測(cè)量誤差及其產(chǎn)生的原因ppt課件

1、第五章第五章 丈量誤差根本知識(shí)丈量誤差根本知識(shí) 5-1 丈量誤差概述 先作兩個(gè)前提假設(shè)： 觀測(cè)條件一樣. 對(duì)某一量進(jìn)展一系列的直接觀測(cè)在此根底上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號(hào)及變化規(guī)律。 先看兩個(gè)實(shí)例：先看兩個(gè)實(shí)例：例例1：用名義長(zhǎng)度為：用名義長(zhǎng)度為30米而實(shí)踐長(zhǎng)度為米而實(shí)踐長(zhǎng)度為30.04米的鋼尺量距。米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見(jiàn)下表丈量結(jié)果見(jiàn)下表5-1： 表表5-1 可以看出：可以看出： 從個(gè)別誤差來(lái)調(diào)查，其符號(hào)、數(shù)值一直變化，無(wú)任從個(gè)別誤差來(lái)調(diào)查，其符號(hào)、數(shù)值一直變化，無(wú)任 何規(guī)律性。何規(guī)律性。 多次反復(fù)觀測(cè)，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。多次反復(fù)觀測(cè)，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。

2、引進(jìn)如下概念：引進(jìn)如下概念： 在觀測(cè)過(guò)程中，系統(tǒng)誤差和偶爾誤差總是同時(shí)產(chǎn)生。在觀測(cè)過(guò)程中，系統(tǒng)誤差和偶爾誤差總是同時(shí)產(chǎn)生。 系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡能夠地加以矯系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡能夠地加以矯正、抵消或減弱。正、抵消或減弱。 對(duì)能夠存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時(shí)間的多對(duì)能夠存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時(shí)間的多次觀測(cè)，消弱其影響。次觀測(cè)，消弱其影響。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求矯正數(shù)：將觀測(cè)值加以矯正，消除其影響。求矯正數(shù)：將觀測(cè)值加以矯

3、正，消除其影響。 采用合理的觀測(cè)方法：如對(duì)向觀測(cè)。采用合理的觀測(cè)方法：如對(duì)向觀測(cè)。 研討偶爾誤差是丈量學(xué)的重要課題。研討偶爾誤差是丈量學(xué)的重要課題。 消除或減弱偶爾誤差的有效方法：消除或減弱偶爾誤差的有效方法： 適當(dāng)提高儀器等級(jí)。適當(dāng)提高儀器等級(jí)。 進(jìn)展多余觀測(cè)，求最或是值。進(jìn)展多余觀測(cè)，求最或是值。 假設(shè)假設(shè)i= Li X i= Li X i=1,2,3,358i=1,2,3,358 負(fù) 誤 差 正 誤 差 合 計(jì) 誤差區(qū)間 d（） 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 0 03 3 3 36 6 6 69 9 9 91 12 2 1 12 21 15 5 1 15 5

4、1 18 8 1 18 82 21 1 2 21 12 24 4 2 24 4 4 45 5 4 40 0 3 33 3 2 23 3 1 17 7 1 13 3 6 6 4 4 0 0 0 0. .1 12 26 6 0 0. .1 11 12 2 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 06 64 4 0 0. .0 04 47 7 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 17 7 0 0. .0 01 11 1 0 0 4 46 6 4 41 1 3 33 3 2 21 1 1 16 6 1 13 3 5 5 2 2 0 0 0 0. .1 12 28 8 0 0.

5、 .1 11 15 5 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 05 59 9 0 0. .0 04 45 5 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 14 4 0 0. .0 00 06 6 0 0 9 91 1 8 81 1 6 66 6 4 44 4 3 33 3 2 26 6 1 11 1 6 6 0 0 0 0. .2 24 45 5 0 0. .2 22 27 7 0 0. .1 18 84 4 0 0. .1 12 23 3 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 07 72 2 0 0. .0 03 31 1 0 0. .0 01 17 7 0 0

6、 181 0.505 177 0.495 358 1 1. .0 00 00 0 從表從表5-25-2中可以歸納出偶爾誤差的特性中可以歸納出偶爾誤差的特性 在一定觀測(cè)條件下的有限次觀測(cè)中，偶爾誤差在一定觀測(cè)條件下的有限次觀測(cè)中，偶爾誤差的絕對(duì)值不會(huì)超越一定的限值；的絕對(duì)值不會(huì)超越一定的限值； 絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??；的誤差出現(xiàn)的頻率??； 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率；絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率； 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶爾誤差的實(shí)際平均當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶爾誤差的實(shí)際平均值趨近于零。值趨近

