彈性力學習題(新)

1、1-3 五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么用途？答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應力、應變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應力成正比的含義，亦即二者成線性的關系，符合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比等）就不隨位置坐標而變化。4、各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相同的。進一

2、步地說，就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將他們的二次冪或乘積略去不計，使得彈性力學中的微分方程都簡化為線性微分方程。在上述假定下，彈性力學問題都化為線性問題，從而可以應用疊加原理。2-1 已知薄板有下列形變關系：式中A,B,C,D皆為常數(shù)，試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應力分量表達式。解：1、 相容條件：將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）其中 所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。2、 在平面應力問題中，用形變分量表示的應力分量為3

3、、平衡微分方程其中 若滿足平衡微分方程，必須有分析：用形變分量表示的應力分量，滿足了相容方程和平衡微分方程條件，若要求出常數(shù)A,B,C,D還需應力邊界條件。例2-2 如圖所示為一矩形截面水壩，其右側面受靜水壓力（水的密度為），頂部受集中力P作用。試寫出水壩的應力邊界條件。解：根據(jù)在邊界上應力與面力的關系左側面：右側面：上下端面為小邊界面，應用圣維南原理，可列出三個積分的應力邊界條件。上端面額面力向截面形心O簡化，得到面力的主矢量和主矩分別為 y=0坐標面，應力主矢量符號與面力主矢量符號相反；應力主矩與面力主矩的轉向相反。所以下端面的面力向截面形心D簡化，得到主矢量和主矩為y=l坐標面，應力主矢

4、量、主矩的符號與面力主矢量、主矩的符號相同。所以分析：1、與坐標軸平行的主要邊界只能建立兩個等式，而且與邊界平行的應力分量不會出現(xiàn)。如在左、右側面，不要加入或。2、在大邊界上必須精確滿足應力邊界條件，當在小邊界（次要邊界）上無法精確滿足時，可以應用圣維南原理使應力邊界條件近似滿足，使問題的求解大為簡化。應力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷，二者方向一致時去正號，反之取負號。2-8試列出題2-8圖（a），題2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。解： 圖（a） 圖（b）1、 對于圖（a）的問題在主要邊界上，應精確

5、滿足下列邊界條件： 在小邊界（次要邊界）上，能精確滿足下列邊界條件： 在小邊界（次要邊界）上，有位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚時， 2、 對于圖（b）所示問題在主要邊界上，應精確滿足下列邊界條件： 在次要邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件，當板厚時，在小邊界（次要邊界）上，有位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，2-17 設有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F,如題2-17所示，體力可以不計。根據(jù)材料力學公式，寫出彎應力x和切應力xy的表達式，并取擠壓應力y=0，然

6、后證明，這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明，這些表達式是否就表示正確的解答。解：1、 矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的玩具方程為，橫截面對z軸(中性軸)的慣性矩為，根據(jù)材料力學公式，彎應力；該截面上的剪力為,剪應力；并取擠壓應力。2、 經(jīng)驗證，上述表達式能滿足平衡微分方衡也能滿足相容方程再考察邊界條件：在的主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件： 能滿足。在次要邊界上，列出三個積分的應力邊界條件：滿足應力邊界條件。在次要邊界上，列出三個積分的應力邊界條件：滿足應力條件。因此，它們是該問題的正確解答。例3-1 如圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應力函數(shù)求簡支梁的應力分量

7、（體力不計）。解：1、相容條件：代入應力函數(shù)，得：由此得于是應力函數(shù)可改寫為2、應力分量表達式3、考察邊界條件：確定應力分量中的各系數(shù)聯(lián)立求解以上各式，得再根據(jù)簡支梁的端面條件確定常數(shù)D,F。由圣維南原理得可得再帶入式（f）得4、應力分量表達式例3-2 圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1，右端固定、左端自由，荷載分布在自右端上，其合力為P（不計體力），求梁的應力分量。解：這是一個平面應力問題，采用半逆解法求解。（1）選取應力函數(shù)。由材料力學可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程M（x）與截面位置坐標x成正比，而該截面上某點處的正應力又與該點的坐標y成正比，因此可設x=1xy (a)式中1的為

8、待定常數(shù)。將式（a）對y積分兩次，得=16xy3+yf1x+f2(x) (b)式中的f1x，f2(x)為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（b）代入相容方程4=0，得 d4f1(x)dx4y+d4f2(x)dx4=0上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應是滿足它，可見它的系數(shù)和自由項都必須為零，即d4f1(x)dx4=0，d4f2(x)dx4=0積分上二式，得f1x=2x3+3x2+4x+5f2x=6x3+7x2+8x+9式中2-9為待定的積分常數(shù)。將f1x，f2x代入式（b），得應力函數(shù)為=16xy3+2x3+3x2+4x+5y+6x3+7x2+8x+9. (c)(2)應力分量的表達式 x

