2016高考數學復習名師知識點總結：數列求和及數列的綜合應用..

1、1 (1)等差模型：如果增加(或減少)的量是 個固定量時，該模型是等差模型，增加 (或減 數列求和及數列的綜合應用 【高考考情解讀】 高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題： 1以遞推公式 或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查學生用等差、 等比數列知識分析問題和探究創(chuàng)新 的能力，屬中檔題 2 通過分組、錯位相減等轉化為等差或等比數列的求和問題，考查等差、 等比數列求和公式及轉化與化歸思想的應用，屬中檔題. 1. 數列求和的方法技巧 (1) 分組轉化法 有些數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將數列通項拆開或變形， 可轉化為幾 個等差、等比數列或常見的數列，即先分別求和，然后再合

2、并. (2) 錯位相減法 這是在推導等比數列的前 n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列 an bn 的前 n項和，其中an, bn分別是等差數列和等比數列. 倒序相加法 這是在推導等差數列前 n項和公式時所用的方法，也就是將一個數列倒過來排列 (反序), 當它與原數列相加時若有公式可提， 并且剩余項的和易于求得，則這樣的數列可用倒序 相加法求和. (4)裂項相消法 利用通項變形，將通項分裂成兩項或 n項的差，通過相加過程中的相互抵消， 最后只剩 常見的拆項公式: 11 _ 1 k(n n + k)； (2n 1)2n + 1 f 2( 詬)； 2. 數列應用題的模型 F 有限項的和這

3、種方法，適用于求通項為 1 的數列的前 n項和，其中an若為等 anan+1 差數列，則=d 丄 d anan+1 n an+1 n+ . n+ k kn + k -品. 少）的量就是公差. （2）等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數時，該模型是等比模型， 這個固定的數就是公比. 混合模型：在一個問題中同時涉及等差數列和等比數列的模型. 生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數增加 （或減少），同時又以一個 固定的具體量增加（或減少）時，我們稱該模型為生長模型如分期付款問題，樹木的生 長與砍伐問題等. 遞推模型：如果容易找到該數列任意一項 an與它的前一項 an1（或前

4、n項）間的遞推關 系式，我們可以用遞推數列的知識來解決問題 考點一分組轉化求和法 例 1 等比數列an中，ai, a2, a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且 ai, a2, a3中的任何兩個數不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求數列an的通項公式； 若數列bn滿足：bn= an+ (- 1)洛 an,求數列5的前 n項和 Sn. 解(1)當 a1 = 3 時，不合題意； 當 a1= 2 時，當且僅當 a2= 6, a3= 18 時，符合題意； 當 a1= 10 時，不合題意. 因此 a1 = 2, a2=

5、 6, a3= 18.所以公比 q = 3. 故 an= 2 3 - (n N ). 因為 bn= an+ (- 1)nln an =2 3n-1 + (- 1)nln(2 3n-1) =2 3n-1+ (- 1)nln 2 + (n- 1)ln 3 =2 3n-1 + (- 1)n(ln 2 In 3) + ( 1)nnln 3 , 所以 Sn= 2(1 + 3+ + 3n-1)+ 1 + 1- 1 + + ( 1)n (ln 2 In 3) + 1 + 2 3+ + (-1)n nln 3. n 1 一 3 n 當 n為偶數時，Sn = 2X +-ln 3 1 3 2 =3n + 2in

6、3 1; n 1 =3n In 3 In 2 1. 在處理一般數列求和時，一定要注意使用轉化思想把一般的數列求和轉化 為等差數列或等比數列進行求和， 在求和時要分析清楚哪些項構成等差數列， 哪些項構 成等比數列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時， 由于數列的各項是正負交替 的，所以一般需要對項數 n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式. 因吐”呻(2013 安徽)設數列an滿足 a1 = 2, a2+ a4= 8,且對任意 n N*，函數 f(x) =(an an+ 1 + an + 2)X+ an+ 1COS X an + 2Sin X 滿足 f = 0 (1)求數列an的通項公

7、式； 若 bn= 2 an+ 20；，求數列bn的前 n項和 Sn. 解 (1)由題設可得 f (x)= (an an+ 1 + an + 2) an+ 1Sin x an + 2COS X, ,in r, 又 f 2 = 0，則 an+ an+ 2 2an+ 1= 0, 即 2an + 1 = an + an+ 2, 因此數列an為等差數列，設等差數列an的公差為 d, a1= 2 由已知條件丨 , I_2a1 + 4d= 8 當 n為奇數時, n 1 3 Sn = 2X (In 2 In 3) + 1 3 n 1 I 2 n In 3 綜上所述, 3n+ 2In 3 1, Sn = n為偶

