2016屆安徽省蕪湖市、馬鞍山市高考數(shù)學一模試題(文科)(解析版)

1、c.向左平移一丄個單位 D .向右平移個單位 2016年安徽省蕪湖市、馬鞍山市高考數(shù)學一模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 個題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的. 1. 已知全集 U=0, 1 , 2, 3, 4,集合 A=0 , 2, 4, B=1 , 2,3,則 A n （?uB）為（ ） A . 0 , 4 B . 2 , 3, 4 C. 0 , 2, 4 D. 0 , 2, 3, 4 2已知 i 為虛數(shù)單位，若復數(shù) i?z= i，則|z|=（ ） A. 1 B. 7 C. 一 D. 2 3. 已知雙曲線 C：-上一=1 （a 0

2、, b 0）的漸近線方程為 y= x,則其離心率為（ ） bZ 2 A. B. C. D.- 4. 已知：，g 是不共線的向量，忑=運+ 1，疋=；+忑（入、吐 R）,那么 A、B、C三點共線 的充要條件為（ ） 5. 某同學先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為 x,第二次向上的點數(shù)記為 y,在 直角坐標系 xoy 中，以（x, y）為坐標的點落在直線 2x - y=1 上的概率為（ ） C- A. A+(j=2 C.入=,-1 D .入=1 6.閱讀如圖所示的程序框圖, 運行相應的程序, 若輸入 n的值為 4,則輸出 S 的值為 C. 77 D. 546 7. 已知等比數(shù)列 an的前

3、1 n項和為 Sn,若 a2?a3=2a1，且一與 a7的等差中項為， 2 q 3 S4= ) 32 B. 31 C. 30 D. 29 v； 的圖象與 x 軸的交點的橫坐標構成一個公差為 的等差數(shù)列，要得到函數(shù) n A .向左平移一：一個單位 A B. 20 B. 40 c.向左平移一丄個單位 D .向右平移個單位 g （x） =Acos 曲的圖象，只需將 f （x）的圖象（ Tt B. 向右平移=個單位 9.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為( 1 正視囹 14 1 1 *1 197T B . 9 n C .一. D. 10n l+lo g2(2 - x) , xl ，則 f (f (

4、Iog212)=( L 2X A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 -y+2=C0 ，則一上的取值范圍是( y S= - _ I ： ： ：- 0),過其焦點且斜率為 2 的直線交拋物線于 A、B 兩點，若線 段 AB 的中點的橫坐標為 3，則該拋物線的準線方程為. 15. 已知 f (x)是 R 上的奇函數(shù)，f (1) =1，且對任意 x R 都有 f (x+6) =f (x) +f ( 3) 成立，則 f=. 16. 已知函數(shù) f (x)=仁 j ，對任意 t (0, +s),不等式 f (t)v lnx,兀/I kt 恒成立，則實數(shù) k 的取值范圍是. 三、解答題：本大題共 5 小題

5、，共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17. 在 ABC 中，角 A , B , C 的對邊分別為 a, b, c,且 2c?cosB=2a+b，若 ABC 的面 積 丫.10設函數(shù) f(X)= 11.已知變量 x, y 滿足約束條件-K1 厝 g C.普 12.坐標平面上的點集 S 滿足 7 工:“；：將點集 S 中的所 ) :.二壬：三 2 (I)求 C 的度數(shù)； (n)求 ab 的最小值. 18. 對某產品 1 至 6 月份銷售量及其價格進行調查， 其售價 x和銷售量 y 之間的一組數(shù)據(jù)如 F表所示: 月份 i 1 2 3 4 5 6 單價 xi (元) 9 9.5

