數(shù)值計(jì)算方法(宋岱才版)課后答案

1、第一章緒論一 本章的學(xué)習(xí)要求（ 1）會(huì)求有效數(shù)字。（ 2）會(huì)求函數(shù)的誤差及誤差限。（ 3）能根據(jù)要求進(jìn)行誤差分析。二 本章應(yīng)掌握的重點(diǎn)公式（ 1）絕對誤差：設(shè)x 為精確值，x 為 x 的一個(gè)近似值，稱exx 為 x 的絕對誤差。（ 2）相對誤差： ere。x（ 3）絕對誤差限：exx 。（ 4）相對誤差限：rxx 。xx（ 5）一元函數(shù)的絕對誤差限：設(shè)一元函數(shù)fx0, 則dfx 。fdx（ 6）一元函數(shù)的相對誤差限：rf1dfx。fdx（ 7）二元函數(shù)的絕對誤差限：設(shè)一元函數(shù)則f。fx, y0,fyy（ 8）二元函數(shù)的相對誤差限：f1fxf。rfxyy三 本章習(xí)題解析1. 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍

2、五入得到的近似值， （ 1）試指出它們有幾位有效數(shù)字， （ 2）分別估計(jì) A1X1 X2X3 及A2X2的相對誤差限。X4x1 1.1021, x20.031, x3385.6, x456.430解：（ 1） x1有 5 位有效數(shù)字， x2有 2 位有效數(shù)字， x3有 4 位有效數(shù)字，x4 有 5 位有效數(shù)字。（2） A1x1x2 x3, A1x2 x3 ,A1x1 x3, A1x1 x2 ,由題可知： A1為 A1 的近似值，x1x2x3x1 , x2 , x3分別為 x1, x2 , x3 近似值。所以A1r A1A11A1x1A1x2A1x3A1X 1X 2X 31x2x3110 4x1

3、 x3110 3x1 x2110 10.215x1 x2 x3222A2X2 ,則有 A21, A2x22, 同理有 A2為 A2 的近似值， x2， x4為 x2 ，X 4x2x4x4x4x4 的近似值，代入相對誤差限公式：A2rA2A21A2X 2A2X 4A2X 2X 4X 4113X 211035102210X 2X2X442. 正方形的邊長大約為 100cm，怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm 2 ?解：設(shè)正方形的邊長為x ，則面積為 Sx2 ， ds2x ，在這里設(shè) x 為邊長的近似值，S 為dx面積的近似值：由題可知：sdsx1dx即： 2xx1推出：x10.005cm 。20

4、03. 測得某房間長約L =4.32m，寬約為 d =3.12m，且長與寬的誤差限均為0.01m，試問房間面積 S=Ld 的誤差限和相對誤差限分別為多少？解：設(shè) s ld則有：sd ，sl 。在這里 l ，d ，S分別為 l ， d ， s 的近似值：ldsslsd d ll d3.12 0.014.32 0.01 0.0744cm2ldS0.0744相對誤差限為： r S0.0055。S4.32 3.124. 下列公式如何計(jì)算才比較準(zhǔn)確：e2 x1(1) 當(dāng) x 的絕對值充分小時(shí)，計(jì)算2；（ 2）當(dāng) N的絕對值充分大時(shí)，計(jì)算N11N1x2 dx ；（ 3）當(dāng) x 的絕對值充分大時(shí)，計(jì)算x1x

5、 1。xx2 x2 x2 x4 xx3 xxe1e1e1= e ee解：（ 1）當(dāng) x0時(shí)， e1=2 xx2xxxxx2 e 12e e e2e e e3xxx2x2 x=eexe eexxexe2e2 eN 11N1（2）當(dāng) N時(shí)，2 dx = argtgx= argtgN1 argtgNN 1XN= arg tg11 NN1x1x11111xxxx(3) 當(dāng) x時(shí)，x=xxxx11xxxxx=2。22xxx115.列 yn滿足遞推關(guān)系yn =10 yn 1-1 ， n=1,2, ，若 y 0 =21.41，計(jì)算到 y10 時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算數(shù)值穩(wěn)定嗎？解：已知準(zhǔn)確值y02，近似值 y

6、01.41，設(shè)他們的誤差為0y0y0 ，則有：1y1y110y01 10 y01 =10 y0y010 02y2y210 y1110 y11 =100 y0y01000y10y1010y9110y91=10y0y010以此類推所以1010 0101010212218=1021.411010106.計(jì)算 f6，取21.4 ，直接計(jì)算和用1來計(jì)算，哪一個(gè)最好？2 -13322解：依題意構(gòu)造函數(shù)fxx1，則 f Ix6x5，由絕對誤差公式1ffxx=61.4 1521.460.0124110 1 =0.00307227.求二次方程 x2 -16x+1=0 的較小正根，要求有3 位有效數(shù)字。解：由求根

