數(shù)列公式匯總

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備人教版數(shù)學(xué)必修五第二章數(shù)列 重難點(diǎn)解析第二章課文目錄2 1數(shù)列的概念與簡單表示法2 2等差數(shù)列2 3等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和2 4等比數(shù)列2 5等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和【重點(diǎn)】1、數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用。2、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。3、等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。4、等差數(shù)列 n 項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用，熟練掌握等差數(shù)列的求和公式。5、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用。6、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式推導(dǎo)，進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n 項(xiàng)和公式【難點(diǎn)】1、根據(jù)數(shù)列的前n 項(xiàng)觀察、

2、歸納數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。2、理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系。3、等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。4、靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n 項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題。5、靈活應(yīng)用求和公式解決問題，靈活應(yīng)用定義式及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題。6、靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。一、數(shù)列的概念與簡單表示法 數(shù)列的定義 ：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列 .注意 ：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項(xiàng) ：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)

3、數(shù)列的項(xiàng) . 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2 項(xiàng)， ，第 n項(xiàng)， .數(shù)列的一般形式 ：a1 , a2 , a3 , an , ，或簡記為an ，其中 an 是數(shù)列的第 n 項(xiàng) 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ：如果數(shù)列an的第 n 項(xiàng) an 與 n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 .注意 ：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列；一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ， 它的通項(xiàng)公式可以是1 ( 1) n1| .an，也可以是 an | cos n 122.數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)

4、列中的一項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)5. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：( )，當(dāng)數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N* （或它的有限子集1 ， 2， 3， ， n ）為定義域的函數(shù)an f n自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備反過來，對于函數(shù)y=f(x), 如果f(i)（ i=1 、2、3、4 ）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1)f(2)f(3)f(4)f(n)6數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列 ：項(xiàng)數(shù)有

5、限的數(shù)列 . 例如數(shù)列 1， 2， 3， 4， 5， 6。是 有窮數(shù)列無窮數(shù)列 ：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列 . 例如數(shù)列 1， 2， 3， 4， 5， 6 是 無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。擺動(dòng)數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列7數(shù)列的表示方法（ 1）通項(xiàng)公式法如果數(shù)列 an 的第 n 項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如數(shù)列的通項(xiàng)公式為；的通項(xiàng)公式為；的通項(xiàng)公式為；（ 2）圖象法啟發(fā)學(xué)生

6、仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢（ 3）遞推公式法如果已知數(shù)列an 的第 1 項(xiàng)（或前幾項(xiàng)） ，且任一項(xiàng) an 與它的前一項(xiàng)an 1 （或前 n 項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5， 8， 13， 21， 34， 5

7、5， 89遞推公式為：a13, a25,anan 1an 2 (3n8)4、列表法簡記為典型例題：例 1：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3, 5, 9, 17, 33, ；2,46810 ；(2),315356399(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1, ；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5)2, 6, 12, 20, 30,42,.名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備解： (1)an 2n1； (2)2n； (3)1 (1) nan an ；(2n 1)(2n 1)2(4)將數(shù)列變形為10, 21,3 0,4 1,50, 61, 7 0,

8、81, an ；(5) 將數(shù)列變形為 1×2, 2×3, 3 ×4, 4×5, 5 ×6, ， an a11例 2：設(shè)數(shù)列 an滿足1寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。an1(n 1).an1解：二、等差數(shù)列1等差數(shù)列 ：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。公差d 一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；對于數(shù)列 an , 若 an an 1 =d ( 與 n 無關(guān)的數(shù)或字母) ， n 2，n N ，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。2等差數(shù)列

9、的通項(xiàng)公式：ana1(n1) d 【或anam (n m)d 】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列an的首項(xiàng)是 a1 ，公差是d，則據(jù)其定義可得：a2a1d 即： a2a1da3a2d 即： a3a d a 2d21a4a3d 即： a4a3d a13d由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：ana1 (n1)d已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1 和公差 d，便可求得其通項(xiàng)an 。由上述關(guān)系還可得：ama1(m1)d即： a1am(m1)d則： ana1(n 1)d = am ( m 1)d(n1)dam(nm)d即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式anam( n m)daman d=n

10、3有幾種方法可以計(jì)算公差dm d= an an 1 d = ana1 d = anamn1nm4結(jié)論：（性質(zhì)） 在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則， amana paq即m+n=p+qamana paq(m, n, p, q N )但通常 由 amana paq推不出 m+n=p+q ， amanamn典型例題：例 1： 求等差數(shù)列8， 5， 2 的第 20 項(xiàng)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備 -401 是不是等差數(shù)列 -5 ， -9 ，-13 的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：例 3：求等差數(shù)列 3，7， 11， 的第 4 項(xiàng)與第 10 項(xiàng) .例 5： 100 是不是等差數(shù)列2，9， 16， 的項(xiàng)？如果是

