測量誤差及其產(chǎn)生的原因ppt課件

1、第五章第五章 丈量誤差根本知識丈量誤差根本知識 5-1 丈量誤差概述 先作兩個前提假設： 觀測條件一樣. 對某一量進展一系列的直接觀測在此根底上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號及變化規(guī)律。 先看兩個實例：先看兩個實例：例例1：用名義長度為：用名義長度為30米而實踐長度為米而實踐長度為30.04米的鋼尺量距。米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見下表丈量結(jié)果見下表5-1： 表表5-1 可以看出：可以看出： 從個別誤差來調(diào)查，其符號、數(shù)值一直變化，無任從個別誤差來調(diào)查，其符號、數(shù)值一直變化，無任 何規(guī)律性。何規(guī)律性。 多次反復觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。多次反復觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。

2、引進如下概念：引進如下概念： 在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶爾誤差總是同時產(chǎn)生。在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶爾誤差總是同時產(chǎn)生。 系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應盡能夠地加以矯系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應盡能夠地加以矯正、抵消或減弱。正、抵消或減弱。 對能夠存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多對能夠存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多次觀測，消弱其影響。次觀測，消弱其影響。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求矯正數(shù)：將觀測值加以矯正，消除其影響。求矯正數(shù)：將觀測值加以矯

3、正，消除其影響。 采用合理的觀測方法：如對向觀測。采用合理的觀測方法：如對向觀測。 研討偶爾誤差是丈量學的重要課題。研討偶爾誤差是丈量學的重要課題。 消除或減弱偶爾誤差的有效方法：消除或減弱偶爾誤差的有效方法： 適當提高儀器等級。適當提高儀器等級。 進展多余觀測，求最或是值。進展多余觀測，求最或是值。 假設假設i= Li X i= Li X i=1,2,3,358i=1,2,3,358 負 誤 差 正 誤 差 合 計 誤差區(qū)間 d（） 個數(shù)k 頻率k/n 個數(shù)k 頻率k/n 個數(shù)k 頻率k/n 0 03 3 3 36 6 6 69 9 9 91 12 2 1 12 21 15 5 1 15 5

4、1 18 8 1 18 82 21 1 2 21 12 24 4 2 24 4 4 45 5 4 40 0 3 33 3 2 23 3 1 17 7 1 13 3 6 6 4 4 0 0 0 0. .1 12 26 6 0 0. .1 11 12 2 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 06 64 4 0 0. .0 04 47 7 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 17 7 0 0. .0 01 11 1 0 0 4 46 6 4 41 1 3 33 3 2 21 1 1 16 6 1 13 3 5 5 2 2 0 0 0 0. .1 12 28 8 0 0.

5、 .1 11 15 5 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 05 59 9 0 0. .0 04 45 5 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 14 4 0 0. .0 00 06 6 0 0 9 91 1 8 81 1 6 66 6 4 44 4 3 33 3 2 26 6 1 11 1 6 6 0 0 0 0. .2 24 45 5 0 0. .2 22 27 7 0 0. .1 18 84 4 0 0. .1 12 23 3 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 07 72 2 0 0. .0 03 31 1 0 0. .0 01 17 7 0 0

6、 181 0.505 177 0.495 358 1 1. .0 00 00 0 從表從表5-25-2中可以歸納出偶爾誤差的特性中可以歸納出偶爾誤差的特性 在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶爾誤差在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶爾誤差的絕對值不會超越一定的限值；的絕對值不會超越一定的限值； 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小；的誤差出現(xiàn)的頻率?。?絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的頻率；絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的頻率； 當觀測次數(shù)無限增大時，偶爾誤差的實際平均當觀測次數(shù)無限增大時，偶爾誤差的實際平均值趨近于零。值趨近

