圓柱和圓錐的體積

1、美吉數(shù)學(xué)圓柱和圓錐的體積（一）u 【知識(shí)點(diǎn)1】 要素立體圖形棱面頂點(diǎn)數(shù)量特征數(shù)量特征數(shù)量特征長(zhǎng)方體12互相平行的棱長(zhǎng)度相等6相對(duì)的面完全相同8同一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱分別叫做長(zhǎng)、寬、高特殊長(zhǎng)方體12垂直于正方形面的棱長(zhǎng)度相等6兩個(gè)面是正方形，其余四個(gè)面是完全相同的長(zhǎng)方形8正方體12所有的棱長(zhǎng)度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一個(gè)長(zhǎng)方體至少可以有兩個(gè)面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不會(huì)存在3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)面是正方形！u 【知識(shí)點(diǎn)2】長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）×4 L=（abh）×4 長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷4寬 高 a=L÷4bh寬=棱長(zhǎng)總和

2、7;4長(zhǎng) 高 b=L÷4ah高=棱長(zhǎng)總和÷4長(zhǎng) 寬 h=L÷4ab正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12 L=a×12 正方體的棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷12 a=L÷12長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬長(zhǎng)×高寬×高）×2 S=2（abahbh）無底（或無蓋）長(zhǎng)方體表面積= 長(zhǎng)×寬（長(zhǎng)×高寬×高）×2 S=2（abahbh）ab S=2（ahbh）ab無底又無蓋長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×高寬×高）×2 S=2（ahbh）正方體的表面積=棱長(zhǎng)×

3、;棱長(zhǎng)×6 S=a×a×6 u 【知識(shí)點(diǎn)3】物體所占空間的大小叫做物體的體積。 長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高 V=abh 長(zhǎng)=體積÷寬÷高 a=V÷b÷h 寬=體積÷長(zhǎng)÷高 b=V÷a÷h 高=體積÷長(zhǎng)÷寬 h= V÷a÷b正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) V=a×a×a= a3 u 【知識(shí)點(diǎn)2】長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高 正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) ×棱長(zhǎng)

4、把圓柱的底面平均分的份數(shù)越多，切拼成的立體圖形越接近長(zhǎng)方體。圓柱的體積= 圓柱體的大小與底面積有關(guān)！高相等時(shí)底面積越大的體積越大圓錐的體積= 圓錐的體積V等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一圓柱與圓錐的體積之間有什么關(guān)系？等底等高圓錐體積是圓柱體積的三分之一等底等高圓柱體積是圓錐體積的3倍圓柱圓錐底 面都是圓 形一個(gè)底面，是圓形。側(cè)面曲面，沿高剪開，展開后是 長(zhǎng)方形曲面，沿頂點(diǎn)到底面圓周上的一條線 段剪開，展開后是扇形。高兩個(gè)底面之間的距離，有無 數(shù)條頂點(diǎn)到底面圓心的距離，只有一條。例 1、求下面立體圖形的底面周長(zhǎng)和底面積。半徑3厘米 直徑10米等高等積：比較底圓柱底是圓錐底的（ ），圓錐底是

5、圓柱底的（ ）；圓柱底比圓錐底（ ），圓錐底比圓柱底（ ）。想一想：把一個(gè)圓柱的底面平均分成若干個(gè)扇形，然后切開拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，表面積比原來增加了200平方厘米。已知圓柱高20厘米，求圓柱的體積。等底等積：比較高圓柱高是圓錐高的（ ），圓錐高是圓柱高的（ ）；圓柱高比圓錐高（ ），圓錐高比圓柱高（ ）。等底等高：比較體積圓柱體積是圓錐體積的（ ），圓錐體積是圓柱體積的（ ）；圓柱體積比圓錐體積（ ），圓錐體積比圓錐體積（ ）。例2 拼、切圓柱把一個(gè)高是6分米的圓柱，沿著底面直徑豎直切開，平均分成兩半，表面積增加48平方分米。原來這個(gè)圓柱的體積是多少立方分米？練一練1、把一個(gè)長(zhǎng)3分米的圓柱

6、，平均分成兩段圓柱，表面積增加6.28平方分米。原來這個(gè)圓柱體積是多少立方分米？2、把3完全一樣的圓柱，連接成一個(gè)大圓柱，長(zhǎng)9厘米，表面積減少12.56平方分米。原來每個(gè)圓柱的體積是多少立方厘米？例3 加工圓柱一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)8厘米，寬6厘米，高8厘米。把它削成一個(gè)最大的圓柱，這個(gè)圓柱體積是多少立方厘米？練一練1、把一個(gè)棱長(zhǎng)是8分米的正方體鍛造成一個(gè)高是12分米的圓柱體，這個(gè)圓柱體的底面積是多少？2、把一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體木塊，削成一個(gè)最大的一圓柱體，這個(gè)圓柱的體積是多少立方分米？例4 求空心管的表面積和體積有一個(gè)圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的直孔，如下圖