7、于零。 用公式表示為：用公式表示為： 實(shí)際闡明：觀測(cè)誤差必然具有上述四個(gè)特性。而實(shí)際闡明：觀測(cè)誤差必然具有上述四個(gè)特性。而且，當(dāng)觀測(cè)的個(gè)數(shù)愈大且，當(dāng)觀測(cè)的個(gè)數(shù)愈大 時(shí)，這種特性就表現(xiàn)得愈明時(shí)，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。顯。 0limlim21 nnnnn-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 圖5-1 頻率直方圖dnk /)(/頻率nk 為了直觀地表示偶爾誤差的正負(fù)和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(見(jiàn)以下圖)。 假設(shè)誤差的個(gè)數(shù)無(wú)限增大假設(shè)誤差的個(gè)數(shù)無(wú)限增大(n)，同時(shí)又無(wú)限減少誤，同時(shí)又無(wú)限減少誤差的區(qū)間差的

8、區(qū)間d，那么圖，那么圖5-1中各小長(zhǎng)條的頂邊的折線就逐漸成中各小長(zhǎng)條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線，它完好地表示了偶爾誤差出現(xiàn)的概率，它完好地表示了偶爾誤差出現(xiàn)的概率P。 即當(dāng)即當(dāng)n時(shí)，時(shí)，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : (5-3) 為規(guī)范差，規(guī)范差的平方為為規(guī)范差，規(guī)范差的平方為 方差。方差。 方差為偶爾誤差平方的實(shí)際平均值：方差為偶爾誤差平方的實(shí)際平均值：e

9、fy221)(222正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : : (5-3)(5-3) efy221)(22 nnnnn 2222212limlim nnnnlimlim2) 45 ( ) 55 ( efy221)(22f()+-11121-+f()2+-221221v 觀測(cè)條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)觀測(cè)條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù) ；v 觀測(cè)條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù)觀測(cè)條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù) ；v 具有較小具有較小 的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較陡的趨勢(shì)迅速下

10、降；陡的趨勢(shì)迅速下降；v 具有具有 較大較大 的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較平緩的趨勢(shì)伸展。平緩的趨勢(shì)伸展。最大縱坐標(biāo)點(diǎn)：21efy221)(225-2 5-2 衡量觀測(cè)值精度的規(guī)范衡量觀測(cè)值精度的規(guī)范一一. .中誤差中誤差 誤差的概率密度函數(shù)為：誤差的概率密度函數(shù)為： 規(guī)范差規(guī)范差 nmef221)(22 nnnnlimlim2 在丈量任務(wù)中，觀測(cè)個(gè)數(shù)總是有限的，為了評(píng)定精度，普通采用下述在丈量任務(wù)中，觀測(cè)個(gè)數(shù)總是有限的，為了評(píng)定精度，普通采用下述誤差公式：誤差公式： 規(guī)范差規(guī)范差中誤差中誤差 m m 的不同在于觀測(cè)個(gè)數(shù)的不同在于觀測(cè)個(gè)數(shù) n n 上

11、；上； 規(guī)范差表征了一組同精度觀測(cè)在規(guī)范差表征了一組同精度觀測(cè)在(n)(n)時(shí)誤差分布的分散特時(shí)誤差分布的分散特征，即實(shí)際上的觀測(cè)目的；征，即實(shí)際上的觀測(cè)目的； 而中誤差那么是一組同精度觀測(cè)在為而中誤差那么是一組同精度觀測(cè)在為 n n 有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的觀測(cè)有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的觀測(cè)精度目的；精度目的； 所以中誤差是規(guī)范差的近似值估值；所以中誤差是規(guī)范差的近似值估值； 隨著隨著 n n 的增大，的增大，m m 將趨近于將趨近于。 nm 根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d d中的概率：中的概率： p( p()=f()=f() d) d 設(shè)以設(shè)以k k倍中誤差作為區(qū)間，那么