8、數, n 1 3nln 3 In 2 1, a1 = 2, 解得 1 an = ai + (n 1)d = n+ 1. Sn= b1 + b2 + + bn= (n+3)n + 1 -寺 2 1 =n + 3n + 1 尹 考點二錯位相減求和法 例 2 (2013 山東)設等差數列a*的前 n項和為 Sn,且 0= 4 S2, a2n= 2an+ 1. (1) 求數列an的通項公式； 若數列bn滿足b1+也+ 3= 1 扎n N*，求bn的前 n項和 Tn. a1 a2 an 2 解(1)設等差數列an的首項為 a1,公差為 d, S4= 4S2, 由 得 a1 = 1, d = 2, Ia2

9、n= 2an+ 1 所以 an= 2n 1(n N*). 丄* b1 b2 bn “ 1 *金 (2) 由已知一+ + = 1 了 , n N , a1 a2 an 2 一得:“=呂， an 2 b1 1 又當 n= 1 時，? = 1 也符合上式, a1 2 bn1 * 2n 1 * 所以學=歹(n N )，所以 bn= 廠(n N ). 所以 Tn = b1 + b2+ b3 + + bn 1 _5 2n 1 =2+歹 + 2+ 2 1 1 3 2n 3 2n 1 2Tn= 22+ 23+ + 2n + 2*+1 . 兩式相減得:(2)bn = 2 n + 1 + 丄 2n +1 = 2(

10、n + 1) + 2n, b1 + a b2 + + a2 bn 1 =1 an 1 3 2n 1 2 2n 1 2n+1 . 2n+ 3 所以 Tn= 3 n- 辰討 T 錯位相減法求數列的前 n項和是一類重要方法在應用這種方法時，一定要 抓住數列的特征，即數列的項可以看作是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘所 得數列的求和問題. 因融設數列an滿足 a1 = 2, an + 1 an= 3 2 亦1 (1) 求數列an的通項公式； 令 bn= nan,求數列bn的前 n項和 Sn. 解(1)由已知，得當 n1 時， an+ 1 = (an+ 1 an) + (an an 1)+ + (

11、a2 a1) + a1 1+ 22n 3+ + 2) + 2 = 22(n + 1) 1 而 a1= 2，符合上式， 所以數列an的通項公式為 an= 22n-1. (2)由 bn= nan= n 22n 1 知 Sn= 1 2+ 2 23+ 3 25+ + n 22n 1. 從而 22 Sn= 1 23 + 2 25 + 3 27 + + n 22n+1. 一得(1 22)Sn = 2+ 23+ 25+ 22n-1 n 22n +1, 1 即 Sn= 6【(3n 1)22n+ 1+ 2 考點三裂項相消求和法 例 3 (2013 廣東)設各項均為正數的數列 an的前 n項和為 Sn,滿足 4S

12、n= a2 +1 4n1,n N 且a2, a5, a14構成等比數列. (1)證明：a2= 4a1+ 5; 求數列an的通項公式;1 1 2n= 2 + =3(22n- 數列求和的方法：(1) 一般地，數列求和應從通項入手，若無通項，就先求通 Si n = 1 an= 已知數列遞推式求通項，主要掌握 Sn 一 Sn 1 n2 I(3)證明：對一切正整數 n,有丄 + 丄 + 1 0, a2= 4ai + 5. 2 解 當 n2 時，4Sn-1= an 4(n 1) 1, . 2 2 -4an= 4Sn 4Sn 1 = an+ 1 an 2 2 2 即 an+1 = an+ 4an+ 4 =

13、(an+ 2), 又 an0 , an+ 1 = an+ 2, 當 n2 時，an是公差為 2 的等差數列. 又 a2, a5, a14成等比數列. 2 2 a5= a2 a14,即(a2+ 6) = a2 (a2+ 24)，解得 a2= 3. 由(1)知 a1= 1. 又 a2 a1 = 3 一 1 = 2, 二數列an是首項 a1= 1，公差 d = 2 的等差數列. - an = 2n 1. 1 1 1 (3)證明 + + a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 1X 3+ 3X 5 + 5X 7 十十 .+ 1 2n 1 2n + 1 廣 1 1 一 1 2n + 1 項，然后通

