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1、第五章第五章 丈量誤差根本知識(shí)丈量誤差根本知識(shí) 5-1 丈量誤差概述 先作兩個(gè)前提假設(shè): 觀測(cè)條件一樣. 對(duì)某一量進(jìn)展一系列的直接觀測(cè)在此根底上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號(hào)及變化規(guī)律。 先看兩個(gè)實(shí)例:先看兩個(gè)實(shí)例:例例1:用名義長(zhǎng)度為:用名義長(zhǎng)度為30米而實(shí)踐長(zhǎng)度為米而實(shí)踐長(zhǎng)度為30.04米的鋼尺量距。米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見(jiàn)下表丈量結(jié)果見(jiàn)下表5-1: 表表5-1 可以看出:可以看出: 從個(gè)別誤差來(lái)調(diào)查,其符號(hào)、數(shù)值一直變化,無(wú)任從個(gè)別誤差來(lái)調(diào)查,其符號(hào)、數(shù)值一直變化,無(wú)任 何規(guī)律性。何規(guī)律性。 多次反復(fù)觀測(cè),取其平均數(shù),可抵消一些誤差的影響。多次反復(fù)觀測(cè),取其平均數(shù),可抵消一些誤差的影響。

2、引進(jìn)如下概念:引進(jìn)如下概念: 在觀測(cè)過(guò)程中,系統(tǒng)誤差和偶爾誤差總是同時(shí)產(chǎn)生。在觀測(cè)過(guò)程中,系統(tǒng)誤差和偶爾誤差總是同時(shí)產(chǎn)生。 系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響尤為顯著,應(yīng)盡能夠地加以矯系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響尤為顯著,應(yīng)盡能夠地加以矯正、抵消或減弱。正、抵消或減弱。 對(duì)能夠存在的情況不明的系統(tǒng)誤差,可采用不同時(shí)間的多對(duì)能夠存在的情況不明的系統(tǒng)誤差,可采用不同時(shí)間的多次觀測(cè),消弱其影響。次觀測(cè),消弱其影響。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法:消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法: 檢校儀器:使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。檢校儀器:使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求矯正數(shù):將觀測(cè)值加以矯正,消除其影響。求矯正數(shù):將觀測(cè)值加以矯

3、正,消除其影響。 采用合理的觀測(cè)方法:如對(duì)向觀測(cè)。采用合理的觀測(cè)方法:如對(duì)向觀測(cè)。 研討偶爾誤差是丈量學(xué)的重要課題。研討偶爾誤差是丈量學(xué)的重要課題。 消除或減弱偶爾誤差的有效方法:消除或減弱偶爾誤差的有效方法: 適當(dāng)提高儀器等級(jí)。適當(dāng)提高儀器等級(jí)。 進(jìn)展多余觀測(cè),求最或是值。進(jìn)展多余觀測(cè),求最或是值。 假設(shè)假設(shè)i= Li X i= Li X i=1,2,3,358i=1,2,3,358 負(fù) 誤 差 正 誤 差 合 計(jì) 誤差區(qū)間 d() 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 0 03 3 3 36 6 6 69 9 9 91 12 2 1 12 21 15 5 1 15 5

4、1 18 8 1 18 82 21 1 2 21 12 24 4 2 24 4 4 45 5 4 40 0 3 33 3 2 23 3 1 17 7 1 13 3 6 6 4 4 0 0 0 0. .1 12 26 6 0 0. .1 11 12 2 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 06 64 4 0 0. .0 04 47 7 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 17 7 0 0. .0 01 11 1 0 0 4 46 6 4 41 1 3 33 3 2 21 1 1 16 6 1 13 3 5 5 2 2 0 0 0 0. .1 12 28 8 0 0.