7、于零。 用公式表示為：用公式表示為： 實際闡明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而實際闡明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當觀測的個數(shù)愈大且，當觀測的個數(shù)愈大 時，這種特性就表現(xiàn)得愈明時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。顯。 0limlim21 nnnnn-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 圖5-1 頻率直方圖dnk /)(/頻率nk 為了直觀地表示偶爾誤差的正負和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(見以下圖)。 假設誤差的個數(shù)無限增大假設誤差的個數(shù)無限增大(n)，同時又無限減少誤，同時又無限減少誤差的區(qū)間差的

8、區(qū)間d，那么圖，那么圖5-1中各小長條的頂邊的折線就逐漸成中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線，它完好地表示了偶爾誤差出現(xiàn)的概率，它完好地表示了偶爾誤差出現(xiàn)的概率P。 即當即當n時，時，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為 : (5-3) 為規(guī)范差，規(guī)范差的平方為為規(guī)范差，規(guī)范差的平方為 方差。方差。 方差為偶爾誤差平方的實際平均值：方差為偶爾誤差平方的實際平均值：e

9、fy221)(222正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為 : : (5-3)(5-3) efy221)(22 nnnnn 2222212limlim nnnnlimlim2) 45 ( ) 55 ( efy221)(22f()+-11121-+f()2+-221221v 觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù) ；v 觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù)觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù) ；v 具有較小具有較小 的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較陡的趨勢迅速下

10、降；陡的趨勢迅速下降；v 具有具有 較大較大 的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較平緩的趨勢伸展。平緩的趨勢伸展。最大縱坐標點：21efy221)(225-2 5-2 衡量觀測值精度的規(guī)范衡量觀測值精度的規(guī)范一一. .中誤差中誤差 誤差的概率密度函數(shù)為：誤差的概率密度函數(shù)為： 規(guī)范差規(guī)范差 nmef221)(22 nnnnlimlim2 在丈量任務中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，普通采用下述在丈量任務中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，普通采用下述誤差公式：誤差公式： 規(guī)范差規(guī)范差中誤差中誤差 m m 的不同在于觀測個數(shù)的不同在于觀測個數(shù) n n 上

11、；上； 規(guī)范差表征了一組同精度觀測在規(guī)范差表征了一組同精度觀測在(n)(n)時誤差分布的分散特時誤差分布的分散特征，即實際上的觀測目的；征，即實際上的觀測目的； 而中誤差那么是一組同精度觀測在為而中誤差那么是一組同精度觀測在為 n n 有限個數(shù)時求得的觀測有限個數(shù)時求得的觀測精度目的；精度目的； 所以中誤差是規(guī)范差的近似值估值；所以中誤差是規(guī)范差的近似值估值； 隨著隨著 n n 的增大，的增大，m m 將趨近于將趨近于。 nm 根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d d中的概率：中的概率： p( p()=f()=f() d) d 設以設以k k倍中誤差作為區(qū)間，那么

12、在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：倍中誤差作為區(qū)間，那么在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以分別以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得： P( P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P( P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P( P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由此可見：偶爾誤差的絕對值大于由此可見：偶爾誤差的絕對值大于2 2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的倍中誤差的約占誤差總數(shù)的55，而大于，而大于3 3倍的誤差倍的誤差僅占誤差總數(shù)的僅占誤差總數(shù)的0.30.3。 由于普通情況下丈量次數(shù)有限，由于普通情況下丈量次數(shù)

13、有限，3 3倍中誤差很少遇到，倍中誤差很少遇到， 故以故以2 2倍中誤差作為允許的誤差倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為極限，稱為“允許誤差，或允許誤差，或 稱為稱為“限差即容限差即容=2m=2mkmkmdfkmP)()( 在某些丈量任務中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量在某些丈量任務中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。還不能正確反映觀測的質(zhì)量。 例如例如: 用鋼卷尺量用鋼卷尺量200米和米和40米兩段間隔，量距的中誤差都米兩段間隔，量距的中誤差都是是2cm，但不能以為兩者的精度是一樣的，由于量距的誤差，但不能以為兩者的精度是一樣的，由于量距的誤差與其長度有關(guān)。與其長度有