14、過對通項變形, 轉化為與特殊數列有關或具備適用某種特殊方法的形式, 而選擇合適的方法求和得解. (2)已知數列前 n項和 Sn或者前 n項和 Sn與通項公式 從 an 的關系式，求通項通常利用 1 0) 中，a1 = 3,此數列的前 n項和為 Sn,對于所有大于 1 的正整數 n都有 Sn= f(Sn-1). (1)求數列an的第 n +1 項； 1 1 若 bn是丄,I的等比中項，且 Tn為bn的前 n項和，求 Tn. an+1 an 解(1)因為 x，亠汁,.3(x 0)成等差數列， 所以 2X 乎= x+ 3,整理，得 f(x)= ( x+ 3)2. 因為 Sn= f(Sn 1)( nA

15、 2)，所以 Sn= 1+3)2, 所以.Sn=- Sn1+j3，即,Sn_” Sn_1= 3, 所以 .Sn是以.3 為公差的等差數列. 因為 a1 = 3，所以 Si = a1 = 3, 所以 Sn= , 0 + (n一 1) ,3=、：.-：3 + 3n一 .3= .3n. 所以 Sn= 3n (n N ). 所以 an+1 = Sn+1 Sn= 3(n+ 1)2 3n2= 6n + 3. 1 1 因為，bn是 與丁的等比中項， an 所以 C.bn)2 =丄 an+ 1 所以 1 bn = 1 an 1 3 2n + 1 x 3 2n 1 an+ 1 亠 2n + 1， Tn= b1

16、+ b2 + + bn 考點四數列的實際應用1 2n+ 1 亠 2n 1 用數列知識解相關的實際問題，關鍵是合理建立數學模型 數列模型，弄 例 4 (2012 湖南)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產品的生產. 該企業(yè)第一年年初有資金 2 000 萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了 50%，預計以后每年資金年增長率 與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始， 每年年底上繳資金 d 萬元，并將剩余資 金全部投入下一年生產.設第 n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為 an萬元. (1) 用 d 表示 ai , a2，并與出an +1與an的關系式； 若公司希望經過 m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為

17、 4 000 萬元，試確定企業(yè)每年上繳資 金 d 的值(用 m 表示). 畤詁(1)由第 n年和第(n + 1)年的資金變化情況得出 an與 a.+1的遞推關系； (2) 由 an+1與 an之間的關系，可求通項公式，問題便可求解. 解 (1)由題意得 a1= 2 000(1 + 50%) d= 3 000- d, 3 5 a2= a1(1 + 50%) d = qa1 d= 4 500 qd. 3 an+1 = an(1 + 50%) d = Qan d. 3 3 ,-3 、 由(1)得 an = an 1 d= 2 遼an 2 d J d 3 2 3 =2 an2 2d d= 3 3 n

18、2 a1-d+ 2+ R+T - an= g ?1(3 000 d) 2d | 1 (3 000 3d) + 2d. 由題意，知 am= 4 000, 即 2 m1(3 000 3d) + 2d = 4 000, m m+ 1 1 000( 3 2 故該企業(yè)每年上繳資金 d的值為 整理得 解得d= 2 m 1 3m m I寸，經過 m(m3)年企業(yè)的剩余資金為 3m m 2 X 1 000 1 000 3m 2m+ 1 4 000 萬元. 清所構造的數列的首項是什么， 項數是多少，然后轉化為解數列問題. 求解時，要明確 目標，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關系問題，所求結論對應的 是解方

19、程 問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進行合理推算，得出實際問題的結果. 兇 gf 某產品在不做廣告宣傳且每千克獲利 a 元的前提下，可賣出 b 千克.若做 * 1 廣告宣傳，廣告費為 n(n N)千元時比廣告費為(n 1)千元時多賣出夕千克. (1) 當廣告費分別為 1 千元和 2 千元時，用 b 表示銷售量 S; (2) 試寫出銷售量 S 與 n的函數關系式； 當 a = 50, b = 200 時，要使廠家獲利最大，銷售量 S 和廣告費 n分別應為多少？ 解(1)當廣告費為 1 千元時，銷售量 S= b + 2= 32b. 當廣告費為 2 千元時，銷售量 S= b+ b +蘿=孚