5、 .1 11 15 5 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 05 59 9 0 0. .0 04 45 5 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 14 4 0 0. .0 00 06 6 0 0 9 91 1 8 81 1 6 66 6 4 44 4 3 33 3 2 26 6 1 11 1 6 6 0 0 0 0. .2 24 45 5 0 0. .2 22 27 7 0 0. .1 18 84 4 0 0. .1 12 23 3 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 07 72 2 0 0. .0 03 31 1 0 0. .0 01 17 7 0 0

6、 181 0.505 177 0.495 358 1 1. .0 00 00 0 從表從表5-25-2中可以歸納出偶爾誤差的特性中可以歸納出偶爾誤差的特性 在一定觀測(cè)條件下的有限次觀測(cè)中,偶爾誤差在一定觀測(cè)條件下的有限次觀測(cè)中,偶爾誤差的絕對(duì)值不會(huì)超越一定的限值;的絕對(duì)值不會(huì)超越一定的限值; 絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大,絕對(duì)值較大絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大,絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??;的誤差出現(xiàn)的頻率??; 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率;絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率; 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí),偶爾誤差的實(shí)際平均當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí),偶爾誤差的實(shí)際平均值趨近于零。值趨近

7、于零。 用公式表示為:用公式表示為: 實(shí)際闡明:觀測(cè)誤差必然具有上述四個(gè)特性。而實(shí)際闡明:觀測(cè)誤差必然具有上述四個(gè)特性。而且,當(dāng)觀測(cè)的個(gè)數(shù)愈大且,當(dāng)觀測(cè)的個(gè)數(shù)愈大 時(shí),這種特性就表現(xiàn)得愈明時(shí),這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。顯。 0limlim21 nnnnn-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 圖5-1 頻率直方圖dnk /)(/頻率nk 為了直觀地表示偶爾誤差的正負(fù)和大小的分布情況,可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(見(jiàn)以下圖)。 假設(shè)誤差的個(gè)數(shù)無(wú)限增大假設(shè)誤差的個(gè)數(shù)無(wú)限增大(n),同時(shí)又無(wú)限減少誤,同時(shí)又無(wú)限減少誤差的區(qū)間差的

8、區(qū)間d,那么圖,那么圖5-1中各小長(zhǎng)條的頂邊的折線就逐漸成中各小長(zhǎng)條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線,它完好地表示了偶爾誤差出現(xiàn)的概率,它完好地表示了偶爾誤差出現(xiàn)的概率P。 即當(dāng)即當(dāng)n時(shí),時(shí),上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定,成為誤差出現(xiàn)的上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定,成為誤差出現(xiàn)的概率。概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : (5-3) 為規(guī)范差,規(guī)范差的平方為為規(guī)范差,規(guī)范差的平方為 方差。方差。 方差為偶爾誤差平方的實(shí)際平均值:方差為偶爾誤差平方的實(shí)際平均值:e

9、fy221)(222正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : : (5-3)(5-3) efy221)(22 nnnnn 2222212limlim nnnnlimlim2) 45 ( ) 55 ( efy221)(22f()+-11121-+f()2+-221221v 觀測(cè)條件較好,誤差分布比較密集,它具有較小的參數(shù)觀測(cè)條件較好,誤差分布比較密集,它具有較小的參數(shù) ;v 觀測(cè)條件較差,誤差分布比較分散,它具有較大的參數(shù)觀測(cè)條件較差,誤差分布比較分散,它具有較大的參數(shù) ;v 具有較小具有較小 的誤差曲線,自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較的誤差曲線,自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較陡的趨勢(shì)迅速下

10、降;陡的趨勢(shì)迅速下降;v 具有具有 較大較大 的誤差曲線,自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較的誤差曲線,自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較平緩的趨勢(shì)伸展。平緩的趨勢(shì)伸展。最大縱坐標(biāo)點(diǎn):21efy221)(225-2 5-2 衡量觀測(cè)值精度的規(guī)范衡量觀測(cè)值精度的規(guī)范一一. .中誤差中誤差 誤差的概率密度函數(shù)為:誤差的概率密度函數(shù)為: 規(guī)范差規(guī)范差 nmef221)(22 nnnnlimlim2 在丈量任務(wù)中,觀測(cè)個(gè)數(shù)總是有限的,為了評(píng)定精度,普通采用下述在丈量任務(wù)中,觀測(cè)個(gè)數(shù)總是有限的,為了評(píng)定精度,普通采用下述誤差公式:誤差公式: 規(guī)范差規(guī)范差中誤差中誤差 m m 的不同在于觀測(cè)個(gè)數(shù)的不同在于觀測(cè)個(gè)數(shù) n n 上