7、公式：x161624 。所以。 x1863 ， x2863 對比可知：2較小的根為 x2863 ，由相近數(shù)相減原理則有：x2 86386386310.06278638638. 如果利用四位函數(shù)表計(jì)算 1 cos20 ，試用不同方法計(jì)算并比較結(jié)果的誤差。解： 1cos2010.9940.0061cos201sin 2 200.0349 26.092 10 4cos201.9949. 設(shè) x 的相對誤差限為，求 x100 的相對誤差限。解：由題意可知： 設(shè) f xx100 ，則有 f Ix 100X 99 在這里設(shè) x 為 X 的近似值， f為 f的近似值，由已知x 的相對誤差限為。99所以：ff

8、f Ixx100xx100x100ffx100xx10. 已知三角形面積S= 1 absinc,其中 c為弧度，滿足0<c<，且 a,b,c,的誤差分別為22a ,b ，c 。證明面積誤差s滿足sa +b +c 。sabc解：由誤差定義：ssasbscs1s1abc，又因?yàn)椋篵 sin c ，a sin ca2b2s1 ab cosc ，代入上式可得：s1 b sin c a1 a sin cb1 ab cosc cc22221b sin c1asin c1s22ab coscab2c ，兩邊同除以 s 可得： s111absin cab sin cabsin c222約分可得：s

9、abc則有： tgc >c>0. ，sab， 因?yàn)椋?0<c<tgc2所以命題sabcsab成立。c第二章插值法一 本章的學(xué)習(xí)要求（ 1）會(huì)用拉格朗日插值和牛頓插值求低階插值多項(xiàng)式。（ 2）會(huì)應(yīng)用插值余項(xiàng)求節(jié)點(diǎn)數(shù)。（ 3）會(huì)應(yīng)用均差的性質(zhì)。二 本章應(yīng)掌握的重點(diǎn)公式（ 1）線性插值： L1 xl 0xy0l1x y1 。（ 2）拋物插值： L1xl0xy0l1xy1l2xy2 。（ 3） n 次插值： Lnnxlkxyk 。k0（ 4）拉格朗日插值余項(xiàng)：RnxfxLnxf n 11 x。nn1!（ 5）牛頓插值公式：N Xf x0f x0 , x1x x0f x0 , x

10、1xnx x0x x1x xn 1 。nfxj（ 6） f x0 , x1 , xn。x x0x x1x xj 1 x xj 1j 1x xn（ 7） f x0 , x1 , xnfn。n!（ 8）牛頓插值余項(xiàng)：RnxfxNnxfx0 , x1xnn 1x 。三 本章習(xí)題解析1. 給定 x, f x的一系列離散點(diǎn)（1，0），（ 2， 5），（ 3，6），（ 4，3），試求 Lagrange插值多項(xiàng)試。解：設(shè)所求插值多項(xiàng)式為p xL 3Xl 0 xy0 l 1 xy1l 2 x y2，且已知：x0 1， y00， x12，y15， x23，y26， x34， y33 ，代入插值基函數(shù)公式：可得：

11、 l 0xx1xx2xx3=xx1x0x2x0x3x0l 1xx0xx 2x x3=xx0x1x2x1x3x1l 2xx0xx1xx3=xx0x2x1x2x3x2x2x3x4123x1x3x4112x1x2x4211化簡代入 p x 得 :p xx34x232. 若 f x2x63x5x31，求 f 30,31 L 36， f 30 ,31 L 37。解:由 f 6x2 6!，所以 :f62 6 ! ，f 7xf 70. 由均差的性質(zhì) ( 三)f62 6!2 ， f 30 ,3137f70可知 :f 30 ,31 L 36L06!7!6!7!3. 給定函數(shù)表xi012345fx i-7-452

12、665128（1）試用 Lagrange 插值法求一個(gè)三次插值多項(xiàng)式L3X，并由此求f0.5的近似值。（2）試用 Newton 插值公式求一個(gè)三次插值多項(xiàng)式N3X，并由此求f0.5的近似值。解： (1)n3 ，取 0.5 附近的 4 個(gè)點(diǎn)為宜。故取，x00， y07， x11， y14， x22, y25 ， x33，y3 26 。則L 3X l 0 xy0l 1 x y1l 2 xy2，按照習(xí)題1 求出插值基函數(shù)。代入 L3 X ?？傻茫? X2x 7 ，所以：f 0.5137 5.8752 1Lx322（ 2）設(shè)牛頓插值多項(xiàng)式為N 3 xf x0f x0, x1x x0f x0, x1,

13、x2x x0x x1f x0, x1, x2, x3x x0 x x1x x2，列差商表：xiyi一階插商二階插商三階插商0-71-4325933262161所以： N3X73 x03 x0x1x0x1 x2x32x7 =-5.875nkk, n 其中 l j4.設(shè) xj 為互異節(jié)點(diǎn) （ j=0,1,2,n ）求證： j 0x jl jxx，k =0,1,2,x為 n 次插值基函數(shù)。證明：根據(jù)題意：設(shè)ky jkfxx，所以有fx jx j，nknny j結(jié)合上式所以有：j 0x j l jxj0fx j l jxj 0l jx= L n x j，由余項(xiàng)定理可知：fx jL nx jRnx j，

