山東建筑大學(xué)歷年線性代數(shù)試題

1、山東建筑大學(xué)線性代數(shù)近年試題及參考答案06-07-1線性代數(shù)試題A一、選擇題（每小題4分，共20分）1設(shè)四階矩陣，其中均為4維列向量，且已知行列式，則行列式（ ）（A） 5； （B） 4； （C） 50； （D） 40。2設(shè)為3×3矩陣，為4×4矩陣，且，則（ ）。（A） ； （B） ； （C） ； （D） 1。3設(shè)A是n階方陣，且，則在A的n個(gè)行向量中（ ）.（A）必有r個(gè)行向量線性無關(guān)（B）任意r個(gè)行向量線性無關(guān)（C）任意r個(gè)行向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)組（D）任意一個(gè)行向量都可以由其余個(gè)行向量線性表示4 若齊次方程組有無窮多解，則非齊次方程組 ( ) 必有無窮多解； 可能

2、有唯一解 必?zé)o解； 有解時(shí)必有無窮多組解.5設(shè)三階方陣的三個(gè)特征值為, , ，對(duì)應(yīng)于的特征向量為 ，對(duì)應(yīng)的特征向量為，記向量，則( ). 是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量. 是對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量. 是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量. 不是的特征向量.二、填空題（每小題4分，共20分）1設(shè)維向量組 線性無關(guān)， 則向量組 的秩為 .2 已知矩陣與相似，則矩陣的特征值為 。3行列式 .4設(shè)，向量滿足，則 .5設(shè)A為n階方陣，且，則 .三、(8分) 計(jì)算階行列式四、(8分) 求解下面矩陣方程中的矩陣五、（8分）設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明(1) 能由線性表示；(2) 不能由線性表示.六、（10分）設(shè)，

3、問取何值時(shí)，此方程組有惟一解，無解或無窮多解？并且有無窮多解時(shí)，求通解。七、（10分）求向量組的秩和它的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。其中， ， ， .八、（16分）已知二次型，通過正交變換化作標(biāo)準(zhǔn)形，給出所作的正交變換。06-07-1線性代數(shù)試題B一、選擇題（每小題4分，共20分）1設(shè) 則（ ） 2是n階矩陣，k是非零常數(shù)，則（A） ； （B） ； （C） ； （D） 3 若向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)，則（ ）。（A）必可由線性表示 （B）必不可由線性表示（C）必可由線性表示 （D）必不可由線性表示4齊次線性方程組僅有零解的充要條件是（ ）.（A）系數(shù)矩陣A的行向量組線性

4、無關(guān)；（B）系數(shù)矩陣A的列向量組線性無關(guān)；（C）系數(shù)矩陣A的行向量組線性相關(guān)；（D）系數(shù)矩陣A的列向量組線性相關(guān)。5設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，P是n階可逆矩陣，已知n維列向量是A的屬于特征值的特征向量，則矩陣的屬于特征值的特征向量是（ ）（A）； (B) ； (C) ； (D) 。二、填空題（每小題4分，共20分）1.若， = .2 已知矩陣與相似，則矩陣的行列式 .3. 設(shè) , 則 = .4向量組，線性相關(guān)，則 。5. 設(shè)矩陣，其中都是維列向量，若的行列式，的行列式 則的行列式 。三、（8分）計(jì)算行列式，其中四、（8分）設(shè)A，B為3階方陣，且滿足，若，求B。五、（8分）證明題（1） 證明可逆矩陣

5、的特征值都不為零.（2） 設(shè)矩陣及都可逆，證明也可逆，并求其逆矩陣.六、（10分）取何值時(shí)，方程組有解，有解時(shí)求出通解。七、（10分）設(shè)有向量組，求該向量組的秩和它的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。八、(16分) 用正交變換化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形，給出所用的變換，并指出是否為正定的.06-07-2線性代數(shù)試題A一填空題（本題滿分12分，每小題3分）1、設(shè)0是矩陣的特征值，則_2、已知矩陣，且的秩，則_3、設(shè)，則.4、設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .二、選擇題（本題滿分12分，每小題3分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)