11、;上; 規(guī)范差表征了一組同精度觀測(cè)在規(guī)范差表征了一組同精度觀測(cè)在(n)(n)時(shí)誤差分布的分散特時(shí)誤差分布的分散特征,即實(shí)際上的觀測(cè)目的;征,即實(shí)際上的觀測(cè)目的; 而中誤差那么是一組同精度觀測(cè)在為而中誤差那么是一組同精度觀測(cè)在為 n n 有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的觀測(cè)有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的觀測(cè)精度目的;精度目的; 所以中誤差是規(guī)范差的近似值估值;所以中誤差是規(guī)范差的近似值估值; 隨著隨著 n n 的增大,的增大,m m 將趨近于將趨近于。 nm 根據(jù)正態(tài)分布曲線,誤差在微小區(qū)間根據(jù)正態(tài)分布曲線,誤差在微小區(qū)間d d中的概率:中的概率: p( p()=f()=f() d) d 設(shè)以設(shè)以k k倍中誤差作為區(qū)間,那么

12、在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為:倍中誤差作為區(qū)間,那么在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為: 分別以分別以k=1,2,3k=1,2,3代入上式,可得:代入上式,可得: P( P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P( P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P( P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由此可見(jiàn):偶爾誤差的絕對(duì)值大于由此可見(jiàn):偶爾誤差的絕對(duì)值大于2 2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的倍中誤差的約占誤差總數(shù)的55,而大于,而大于3 3倍的誤差倍的誤差僅占誤差總數(shù)的僅占誤差總數(shù)的0.30.3。 由于普通情況下丈量次數(shù)有限,由于普通情況下丈量次數(shù)

13、有限,3 3倍中誤差很少遇到,倍中誤差很少遇到, 故以故以2 2倍中誤差作為允許的誤差倍中誤差作為允許的誤差極限,稱為極限,稱為“允許誤差,或允許誤差,或 稱為稱為“限差即容限差即容=2m=2mkmkmdfkmP)()( 在某些丈量任務(wù)中,對(duì)觀測(cè)值的精度僅用中誤差來(lái)衡量在某些丈量任務(wù)中,對(duì)觀測(cè)值的精度僅用中誤差來(lái)衡量還不能正確反映觀測(cè)的質(zhì)量。還不能正確反映觀測(cè)的質(zhì)量。 例如例如: 用鋼卷尺量用鋼卷尺量200米和米和40米兩段間隔,量距的中誤差都米兩段間隔,量距的中誤差都是是2cm,但不能以為兩者的精度是一樣的,由于量距的誤差,但不能以為兩者的精度是一樣的,由于量距的誤差與其長(zhǎng)度有關(guān)。與其長(zhǎng)度有

14、關(guān)。 為此,用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的方式來(lái)描畫觀測(cè)的為此,用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的方式來(lái)描畫觀測(cè)的質(zhì)量。即質(zhì)量。即m/L來(lái)評(píng)定精度,通常稱此比值為相對(duì)中誤差。來(lái)評(píng)定精度,通常稱此比值為相對(duì)中誤差。 相對(duì)中誤差又可要求寫成分子為相對(duì)中誤差又可要求寫成分子為1的分式,即的分式,即 。 上例為上例為 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可見(jiàn)可見(jiàn): 前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。 與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng),真誤差、中誤差、允許誤差都稱為絕對(duì)與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng),真誤差、中誤差、允許誤差都稱為絕對(duì)誤差。誤差。N15-3 算術(shù)平均值及其中誤差算術(shù)平均值及其中誤