20、 (2)設 Sn(n N)表示廣告費為 n千元時的銷售量， 由題意得 S1 So= 2, S2 S1 = 2b2, Sn Sn 1 =尹 以上 n個等式相加得，Sn So= 2 + + /+, 當 a = 50, b = 200 時，設獲利為 Tn,則有 Tn= Sa 1 000n= 10 000 x (2 寺)1 000n =1 000 x (20 即 S= & = b+齊和和弄b1 1 1-2 =b(2 2n). 來 源:www .shulihua.n設 bn= 20 10 2n n, nrt 10 10 5 則 bn+1 bn = 20 n1 n 1 20+ 孑 + n =衛(wèi)一

21、1, 2n+| 2 2 當 n w 2 時，bn+1 bn0 ;當 n3 時，bn+1 bn0. 所以當 n = 3 時，bn取得最大值，即 Tn取得最大值，此時 S= 375, 即該廠家獲利最大時，銷售量和廣告費分別為 375 千克和 3 千元. 1. 數列綜合問題一般先求數列的通項公式， 這是做好該類題的關鍵.若是等差數列或等比 數列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解： n= 1 (1)an = | Sn Sn 1 n2 (2)遞推關系形如 an+1 an= f(n),常用累加法求通項. an+ 1 (3) 遞推關系形如 =f(n),常用累乘法求通項. an (4) 遞推關系形如

22、an+1 = pan+ q(p、q 是常數，且 p豐1, q豐0)”的數列求通項，此類通 項問題，常用待定系數法可設 an+1 +入=p(an+為，經過比較，求得 入則數列an+莎 是一個等比數列. (5) 遞推關系形如 an+1 = pan+ qn(q, p 為常數，且 p豐1, qz 0)”的數列求通項，此類 型可以將關系式兩邊同除以 qn轉化為類型(4),或同除以 pn+1轉為用迭加法求解. (1) 錯位相減法求和時將問題轉化為等比數 列的求和問題求解. (2) 并項求和時，將問題轉化為等差數列求和. (3) 分組求和時，將問題轉化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的 幾個

23、數列的和求解. 提醒：運用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的 n+ 1 項中的前 n項，哪些項構 2.數列求和中應用轉化與化歸思想的常見類型: 來 源:www.shulihua.n 成等比數列，以及兩邊需除以代數式時注意要討論代數式是否為零. 3.數列應用題主要考查應用所學知識分析和解析問題的能力. 這類問題的核心，在試題中主要有： 一是，構造等差數列或等比數列模型， 的通項公式與求和公式求解；二是，通過歸納得到結論，再用數列知識求解其中，建立數列模型是解決 然后用相應 1.在一個數列中，如果？ n N*，都有 anan +仙+ 2= k(k 為常數)，那么稱這個數列為等積數 列，稱 k

24、為這個數列的公積.已知數列 an是等積數列，且 ai= 1，a2= 2，公積為 8, 貝V ai + a2+ a3+ ai2= _ . 答案 28 解析 依題意得數列an是周期為 3 的數列，且 ai = 1, a2= 2, a3= 4, 因此 ai + a2 + a3+ + ai2= 4(ai+ a2+ a3)= 4X (1 + 2+ 4) = 28. 2. 秋末冬初，流感盛行，特別是甲型 H1N1 流感某醫(yī)院近 30 天每天入院治療甲流的人 數依次構成數列an，已知 ai= 1 , a2= 2，且an+ 2 an= 1 + ( 1) (n N )，則該醫(yī)院 30 天入院治療甲流的人數共有

25、_. 答案 255 解析 由于 a*+2 an = 1 + ( 1), 所以 ai = a3= a29= 1, a2, a4,，a30構成公差為 2 的等差數列， 所以 ai + a2+ a29 + a30 3. 已知公差大于零的等差數列 an的前 n項和 Sn,且滿足：a2 at= 65, ai + a5= 18. (1)若 1i21 , ai, ai, a2i是某等比數列的連續(xù)三項，求 i 的值; 設bn=硏花是否存在一個最小的常數m使得bi + 4+ bn0,二 a2a4, a2= 5, a4= 13. ai+ d = 5, ai+ 3d = 13, ai = 1, d= 4. an=