6、）1設(shè)是4階矩陣，且的行列式，則中【 】 . 必有一列元素全為0； . 必有兩列元素成比例； . 必有一列向量是其余列向量的線性組合； . 任意列向量是其余列向量的線性組合2設(shè) ， ， ， ，則必有【 】 . ； . ； . ； . 3設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是【 】(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). 4設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是【 】(A) . (B) . (C) . (D) .三計(jì)算行列式（本題滿分6分）四（本題滿分12分）

7、 設(shè)階矩陣和滿足條件： 證明：是可逆矩陣，其中是階單位 已知矩陣，求矩陣五（本題滿分14分） 當(dāng)、為何值時(shí)，線性方程組有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時(shí)的通解六（本題滿分12分）求矩陣 的特征值和特征向量，并回答是否能對(duì)角化？為什么？七（本題滿分12分） 問取何值時(shí)，二次型為正定二次型？八（本題滿分8分） 已知三維向量空間的一組基為，求向量在上述基下的坐標(biāo)九（本題滿分12分）設(shè)維向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)，試用兩種不同的方法證明可由線性表示，且表示法唯一.06-07-2線性代數(shù)試題B一填空題（本題滿分15分，每小題3分）1、已知是關(guān)于的一次多項(xiàng)式，該式中的系數(shù)為_2、已知線性方程

8、組有解，則_3、設(shè)，則4、設(shè)二次型則該二次型的秩為_.5、已知為2維列向量，矩陣，.若行列式，則 .二、選擇題（本題滿分15分，每小題3分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1設(shè)是矩陣，而且的行向量線性無關(guān)，則【 】 . 的列向量線性無關(guān)； . 線性方程組的增廣矩陣的行向量線性無關(guān)； . 線性方程組的增廣矩陣的任意四個(gè)列向量線性無關(guān)； . 線性方程組有唯一解 2、若階方陣與的秩相等，則下列成立的是 【 】（A）必存在階可逆矩陣使得（B）必存在階可逆矩陣使得（C）必存在階可逆矩陣使得（D）必有3已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解向量，是齊次線

9、性方程組的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則方程組的通解必是【 】(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。4階矩陣具有個(gè)不同特征值是與對(duì)角陣相似的【 】 . 充分必要條件； . 充分而非必要條件； . 必要而非充分條件； . 既非充分也非必要條件5、設(shè)線性無關(guān)， 線性相關(guān)，則【 】 線性無關(guān) 線性相關(guān) 能由線性表示 能由線性表示三計(jì)算行列式（本題滿分6分）四（本題滿分8分） 已知 ，且，其中是3階單位矩陣，求矩陣五（本題滿分12分） 問為何值時(shí)，線性方程組有解，并求出解的一般形式六（本題滿分8分）已知矩陣 的特征值 求一個(gè)正交陣把矩陣角化.七（本題滿分10分）若二次型是正定二次型，求的取值范圍八（本

10、題滿分10分）已知向量組，求（1）向量組的秩；（2）向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示出來.九（本題滿分10分）設(shè)A為三階矩陣，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足，.(I) 求矩陣B, 使得；（II）求矩陣A的特征值；十、（本題滿分6分）設(shè)向量線性無關(guān),且 證明向量組線性無關(guān). 07-08-1線性代數(shù)試題A一、 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1、設(shè)矩陣，則下列運(yùn)算可行的是 【 】 , , 2、設(shè)為階方陣，為階單位矩陣，則下列等式成立的是 【 】 3、設(shè)方陣有特征值、，是與 對(duì)應(yīng)的特征向量，是與對(duì)應(yīng)的特征向量，下列判斷正確的是 【 】與線性無關(guān) 是的特征向量與線性相關(guān) 與

11、正交4、設(shè)4階方陣的行列式為2，則的伴隨矩陣的行列式為 【 】(A) 2； (B) 4； (C) 8； (D) 15、 【 】6、與為同階方陣，如果與具有相同的特征值，則 【 】(A) 與相似；(B) 與合同；(C) ； (D) 二、填空題（每小題3分，共18分）7、，則.8、設(shè)3階矩陣，且矩陣行列式，則矩陣行列式 .9、設(shè)矩陣，則的非零特征值為_.10、若方陣A有一個(gè)特征值是1，則 .11、維向量空間的子空間的維數(shù)是_12、設(shè)表示由階單位矩陣第行與第行互換得到的初等矩陣，則E_.三、解答下列各題（每小題6分，共24分）13、計(jì)算行列式 14、設(shè)矩陣，求行列式。15、解矩陣方程 16、問取何值