14、關(guān)。 為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的方式來描畫觀測的為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的方式來描畫觀測的質(zhì)量。即質(zhì)量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。 相對中誤差又可要求寫成分子為相對中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即的分式，即 。 上例為上例為 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可見可見: 前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。 與相對誤差相對應，真誤差、中誤差、允許誤差都稱為絕對與相對誤差相對應，真誤差、中誤差、允許誤差都稱為絕對誤差。誤差。N15-3 算術(shù)平均值及其中誤差算術(shù)平均值及其中誤

15、差 設在一樣的觀測條件下對未知量觀測了設在一樣的觀測條件下對未知量觀測了n次出該未知量的最或然值。次出該未知量的最或然值。 ，觀測值為，觀測值為L1、L2Ln，如今要根據(jù)這，如今要根據(jù)這n個觀測值確定個觀測值確定 設未知量的真值為設未知量的真值為X，寫出觀測值的真誤差，寫出觀測值的真誤差公式為公式為i= Li-X (i=1,2n)將上式相加得將上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX 設以設以x表示上式右邊第一項的觀測值的算術(shù)平均值，表示上式右邊第一項的觀測值的算術(shù)平均值， 即即以以X表示算術(shù)平均值的真誤差，即表示算術(shù)平均值的真誤差，即 代入上式，那么得代入上式，那么得由偶

16、爾誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)無限增多時，由偶爾誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)無限增多時， x趨近于零，即趨近于零，即:也就是說，也就是說，n趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值。趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值。 nLx nxxxX0limxn 如今來推導算術(shù)平均值的中誤差公式。如今來推導算術(shù)平均值的中誤差公式。 由于由于式中，式中，1n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度一樣，為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度一樣，設其中誤差均為設其中誤差均為m?，F(xiàn)以。現(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤表示算術(shù)平均值的中誤差，那么可得算術(shù)平均值的中誤差為差，那么可得算術(shù)平均值的中誤差為nLnLnLxn 21故 該式即算術(shù)平均值

17、的中誤差公式。該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。 nmmnmnmnmnx22222222111 項nmmx 三、同精度觀測值的中誤差 同精度觀測值中誤差的計算公式為而 這是利用觀測值真誤差求觀測值中誤差的定義公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真誤差也就不知道了。所以，普通不能直接利用上式求觀測值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測值的差數(shù)也可以求得，即nmniXLii , 2 , 1niLxvii , 2 , 1因因n為有限值，故在適用上可以用為有限值，故在適用上可以用x的中誤差近似地替代的中誤差近似地替代x的真誤差，即的真誤差，即 為用矯正數(shù)來求觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾

18、公為用矯正數(shù)來求觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾公式。式。 用矯正數(shù)計算最或然值中誤差的公式為用矯正數(shù)計算最或然值中誤差的公式為 1nvvm ) 1( nnvvm 5-4 誤差傳播定律 在實踐任務中有許多未知量不能直接觀測而求其值，需求由觀測值間接計算出來。例如某未知點B的高程HB，是由起始點A的高程HA加上從A點到B點間進展了假設干站水準丈量而得來的觀測高差h1hn求和得出的。這時未知點B的高程H。是各獨立觀測值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？ 論述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。 一、倍數(shù)的函數(shù) 設有函數(shù)： Z為觀測值的函數(shù)，K為常

19、數(shù)，X為觀測值，知其中誤差為mx，求Z的中誤差mZ。 設x和z的真誤差分別為x和z那么： 假設對x 共觀測了n次，那么： 將上式平方，得： 求和，并除以n，得kxz xzk)2 , 1(nikxizi )2 , 1(222nikxizi nknxz222nmnmxxzz22xzxzkmmmkm222nmnmxxzz22 例： 在1：500比例尺地形圖上，量得A、 B兩點間的間隔SAB=23.4mm，其中誤差msab=土0.2mm，求A、B間的實地間隔SAB及其中誤差msAB。 解：由題意： SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500士0.2