26、4n 3. =15+ 15X 2 + 15X 14 2 X 2 = 255. 由于 1i0, a90 , S90 ,鈕0,，鈕0, S160, 16(a1 + a16) S16 = 8(a8 + ag)0, 峯，覚中最大的 ( ) 而 S12 a2 a8, 所以在2, 2, ,弘中最大的是S a15 a8 這樣 ，S20， 故選 B. * 111 5-數列an滿足a1 = 1且對任意的m，n * N都有 nf+ an+ mn，則二+討 1 +丄等于 a2 012 答案 A 解析 令 m = 1 得 an+1 = an+ n + 1，即卩 an+1 an= n +1, 于是 a2 a1 = 2,

27、 a3 a2= 3,，an an-1 = n, 上述 n 1 個式子相加得 an a1 = 2 + 3+ + n, an= f(n) + f(n + 1) = n2 (n+ 1)2= (2n+ 1); 當 n為偶數時， 2 2 an = f(n) + f(n + 1) = n + (n+ 1) = 2n + 1. 所以 a1 + a2 + a3+ a2 012 =2( 1 + 2 3 + 4 +2 011 + 2 012) = 2 012. 、填空題A 4024 2 013 4018 B.2 012 C遜 2 011 D 2 009 D.2 010 所以 an= 1 + 2 + 3+ 因此丄=

28、一=2 n an n(n+1) 2 時，兩式相減得，an= 2 3n 1. 當 n = 1 時，a1= 3 1 = 2，適合上式， n 1 2 n 1 an = 2 3 (n N ). an = 49 , 則數列a2是首項為 4,公比為 9 的等比數列. =知-1). n n n n * & 設數列an的前 n項和為 Sn,且 an為復數 isin + cos (n N)的虛部，貝U S2 013 = 解析 由已知得：an= sin羅 N*), a1 = 1, a2 = 0, a3= 1, a4= 0, 故an是以 4 為周期的周期數列, S2 013= S503X 4+ 1= S1=

29、 a1= 1. 9.已知數列 an滿足 3an+1+ a*= 4(n1)且 a1 = 9，其前 n項之和為 Sn,則滿足不等式 0 答案 7 解析 由遞推式變形得 3(an+1 1)= (an 1), 1 an 1是公比為一 3 的等比數列. 則 an 1 = 8 )1, 2 2 2 2 a1 + a2 + a3 + + an= 4 1 9n 1 答案 1 來源數理化網 n 6|盍的最小整數門是 - 來源:www.shulihua.ne 即 an= 8 ( 3) + 1. 1 n 81 (3) 于是 S)= - 1 - F n 1 - - 3 1 n 1 n =61 ( 3) + n= 6 6

30、 ( 3) + n 1 因此 |Sn n 6|= |6X ( 3)n| 1 n 1 n 1 =6X(3)250， 滿足條件的最小 n = 7. 10氣象學院用 3.2 萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用， nF 49 * 第 n天的維修保養(yǎng)費為 (n N )元，使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指 使用這臺儀器的平均耗資最.少)，一共使用了 _ 天. 答案 800 解析 由題意得，每天的維修保養(yǎng)費是以 5 為首項，盒為公差的等差數列.設一共使用 n+ 49 3.2X 104+ 4 + F 3 2 x 104 n a1+ 4d= 9 a1 = 1 得 ，解得 2a

31、1+ 6d= 14 d= 2 所以數列an的通項公式為 an= 2n 1. 由 an= 2n 1 得 bn= 2n 1 + . 當 q0 且 qz 1 時，Sn = 1 + 3 + 5 + + (2n 1) + (q1 + q3+ q5+ q2n 1) = n2 + n天的平均耗資為 2n q 1 q . 2 ； 1 q 當 q = 1 時，bn= 2n,貝 V Sn= n(n+ 1). n(n + 1 , q = 1 2n 2 q(1 q ) 口 n + , q0 且 q 豐 1 I 1 q (1)求數列an的通項公式； 設 bn= 2nan，數列bn的前 n項和為 Tn，求 Tn的表達式. 1 1 1 1 解 (1)化簡 f(x)= sin 4X sin 4(x+ 2 n sin J(x+ 3R= ：sin x, 其極值點為 x= k 計才(k Z), 它在(0 ,+8 )內的全部極值點構成以 2 為首項，n為公差的等差數列， 故 an=寸+ (n 1) n n n n (2)bn = 2 an = 2(2n 1) 2 , Tn = 7