6、10 10.5 11 8 銷售量 yi (件) 11 10 8 6 5 14 (I)根據(jù) 1 至 5 月份的數(shù)據(jù)，求出 y 關于 x 的回歸直線方程； (n)若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過 0.5 元，則認為所 得到的回歸直線方程是理想的，試問所得回歸直線方程是否理想？ (川)預計在今后的銷售中，銷售量與單價仍然服從(I)中的關系，且該產品的成本是 2.5 元/件，為獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？(利潤 =銷售收入-成本). i=l 19. 如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AD 丄平面 AlBC，其垂足 D 落在直線 AlB 上. (I)求證

7、：BC 丄 A1B ； (n)若 P 是線段 AC 上一點，_.匸，AB=BC=2，三棱錐 A1 - PBC 的體積為菩，求斗 3 PC 的值. 的直線 I與 C 交與 A、B 兩點，四邊形 OAPB 為平行四邊形. 參考公其中 .f 其中 n _ = !-. .參考數(shù)據(jù): L孔虧二392, 1=1 20.已知 O 為坐標原點, F 為橢圓 C =1 在 y 軸正半軸上的焦點, 過 F 且斜率為- n 2 (I)證明：點 P 在橢圓 C 上; (n)求四邊形 OAPB 的面積. 21. 已知函數(shù) f (x) =ex- ax (a 為常數(shù))的圖象與 y 軸交于點 A，曲線 y=f (x)在點 A

8、 處 的切線平行于x 軸. (I)求 a 的值及函數(shù) y=f (x)的極值； (H) 若不等式 xf (x) 3lnx+ (k - 3) x 在 x 紹時恒成立，證明：k v e3- 1. 選修 4-1:幾何證明選講 22. 如圖所示，點 P 是圓 0 直徑 AB 延長線上的一點，PC 切圓 0 于點 C,直線 PQ 平分/ APC , 分別交AC、BC 于點 M、N 求證： (I) CMN 為等腰三角形； (2) PB?CM=PC?BN . 選修 4-4 :坐標系與參數(shù)方程 (K=2COS Ct 23. 已知曲線 C 的參數(shù)方程為-,n.( a為參數(shù))，直線 l 的參數(shù)方程為 y=H2sin

9、Q (I)求曲線 C 的極坐標方程; (n)求直線 I截曲線 C 所得的弦長. 選修 4-5:不等式選講 24. 已知函數(shù) f (x) =|x- 3| - 2|x+a| (I)當 a=3 時，求不等式 f (x) 2 的解集； (n)若 f (x) +x+1 切的解集為 A，且-2,- 1? A，求 a 的取值范圍. 2016年安徽省蕪湖市、馬鞍山市高考數(shù)學一模試卷(文 科) 參考答案與試題解析x=l+tcos4?J y=tsin45& (t 為參數(shù))，以坐標原點為極點, x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 橢圓 C 的離心率為 、選擇題：本大題共 12 個題，每小題 5 分，共 60

10、 分在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的. 1.已知全集 U=0，1，2, 3, 4，集合 A=0，2, 4，B=1，2，3，則 A n( ?uB)為( ) A 0 , 4 B . 2 , 3, 4 C. 0 , 2, 4 D. 0 , 2, 3, 4 【考點】交、并、補集的混合運算. 【分析】根據(jù)全集 U、集合 B 和補集的運算求出?uB，再由交集的運算求出 A n?uB 即可. 【解答】解：全集 U=0 , 1 , 2, 3, 4, B=1 , 2, 3, ?B=0 , 4, 集合 A=0 , 2 , 4, n (?uB) =0 , 4, 故選：A. 2. 已知 i 為虛數(shù)

11、單位，若復數(shù) i?z= - i ,則|z|=( ) A. 1 B. 1 C.二 D. 2 【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算. 【分析】 設 z=a+bi，代入 i?z=三-i,求出 a, b 的值，從而求出|z|的模即可. 【解答】 解：設 z=a+bi, 若復數(shù) i?z= - i, 即 i (a+bi) = - b+ai= - i, 解得：a=- 1, b= , 則 |z|=二, 故選：C. 3. 已知雙曲線 C: - =1 (a0, b 0)的漸近線方程為 y= 土,： x,則其離心率為( a bz z A. B .匸 C. ： D.- du du 【考點】雙曲線的簡單性質. 【分析】雙曲線

