第04章插值法-02-牛頓插值

1、第四章 插值法教 師：周輝 陳漢明電子郵箱：辦 公 室：地質(zhì)樓524電 話：89731005地球物理與信息工程學院計算方法 引言 回顧拉格朗日插值方法，其插值公式為：001110011100( )( )()().()().()()().()().()nnkkknkknkkkkkkkkknnnikkikii kL xlx yxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxx 1, 0, 0, 1, ., , kiiklxin ik其中插值基函數(shù)滿足第四章 插值法（1）優(yōu)點：形式對稱，計算較方便且易于編程拉格朗日插值多項式的特點（2）缺點：插值基函數(shù)依賴全部節(jié)點，每增加一個節(jié)點， 基函數(shù)需要重新

2、計算！ 01110111kknkkkkkkkknxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx為了克服這個缺點，引入牛頓插值法。第四章 插值法 引言 4.2 牛頓（Newton）插值為了使牛頓插值多項式具有承襲性，令插值函數(shù)具有下列形式：來確定。0011010011( ) nnnnnNxaaaaaxxaxxxxxx其中 為待定系數(shù)，它們可由插值條件, 0,1,njjNxf xjn稱為牛頓插值基函數(shù)。為求出Nn(x)，利用插值條件，引出差商的概念。 0111, , 1iiixxxxxin01, , ., naaa上式中第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值（1）函數(shù) 在點 處的零階差商為：

3、( )f xix iif xfx（2）函數(shù) 在點 的一階差商為：( )f x, ijxx , ijijjiijijijjif xfxfxfxfxfxfxxxxxxxx （3）函數(shù) 在點 的二階差商為：( )f x, , ijkxxx1.差商的定義第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值 , , , , ijjkijjkijjkijkikikjkijijjkijjkijjkikjkiikjijkikijjkjiikijjifxfxfxfxfxxfxxxxxxfxxxxxxxxxfxfxxxfxfxxxxxxxxxxxxxfxxxfxxxfxxxxxxxfxfxxxxxxxx 01njkjj

4、kkikjnjfxfxxxxxxx1.差商的定義第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值（4）一般地，函數(shù) 在點 處的n 階差商為：( )f x01, , ., nxxx0111010, , , , , , , , nnnnf xxxf xxf xxxxx1.差商的定義第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值 000000limlim, xxxxfxfxfxxfxxx故一階差商是微商的離散形式。 k 階差商為 k-1 階差商的差商。因而當 k-1 階差商為常數(shù)時，k 階差商為0。 差商與插值節(jié)點的排列順序無關(guān)，例如, , , , , , , , ijjiijkjikkjifxxfx

5、xfxxxfxxxfxxx2.差商的特點第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值 010011.nnnN xaa x xa x xx xx x 利用插值條件，, 0, 1, , njjNxf xjn 000af xf x 01101aa xxf x（1）取 時，（2）取 時，0 xx1xx 1010110 , f xf xaf x xxx確定 n 階牛頓多項式的系數(shù)，（零階差商）（一階差商）第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值 0120220212aa xxa xxxxf x1201201220, , , , f x xf x xaf x x xxx（3）取 時，2xx（二階差

6、商） 00100120101011, , , , ,., nnnNxf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxxx因此猜測牛頓插值多項式為：第四章 插值法n階差商二階差商一階差商4.2 牛頓（Newton）插值第四章 插值法 102020102202120101020101020212010102020211012100200212001002021102f xf xf xf xxxxxaxxxxf xf xf xf xxxxxxxxxxxxxf xf xxxf xf xxxxxxxxxx f xx f xx f xx f xx f xx f xx f xx f xxxxxxxx