12、在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：倍中誤差作為區(qū)間，那么在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以分別以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得： P( P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P( P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P( P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由此可見(jiàn)：偶爾誤差的絕對(duì)值大于由此可見(jiàn)：偶爾誤差的絕對(duì)值大于2 2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的倍中誤差的約占誤差總數(shù)的55，而大于，而大于3 3倍的誤差倍的誤差僅占誤差總數(shù)的僅占誤差總數(shù)的0.30.3。 由于普通情況下丈量次數(shù)有限，由于普通情況下丈量次數(shù)

13、有限，3 3倍中誤差很少遇到，倍中誤差很少遇到， 故以故以2 2倍中誤差作為允許的誤差倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為極限，稱為“允許誤差，或允許誤差，或 稱為稱為“限差即容限差即容=2m=2mkmkmdfkmP)()( 在某些丈量任務(wù)中，對(duì)觀測(cè)值的精度僅用中誤差來(lái)衡量在某些丈量任務(wù)中，對(duì)觀測(cè)值的精度僅用中誤差來(lái)衡量還不能正確反映觀測(cè)的質(zhì)量。還不能正確反映觀測(cè)的質(zhì)量。 例如例如: 用鋼卷尺量用鋼卷尺量200米和米和40米兩段間隔，量距的中誤差都米兩段間隔，量距的中誤差都是是2cm，但不能以為兩者的精度是一樣的，由于量距的誤差，但不能以為兩者的精度是一樣的，由于量距的誤差與其長(zhǎng)度有關(guān)。與其長(zhǎng)度有

14、關(guān)。 為此，用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的方式來(lái)描畫觀測(cè)的為此，用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的方式來(lái)描畫觀測(cè)的質(zhì)量。即質(zhì)量。即m/L來(lái)評(píng)定精度，通常稱此比值為相對(duì)中誤差。來(lái)評(píng)定精度，通常稱此比值為相對(duì)中誤差。 相對(duì)中誤差又可要求寫成分子為相對(duì)中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即的分式，即 。 上例為上例為 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可見(jiàn)可見(jiàn): 前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。 與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、允許誤差都稱為絕對(duì)與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、允許誤差都稱為絕對(duì)誤差。誤差。N15-3 算術(shù)平均值及其中誤差算術(shù)平均值及其中誤

15、差 設(shè)在一樣的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了設(shè)在一樣的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次出該未知量的最或然值。次出該未知量的最或然值。 ，觀測(cè)值為，觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L2Ln，如今要根據(jù)這，如今要根據(jù)這n個(gè)觀測(cè)值確定個(gè)觀測(cè)值確定 設(shè)未知量的真值為設(shè)未知量的真值為X，寫出觀測(cè)值的真誤差，寫出觀測(cè)值的真誤差公式為公式為i= Li-X (i=1,2n)將上式相加得將上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX 設(shè)以設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值，表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值， 即即以以X表示算術(shù)平均值的真誤差，即表示算術(shù)平均值的真誤差，即 代入上式，那么得代入上式，那么得由偶

16、爾誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，由偶爾誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)， x趨近于零，即趨近于零，即:也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，n趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。 nLx nxxxX0limxn 如今來(lái)推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。如今來(lái)推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。 由于由于式中，式中，1n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度一樣，為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度一樣，設(shè)其中誤差均為設(shè)其中誤差均為m?，F(xiàn)以?，F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤表示算術(shù)平均值的中誤差，那么可得算術(shù)平均值的中誤差為差，那么可得算術(shù)平均值的中誤差為nLnLnLxn 21故 該式即算術(shù)平均值

17、的中誤差公式。該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。 nmmnmnmnmnx22222222111 項(xiàng)nmmx 三、同精度觀測(cè)值的中誤差 同精度觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式為而 這是利用觀測(cè)值真誤差求觀測(cè)值中誤差的定義公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真誤差也就不知道了。所以，普通不能直接利用上式求觀測(cè)值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測(cè)值的差數(shù)也可以求得，即nmniXLii , 2 , 1niLxvii , 2 , 1因因n為有限值，故在適用上可以用為有限值，故在適用上可以用x的中誤差近似地替代的中誤差近似地替代x的真誤差，即的真誤差，即 為用矯正數(shù)來(lái)求觀測(cè)值中誤差的公式，稱為白塞爾