12、 C 的漸近線方程為 二 ,所以便得到-，所以便得到其離心率 a a 2 e= ! a a 2 【解答】解：由已知條件得: b 1 I ； 7 廠:. ； 的充要條件為（ ） 【考點】向量的共線定理. 【分析】若 A、B、C 三點共線，則向量 與平行，根據(jù)題中等式結合向量平行的充要 條件列式，即可找出使 A、B、C 三點共線的充要條件. 【解答】解：若 A、B、C 三點共線，則向量：/ .； 即存在實數(shù) k，使得：_=k ：_ ；, .二=入 : = +匕 一 . .- f =k z , 入乏+ b=k （乏+讓），可得* 1 J.，消去k得入冠1 l=k 卩 即 A、B、C 三點共線的充要條

13、件為 入=1 故選：D 5.某同學先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為 x,第二次向上的點數(shù)記為 y,在 直角坐標系 xoy 中，以（x, y）為坐標的點落在直線 2x - y=1 上的概率為（ ） C. 【考點】 古典概型及其概率計算公式. 【分析】試驗發(fā)生包含的事件是先后擲兩次骰子，共有 足條件的事件包含的基本事件個數(shù)， 根據(jù)古典概型的概率公式得到以（ x, y）為坐標的點落 在直線 2x- y=1 上的概率. 【解答】 解：由題意知本題是一個古典概型, 試驗發(fā)生包含的事件是先后擲兩次骰子，共有 6 6=36 種結果， 滿足條件的事件是（x, y）為坐標的點落在直線 2x- y=1

14、上， 當 x=1 , y=1, x=2 , y=3; x=3, y=5，共有 3 種結果， 根據(jù)古典概型的概率公式得到以（ x, y）為坐標的點落在直線 2x - y=1 上的概率: 12 . 故選：A. 6閱讀如圖所示的程序框圖， 運行相應的程序，若輸入 n 的值為 4,則輸出 S 的值為（ ） (磁 k】 4 已知:,一是不共線的向量, 爲噸+1，疋=；+晁（入、吐 R）,那么 A、B、C 三點共線 A. ?+(j=2 B .入j=1 C. 入=,1 D .入=1 6 6=36 種結果，禾用列舉法求出滿 A. B. 罕 t=U=0 A. 20 B. 40 C. 77 D. 546 【考點】

15、程序框圖. 【分析】由圖知，每次進入循環(huán)體后， S 的值被施加的運算是 S=S+2k+k，故由此運算規(guī)律 進行計算，當 k=5 時不滿足條件 k 詔，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 40. 【解答】解：由題意，模擬執(zhí)行程序，可得： n=4, k=1 , S=0 滿足條件 k 詔,S=0+21+I=3 , k=2 滿足條件 k 詔,S=3+22+2=9 , k=3 3 滿足條件 k 詔,S=9+2 +3=20 , k=4 滿足條件 k 語,S=20+24+4=40 , k=5 不滿足條件 k 話，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 40. 故選：B. 1 CT 7.已知等比數(shù)列an的前 n項和為 Sn,若

16、a2?a3=2ai，且，.與 ay的等差中項為十，則 S4= ( ) A. 32 B. 31 C. 30 D. 29 【考點】 等比數(shù)列的通項公式. 【分析】設等比數(shù)列an的公比為 q,由 a2?a3=2ai，且 與a7的等差中項為| ,可得 2 41 Q -：.=2ai, _ +ay,即 5= , +4 : _，解出再利用等比數(shù)列的前 n項和公式 1 8 2 1 即可得出. 1 咗 【解答】解：設等比數(shù)列an的公比為 q, .a2?a3=2ai,且 與a7的等差中項為 , 9 R i * f 十，=2ai, =H：r+a7，即 5=：iJ+4 _ , 3 5=2 (2+4q ),解得 4=虧