20、=土100mm土0.1m 最后答案為：SAB=11.7m士0.1m 二、和或差的函數(shù)二、和或差的函數(shù) 設有函數(shù)：設有函數(shù)： Z為為x、y的和或差的函數(shù)，的和或差的函數(shù)，x、y為獨立觀測值，知為獨立觀測值，知其中誤差為其中誤差為mx、my，求，求Z的中誤差的中誤差mZ。 設設x、y和和z的真誤差分別為的真誤差分別為x、y和和z那么那么 假設對假設對x、y 均觀測了均觀測了n次，那么次，那么 將上式平方，得將上式平方，得yxzyxz)2 , 1(niyixizi )2 , 1(2222niyii xyixizi 由于x、y均為偶爾誤差，其符號為正或負的時機一樣，由于x、y為獨立誤差，它們出現(xiàn)的正、

21、負號互不相關(guān)，所以其乘積xy也具有正負時機一樣的性質(zhì)，在求xy時其正值與負值有相互抵消的能夠；當n愈大時，上式中最后一項xy/n將趨近于零，即求和，并除以求和，并除以n，得，得 nnnnyxyxz22220limnnyx 將滿足上式的誤差x、y稱為相互獨立的誤差，簡稱獨立誤差，相應的觀測值稱為獨立觀測值。對于獨立觀測值來說，即使n是有限量，由于 式殘存的值不大， 普通就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得222yxzmmm 即，兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，即，兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方之和。等于兩觀測值中誤差的平方之和。0limnnyx 當當z是一組觀測值是一組觀測值X1

22、、X2Xn代數(shù)和差的函代數(shù)和差的函數(shù)時，即數(shù)時，即nxxxz 21可以得出函數(shù)可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為：的中誤差平方為： 式中式中mximxi是觀測值是觀測值xixi的中誤差。的中誤差。即，即，n n個觀測值代數(shù)和差的中誤差平方，等于個觀測值代數(shù)和差的中誤差平方，等于n n個觀測值中誤差平方之和。個觀測值中誤差平方之和。222221xnxxzmmmm 當諸觀測值當諸觀測值xi為同精度觀測值時，設其中誤差為為同精度觀測值時，設其中誤差為m，即即 mx1=mx2=mxn=m那么為那么為這就是說，在同精度觀測時，觀測值代數(shù)和差的中這就是說，在同精度觀測時，觀測值代數(shù)和差的中誤差，與觀測值個數(shù)誤差

23、，與觀測值個數(shù)n的平方根成正比。的平方根成正比。 例設用長為例設用長為L的卷尺量距，共丈量了的卷尺量距，共丈量了n個尺段，知每個尺段，知每尺段量距的中誤差都為尺段量距的中誤差都為m，求全長，求全長S的中誤差的中誤差ms。解：由于全長解：由于全長S=LLL式中共有式中共有n個個L。而而L的中誤差為的中誤差為m。 量距的中誤差與丈量段數(shù)量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。的平方根成正比。nmmznmmS 例如以例如以 30m長的鋼尺丈量長的鋼尺丈量 90m的間隔，當?shù)拈g隔，當每尺段量距的中誤差為每尺段量距的中誤差為5mm時，全長的中誤時，全長的中誤差為差為nmmSmmm7 . 83590 當運

24、用量距的鋼尺長度相等，每尺段的量距中誤差都為mL，那么每公里長度的量距中誤差mKm也是相等的。當對長度為S公里的間隔丈量時，全長的真誤差將是S個一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是S公里的中誤差為 式中，S的單位是公里。即：在間隔丈量中，間隔S的量距中誤差與長度S的平方根成正比。kmsmsm 例例: 為了求得為了求得A、B兩水準點間的高差，今自兩水準點間的高差，今自A點開點開場進展水準丈量，經(jīng)場進展水準丈量，經(jīng)n站后測完。知每站高差的中誤站后測完。知每站高差的中誤差均為差均為m站，求站，求A、B兩點間高差的中誤差。兩點間高差的中誤差。 解：由于解：由于A、B兩點間高差兩點間高差hAB等于各站的觀測高