18、公為用矯正數(shù)來(lái)求觀測(cè)值中誤差的公式，稱為白塞爾公式。式。 用矯正數(shù)計(jì)算最或然值中誤差的公式為用矯正數(shù)計(jì)算最或然值中誤差的公式為 1nvvm ) 1( nnvvm 5-4 誤差傳播定律 在實(shí)踐任務(wù)中有許多未知量不能直接觀測(cè)而求其值，需求由觀測(cè)值間接計(jì)算出來(lái)。例如某未知點(diǎn)B的高程HB，是由起始點(diǎn)A的高程HA加上從A點(diǎn)到B點(diǎn)間進(jìn)展了假設(shè)干站水準(zhǔn)丈量而得來(lái)的觀測(cè)高差h1hn求和得出的。這時(shí)未知點(diǎn)B的高程H。是各獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測(cè)值的中誤差去求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差呢？ 論述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。 一、倍數(shù)的函數(shù) 設(shè)有函數(shù)： Z為觀測(cè)值的函數(shù)，K為常

19、數(shù)，X為觀測(cè)值，知其中誤差為mx，求Z的中誤差mZ。 設(shè)x和z的真誤差分別為x和z那么： 假設(shè)對(duì)x 共觀測(cè)了n次，那么： 將上式平方，得： 求和，并除以n，得kxz xzk)2 , 1(nikxizi )2 , 1(222nikxizi nknxz222nmnmxxzz22xzxzkmmmkm222nmnmxxzz22 例： 在1：500比例尺地形圖上，量得A、 B兩點(diǎn)間的間隔SAB=23.4mm，其中誤差msab=土0.2mm，求A、B間的實(shí)地間隔SAB及其中誤差msAB。 解：由題意： SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500士0.2

20、=土100mm土0.1m 最后答案為：SAB=11.7m士0.1m 二、和或差的函數(shù)二、和或差的函數(shù) 設(shè)有函數(shù)：設(shè)有函數(shù)： Z為為x、y的和或差的函數(shù)，的和或差的函數(shù)，x、y為獨(dú)立觀測(cè)值，知為獨(dú)立觀測(cè)值，知其中誤差為其中誤差為mx、my，求，求Z的中誤差的中誤差mZ。 設(shè)設(shè)x、y和和z的真誤差分別為的真誤差分別為x、y和和z那么那么 假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì)x、y 均觀測(cè)了均觀測(cè)了n次，那么次，那么 將上式平方，得將上式平方，得yxzyxz)2 , 1(niyixizi )2 , 1(2222niyii xyixizi 由于x、y均為偶爾誤差，其符號(hào)為正或負(fù)的時(shí)機(jī)一樣，由于x、y為獨(dú)立誤差，它們出現(xiàn)的正、

21、負(fù)號(hào)互不相關(guān)，所以其乘積xy也具有正負(fù)時(shí)機(jī)一樣的性質(zhì)，在求xy時(shí)其正值與負(fù)值有相互抵消的能夠；當(dāng)n愈大時(shí)，上式中最后一項(xiàng)xy/n將趨近于零，即求和，并除以求和，并除以n，得，得 nnnnyxyxz22220limnnyx 將滿足上式的誤差x、y稱為相互獨(dú)立的誤差，簡(jiǎn)稱獨(dú)立誤差，相應(yīng)的觀測(cè)值稱為獨(dú)立觀測(cè)值。對(duì)于獨(dú)立觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，即使n是有限量，由于 式殘存的值不大， 普通就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得222yxzmmm 即，兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，即，兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測(cè)值中誤差的平方之和。等于兩觀測(cè)值中誤差的平方之和。0limnnyx 當(dāng)當(dāng)z是一組觀測(cè)值是一組觀測(cè)值X1

22、、X2Xn代數(shù)和差的函代數(shù)和差的函數(shù)時(shí)，即數(shù)時(shí)，即nxxxz 21可以得出函數(shù)可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為：的中誤差平方為： 式中式中mximxi是觀測(cè)值是觀測(cè)值xixi的中誤差。的中誤差。即，即，n n個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和差的中誤差平方，等于個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和差的中誤差平方，等于n n個(gè)觀測(cè)值中誤差平方之和。個(gè)觀測(cè)值中誤差平方之和。222221xnxxzmmmm 當(dāng)諸觀測(cè)值當(dāng)諸觀測(cè)值xi為同精度觀測(cè)值時(shí)，設(shè)其中誤差為為同精度觀測(cè)值時(shí)，設(shè)其中誤差為m，即即 mx1=mx2=mxn=m那么為那么為這就是說(shuō)，在同精度觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)值代數(shù)和差的中這就是說(shuō)，在同精度觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)值代數(shù)和差的中誤差，與觀測(cè)值個(gè)數(shù)誤差