7、圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米如果將這個(gè)零件接觸空氣部分涂上防銹漆，一共需涂多少平方厘米？練一練明明做一個(gè)直徑20cm，高30cm的圓柱形燈籠，（如下圖）。上下底面中間分別留出了直徑是10cm的圓形口，他用了多少彩紙？例5 巧求體積如圖，一個(gè)膠水瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積為32.4立方厘米。當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)膠水液面高為8厘米；瓶子倒放時(shí)，空余部分高為2厘米。請(qǐng)你算一算，瓶?jī)?nèi)膠水的體積是多少立方厘米？ 練一練一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖已知它的容積為26.4立方厘米當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)的酒精的液面高為6厘米瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米問：瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多

8、少立方厘米？合多少升？  圓柱和圓錐的體積（二）等底等高：比較體積圓柱體積是圓錐體積的（ ），圓錐體積是圓柱體積的（ ）；圓柱體積比圓錐體積（ ），圓錐體積比圓錐體積（ ）。例1等高等積：比較底圓柱底是圓錐底的（ ），圓錐底是圓柱底的（ ）；圓柱底比圓錐底（ ），圓錐底比圓柱底（ ）。小練習(xí)：（1） 一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐等底等高，如果要使它們的體積相等，則圓錐的高要 ( ) ，或者把圓柱的高 ( )；也可以把圓錐的底面積( ) ，或者把圓柱的底面積( )。（2） 一個(gè)圓柱的體積是 300 立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是( )立方厘米。（3）一個(gè)圓柱的體積是 60 立方分米，比與它

9、等底等高的圓錐的體積多( )立方分米。（4） 把一個(gè)圓柱切削成一個(gè)最大的圓錐，已知削去部分的體積比圓錐體積大3.6立方分米，那么圓錐的體積是（ ）立方分米。（5） 一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱等底等高，它們的體積之和是 120 立方分米，這個(gè) 圓柱的體積是( )立方分米；圓錐體積比圓柱少( )立方分米。例2 按某條軸旋轉(zhuǎn)得到圓柱體或圓錐體（或以一條邊為軸）有一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為3分米、4分米和5分米。如果以其中的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形的體積是多少?練一練1、一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是4厘米和3厘米。如果以長(zhǎng)為4厘米的直角邊為旋轉(zhuǎn)軸一周，可以得到一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的體積

10、是多少立方厘米？2、一個(gè)直角三角形的三條邊分別為5厘米，12厘米和13厘米，如果以其中的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形的體積是多少?例3一個(gè)裝滿小麥的糧囤，上面是一個(gè)圓錐形，下面是圓柱形。量得圓柱的底面周長(zhǎng)是6.28米，高是2米，圓錐的高是0.6米。如果每立方米小麥重750千克，這囤小麥大約有多少千克？練一練1、有一種容器，它的下半部分是圓錐，上半部分是圓柱，圓錐的直徑是10厘米，高3厘米，圓柱的直徑8厘米，高是10厘米?，F(xiàn)在用這種容器裝油，圓錐部分裝滿，圓柱部分裝了2厘米，如果將這種容器倒立，那么此時(shí)油的高度是多少？2、如圖，有一個(gè)下面是圓柱，上面是圓錐的容器，圓柱的高是10厘米，圓錐的

11、高是6厘米，容器內(nèi)液面的高是7厘米。當(dāng)將這個(gè)容器倒過來放時(shí)，從圓錐的尖到液面的高是多少厘米？例4一個(gè)底面直徑是40里面的圓柱形玻璃杯裝有一些水，一個(gè)底面直徑是20厘米、高為15厘米的圓錐形鉛錐完全沒入水中，當(dāng)取出鉛錘后，杯里的水面下降幾厘米？練一練1、一個(gè)圓柱形容器，底面半徑10cm，里面盛有不滿的水，現(xiàn)將一個(gè)底面積為157cm2的圓錐形鐵塊浸沒在容器內(nèi)，水面上升了1cm，求圓錐形鐵塊的高是多少厘米。2、在一個(gè)高為8厘米、容積為50毫升的圓柱形容器A里面裝滿了水?，F(xiàn)把長(zhǎng)16厘米的圓柱B垂直放入，使B的底面與A的底面接觸，這時(shí)一部分水從容器中溢出，當(dāng)把B從A中拿起后，A中的水高度為6厘米，求圓柱

12、體B的體積。課后作業(yè)（一）1、 填空不困難，全對(duì)不簡(jiǎn)單。（1） 圓柱的底面積為S，高為h，它的體積V（ ）。（2） 圓柱的底面半徑是r，高為h，它的體積V( )。（3） 6.4立方米（ ）立方分米 2升25毫升（ ）升( )立方分米（4） 把高2m 圓柱鋸成兩段，表面積增加了20m2，原來這個(gè)圓柱的體積是（ ）。（5）圓柱的底面周長(zhǎng)6.28cm，高10cm，這個(gè)圓柱的表面積是（ ），體積是（ ）。（6）把一個(gè)圓柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)正方形，圓柱的底面半徑是10cm，這個(gè)圓柱的高是（ ）cm，體積是（ ）cm2。（7）一個(gè)圓柱的體積是21dm3，把它削成一個(gè)最大的圓錐，圓錐的體積是（ ）dm3。