15、差 設(shè)在一樣的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了設(shè)在一樣的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次出該未知量的最或然值。次出該未知量的最或然值。 ,觀測(cè)值為,觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L2Ln,如今要根據(jù)這,如今要根據(jù)這n個(gè)觀測(cè)值確定個(gè)觀測(cè)值確定 設(shè)未知量的真值為設(shè)未知量的真值為X,寫出觀測(cè)值的真誤差,寫出觀測(cè)值的真誤差公式為公式為i= Li-X (i=1,2n)將上式相加得將上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX 設(shè)以設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值,表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值, 即即以以X表示算術(shù)平均值的真誤差,即表示算術(shù)平均值的真誤差,即 代入上式,那么得代入上式,那么得由偶

16、爾誤差第四特性知道,當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí),由偶爾誤差第四特性知道,當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí), x趨近于零,即趨近于零,即:也就是說(shuō),也就是說(shuō),n趨近無(wú)窮大時(shí),算術(shù)平均值即為真值。趨近無(wú)窮大時(shí),算術(shù)平均值即為真值。 nLx nxxxX0limxn 如今來(lái)推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。如今來(lái)推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。 由于由于式中,式中,1n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度一樣,為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度一樣,設(shè)其中誤差均為設(shè)其中誤差均為m?,F(xiàn)以?,F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤表示算術(shù)平均值的中誤差,那么可得算術(shù)平均值的中誤差為差,那么可得算術(shù)平均值的中誤差為nLnLnLxn 21故 該式即算術(shù)平均值

17、的中誤差公式。該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。 nmmnmnmnmnx22222222111 項(xiàng)nmmx 三、同精度觀測(cè)值的中誤差 同精度觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式為而 這是利用觀測(cè)值真誤差求觀測(cè)值中誤差的定義公式,由于未知量的真值往往是不知道的,真誤差也就不知道了。所以,普通不能直接利用上式求觀測(cè)值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的,它和觀測(cè)值的差數(shù)也可以求得,即nmniXLii , 2 , 1niLxvii , 2 , 1因因n為有限值,故在適用上可以用為有限值,故在適用上可以用x的中誤差近似地替代的中誤差近似地替代x的真誤差,即的真誤差,即 為用矯正數(shù)來(lái)求觀測(cè)值中誤差的公式,稱為白塞爾

18、公為用矯正數(shù)來(lái)求觀測(cè)值中誤差的公式,稱為白塞爾公式。式。 用矯正數(shù)計(jì)算最或然值中誤差的公式為用矯正數(shù)計(jì)算最或然值中誤差的公式為 1nvvm ) 1( nnvvm 5-4 誤差傳播定律 在實(shí)踐任務(wù)中有許多未知量不能直接觀測(cè)而求其值,需求由觀測(cè)值間接計(jì)算出來(lái)。例如某未知點(diǎn)B的高程HB,是由起始點(diǎn)A的高程HA加上從A點(diǎn)到B點(diǎn)間進(jìn)展了假設(shè)干站水準(zhǔn)丈量而得來(lái)的觀測(cè)高差h1hn求和得出的。這時(shí)未知點(diǎn)B的高程H。是各獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測(cè)值的中誤差去求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差呢? 論述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律,稱為誤差傳播定律。 一、倍數(shù)的函數(shù) 設(shè)有函數(shù): Z為觀測(cè)值的函數(shù),K為常

19、數(shù),X為觀測(cè)值,知其中誤差為mx,求Z的中誤差mZ。 設(shè)x和z的真誤差分別為x和z那么: 假設(shè)對(duì)x 共觀測(cè)了n次,那么: 將上式平方,得: 求和,并除以n,得kxz xzk)2 , 1(nikxizi )2 , 1(222nikxizi nknxz222nmnmxxzz22xzxzkmmmkm222nmnmxxzz22 例: 在1:500比例尺地形圖上,量得A、 B兩點(diǎn)間的間隔SAB=23.4mm,其中誤差msab=土0.2mm,求A、B間的實(shí)地間隔SAB及其中誤差msAB。 解:由題意: SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500士0.2