23、，與觀測(cè)值個(gè)數(shù)n的平方根成正比。的平方根成正比。 例設(shè)用長(zhǎng)為例設(shè)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的卷尺量距，共丈量了的卷尺量距，共丈量了n個(gè)尺段，知每個(gè)尺段，知每尺段量距的中誤差都為尺段量距的中誤差都為m，求全長(zhǎng)，求全長(zhǎng)S的中誤差的中誤差ms。解：由于全長(zhǎng)解：由于全長(zhǎng)S=LLL式中共有式中共有n個(gè)個(gè)L。而而L的中誤差為的中誤差為m。 量距的中誤差與丈量段數(shù)量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。的平方根成正比。nmmznmmS 例如以例如以 30m長(zhǎng)的鋼尺丈量長(zhǎng)的鋼尺丈量 90m的間隔，當(dāng)?shù)拈g隔，當(dāng)每尺段量距的中誤差為每尺段量距的中誤差為5mm時(shí)，全長(zhǎng)的中誤時(shí)，全長(zhǎng)的中誤差為差為nmmSmmm7 . 83590 當(dāng)運(yùn)

24、用量距的鋼尺長(zhǎng)度相等，每尺段的量距中誤差都為mL，那么每公里長(zhǎng)度的量距中誤差mKm也是相等的。當(dāng)對(duì)長(zhǎng)度為S公里的間隔丈量時(shí)，全長(zhǎng)的真誤差將是S個(gè)一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是S公里的中誤差為 式中，S的單位是公里。即：在間隔丈量中，間隔S的量距中誤差與長(zhǎng)度S的平方根成正比。kmsmsm 例例: 為了求得為了求得A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，今自兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，今自A點(diǎn)開(kāi)點(diǎn)開(kāi)場(chǎng)進(jìn)展水準(zhǔn)丈量，經(jīng)場(chǎng)進(jìn)展水準(zhǔn)丈量，經(jīng)n站后測(cè)完。知每站高差的中誤站后測(cè)完。知每站高差的中誤差均為差均為m站，求站，求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。兩點(diǎn)間高差的中誤差。 解：由于解：由于A、B兩點(diǎn)間高差兩點(diǎn)間高差hAB等于各站的觀測(cè)高

25、等于各站的觀測(cè)高差差hii=l，2n之和，之和， 即即: hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 那么那么 即水準(zhǔn)丈量高差的中誤差，與測(cè)站數(shù)即水準(zhǔn)丈量高差的中誤差，與測(cè)站數(shù)n的平方根的平方根成正比。成正比。 站mnmABh 在不同的水準(zhǔn)道路上，即使兩點(diǎn)間的道路長(zhǎng)度一樣，設(shè)站數(shù)不同時(shí)，那么兩點(diǎn)間高差的中誤差也不同。但是，當(dāng)水準(zhǔn)道路經(jīng)過(guò)平坦地域時(shí)，每公里的水準(zhǔn)丈量高差的中誤差可以以為一樣，設(shè)為mkm。當(dāng)A、B兩點(diǎn)間的水準(zhǔn)道路為S公里時(shí)，A、B點(diǎn)間高差的中誤差為22222kmSkmkmkmhmSmmmmAB 個(gè)或或kmhmsmAB 在水準(zhǔn)丈量作業(yè)時(shí)，對(duì)于地形起伏不大的地域或平坦地域，可用 式計(jì)算高

26、差的中誤差； 對(duì)于起伏較大的地域，那么用 式計(jì)算高差的中誤差。 kmABmSmh站mnmABh 例如，知用某種儀器，按某種操作方法進(jìn)展水準(zhǔn)丈量例如，知用某種儀器，按某種操作方法進(jìn)展水準(zhǔn)丈量時(shí)，每公里高差的中誤差為時(shí)，每公里高差的中誤差為20mm，那么按這種水準(zhǔn)，那么按這種水準(zhǔn)丈量進(jìn)展了丈量進(jìn)展了25km后，測(cè)得高差的中誤差為后，測(cè)得高差的中誤差為 mm1002520nnxkxkxkz 221122222112)()()(nnzxkxkxkm 321141149144xxxzmmmmmmmmmxxx6,2,3321mmmz6 . 1614121493144222 式中式中 xi (i=1，2n)