25、等于各站的觀測高差差hii=l，2n之和，之和， 即即: hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 那么那么 即水準丈量高差的中誤差，與測站數(shù)即水準丈量高差的中誤差，與測站數(shù)n的平方根的平方根成正比。成正比。 站mnmABh 在不同的水準道路上，即使兩點間的道路長度一樣，設站數(shù)不同時，那么兩點間高差的中誤差也不同。但是，當水準道路經(jīng)過平坦地域時，每公里的水準丈量高差的中誤差可以以為一樣，設為mkm。當A、B兩點間的水準道路為S公里時，A、B點間高差的中誤差為22222kmSkmkmkmhmSmmmmAB 個或或kmhmsmAB 在水準丈量作業(yè)時，對于地形起伏不大的地域或平坦地域，可用 式計算高

26、差的中誤差； 對于起伏較大的地域，那么用 式計算高差的中誤差。 kmABmSmh站mnmABh 例如，知用某種儀器，按某種操作方法進展水準丈量例如，知用某種儀器，按某種操作方法進展水準丈量時，每公里高差的中誤差為時，每公里高差的中誤差為20mm，那么按這種水準，那么按這種水準丈量進展了丈量進展了25km后，測得高差的中誤差為后，測得高差的中誤差為 mm1002520nnxkxkxkz 221122222112)()()(nnzxkxkxkm 321141149144xxxzmmmmmmmmmxxx6,2,3321mmmz6 . 1614121493144222 式中式中 xi (i=1，2n)

27、為獨立觀測值，知其中誤差為獨立觀測值，知其中誤差為為mi(i=1 2n)，求，求z的中誤差。的中誤差。 當當xi具有真誤差具有真誤差時，函數(shù)時，函數(shù)Z相應地產(chǎn)生真誤差相應地產(chǎn)生真誤差z。這些真誤差都是一個小值，由數(shù)學分析可知，變量的這些真誤差都是一個小值，由數(shù)學分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達。全微分來表達。nxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121式中式中 i=l，2n是函數(shù)對各個變量所取的偏是函數(shù)對各個變量所取的偏導數(shù)，以觀測值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，導數(shù)，以觀測值代人所算出的數(shù)值，它

28、們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為：因此上式是線性函數(shù)可為：ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212 例 設有某函數(shù)z=Ssin 式中S=150.11m，其中誤差ms=士005m； =1194500，其中誤差m=20.6；求z的中誤差mz。解：由于z=Ssin，所以z是S及a的普通函數(shù)。mmmmsmmzsz44cossin22222 ixfnxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121nnzmxfmxfmxfm22222212212 例如，設有函數(shù)例如，設有函數(shù)z=xy，而，而y=3x，此時，此時， 。由于。由于x與與y不是獨立觀測值，不是獨立觀測值， 由于不論由于不論n值

29、多少，恒有值多少，恒有因此，應把因此，應把Z化成獨立觀測值的函數(shù)，即化成獨立觀測值的函數(shù)，即z=x+3x=4x上式中上式中X與與3X兩項是由同一個觀測值兩項是由同一個觀測值X組成的，必需組成的，必需先并項為先并項為z= 4x 而后求其中誤差，即而后求其中誤差，即mz= 4mx222yxzmmm2333xxxxxyxmnnn 5-5 廣義算術(shù)平均值及權(quán)廣義算術(shù)平均值及權(quán) 假設對某個未知量進展假設對某個未知量進展n n次同精度觀測，那么其最或次同精度觀測，那么其最或然值即為然值即為n n次觀丈量的算術(shù)平均值：次觀丈量的算術(shù)平均值：niinllllnnX1211)(1在一樣條件下對某段長度進展兩組丈

30、量：在一樣條件下對某段長度進展兩組丈量：lll4,2,1 第一組：第一組： 第二組：第二組：lll10,6,5 算術(shù)平均值分別為LL21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL,21mmLL其中誤差分別為：其中誤差分別為：2142mmLmmL262241mmL62mmL 全部同精度觀測值的最或然值為：全部同精度觀測值的最或然值為： 101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL22222221222121ppLpLpX2122111212121ppLLppXpi在在piLiXLi值的大小表達了值的大小表達了中比重的大小，