14、且由定理二可知，當(dāng)0jn 時(shí)， Rnxj0所以就有 fx jLnx jx j k。nkk在這里令變量 x jx，所以命題：j 0x jl jxx ，成立。5.設(shè) f xc 2 a,b且 fafb0 ，求證： max fx1ba2max f IIx。ax b8a xb證明：由題可知：x 0a, y00 ， x1b, y10 ，故可構(gòu)造線性插值多項(xiàng)式即為下式：L1 Xl 0xfx0l 1xf x1，記為（ 1）式，因?yàn)?fxL1XR1 x ，記為（ 2）式，其中R1xf IIxaxb，記為（ 3）2!式，將（ 1）（ 3）代入（ 2）整理：IIL1 XR1 xxbxaff xa b f ab a

15、f bR12!x a x bIIII所以： fxfxax bf這里取 xabmax xaxb代2!2!2a xbII2fba1再放縮得 max fxba2max f IIx入，可推出： fx2!4ax b8ax b6. 若 f xanxnan 1xn 1a1x a0 有 n 個(gè) 不 同 實(shí) 零 點(diǎn) x1, x2 ,Lxn , 證 明 ：k0,0kn2nxj11 f Ix jann1j, k證明：由題可知：fx有 n 個(gè)不同實(shí)零點(diǎn)，故fx 還可以表示成根形式的多項(xiàng)式，即：f xan x x1x x2 L x xn ；Ifxfx由導(dǎo)數(shù)的定義可知：jfx jlimxx jxx jfxlim an x

16、x1x x2x jx j 1x xnlimx jx1xx x j xxx j= anx jx1xjx2x jx j 1x jx j 1x jxn在此設(shè)：xxk ；k1x jnx jnIaxxxxxxxxj1nj1j1jj 1jj 1jnfx jn11x1, x2,xn1，記為（ 1）式anann1 !當(dāng) kn 1時(shí)，n 1xn1 ! ，則（ 1）變?yōu)? ；ax當(dāng) 0kn2 ，則（ 1）式變?yōu)?0，綜上所述：k0,0kn2x jnIa1n1j 1n, kfx7. 給定函數(shù)表xi-2-10123fx j-5111725已知以上數(shù)據(jù)取自一個(gè)多項(xiàng)式，試確定這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)；并求出這個(gè)多項(xiàng)式。解：用牛頓

17、法：NXfx0fx0 , x1 xx0f x0 , x1 ,x2 ,xx0xx1+f x0 , x1, x2 , x3 , x4 , x5x x0x x1x x2x x3x x4 ，列插商表：xifxi一階插商二階插商三階插商四階插商五階插商-2-5-116010-311001276310325186100NX56(x2)3(x2)( x1)( x2)(x1)(x0)x3x 1，為三次。8.對函數(shù) fx， gx及任意常數(shù) a,b, 證明：af xbg xx0 , x1 , xnaf x0 , x1 , xnbg x0 , x1 , xn 。證明：由高等數(shù)學(xué)的知識，我們構(gòu)造函數(shù)FXafxbg x

18、，于是就有下式成立：af x bg xx0 , x1, xnF x x0 , x1 , xnnFx jj 0x jx0x jx1x jx j 1x jx j 1x jxnnafx jbgx jj 0x jx0x jx1x jx j 1x jx j 1x jxn由分式法則：nfxjngxjax x x xx x x xx xbx x x xx x x xx xj 0j 0j0j1jj 1jj 1jnj0j1jj 1jj 1jn= afx0 , x1xnbgx0 , x1 ,xn ，所以命題成立。10.給定函數(shù)表0.00.20.40.60.8xi1.000001.221401.491821.822

19、122.22554f xi試分別用 Newton 前插值公式和Newton 后插值公式計(jì)算f 0.05 的近似值。分析： 基于本題容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同 學(xué) 可 自 行 解 答 ， 分 別 代 入 Newton前插值公式和Newton 后 插 值 公 式 可 得f0.05 =1.05126.11.若要給出 f xcosx ， x0,的一按等距步長h 分布的函數(shù)表，并按線性插值計(jì)算2任何 x 0,的 cos x 的值。問當(dāng) h 取多大才能保證其截?cái)嗾`差的絕對值不超過14 。2210分析： 基于本題容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行解答，代入余項(xiàng)公式，即可求出h 0.02 。12. 設(shè) f x c2n 2 a, b ，采用 Lagrange 插值余項(xiàng)的證明方法，證明：埃爾米特插值余項(xiàng)R xf x H 2 n 1 xf 2 n222n2 !n 1 x 。分析： 基于本題容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行解答，將定理2 代入余項(xiàng)公式即可求得，在此不做說明。13. 求不超過3 次的多項(xiàng)式 Hx ，使其滿足 H19，H I115，H 11，H I11 。分析： 基于本題容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)