13、2、 我是小法官，對(duì)錯(cuò)我會(huì)判。（1） 圓錐的側(cè)面是三角形。（ ）（2） 圓錐只有一條高。（ ）（3）一個(gè)圓柱的高縮小到原來的二分之一，底面半徑擴(kuò)大到原來的2倍，體積不變。（ ）（4）把一個(gè)圓柱的底面半徑和高都擴(kuò)大到原來的2倍，體積就擴(kuò)大到原來的8倍。（ ）（5）把1dm3的物體放在桌上，它所占桌面的面積是1dm2。（ ）3、慧眼識(shí)珠，我會(huì)選。 A.側(cè)面積 B.表面積 C.體積 D.容積（1） 一只圓柱形水桶能裝多少升水，是求水桶的（ ）。（2） 做一節(jié)圓柱形通風(fēng)管要用多少鐵皮，是求通風(fēng)管的（ ）。（3） 一段圓柱形鐵條有多少立方米，是求它的（ ）。（4） 做一只圓柱形的油桶，至少要用多少鐵皮，

14、是求油桶 （ ）。4、大親公園新建一個(gè)圓柱形水池，它的容積是84.78m3，底面積是28.26m2。現(xiàn)在水池里裝水量為水池容積的六分之五，水深是多少米？5、一個(gè)圓柱形糧囤，量得底面周長(zhǎng)9.42m，高是4m，每立方米小麥約重650kg。這個(gè)糧囤大約能裝上麥多少千克？6、用鐵皮制作2個(gè)圓柱形水桶（無蓋），底面半徑為12厘米，高為35厘米。制作這樣2個(gè)水桶需要用鐵皮多少平方分米？這2個(gè)桶最多可盛水多少升？7、有一個(gè)圓柱形儲(chǔ)糧桶，容量是3.14m³，桶深2米，把這個(gè)桶裝滿稻谷后再在上面把稻谷堆成一個(gè)高0.3米的圓錐。這個(gè)儲(chǔ)糧桶裝的稻谷體積是多少立方米？（得數(shù)保留兩位小數(shù)）8、一根底面直徑是2

15、分米、長(zhǎng)是2米的圓木，要鋸成橫截面是最大的正方形的方木，需要鋸下多少木料？9、一個(gè)圓柱形容器的底面半徑是4分米，高6分米，里面盛滿水，把水倒在棱長(zhǎng)是8分米的正方體容器內(nèi)，水深是多少分米？8cm10、如圖，一個(gè)圓柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面積將增加25.12平方厘米，求原來圓柱的體積。 課后作業(yè)（二）一、填空 一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的體積和底面積都相等，圓柱的高是 9 分米,圓錐的高是 ( )分米。 一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱等底等積，圓錐的高是 24 厘米，圓柱的高比圓錐矮 ( ) 厘米。 如果圓柱與圓錐等積等底，它們高的相差 12 厘米，則圓柱的高是 ( )厘米；它們高的和是 ( )厘

16、米。（4） 一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的高相等，體積也相等,圓錐的底面積是90平方厘米, 圓柱的底面積是 ( )平方厘米。（5） 一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐等積等高，如果圓柱的底面積是60平方厘米，則它們的的底面積之和是( )平方厘米。（6） 已知一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體的底面積相等, 高也相等，圓柱的體積和圓錐體積的關(guān)系是： A. 圓柱的體積是圓錐體積的 。 B. 圓錐的體積是圓柱體積的 。 C. 圓柱的體積比圓錐體積 。 D. 圓錐的體積比圓柱體積 。 E. 圓柱與圓錐體積之比是 。 F. 圓錐與圓柱體積之比是 2、填表。（單位：cm）直徑高側(cè)面積表面積體積36412.56656.523、 求下面圖形的體積

17、。（單位：cm） 三、應(yīng)用題1、一個(gè)體積是1413dm3的鐵塊，可以鍛造成多少個(gè)底面積是28.26dm2，高是5dm的圓錐形零件？2、把一根圓柱形木材沿底面直徑切開成兩個(gè)半圓柱體，已知一個(gè)剖面的面積是960平方厘米，半圓柱的體積是30144立方厘米，求原來圓柱形木材的體積和側(cè)面積。3、一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體等底等高，它們的體積相差50.24立方厘米。如果圓錐體的底面半徑是2厘米，這個(gè)圓錐體的高是多少厘米？4、一個(gè)直角三角形，三條直角邊分別是6厘米，8厘米和10厘米，沿斜邊旋轉(zhuǎn)一周后，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)體的體積是多少？5、在一只底面半徑為10厘米的圓柱形玻璃容器中，水深8厘米，要在容器中放入長(zhǎng)和寬都是8厘米，高15厘米的一塊鐵塊