20、=土100mm土0.1m 最后答案為:SAB=11.7m士0.1m 二、和或差的函數(shù)二、和或差的函數(shù) 設(shè)有函數(shù):設(shè)有函數(shù): Z為為x、y的和或差的函數(shù),的和或差的函數(shù),x、y為獨(dú)立觀測(cè)值,知為獨(dú)立觀測(cè)值,知其中誤差為其中誤差為mx、my,求,求Z的中誤差的中誤差mZ。 設(shè)設(shè)x、y和和z的真誤差分別為的真誤差分別為x、y和和z那么那么 假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì)x、y 均觀測(cè)了均觀測(cè)了n次,那么次,那么 將上式平方,得將上式平方,得yxzyxz)2 , 1(niyixizi )2 , 1(2222niyii xyixizi 由于x、y均為偶爾誤差,其符號(hào)為正或負(fù)的時(shí)機(jī)一樣,由于x、y為獨(dú)立誤差,它們出現(xiàn)的正、

21、負(fù)號(hào)互不相關(guān),所以其乘積xy也具有正負(fù)時(shí)機(jī)一樣的性質(zhì),在求xy時(shí)其正值與負(fù)值有相互抵消的能夠;當(dāng)n愈大時(shí),上式中最后一項(xiàng)xy/n將趨近于零,即求和,并除以求和,并除以n,得,得 nnnnyxyxz22220limnnyx 將滿足上式的誤差x、y稱為相互獨(dú)立的誤差,簡(jiǎn)稱獨(dú)立誤差,相應(yīng)的觀測(cè)值稱為獨(dú)立觀測(cè)值。對(duì)于獨(dú)立觀測(cè)值來(lái)說(shuō),即使n是有限量,由于 式殘存的值不大, 普通就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義,得222yxzmmm 即,兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方,即,兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方,等于兩觀測(cè)值中誤差的平方之和。等于兩觀測(cè)值中誤差的平方之和。0limnnyx 當(dāng)當(dāng)z是一組觀測(cè)值是一組觀測(cè)值X1

22、、X2Xn代數(shù)和差的函代數(shù)和差的函數(shù)時(shí),即數(shù)時(shí),即nxxxz 21可以得出函數(shù)可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為:的中誤差平方為: 式中式中mximxi是觀測(cè)值是觀測(cè)值xixi的中誤差。的中誤差。即,即,n n個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和差的中誤差平方,等于個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和差的中誤差平方,等于n n個(gè)觀測(cè)值中誤差平方之和。個(gè)觀測(cè)值中誤差平方之和。222221xnxxzmmmm 當(dāng)諸觀測(cè)值當(dāng)諸觀測(cè)值xi為同精度觀測(cè)值時(shí),設(shè)其中誤差為為同精度觀測(cè)值時(shí),設(shè)其中誤差為m,即即 mx1=mx2=mxn=m那么為那么為這就是說(shuō),在同精度觀測(cè)時(shí),觀測(cè)值代數(shù)和差的中這就是說(shuō),在同精度觀測(cè)時(shí),觀測(cè)值代數(shù)和差的中誤差,與觀測(cè)值個(gè)數(shù)誤差

23、,與觀測(cè)值個(gè)數(shù)n的平方根成正比。的平方根成正比。 例設(shè)用長(zhǎng)為例設(shè)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的卷尺量距,共丈量了的卷尺量距,共丈量了n個(gè)尺段,知每個(gè)尺段,知每尺段量距的中誤差都為尺段量距的中誤差都為m,求全長(zhǎng),求全長(zhǎng)S的中誤差的中誤差ms。解:由于全長(zhǎng)解:由于全長(zhǎng)S=LLL式中共有式中共有n個(gè)個(gè)L。而而L的中誤差為的中誤差為m。 量距的中誤差與丈量段數(shù)量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。的平方根成正比。nmmznmmS 例如以例如以 30m長(zhǎng)的鋼尺丈量長(zhǎng)的鋼尺丈量 90m的間隔,當(dāng)?shù)拈g隔,當(dāng)每尺段量距的中誤差為每尺段量距的中誤差為5mm時(shí),全長(zhǎng)的中誤時(shí),全長(zhǎng)的中誤差為差為nmmSmmm7 . 83590 當(dāng)運(yùn)