9、=1xy,y=62y+6x+23y+7 xy=-121y2-32x2-23x-4(3)考察應力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無水平力；上、下部無荷載；自由端的剪力之和為P，得邊界條件xx=0=0 ,自然滿足；xyy=h=0 ,得-1h22-32x2-23x-4=0;上式對x的任何值均應滿足，因此得2=3=0，-1h22-4=0，即4=-1h22yy=h=0，得66x+27=0X取任何值均應滿足，因此得6=7=0.-hhxyx=0dy=-hh-121y2-1dy=-p將式（e）代入上式積分，得-hh121y2-121h2dy=p計算得 1=-3P2h3=-PIz, 1=-121h2=12PIzh

10、2其中Iz=1×2h312=2h3/3,橫截面對Z軸的慣性矩。最后得應力分量為 x=-PIxxy,y=0 xy=-P2Ixh2-y23-3 試考察應力函數(shù)=F2h3xy3h2-4y2能滿足相容方程，并求出應力分量(不計體力),畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布(在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出該應力函數(shù)所能解決的問題。 解 （1）相容條件：將代入相容方程4x4+24x2y2+4y4=0,顯然滿足。（2）應力分量表達式x=-12Fh3xy,y=0,xy=-3F2h1-4y2h2(3)邊界條件：在y=h/2主要邊界上，應精確定滿足應力邊界條件yy=h/2=0, xy=-

11、3F2h1-4y2h2=0在次要邊界x=o, x=l上，應用圣維南原理，可列出三個積分的應力邊界條件 -h/2h/2xx=0,ldy=0 (a) -h/2h/2xx=0ydy=0,-h/2h/2xx=lydy=-Fl (b) -h/2h/2xyx=0,ldy=-F (c)對于如圖所示矩形板和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應力時，由應力邊界條件式（a）(b)、(c)可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受集中力作用的問題。3-6 如題3-6圖所示的墻，高度為h,寬度為b,h>>b,在兩側上受到均布剪力q的作

12、用，試用函數(shù)=Axy+Bx3y求解應力分量。解：（1）相容條件將應力函數(shù)代入相容方程4=0，其中4x4=0，4y4=0，4x2y2=0。很顯然滿足相容方程。（2）應力分量表達式x=2y2=0,y=2x2=6Bxy,xy=-2xy=-A-3Bx2(3)考察邊界條件，在主要邊界x=±b/2上，各有兩個應精確滿足的邊界條件，即xx=±b2=0,xyx=±b2=-q在次要邊界y=0上，yy=0=0, yxy=0而的條件不可能精確滿足（否則只有A=B=0），可用積分的應力邊界條件代替-b/2b/2yxy=0dx=0.(4)把各應力分量代入邊界條件，得A=-q2 ,B=2qb

13、2應力分量為x=0,y=12qb2xy,xy=q21-12x2b23-7 設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計，l>>h 如題3-7圖所示，試用應力函數(shù)=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解應力分量。lh,=1解（1）相容條件將=Axy+By2+Cy3+Dxy3代入相容方程，顯然滿足。（2）應力分量表達式x=2y2=2B+6Cy+6Dxy,y=2x2=0,xy=-2xy=-A+3Dy2(3) 考察邊界條件，在主要邊界y=±h/2上，各有兩個應精確滿足的邊界條件yy=±h2=0,yxy=±h2=0得A+34Dh2=0 (a)在次要邊

14、界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應用圣維南原理，用三個積分的應力邊界條件代替。注意x=0是負x面，由此得-h/2h/2xx=0dy=-FN，得B=-FN2h;-h/2h/2xx=0ydy=-M,得C=-2Mh3-h/2h/2xyx=0dy=-Fs,得Ah+14Dh3=Fs (b)由式（a）(b)解出A=-3Fs2h,D=-2Fsh3最后一個次要邊界條件（x=l上）,在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應力公式，得 x=-FNh-12Mh3y-12Fsh3xy y=0, xy=-3Fs2h1-4y2h23-9 設題3-9圖中的簡支梁只受重力作用，