31、中比重的大小，稱稱為為的權(quán)。的權(quán)。 令iiLLimmmp2222 假設有不同精度觀測假設有不同精度觀測值值,21LLLn其權(quán)分別為其權(quán)分別為,11pppn該量的最或然值可擴展為：該量的最或然值可擴展為： ppLXpppLpLpLpnnn212211稱之為廣義算術(shù)平均值加權(quán)平均值。稱之為廣義算術(shù)平均值加權(quán)平均值。 當各觀測值精度一樣時當各觀測值精度一樣時ppppn21nppXniinLLLL121) 111 ()(mmmmn21二、 權(quán) 定權(quán)的根本公式：mpii22稱為稱為中誤差中誤差，為單位權(quán)觀測值，為單位權(quán)觀測值，當觀測值當觀測值Limi1pi稱為單位權(quán)，稱為單位權(quán)，Li單位權(quán)中誤差。單位權(quán)

32、中誤差。 權(quán)的特性權(quán)的特性mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1: 1 反映了觀測值的相互精度關(guān)系。反映了觀測值的相互精度關(guān)系。 3 不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系 。值的值的 大小，對大小，對X值毫無影響。值毫無影響。2mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1: 4 假設假設Li同類量的觀測值，此時，權(quán)無單位。假設同類量的觀測值，此時，權(quán)無單位。假設 Li是不同類量的觀測值，權(quán)能否有單位不能是不同類量的觀測值，權(quán)能否有單位不能一概而論，而視詳細情況而定。一概而論，而視詳細情況而定。例：

33、知例：知LLL321,的中誤差分別為：的中誤差分別為：mmmmmmmmm5,4,3321mmm31設設133222121mp16943222222mp25953222323mp假設假設設設mm454, 1,34321ppP36. 0:56. 0:1:321321pppppp1 水準道路觀測高差的權(quán)水準道路觀測高差的權(quán)例：例：常用定權(quán)公式常用定權(quán)公式h3Dh4ABCh1h2Emnmiihncnmmnpiiii222 當各測站觀測高差的精度一樣時，水準道路當各測站觀測高差的精度一樣時，水準道路觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。四條水準道路分別觀測了四條水準道路分別觀測了3,

34、4, 6, 5 測站。測站。mc224322npc令令c=3,13311npc6333npc5344npcm223令令c=4,341/1npc442/2npc643/3npc544/4npcm22460. 0:50. 0:75. 0: 1:/4/3/2/14321pppppppp 水準道路的長分別為水準道路的長分別為ssss4321,設每公里水準丈量觀測的中誤差為設每公里水準丈量觀測的中誤差為mkmmsmkmihismmspiikmkmi222ckmm2mkmc22spiic 當每公里水準丈量的精度一樣時，水準道路觀當每公里水準丈量的精度一樣時，水準道路觀測的權(quán)與道路長度成反比。測的權(quán)與道路長

35、度成反比。3102102104103, 2, 4,10443322114321scpscpscpscpssssc當當,10, 1csscp S= c =10公里 的水準道路的觀測高差為單位權(quán)觀測。mmkm1010公里mmmckmkm公里1010每測站觀測高差精度一樣時：每測站觀測高差精度一樣時：iincp 每公里觀測高差精度一樣時：每公里觀測高差精度一樣時：iiscp 例例 對某角作三組同精度觀測：對某角作三組同精度觀測： 第一組測第一組測4測回，算術(shù)平均值為測回，算術(shù)平均值為 1 第二組測第二組測6測回，算術(shù)平均值為測回，算術(shù)平均值為 第三組測第三組測8測回，算術(shù)平均值為測回，算術(shù)平均值為23nmmii22 三 、不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值的權(quán)。222222mnnmmpiiii,22cmcmcnpii由不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)由不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測值個數(shù)成正比。與觀測值個數(shù)成正比。4 c令1441p5 . 1462p2483pppppppX32