24、用量距的鋼尺長(zhǎng)度相等,每尺段的量距中誤差都為mL,那么每公里長(zhǎng)度的量距中誤差mKm也是相等的。當(dāng)對(duì)長(zhǎng)度為S公里的間隔丈量時(shí),全長(zhǎng)的真誤差將是S個(gè)一公里丈量真誤差的代數(shù)和,于是S公里的中誤差為 式中,S的單位是公里。即:在間隔丈量中,間隔S的量距中誤差與長(zhǎng)度S的平方根成正比。kmsmsm 例例: 為了求得為了求得A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差,今自兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差,今自A點(diǎn)開(kāi)點(diǎn)開(kāi)場(chǎng)進(jìn)展水準(zhǔn)丈量,經(jīng)場(chǎng)進(jìn)展水準(zhǔn)丈量,經(jīng)n站后測(cè)完。知每站高差的中誤站后測(cè)完。知每站高差的中誤差均為差均為m站,求站,求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。兩點(diǎn)間高差的中誤差。 解:由于解:由于A、B兩點(diǎn)間高差兩點(diǎn)間高差hAB等于各站的觀測(cè)高

25、等于各站的觀測(cè)高差差hii=l,2n之和,之和, 即即: hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 那么那么 即水準(zhǔn)丈量高差的中誤差,與測(cè)站數(shù)即水準(zhǔn)丈量高差的中誤差,與測(cè)站數(shù)n的平方根的平方根成正比。成正比。 站mnmABh 在不同的水準(zhǔn)道路上,即使兩點(diǎn)間的道路長(zhǎng)度一樣,設(shè)站數(shù)不同時(shí),那么兩點(diǎn)間高差的中誤差也不同。但是,當(dāng)水準(zhǔn)道路經(jīng)過(guò)平坦地域時(shí),每公里的水準(zhǔn)丈量高差的中誤差可以以為一樣,設(shè)為mkm。當(dāng)A、B兩點(diǎn)間的水準(zhǔn)道路為S公里時(shí),A、B點(diǎn)間高差的中誤差為22222kmSkmkmkmhmSmmmmAB 個(gè)或或kmhmsmAB 在水準(zhǔn)丈量作業(yè)時(shí),對(duì)于地形起伏不大的地域或平坦地域,可用 式計(jì)算高

26、差的中誤差; 對(duì)于起伏較大的地域,那么用 式計(jì)算高差的中誤差。 kmABmSmh站mnmABh 例如,知用某種儀器,按某種操作方法進(jìn)展水準(zhǔn)丈量例如,知用某種儀器,按某種操作方法進(jìn)展水準(zhǔn)丈量時(shí),每公里高差的中誤差為時(shí),每公里高差的中誤差為20mm,那么按這種水準(zhǔn),那么按這種水準(zhǔn)丈量進(jìn)展了丈量進(jìn)展了25km后,測(cè)得高差的中誤差為后,測(cè)得高差的中誤差為 mm1002520nnxkxkxkz 221122222112)()()(nnzxkxkxkm 321141149144xxxzmmmmmmmmmxxx6,2,3321mmmz6 . 1614121493144222 式中式中 xi (i=1,2n)

27、為獨(dú)立觀測(cè)值,知其中誤差為獨(dú)立觀測(cè)值,知其中誤差為為mi(i=1 2n),求,求z的中誤差。的中誤差。 當(dāng)當(dāng)xi具有真誤差具有真誤差時(shí),函數(shù)時(shí),函數(shù)Z相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差z。這些真誤差都是一個(gè)小值,由數(shù)學(xué)分析可知,變量的這些真誤差都是一個(gè)小值,由數(shù)學(xué)分析可知,變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系,可以近似地用函數(shù)的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系,可以近似地用函數(shù)的全微分來(lái)表達(dá)。全微分來(lái)表達(dá)。nxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121式中式中 i=l,2n是函數(shù)對(duì)各個(gè)變量所取的偏是函數(shù)對(duì)各個(gè)變量所取的偏導(dǎo)數(shù),以觀測(cè)值代人所算出的數(shù)值,它們是常數(shù),導(dǎo)數(shù),以觀測(cè)值代人所算出的數(shù)值,它