15、而梁的密度為，試用教材§3-4中的應力函數(shù)(e)求解應力分量，并畫出截面上的應力分布圖。xyyx解 （1）應力函數(shù)為=x22Ax2+By2+Cy+D+xEy3+Fy2+Gy-A10y5-B6y4+Hy3+Ky2 a(2)應力分量的表達式x=x226Ay+2B+x6Ey+2F-2Ay3-2By2+6Hy+2K by=Ay3+By2+Cy+D-gy cxy=- x3Ay2+2By+C-3Ey2+2Fy+G d這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當?shù)某?shù)A,B,，K,使所有的邊界條件都滿足，則應力分量式（b）,(c),(d)就是正確的解答。（3）考慮對稱性。因為

16、yz面是梁和荷載的對稱面，所以應力分布應當對稱于yz面。這樣是x和y是x的偶函數(shù)，而xy是x的奇函數(shù)，于是由式（b）和（d）可見E=F=G=0（4）考察邊界條件：在主要邊界y=±h/2上，應精確滿足應力邊界條件yy=±h2=0,yxy=±h2=0 e將應力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有E=F=G=0，可見這些邊界條件要求h38A+h24B+h2C+D-gh2=0-h38A+h24B-h2C+D+gh2=0-x34h2A+hB+C=0 即34h2A+hB+C=0-x34h2A-hB+C=0 即34h2A-hB+C=0聯(lián)立求解得到A=-2gh2,B=0,C

17、=3g2,D=0將以上已確定的常數(shù)代入式（b）,式（c）和（d），得x=-6gh2x2y+4gh2y3+6Hy+2K fy=-2gh2y3+g2y gxy=6gh2x2y-3g2x h考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，例如右邊。梁的右邊沒有水平面力，x=l時，不論y取任何值-h/2yh/2，都有x=0。由式（f）可見，這是不可能滿足的，除非,H,K是均為零。因此，用多項式求解，只能要求x在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，也就是要求-h/2h/2xx=Ldy=0 i-h/2h/2xx=Lydy=0 j將式（f）代入式（i）,得-h/2h/2-6gh2x2y+

18、4gh2y3+6Hy+2K dy=0 積分以后得K=0將式（f）代入式（j），得-h/2h/2-6gh2x2y+4gh2y3+6Hyydy=0 積分以后得K=gl2h2-110將K，H的值代入式（f）,得x=-6gh2x2y+4gh2y3+6g1h2-110y k另一方面，梁右邊的切應力xy應當合成為反力glh-h/2h/26gh2xy2-3g2xdy=-glh 積分以后，可見這一條件是滿足的。將式（g）,(h),(k)略加整理，得應力分量的最后解答 x=-6gh2x2y+4gh2y3+6g1h2-110y y=-2gh2y3+g2y l xy=-6gh2x2y-3g2x 注意梁截面的寬度取為

19、一個單位，可見慣性矩是I=h312，靜矩是s=h28-y22。根據(jù)材料力學應用截面法求橫截面的內(nèi)力，可求得梁任意截面上的彎矩方程和剪力方程分別為Mx=ghl2-x22,Fsx=-ghx.。式（l）可以寫成 x=MxIy+gy4y2h2-35 y=g2y1-4y2h2xy=FsxSbI3-10 如題3-10圖所示的懸臂梁，長度為l，高度為h, l>>h,在上邊界受均布荷載q，試檢驗應力函數(shù)=Ay5+Bx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y能否成為此問題的解？如可以，試求出應力分量。解 （1）相容條件將=Ay5+Bx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y代入相容方程，得120Ay+24By=0，

20、若滿足相容方程，有A=-15B （a)(2)應力分量表達式x=2y2=20Ay3-30Ax2y+6Cyy=2x2=-10Ay3+2D+2Eyxy=-2xy=30Axy2-2Ex(3)考察邊界條件;主要邊界y=±h/2上，應精確滿足應力邊界條件yy=h2=0, 得-108Ah3+2D+Eh=0 byy=-h2=0, 得108Ah3+2D-Eh=-q c yxy=±h2=0,得E-154Ah2=0 d在次要邊界上x=0上，主矢和主矩為零，應用圣維南原理，用三個積分的應力邊界條件代替 -h/2h/2xx=0dy=0，滿足條件 -h/2h/2yx=0ydy=0,得Ah52+Ch3=

21、0 (e) -h/2h/2xyx=0dy=0,滿足聯(lián)立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得A=q5h3,B=-qh3,C=-q10h,D=-q4,E=3q4h將各系數(shù)代入應力分量表達式，得x=qyh4y2h2-35-6x2h2y=-q21-3yh+4y3h3xy=-3q2xh1-4y2h23-12 為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿足精確的應力邊界條件，教材中式（2-15），而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應用圣維南原理，用三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應力邊界條件代替教材中式（2-15），將會發(fā)生什么問題？解：彈性力