11、，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由.例 6： 20 是不是等差數(shù)列0， 3 1 ， 7， 的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由.2例 8：在等差數(shù)列 an 中，若 a1 + a6 =9,a4 =7,求 a3 ,a9 .三、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和1等差數(shù)列的前n(a1an )n 項(xiàng)和公式 1： Sn2證明：Sna1a2a3an 1anSnanan 1an 2a2a1 +： 2Sn( a1an ) (a2an 1 ) (a3an 2 )(anan ) a1ana2an 1a3an 22Snn(a1an )由此得： Snn(a1an )2從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問題的正確性2 等差數(shù)列的前

12、n 項(xiàng)和公式 2： Snna1n(n 1)d2用上述公式要求Sn 必須具備三個(gè)條件：n, a1 , an但 ana1( n 1)d 代入公式1 即得：Snn( n1)dna12此公式要求 Sn 必須已知三個(gè)條件：n, a1 , d（有時(shí)比較有用）n 項(xiàng)和公式 2： Snn(n 1)d對等差數(shù)列的前na12可化成式子：Snd n 2(a1d)n ，當(dāng) d 0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式22名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備3 由 Sn 的定義可知，當(dāng)n=1 時(shí)， S1 = a1 ；當(dāng) n2 時(shí)， an = Sn - Sn 1，S1( n 1).即 an =SnSn 1 (n 2)4 對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問

13、題有兩種方法:（ 1） 利用 an :當(dāng) an >0，d<0，前 n項(xiàng)和有最大值可由 an 0，且 an1 0，求得 n的值當(dāng) an <0，d>0，前 n項(xiàng)和有最小值可由 an 0，且 an1 0，求得 n的值（ 2） 利用 Sn ：由 Snd n 2(a1d )n 利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n 的值22典型例題：例 2：等差數(shù)列 10， 6， 2， 2，·······前9 項(xiàng)的和多少？解：例 3：等差數(shù)列前10 項(xiàng)的和為140，其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125，求其第6 項(xiàng)解例 6：已知等差數(shù)列

14、 a n 中， S3=21， S6=64，求數(shù)列 |a n| 的前 n 項(xiàng)和 Tn例 7： 在等差數(shù)列 a n 中，已知 a6 a9 a12 a15 34，求前 20 項(xiàng)之和例 8：已知等差數(shù)列 a n 的公差是正數(shù)，且 a3·a7= 12，a4 a6=4，求它的前 20 項(xiàng)的和 S20 的值例 9：等差數(shù)列 a n 、 b n 的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn 和 Tn，若Sn2n，則 a100 等于 Tn3n 1b100A1B 23C199200299D301名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備分析 該題是將 a100與 Sn2n發(fā)生聯(lián)系，可用等差數(shù)列的前 n項(xiàng)b100Tn3n1n(a1 + an

15、 )和公式 Sn =把前 n項(xiàng)和的值與項(xiàng)的值進(jìn)行聯(lián)系例 10： 解答下列各題：(1) 已知：等差數(shù)列 a n 中 a2 3， a6 17，求 a9；(2) 在 19 與 89 中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為 1350，求這幾個(gè)數(shù)；(3) 已知：等差數(shù)列 a n 中， a4 a6a15 a17 50，求 S20；(4) 已知：等差數(shù)列 a n 中， an=33 3n，求 Sn 的最大值四、等比數(shù)列1等比數(shù)列 ：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列 .這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q 表示（

16、 q 0），即： an=q（ q0）an11 “從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)(q) an 成等比數(shù)列an 1 =q（ n N,q 0）an2 隱含：任一項(xiàng) an 0且 q 0“ an 0”是數(shù)列 an 成等比數(shù)列的必要非充分條件3 q= 1 時(shí)， a n 為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1: ana1q n 1 (a1q0)由等比數(shù)列的定義，有：a2a1 q ；a3a2q (a1 q)q a1q2 ；a4a3 q (a1q 2 )q a1q 3 ；anan 1q a1 qn 1 (a1 q 0)3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2: anamq m 1 (a1q0)4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常

17、數(shù)列5等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式ana1 qn 1 (a1 q0) , 它的圖象是分布在曲線 ya1 q x （ q>0）上q的一些孤立的點(diǎn)。當(dāng) a10， q >1 時(shí)，等比數(shù)列an 是遞增數(shù)列；當(dāng) a10， 0q1，等比數(shù)列an 是遞增數(shù)列；當(dāng) a10， 0q1時(shí)，等比數(shù)列an 是遞減數(shù)列；當(dāng) a10， q >1時(shí)，等比數(shù)列an 是遞減數(shù)列；當(dāng) q0 時(shí)，等比數(shù)列an 是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng) q 1 時(shí)，等比數(shù)列 an 是常數(shù)列。6等比中項(xiàng)：如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù)G，使 a,G，b 成等比數(shù)列， 那么稱這個(gè)數(shù) G 為 a