27、為獨(dú)立觀測(cè)值，知其中誤差為獨(dú)立觀測(cè)值，知其中誤差為為mi(i=1 2n)，求，求z的中誤差。的中誤差。 當(dāng)當(dāng)xi具有真誤差具有真誤差時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)Z相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差z。這些真誤差都是一個(gè)小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的這些真誤差都是一個(gè)小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來(lái)表達(dá)。全微分來(lái)表達(dá)。nxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121式中式中 i=l，2n是函數(shù)對(duì)各個(gè)變量所取的偏是函數(shù)對(duì)各個(gè)變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，以觀測(cè)值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，導(dǎo)數(shù)，以觀測(cè)值代人所算出的數(shù)值，它

28、們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為：因此上式是線性函數(shù)可為：ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212 例 設(shè)有某函數(shù)z=Ssin 式中S=150.11m，其中誤差ms=士005m； =1194500，其中誤差m=20.6；求z的中誤差mz。解：由于z=Ssin，所以z是S及a的普通函數(shù)。mmmmsmmzsz44cossin22222 ixfnxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121nnzmxfmxfmxfm22222212212 例如，設(shè)有函數(shù)例如，設(shè)有函數(shù)z=xy，而，而y=3x，此時(shí)，此時(shí)， 。由于。由于x與與y不是獨(dú)立觀測(cè)值，不是獨(dú)立觀測(cè)值， 由于不論由于不論n值

29、多少，恒有值多少，恒有因此，應(yīng)把因此，應(yīng)把Z化成獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)，即化成獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)，即z=x+3x=4x上式中上式中X與與3X兩項(xiàng)是由同一個(gè)觀測(cè)值兩項(xiàng)是由同一個(gè)觀測(cè)值X組成的，必需組成的，必需先并項(xiàng)為先并項(xiàng)為z= 4x 而后求其中誤差，即而后求其中誤差，即mz= 4mx222yxzmmm2333xxxxxyxmnnn 5-5 廣義算術(shù)平均值及權(quán)廣義算術(shù)平均值及權(quán) 假設(shè)對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)展假設(shè)對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)展n n次同精度觀測(cè)，那么其最或次同精度觀測(cè)，那么其最或然值即為然值即為n n次觀丈量的算術(shù)平均值：次觀丈量的算術(shù)平均值：niinllllnnX1211)(1在一樣條件下對(duì)某段長(zhǎng)度進(jìn)展兩組丈

30、量：在一樣條件下對(duì)某段長(zhǎng)度進(jìn)展兩組丈量：lll4,2,1 第一組：第一組： 第二組：第二組：lll10,6,5 算術(shù)平均值分別為L(zhǎng)L21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL,21mmLL其中誤差分別為：其中誤差分別為：2142mmLmmL262241mmL62mmL 全部同精度觀測(cè)值的最或然值為：全部同精度觀測(cè)值的最或然值為： 101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL22222221222121ppLpLpX2122111212121ppLLppXpi在在piLiXLi值的大小表達(dá)了值的大小表達(dá)了中比重的大小，

31、中比重的大小，稱稱為為的權(quán)。的權(quán)。 令iiLLimmmp2222 假設(shè)有不同精度觀測(cè)假設(shè)有不同精度觀測(cè)值值,21LLLn其權(quán)分別為其權(quán)分別為,11pppn該量的最或然值可擴(kuò)展為：該量的最或然值可擴(kuò)展為： ppLXpppLpLpLpnnn212211稱之為廣義算術(shù)平均值加權(quán)平均值。稱之為廣義算術(shù)平均值加權(quán)平均值。 當(dāng)各觀測(cè)值精度一樣時(shí)當(dāng)各觀測(cè)值精度一樣時(shí)ppppn21nppXniinLLLL121) 111 ()(mmmmn21二、 權(quán) 定權(quán)的根本公式：mpii22稱為稱為中誤差中誤差，為單位權(quán)觀測(cè)值，為單位權(quán)觀測(cè)值，當(dāng)觀測(cè)值當(dāng)觀測(cè)值Limi1pi稱為單位權(quán)，稱為單位權(quán)，Li單位權(quán)中誤差。單位權(quán)