28、們是常數(shù),因此上式是線性函數(shù)可為:因此上式是線性函數(shù)可為:ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212 例 設(shè)有某函數(shù)z=Ssin 式中S=150.11m,其中誤差ms=士005m; =1194500,其中誤差m=20.6;求z的中誤差mz。解:由于z=Ssin,所以z是S及a的普通函數(shù)。mmmmsmmzsz44cossin22222 ixfnxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121nnzmxfmxfmxfm22222212212 例如,設(shè)有函數(shù)例如,設(shè)有函數(shù)z=xy,而,而y=3x,此時(shí),此時(shí), 。由于。由于x與與y不是獨(dú)立觀測(cè)值,不是獨(dú)立觀測(cè)值, 由于不論由于不論n值

29、多少,恒有值多少,恒有因此,應(yīng)把因此,應(yīng)把Z化成獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù),即化成獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù),即z=x+3x=4x上式中上式中X與與3X兩項(xiàng)是由同一個(gè)觀測(cè)值兩項(xiàng)是由同一個(gè)觀測(cè)值X組成的,必需組成的,必需先并項(xiàng)為先并項(xiàng)為z= 4x 而后求其中誤差,即而后求其中誤差,即mz= 4mx222yxzmmm2333xxxxxyxmnnn 5-5 廣義算術(shù)平均值及權(quán)廣義算術(shù)平均值及權(quán) 假設(shè)對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)展假設(shè)對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)展n n次同精度觀測(cè),那么其最或次同精度觀測(cè),那么其最或然值即為然值即為n n次觀丈量的算術(shù)平均值:次觀丈量的算術(shù)平均值:niinllllnnX1211)(1在一樣條件下對(duì)某段長(zhǎng)度進(jìn)展兩組丈

30、量:在一樣條件下對(duì)某段長(zhǎng)度進(jìn)展兩組丈量:lll4,2,1 第一組:第一組: 第二組:第二組:lll10,6,5 算術(shù)平均值分別為L(zhǎng)L21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL,21mmLL其中誤差分別為:其中誤差分別為:2142mmLmmL262241mmL62mmL 全部同精度觀測(cè)值的最或然值為:全部同精度觀測(cè)值的最或然值為: 101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL22222221222121ppLpLpX2122111212121ppLLppXpi在在piLiXLi值的大小表達(dá)了值的大小表達(dá)了中比重的大小,

31、中比重的大小,稱稱為為的權(quán)。的權(quán)。 令iiLLimmmp2222 假設(shè)有不同精度觀測(cè)假設(shè)有不同精度觀測(cè)值值,21LLLn其權(quán)分別為其權(quán)分別為,11pppn該量的最或然值可擴(kuò)展為:該量的最或然值可擴(kuò)展為: ppLXpppLpLpLpnnn212211稱之為廣義算術(shù)平均值加權(quán)平均值。稱之為廣義算術(shù)平均值加權(quán)平均值。 當(dāng)各觀測(cè)值精度一樣時(shí)當(dāng)各觀測(cè)值精度一樣時(shí)ppppn21nppXniinLLLL121) 111 ()(mmmmn21二、 權(quán) 定權(quán)的根本公式:mpii22稱為稱為中誤差中誤差,為單位權(quán)觀測(cè)值,為單位權(quán)觀測(cè)值,當(dāng)觀測(cè)值當(dāng)觀測(cè)值Limi1pi稱為單位權(quán),稱為單位權(quán),Li單位權(quán)中誤差。單位權(quán)

32、中誤差。 權(quán)的特性權(quán)的特性mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1: 1 反映了觀測(cè)值的相互精度關(guān)系。反映了觀測(cè)值的相互精度關(guān)系。 3 不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小,而在于相互的比例關(guān)系不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小,而在于相互的比例關(guān)系 。值的值的 大小,對(duì)大小,對(duì)X值毫無(wú)影響。值毫無(wú)影響。2mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1: 4 假設(shè)假設(shè)Li同類量的觀測(cè)值,此時(shí),權(quán)無(wú)單位。假設(shè)同類量的觀測(cè)值,此時(shí),權(quán)無(wú)單位。假設(shè) Li是不同類量的觀測(cè)值,權(quán)能否有單位不能是不同類量的觀測(cè)值,權(quán)能否有單位不能一概而論,而視詳細(xì)情況而定。一概而論,而視詳細(xì)情況而定。例:

33、知例:知LLL321,的中誤差分別為:的中誤差分別為:mmmmmmmmm5,4,3321mmm31設(shè)設(shè)133222121mp16943222222mp25953222323mp假設(shè)假設(shè)設(shè)設(shè)mm454, 1,34321ppP36. 0:56. 0:1:321321pppppp1 水準(zhǔn)道路觀測(cè)高差的權(quán)水準(zhǔn)道路觀測(cè)高差的權(quán)例:例:常用定權(quán)公式常用定權(quán)公式h3Dh4ABCh1h2Emnmiihncnmmnpiiii222 當(dāng)各測(cè)站觀測(cè)高差的精度一樣時(shí),水準(zhǔn)道路當(dāng)各測(cè)站觀測(cè)高差的精度一樣時(shí),水準(zhǔn)道路觀測(cè)高差的權(quán)與測(cè)站數(shù)成反比。觀測(cè)高差的權(quán)與測(cè)站數(shù)成反比。四條水準(zhǔn)道路分別觀測(cè)了四條水準(zhǔn)道路分別觀測(cè)了3,

34、4, 6, 5 測(cè)站。測(cè)站。mc224322npc令令c=3,13311npc6333npc5344npcm223令令c=4,341/1npc442/2npc643/3npc544/4npcm22460. 0:50. 0:75. 0: 1:/4/3/2/14321pppppppp 水準(zhǔn)道路的長(zhǎng)分別為水準(zhǔn)道路的長(zhǎng)分別為ssss4321,設(shè)每公里水準(zhǔn)丈量觀測(cè)的中誤差為設(shè)每公里水準(zhǔn)丈量觀測(cè)的中誤差為mkmmsmkmihismmspiikmkmi222ckmm2mkmc22spiic 當(dāng)每公里水準(zhǔn)丈量的精度一樣時(shí),水準(zhǔn)道路觀當(dāng)每公里水準(zhǔn)丈量的精度一樣時(shí),水準(zhǔn)道路觀測(cè)的權(quán)與道路長(zhǎng)度成反比。測(cè)的權(quán)與道路長(zhǎng)

35、度成反比。3102102104103, 2, 4,10443322114321scpscpscpscpssssc當(dāng)當(dāng),10, 1csscp S= c =10公里 的水準(zhǔn)道路的觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)。mmkm1010公里mmmckmkm公里1010每測(cè)站觀測(cè)高差精度一樣時(shí):每測(cè)站觀測(cè)高差精度一樣時(shí):iincp 每公里觀測(cè)高差精度一樣時(shí):每公里觀測(cè)高差精度一樣時(shí):iiscp 例例 對(duì)某角作三組同精度觀測(cè):對(duì)某角作三組同精度觀測(cè): 第一組測(cè)第一組測(cè)4測(cè)回,算術(shù)平均值為測(cè)回,算術(shù)平均值為 1 第二組測(cè)第二組測(cè)6測(cè)回,算術(shù)平均值為測(cè)回,算術(shù)平均值為 第三組測(cè)第三組測(cè)8測(cè)回,算術(shù)平均值為測(cè)回,算術(shù)平均值為23nmmii22 三 、不同個(gè)數(shù)的同精度觀測(cè)值求得的算術(shù)平均值的權(quán)。222222mnnmmpiiii,22cmcmcnpii由不同個(gè)數(shù)的同精度觀測(cè)值求得的算術(shù)平均值,其權(quán)由不同個(gè)數(shù)的同精度觀測(cè)值求得的算術(shù)平均值,其權(quán)與觀測(cè)值個(gè)數(shù)成正比。與觀測(cè)值個(gè)數(shù)成正比。4 c令1441p5 . 1462p2483pppppppX32

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