17、,ai=l6 , 16(1 士) 貝 U S4=- : - =30 , 故選：C. (X) =Acos cox 的圖象，只需將 f (x)的圖象( 兀 B.向右平移=個單位 27T (3 )的圖象與 x軸的交點的橫坐標構成一個公差為 的等差數(shù)列，要得到函數(shù) 兀 A.向左平移 r 個單位 6 2兀 C.向左平移個單位 8 函數(shù)：門門一g D 向右平移個單位 【考點】函數(shù) y=Asin ( ox+ $)的圖象變換. 【分析】由題意可得，函數(shù)的周期為 n由此求得 3=2，由 g (x) =Acos wx=sin2 (x+=) 6 +L，根據(jù) y=Asin ( 3x+?)的圖象變換規(guī)律得出結論. 6

18、【解答】 解：由題意可得，函數(shù)的周期為 n,故 Z 生=n, /.w=2 . TT TT 要得到函數(shù) g (x) =Acos 3x=sin2 (x+ ) + 的圖象， 6 6 TF yr 只需將 f ( x) = 的圖象向左平移 個單位即可， 6 6 故選 A . 9某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為( B . 9 n C. D. 10n 由三視圖求面積、體積. 【解答】 解：由三視圖可知幾何體為圓柱與 =球的組合體. 4 圓柱的底面半徑為 1,高為 3,球的半徑為 1. 所以幾何體的表面積為 n t2+2 n%43+噗一咒廣沁：+ .丨 ：+ . . =9 兀 故選 B . l+lo g

19、2(2 -龍),Xl A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考點】對數(shù)的運算性質；函數(shù)的值. 【分析】先求出 f (log212),再求出 f (f (Iog212)即可. 【解答】解：行(log212) =- 6, .: 【考點】 【分幾何體為圓柱5 部分組成. 測視飄左】 正視囹 14 1 *1 f (- 6) =1+3=4 , 故選：D. xy+20 y 滿足約束條件* XAl ,則黑葫的取值范圍是( x+y- 70 7 【分析】由約束條件作出可行域，化三二為 1+，：，然后由的幾何意義，即可行域內的動 y g ：，心=6, . - =i + y y 6 故選：D. 12. 坐標平

20、面上的點集 S 滿足 s= 丨 “ 丁 ： ： ： ：. . . | ，將點集 S 中的所 有點向 y 軸作投影，所得投影線段的總長度為( ) A . 1 B. C SiE f D . 2 【考點】函數(shù)與方程的綜合運用；曲線與方程. 11.已知變量 x, 14 A.1 B. - C. 6 - 【考點】簡單線性規(guī)劃. 聯(lián)立* x - yf2=0 解得 J. 作出可行域如圖, 【分析】 先求出 2sin4x+2cosx=2 - 4sin2x?co x=2 - (sin2x) 2的范圍， 即可得出函數(shù) x=log2 (y2- y+2)的值域范圍，從而求出函數(shù)函數(shù) x=iog 2 (y2- y+2 )

21、的定義域，進一步可求投影 長度. 2 2 2 4 4 2 2 【解答】 解：1= ( sin x+cos x) =sin x+cos x+2sin x?cos x, 44 2 2 2 2sin x+2cos x=2 - 4sin x?cos x=2 -( sin2x), r 兀 丁1 T c 廠r X-百宅，/2x -亍 2 2-( sin2x) 21 , 2 2 iog2 (y - y+2) 口 , 2, 2 .2 今2- y+2 詔， .-1 鬥切，或 iy 0),過其焦點且斜率為 2 的直線交拋物線于 A、B 兩點，若線 段 AB 的中點的橫坐標為 3，則該拋物線的準線方程為 x= -

