檢驗（第十章）（二）偏度，峰度考察法1、皮爾遜偏態(tài)量數(shù)法正偏態(tài)中MMdMo，負偏態(tài)中MMd0,分布為正偏態(tài)，偏度0,比正態(tài)分布的峰度低闊，峰度0，比正態(tài)分布的

10、峰度高狹，峰度=0，正態(tài)分布（三）累加次數(shù)曲線法如果樣本的累加頻率曲線與正態(tài)分布概率曲線重合或基本重合，說明樣本的分布呈正態(tài)（四）直方圖法（SPSS操作）如果直方圖符合鐘形則為正態(tài)分布（五）概率值法（一般是Q-Q作圖法）（SPSS操作）圖中點是否緊貼y=x這條直線，如果緊貼則服從正態(tài)分布（六）K-S檢驗（SPSS操作）可以檢驗某個樣本所來自的總體是否服從正態(tài)分布五、正態(tài)分布理論在測驗中的應用（一）化等級評定為測量數(shù)據(jù)下面表格是三位學生獲得的等級評定，請問誰的水平更高一些？（二）測驗分數(shù)的正態(tài)化 從理論上研究對象服從正態(tài)分布，但由于抽樣誤差或測試題目難度等偶然因素，實測分數(shù)分布不是正態(tài)分布，這時

11、可采用一定的統(tǒng)計方法將非正態(tài)的原始分數(shù)轉化成正態(tài)分數(shù)通俗的講：沒轉化稱Z分數(shù)前，以平均數(shù)為中心左右非常不對稱，轉化成Z分數(shù)后，盡管還是不對稱，但是兩邊差異已經(jīng)大大減小。步驟（1）將次數(shù)分布表的各組中值轉化成Z分數(shù) （2）將Z分數(shù)轉化成T分數(shù) T=10Z+50（三）確定題目難易度作用：比較不同難易度題目之間的難度相差多少原理：假設一個測驗中不同難易題目的分布是正態(tài)的，即一個測驗中通過率較大和較小的題目很少，而通過率居中的題目較多四、在能力分組或等級評定時確定人數(shù)假定能力是正態(tài)分布，這時若將能力分組，各組人數(shù)應是多少？評定不同等級，各等級人數(shù)應是多少才能使分組或評定等級構成等距的尺度？第三節(jié)二項分布一、二項試驗比較上面案例，找到其相似點投擲一枚相同的硬幣5次，每次正面向上的概率為0.5某同學玩射擊氣球游戲，每次射擊擊破氣球的概率為0.7，現(xiàn)有氣球10個某籃球隊員罰球命中率為0.8，罰球6次包含了n個相同的試驗每次試驗相互獨立每次試驗只有兩種可能的結果：“成功”或“失敗”每次出現(xiàn)“成功”的概率p相同，“失敗”的概率也相同試驗“成功