7、10021102202110012012020112102021, ,x f xxxf xxxf xxxxxxxf xf xf xf x x xxxxxxxxxxxxx關(guān)于a2的推導4.2 牛頓（Newton）插值驗證猜測，由差商的定義可知： 000001011010120122011010, , , , , , , , , , , , , , ,., , ,., , ,., ()nnnnf xf xf x xxxf x xf xxf x xxxxf x xxf xxxf x xxxxxf x xxxf xxxf x xxxx將代入得 001001011, +, , =f xf xf xxxx

8、f x xxxxxxNxR x第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值將代入得 00100120101201222, +, , +, , , =f xf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxxNxRx010120122, , , , , , , f x xxf xxxf x xxxxx 00100101, +, , f xf xf xxxxf x xxxxxx第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值 012010010010110101, , , , , , , , nnnnf xf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxxxf xxxxxxxxxx

9、類似逐次將各式代入前一公式可得：則可知 10000101120011, , , , ,., nnnNxf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxxx 0011, ,., ,nnR xfxxxxxxxxxx為 n 次牛頓插值公式的余項。為滿足插值條件 的牛頓插值多項式。, 0, 1, , njjNxf xjn第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值 拉格朗日和牛頓插值法都是多項式插值，根據(jù)上一小節(jié)的插值多項式唯一性定理，定理定理5.1：在n+1個互異節(jié)點 滿足插值條件0, 1, ., ix in , 0, 1, ., niipxf xin的次數(shù)不超過n的多項式 存在且唯一。ni

10、px牛頓插值法應(yīng)等價于拉格朗日插值法第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值 101( )nnnkkknxL xyxxx 10000101120011, , , , ,., nnnNxf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxxx1100( )(), ()()nnninkkiiii kxxxxxx其中， nnNxLx牛頓法拉格朗日法第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值性質(zhì)10101 , , , kikjkjfxf xxxx無論如何安排插值節(jié)點的順序，只要節(jié)點相同它們所對應(yīng)的差商值是相同的。 對比 與 的最高次項系數(shù)可得：( )nNx( )nL x01 , , , k

11、f xxx可表示為 的01 , , , kfxfxfx線性組合，性質(zhì)2 差商與插值節(jié)點的排列順序無關(guān)（對稱性），例如, , ijjifxxfxx第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值，因而當 f 有n+1階導數(shù)時有以下等式， R xR x (1)011, , , 1 !nnnnff x xxxxn進一步可得到：又可知性質(zhì)3 差商與導數(shù)的關(guān)系 010, , , , , !nnnff xxxxxn第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值可知，每增加一個結(jié)點，Newton插值多項式只增加了一項，克服了Lagrange插值的缺點。 注意：注意：n次代數(shù)插值問題的解是存在且唯一的，因此，N

12、ewton 插值多項式與Lagrange插值多項式只是形式上不同，若將它們按x 的冪展開，所得的多項式是完全一樣的。并且由 10000101120011, , , , ,., nnnNxf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxxx第四章 插值法4.2 牛頓（Newton）插值牛頓插值法需要計算差商，可用差商表計算xi零階差商一階差商二階差商三階差商x0f (x0)x1f (x1)f x0,x1x2f (x2)f x1,x2f x0,x1,x2x3f (x3)f x2,x3f x1,x2,x3f x0,x1,x2 ,x3fx1, x2- fx0, x1x2 x0第四章 插值法4.2

13、 牛頓（Newton）插值0.400.550.650.800.901.05()0.410750.578150.696750.88811 1.026521.25386kkxf x已知 f(x)=sh(x) 的函數(shù)值如下表2 0.65 0.69675 1.1860 0.28003 0.80 0.88811 1.2757 0.3588 0.1974 0.90 1.02652 1.3841 0.4336 0.214 0.0345 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.231 0.0340 0.40 0.410751 0.55 0.57815 1.1160k xif (xi)一階差商 二階差商 三階差商四階差商第四章 插值法解：差商表如下用牛頓插值公式求 f(0.596)=sh(0.596) 的近似值。4.2 牛頓（Newton）插值 從差商表可看出，四階差商為常數(shù)，故五階差商