22、2. 【考點】拋物線的簡單性質. 【分析】求出直線 AB 的方程，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)根與系數(shù)的關系列方程解出 P,從而 得出準線方程. 【解答】解：拋物線的焦點為(一，0), 直線 AB 的方程為：y=2 (x -專)，即 y=2x - p, (2 =2DX 2 2 聯(lián)立方程組* P ,消元得：4x2- 6px+p2=0 , y=2x P 設 A (, yj, B(X2, y2),貝 V X+X2= , /p=4. 拋物線的準線方程為：x= - 2. 故答案為：x= - 2. 15. 已知f (x)是R上的奇函數(shù), 成立，則 f= - 1 . 【考點】抽象函數(shù)及其應用.V2 2 f (1)

23、=1 ,且對任意 x R 都有 f (x+6) =f (x) +f (3) 【分析】 求出 f (3) =0,可得 f (x)是以 6 為周期的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和奇偶 性進行轉化求解，即可得出結論. 【解答】解：-f (x+6) =f ( x) +f (3)中, 令 x= - 3,得 f (3) =f (- 3) +f (3),即 f ( 3) =0. 又 f (x )是 R 上的奇函數(shù)，故 f (-3) =-f (3) =0. f (0) =0, (3) =0, 故 f (x+6) =f (x), ( x)是以 6 為周期的周期函數(shù)， 從而 f=f (- 1) = - f ( 1)

24、 = - 1. f=f (0) =0. 故 f= - 1+0= - 1, 故答案為：-1 kt 恒成立，則實數(shù) k 的取值范圍是 I n . e 【考點】函數(shù)恒成立問題. 【分析】結合函數(shù)的圖象和函數(shù)值， 可判斷只需 y=lnt 在 y=kt 的下方，求出臨界值即相切時 的 k 的值即可. 【解答】 解：當 0vxv 1 時，f (x)v 0, 當 xN時，f (x)為， 對任意 t (0, + R),不等式 f (t)v kt 恒成立， 故函數(shù) y=f (t)在函數(shù) y=kt 的下方， 只需 y=lnt 在 y=kt 的下方， 當兩曲線相切時，設切點為橫坐標為 t0, 1 1 ，k=, In

25、t0=t。， 5 5 實數(shù)k的取值范圍是. 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17. 在 ABC 中，角 A , B , C 的對邊分別為 a, b, c,且 2c?cosB=2a+b，若 ABC 的面 積：y；. (I) 求 C 的度數(shù)； (n)求 ab 的最小值. 【考點】 余弦定理；基本不等式；正弦定理. 0 x8+40=14.4 . y=14.4 14=0.4 v 0.5 . y 可認為所得到的回歸直線方程是理想的. (川)依題意得，利潤 L= (X 2.5) ? ( 3.2X+40) = 3.2x2+48x 100 (2.5 v

26、x v 12.5). 48 當 . . :時，L 取得最大值. 即該產品的單價定為 7.5 元時，利潤最大. 19. 如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AD 丄平面 A1BC，其垂足 D 落在直線 A1B 上. (I)求證：BC 丄 A1B ； (n)若 P 是線段 AC 上一點，- 丁，AB=BC=2，三棱錐 A1 PBC 的體積為，求_ C1 J 【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關系. 【分析】 (I)由 AD 丄平面 A1BC 得 BC 丄 AD， 由 AA1丄平面 ABC 得 BC 丄 AA 1， 故 BC 丄 平面 AAB，所以 BC 丄 A1B；

27、(II )設 PC=x，用 x 表示出棱錐 A1 BPC 的體積，列出方程解出 x,得到 AP 和 PC 的值. 【解答】(I)證明-AD 丄平面 A1BC , BC?平面 A1BC , AD 丄 BC. .AA1 丄平面 ABC , BC?平面 ABC , AA1 丄 BC . 又 :AA 1 AAD=A , AA 1?平面 AA1B, AD?平面 AA 1B, BC 丄平面 AA 1B, -.A1B?平面 AA 1B, BC 丄 A1B. (n)解：設 PC=x，過點 B 作 BE 丄 AC 于點 E. =40. 的值. 由(I)知 BC 丄平面 AA1B1B ,BC 丄 AB , AB=

