多項(xiàng)式的整除性和帶余除法

1、 多項(xiàng)式整除性理論主要討論任給兩個(gè)多項(xiàng)多項(xiàng)式整除性理論主要討論任給兩個(gè)多項(xiàng)式式 f(x),g(x), f(x),g(x), 是否有是否有 g(x) g(x) 整除整除f(x)f(x)以及以及與此相關(guān)的多項(xiàng)式的最大公因式與此相關(guān)的多項(xiàng)式的最大公因式, , 多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的因式分解等問題因式分解等問題. . 在討論一元多項(xiàng)式的整除性理論時(shí)在討論一元多項(xiàng)式的整除性理論時(shí), ,帶余帶余除法除法是是 一個(gè)重要定理一個(gè)重要定理, , 它給出了判斷多項(xiàng)它給出了判斷多項(xiàng)式式 g(x)g(x)能否整除多項(xiàng)式能否整除多項(xiàng)式f(x)f(x)的一個(gè)有效方法的一個(gè)有效方法; ; 并且是討論一元多項(xiàng)式的最大公因式及多項(xiàng)并

2、且是討論一元多項(xiàng)式的最大公因式及多項(xiàng)式根的理論基礎(chǔ)式根的理論基礎(chǔ). .1-3 多項(xiàng)式的整除性和帶余除法多項(xiàng)式的整除性和帶余除法 帶余除法定理帶余除法定理: :對(duì)于對(duì)于PPx x 中任意兩個(gè)中任意兩個(gè)多項(xiàng)式多項(xiàng)式f f( (x x) )與與g(g(x x),),其中其中( (g(g(x x)0,)0,一定有一定有PPx x 中的多項(xiàng)式中的多項(xiàng)式q(q(x x) )和和r(r(x x) )存在存在, ,使得使得.)(),(, 0)(,)()(,)()()()(是唯一決定的并且這樣的或者其中成立xrxqxrxgxrxrxgxqxf.)()()(,)()()(的余式除稱為的商除通常稱為其中xfxgxr

3、xfxgxq Definition5.(Definition5.(整除的定義整除的定義) ) 稱稱PPx x 上的多項(xiàng)式上的多項(xiàng)式g(g(x x) ) 整除整除f(f(x x),),如果如果存在存在PPx x 上的多項(xiàng)式上的多項(xiàng)式h(h(x x), ), 使得使得.)()(,)()(,)(|)().()()(|)(),()()(|)(.)()()(倍式的為稱因式的為稱時(shí)當(dāng)不能整除表示用整除表示用成立xgxfxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxhxgxfg(x)0, g(x)f(x)g(x)0, g(x)f(x)等價(jià)于等價(jià)于 g(x)g(x)除除 f(x)f(x)的余式零的余式零.

4、 . q(x)q(x)和和r(x)r(x)的求法與中學(xué)的方的求法與中學(xué)的方 法基本相同法基本相同. . 在做除法時(shí)在做除法時(shí), , 可以可以分離系分離系 數(shù)數(shù), , 因?yàn)榇味囗?xiàng)因?yàn)榇味囗?xiàng) 式是由它的式是由它的1 1 個(gè)系數(shù)唯一確個(gè)系數(shù)唯一確定的定的, (, (做除法時(shí)按降冪排列做除法時(shí)按降冪排列).). 由定義不難看出由定義不難看出1.1.零多項(xiàng)式被任意一個(gè)多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式被任意一個(gè)多項(xiàng)式整除; ;2.2.零多項(xiàng)式不能整除任意非零多項(xiàng)式零多項(xiàng)式不能整除任意非零多項(xiàng)式; ;3.3.任意多項(xiàng)式一定整除它自身任意多項(xiàng)式一定整除它自身. .4.4.零次多項(xiàng)式零次多項(xiàng)式( (非零常數(shù)非零常數(shù)) )整除

5、任意多項(xiàng)式整除任意多項(xiàng)式. .當(dāng)當(dāng)g(x)0g(x)0時(shí)時(shí), ,由帶余除法定理得到由帶余除法定理得到Theorem1.Theorem1.對(duì)于對(duì)于PPx x 中任意兩個(gè)多項(xiàng)式中任意兩個(gè)多項(xiàng)式f f( (x x) )與與g(g(x x),),其中其中g(shù)(g(x x)0,)0,則則g(g(x x)|f()|f(x x) )的充分必要條件是的充分必要條件是g(x)g(x)除除f(x)f(x)的余式為零的余式為零. . 整除性的幾個(gè)常用性質(zhì)整除性的幾個(gè)常用性質(zhì): :任一多項(xiàng)式任一多項(xiàng)式 f(x)f(x)都能被都能被 cfcf(x) (x) 整除整除值得注意的是值得注意的是: : 多項(xiàng)式的整除不是運(yùn)算多項(xiàng)

6、式的整除不是運(yùn)算, , 它是它是xx元素間元素間的一種關(guān)系的一種關(guān)系, , 類似于實(shí)數(shù)集類似于實(shí)數(shù)集 R R 元素間的大小元素間的大小關(guān)系關(guān)系, , 相等關(guān)系相等關(guān)系; ;多項(xiàng)式的整除性是不因數(shù)域的擴(kuò)充而改變的多項(xiàng)式的整除性是不因數(shù)域的擴(kuò)充而改變的. .即當(dāng)數(shù)域擴(kuò)充時(shí)即當(dāng)數(shù)域擴(kuò)充時(shí), , 作為擴(kuò)充后的數(shù)域上的多項(xiàng)作為擴(kuò)充后的數(shù)域上的多項(xiàng)式式 f(x)f(x)和和g(x), g(x)g(x), g(x)除除f(x)f(x)的商式和余式仍的商式和余式仍然是上面的然是上面的q(x)q(x)和和r(x).r(x). )( |:.,.4 . 2.1)(25)(,. 2?1,.122342nnaxaxPa

7、PEXERCISESmxxxgxlxxxfmlEXAqpxxmxxqpmEXAMPLE證明是一個(gè)數(shù)域設(shè)整除能被，使求整除能多項(xiàng)式滿足什么條件時(shí)實(shí)數(shù) 補(bǔ)充補(bǔ)充:綜合除法綜合除法rbbbbcbcbcbcbaaaaaccbracbbababxbxbxbxqrxqcxxfaxaxaxaxfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn0321012101210012110122110111|,)()()()()(我們得到綜合除法有比較系數(shù)設(shè)20)3(38113)(203811311143393495201|3:.9452)(3,. 32324frxxxxqxxxxfxEXAMPLE所以作綜合除法解的商式和余數(shù)除用用綜合除法求)(| )(0)(:*.73)1 (2)()(. 3).2(532)(. 223423xfcxcfixxiixxxfixEXERCISESfxxxxfEXERCISES結(jié)論的商式與余數(shù)除求用用綜合除法求設(shè)的值。求設(shè)dcbadxcxbxaxxxEXAMPLE,)2()2()2(532. 32323課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1.1.整除的概念及性質(zhì)整除的概念及性質(zhì) 2.2.帶余除法定理