18、 與 b 的等比中項(xiàng) .即G=±ab （ a,b 同號(hào)）如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù)G，使 a,G， b 成等比數(shù)列，則反之，若 G 2=ab,則 Gb ，即 a,G,b 成等比數(shù)列aG a,G,b 成等比數(shù)列G 2=ab（ a· b 0）7等比數(shù)列的性質(zhì)：若 m+n=p+k ，則 amana p akGbG 2ab Gab ，aG在等比數(shù)列中， m+n=p+q ， am , an , a p ,ak 有什么關(guān)系呢？由定義得： ama1q m 1ana1qn 1apa q p 1aka q k 111am an2， ap ak2a1 q m n 2a1 q p k 2

19、則 am an ap ak8判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法9等比數(shù)列的增減性： 當(dāng) q>1, a1>0 或 0<q<1, a1<0 時(shí) , an 是遞增數(shù)列 ;當(dāng) q>1,a1 <0,或 0<q<1, a1 >0時(shí) , an 是遞減數(shù)列 ;當(dāng) q=1 時(shí) , an 是常數(shù)列 ;當(dāng) q<0 時(shí) , an 是擺動(dòng)數(shù)列 ;10證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法:(1)an1q(nN )數(shù)列 an 為等比數(shù)列定義法 :若an(2)等比中項(xiàng)法 :若 an21anan 20,( n N )數(shù)列 an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)法 :若 anc

20、q n (c, q均是不為 0的常數(shù) ，n N )數(shù)列 an 為等比數(shù)列(4)前 n 項(xiàng)和法 :若 SnAqnA( A, q為常數(shù) , 且q0,q 1)數(shù)列 an 為等比數(shù)列。典型例題：例 1：求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：（ 1） a1 = 2,a3 = 8； （ 2） a1 =5,且 2 an 1 = 3 an ； （ 3） a1 =5,an 1n且n 1an解：例 2：求下面等比數(shù)列的第4 項(xiàng)與第 5 項(xiàng)：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備（ 1） 5， 15，45， ；（ 2） 1.2， 2.4，4.8， ；（3） 2, 1.3,;(4) 2,1, 2 ， .3282解：例 3：一個(gè)等比數(shù)列的第9

21、項(xiàng)是 4，公比是1 ，求它的第1 項(xiàng) .93解：例 4：一個(gè)等比數(shù)列的第2 項(xiàng)是10，第3 項(xiàng)是20，求它的第1 項(xiàng)與第4 項(xiàng) .解：例 7： (1) 已知 an 是等比數(shù)列，且an0,a2 a42a3 a5a4 a625 , 求 a3a5解：例 9：在等比數(shù)列 bn 中， b4 3 ，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積解：例 10：在等比數(shù)列an 中， a22 ， a554 ，求 a8 ，解：五、 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和1、 等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：當(dāng) qa1 (1 q n )a1an q1時(shí)， Sn或 Sn1q1q當(dāng) q=1 時(shí)， Snna1當(dāng)已知 a1 , q, n時(shí)用公式；當(dāng)已知a1 , q, an

22、 時(shí)，用公式 .公式的推導(dǎo)方法一：一般地，設(shè)等比數(shù)列a1 , a2a3 , an它的前 n 項(xiàng)和是名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備Sna1 a2a3an由Sna1a2a3anana1q n1得Sna1a1 q a1 q2a1qn 2a1q n 1qSna1 q a1 q 2a1 q3a1q n 1a1 qn(1 q) Saa q nn11當(dāng) q 1 時(shí)， Sna1 (1 q n )a1an q1 q 或 Sn1q當(dāng) q=1 時(shí)， Snna1公式的推導(dǎo)方法二：有等比數(shù)列的定義，a2a3anqa1a2an1根據(jù)等比的性質(zhì)，有a2a3anSna1qa1a2an 1Snan即Sna1q(1q) Sna1an

23、q （結(jié)論同上）Snan圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式公式的推導(dǎo)方法三：Sna1a2a3an a1q(a1a2a3an 1 ) a1qSn 1 a1q(Snan )(1 q)Sna1an q （結(jié)論同上）2、重要結(jié)論a n 成等比數(shù)列，公比為q11111qn1 qn（ 1）也為等比數(shù)列，且公比為，Sna1anq1a1qn 1(1 q)1q（ 2） a2n也成等比數(shù)列，且公比為q2（ 3） an成等比，且 an >0，則 lga 1,lga 2,lga 3 成等差 注 （ 1） an 成等比lg an 成等差（ 2） an 成等差 aan 成等比典型例題：例 1：求和：.解：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備等 差 數(shù)列等比 數(shù)列一般地 ,如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)定一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)