28、BC=2 , , 3L 二. AD 丄平面 A1BC，其垂足 D 落在直線 A1B 上， AD 丄 AIB.也。=叮二 廣=1,又：AA1 丄 AB , BD AD .RtAABD sRt AiBA , 、 ， J_c “ 區(qū)一晅 上._二 一 .曠. 解得：；-, 2 X 2 TC ， 【考點】橢圓的簡單性質. 【分析】(I)由已知 F (0, 1),直線 I的方程為尸-近耳+1,代入 匚寸-,由平行四邊形性質得 亍：-7 心壬，由此能證明點20. 已知 0 為坐標原點，F(xiàn) 為橢圓 C ：x2+=1 在 y 軸正半軸上的焦點, 2 過 F 且斜率為-.二 的直線 I與 C 交與 A、B 兩點

29、，四邊形 OAPB 為平行四邊形. (I)證明：點 P 在橢圓 C 上； (n)求四邊形 OAPB 的面積. 2+1，得 P 在橢圓 C 上. (n)由已知求出|AB|和原點 0 到直線l： 了一 一汽河的距離，由此能求出四邊形 OAPB 的面積. 【解答】證明：(I) .0 為坐標原點，F(xiàn) 為橢圓 C : X2+ =1 在 y 軸正半軸上的焦點, 2 并化簡得廠-二： -一-一,2分 設 A (xi, yi), B (X2, y2), P (X3, y3), 四邊形 OAPB 為平行四邊形，工,3分 可得(X3, y3)= (Xi, yi) + (X2, y2) 二遼二 7 匚，故片 W 分

30、 經驗證點 P 的坐標I. 1滿足方程：，.丄 故點 P 在橢圓 C 上. 6 分 解: (n)點 L u I 一 .- - ： - 4 . - . 8分 原點 0 到直線 I: 丫- _ . 的距離，：、_U10 分 四邊形 OAPB 的面積： :二心亍汕I 二； 2 分， 21. 已知函數(shù) f (X) =eX - ax (a 為常數(shù))的圖象與 y 軸交于點 A,曲線 y=f (X)在點 A 處 的切線平行于X軸. (I)求 a 的值及函數(shù) y=f (x)的極值； (n)若不等式 xf (x) 3lnx+ (k - 3) x 在 x 務時恒成立，證明：k v e3- 1. 【考點】利用導數(shù)研

31、究函數(shù)的極值； 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值； 利用導數(shù)研究曲線上 某點切線方程. 【分析】(I)求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義建立方程關系即可求 a 的值及函數(shù) y=f (x )的極值； (n)若不等式 xf (x) 3lnx+ ( k - 3) x 在 x 昌時恒成立，利用參數(shù)分離法，求函數(shù)的最 值即可證明：k v e3- 1. 【解答】 解：(I)由題意知 f( x) =ex - a,1 分， -A (0, 1)且曲線 y=f (x)在點 A 處的切線平行于 x軸， (0) =e0- a=0, /a=1-3 分 此時，f (x) =ex - 1. 令 f ( x) =0 得 x=0 . 當 x變化時，f (x)與 f ( x)變化情況如下表F (0, 1)，直線 I的方程為尸-竝耳+1,代入工 2 x (-m, 0) 0 (0, +m) f(x) 0 + x f (x) =e - x 單調遞減 極小值 1 單調遞增: f ( x)有極小值 1，無極大值5 分 (n)證明：由 xf (x) 3lnx+ ( k - 3) x 得: 6 分 令 1 = -：.工二二， : 7 分， X X 3(1 - Ins)、 .X 為e, flnx Ine=