22、學問題屬于數(shù)學物理方程中的邊值問題，而要邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應力分布，對遠處的應力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個應力邊界條件來代替精確的邊界條件。教材中式（2-15），就會影響大部分區(qū)域的應力分布，會使問題的解答具有的近似性。3-15 試分析簡支梁受均布荷載時，平面截面假設是否成立？解：彈性力學解答和材料力學解答的差別，是由于各自解法不同。簡言之，彈性力學的解法，是嚴格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，

23、幾何方程和物理方程，以及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學中沒有嚴格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。例如，材料力學中引用了平面假設而簡化了幾何關系，但這個假設對一般的梁是近似的。所以，嚴格來說，不成立。例4-2 如圖所示楔形體右側面受均布荷載q作用，試求應力分量?！窘狻浚?）楔形體內(nèi)任一點的應力分量決定于q、，其中q的量綱為NL-2，與應力的量綱相同。因此，各應力分量的表達式只可能取Kq的形式，而K是以，表示的無量綱函數(shù)，亦即應力表達式中不能出現(xiàn)，再由知，應力函數(shù)應是的函數(shù)乘以，可設 （a）將式（a）代入雙調(diào)和方程，得 ，=0，上式的通解為 ，將上式代入式（

24、a），得應力函數(shù)為。 （b）(2)應力表達式為 (c)(3)應力邊界條件 ，得2（A+D）=q ; (d) ,得Acos2+B sin2+C+D=0, (e),得2BC=0, (f),2Asin22Bcos2=0 。 (g)聯(lián)立求解式(d)(g)，得各系數(shù) ，。將系數(shù)代入(c)，得應力分量 （h） 分析：應力函數(shù)表達式（a）中不出現(xiàn)，這是因為f()中包含了角（在應用應力邊界條件時， 處，中體現(xiàn)）。4-3 在軸對稱位移問題中，試導出按位移求解的基本方程，并證明可以滿足此基本方程?！窘狻浚?）設代入幾何方程，教材中式（4-2）得形變分量 （a）將式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示

25、的應力分量 （b）將式（b）代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在軸對稱問題中，平衡方程為 （c）式（c）中的第二式自然滿足，第一式為 （d）上式即為求的基本方程。（2）將將代入式（d），很顯然滿足方程。4-7 實心圓盤在的周界上受有均布壓力q的作用，試導出其解答?！窘狻繉嵭膱A盤是軸對稱的，可引用軸對稱應力解答，教材中式（4-11），即 （a）首先，在圓盤的周界（）上，有邊界條件，由此得， （b）其次，在圓盤的圓心，當時式（a）中的第一、第二項均趨于無限大，這是不可能的。按照有限值條件（即，除了應力集中點以外，彈性體上的應力應為有限值。），當時，必須有A=B=0。把上述條件代入（b）式中，得

26、所以，得應力的解答為4-9半平面體表面上受有均布水平力q，試用應力函數(shù)求解應力分量，如題4-9圖所示。【解】(1)相容條件：將應力函數(shù)代入相容方程，顯然滿足。(2)由求應力分量表達式（3）考慮邊界條件：注意本題有兩個面，即，分別為面，在面上，應力符號以正面正向、負面負向為正。因此，有 將各系數(shù)代入應力分量表達式，得4-12 楔形體在兩側面上受有均布剪力q,如題4-12圖所示，試求其應力分量?！窘狻浚?）應用應力函數(shù)，進行求解。由應力函數(shù)得應力分量（2）考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得 （a） (b) (c) (d)同式（a）得 (e)同式（b）得 (f)同式（c）得 (g)同式（d）得 (h)式(e) 、(f) 、(g)、 (h)聯(lián)立求解，得將以上各系數(shù)代入應力分量，得4-14 設有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為R而內(nèi)半徑為r的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力為q，試求圓筒的應力?！窘狻勘绢}為軸對稱問題，故環(huán)向位移，另外還要考慮位移的單值條件。（1）應力分量引用軸對稱應力解答，教材中式（4-11），取圓筒解答中的系數(shù)為A，B，C，剛體解答中的系數(shù)為A，B，C由多連體中的位移單值條件，有B=0， （a）B=0 (b)現(xiàn)在，取圓筒的應力表達式為 （c）剛體的應