32、中誤差。 權(quán)的特性權(quán)的特性mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1: 1 反映了觀測(cè)值的相互精度關(guān)系。反映了觀測(cè)值的相互精度關(guān)系。 3 不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系 。值的值的 大小，對(duì)大小，對(duì)X值毫無(wú)影響。值毫無(wú)影響。2mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1: 4 假設(shè)假設(shè)Li同類量的觀測(cè)值，此時(shí)，權(quán)無(wú)單位。假設(shè)同類量的觀測(cè)值，此時(shí)，權(quán)無(wú)單位。假設(shè) Li是不同類量的觀測(cè)值，權(quán)能否有單位不能是不同類量的觀測(cè)值，權(quán)能否有單位不能一概而論，而視詳細(xì)情況而定。一概而論，而視詳細(xì)情況而定。例：

33、知例：知LLL321,的中誤差分別為：的中誤差分別為：mmmmmmmmm5,4,3321mmm31設(shè)設(shè)133222121mp16943222222mp25953222323mp假設(shè)假設(shè)設(shè)設(shè)mm454, 1,34321ppP36. 0:56. 0:1:321321pppppp1 水準(zhǔn)道路觀測(cè)高差的權(quán)水準(zhǔn)道路觀測(cè)高差的權(quán)例：例：常用定權(quán)公式常用定權(quán)公式h3Dh4ABCh1h2Emnmiihncnmmnpiiii222 當(dāng)各測(cè)站觀測(cè)高差的精度一樣時(shí)，水準(zhǔn)道路當(dāng)各測(cè)站觀測(cè)高差的精度一樣時(shí)，水準(zhǔn)道路觀測(cè)高差的權(quán)與測(cè)站數(shù)成反比。觀測(cè)高差的權(quán)與測(cè)站數(shù)成反比。四條水準(zhǔn)道路分別觀測(cè)了四條水準(zhǔn)道路分別觀測(cè)了3,

34、4, 6, 5 測(cè)站。測(cè)站。mc224322npc令令c=3,13311npc6333npc5344npcm223令令c=4,341/1npc442/2npc643/3npc544/4npcm22460. 0:50. 0:75. 0: 1:/4/3/2/14321pppppppp 水準(zhǔn)道路的長(zhǎng)分別為水準(zhǔn)道路的長(zhǎng)分別為ssss4321,設(shè)每公里水準(zhǔn)丈量觀測(cè)的中誤差為設(shè)每公里水準(zhǔn)丈量觀測(cè)的中誤差為mkmmsmkmihismmspiikmkmi222ckmm2mkmc22spiic 當(dāng)每公里水準(zhǔn)丈量的精度一樣時(shí)，水準(zhǔn)道路觀當(dāng)每公里水準(zhǔn)丈量的精度一樣時(shí)，水準(zhǔn)道路觀測(cè)的權(quán)與道路長(zhǎng)度成反比。測(cè)的權(quán)與道路長(zhǎng)

35、度成反比。3102102104103, 2, 4,10443322114321scpscpscpscpssssc當(dāng)當(dāng),10, 1csscp S= c =10公里 的水準(zhǔn)道路的觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)。mmkm1010公里mmmckmkm公里1010每測(cè)站觀測(cè)高差精度一樣時(shí)：每測(cè)站觀測(cè)高差精度一樣時(shí)：iincp 每公里觀測(cè)高差精度一樣時(shí)：每公里觀測(cè)高差精度一樣時(shí)：iiscp 例例 對(duì)某角作三組同精度觀測(cè)：對(duì)某角作三組同精度觀測(cè)： 第一組測(cè)第一組測(cè)4測(cè)回，算術(shù)平均值為測(cè)回，算術(shù)平均值為 1 第二組測(cè)第二組測(cè)6測(cè)回，算術(shù)平均值為測(cè)回，算術(shù)平均值為 第三組測(cè)第三組測(cè)8測(cè)回，算術(shù)平均值為測(cè)回，算術(shù)平均值為23nmmii22 三 、不同個(gè)數(shù)的同精度觀測(cè)值求得的算術(shù)平均值的權(quán)。222222mnnmmpiiii,22cmcmcnpii由不同個(gè)數(shù)的同精度觀測(cè)值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)由不同個(gè)數(shù)的同精度觀測(cè)值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測(cè)值個(gè)數(shù)成正比。與觀測(cè)值個(gè)數(shù)成正比。4 c令1441p5 . 1462p2483pppppppX32