12、時(shí)，二次型為正定二次型？四、綜合題（每小題10分，共40分）17、設(shè)向量組（1）求向量組的秩，并判斷其相關(guān)性; （2）求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.18、設(shè)線性方程組為，問,各取何值時(shí)，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求出其通解19、已知是矩陣的一個(gè)特征向量 1）試求參數(shù)、及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值；2）問是否相似于對(duì)角陣？說明理由20、已知向量組 （） ； （） ； （） 如果各向量組的秩分別為，證明：向量組（） 的秩為4.06-07-1線性代數(shù)A卷參考答案一、1（D）；2（C）；3（A）；4（D）；5（D）二、1. s；2. 2，5；3.

13、abcd；4.；5.。三、將第二列，第n1列加到第一列得四、設(shè)則 ，；五、證（1）因線性無關(guān)，所以線性無關(guān)。又線性相關(guān)，所以可由線性表出。（2）若可由線性表出，則存在使，又由（1），即可由線性表出，這與線性無關(guān)矛盾。六、解 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換 當(dāng)且時(shí)，此時(shí)方程組有惟一解： 當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組無解 當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有無窮多解其通解為： 七、解 所以線性無關(guān)，是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組 八、解 二次型的矩陣為 令，解得對(duì)于，即 解得屬于1的特征向量為。 對(duì)于，即 解得屬于2的特征向量為。對(duì)于， 即 解得屬于5的特征向量為。將這3個(gè)向量單位化，得。令 是所求的正交變換,從而得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形： 06

14、-07-1線性代數(shù)試題B參考答案答案一、1（C）；2（C）3（C）；4（B）；5.（B）。二、1. 3； 2 . 10；3. ；4.；5. 三、四、解 方程兩端同時(shí)左乘A，右乘得 即 將A代入，得 五、（1）設(shè)是可逆矩陣的特征值，由為可逆矩陣，所以若有，則有矛盾，故（2） 因?yàn)?，可逆，故，存在，所以有故可逆，其逆?六、解 對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換 當(dāng)時(shí)，方程組有解。 此時(shí)方程組的通解為：七、解 = 所以線性無關(guān)，并且是原向量組的一個(gè)極大無關(guān)組 ，八、解 令，得的特征向量為： 的特征向量為的特征向量為單位化： ，正交變換 從而得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：由順序主子式不全大于等于0或標(biāo)準(zhǔn)形中有負(fù)項(xiàng)

15、，得不是正定的。2006-2007-2線性代數(shù)試題A卷參考答案一1、1；2、；3、；4、2二、1C；2C；3A；4、B三解1: 解2: 四解： 由等式，得，即：因此矩陣可逆，而且 由知，即 或 五 解： 所以， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)線性方程組有唯一解 當(dāng)，時(shí)，此時(shí)線性方程組無解 當(dāng)，時(shí)，此時(shí)線性方程組有無窮多組解 此時(shí)，原線性方程組化為：因此，原線性方程組的通解為：或者寫為 六解 ，所以得特征值對(duì) ，解方程組，由，得特征向量 ，所以對(duì)應(yīng) 的全部特征向量為 對(duì) ，解方程組，由，得特征向量 全部特征向量為 沒有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以不能對(duì)角化七 解： 的矩陣為 因此，二次型為正定二次型矩陣為正定矩陣矩

16、陣的各階順序主子式全大于零 而矩陣的各階順序主子式分別為， 所以，二次型為正定二次型，且 由 ，得 由 ，得 因此，得 即，二次型為正定二次型 八解： 設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為，則有 ，寫成線性方程組的形式，有 即 ，得唯一解，因此所求坐標(biāo)為九證法1：記，顯然.1°因?yàn)榫€性無關(guān)，知 2°因?yàn)榫€性相關(guān)，知因此，有解且唯一。則可由表示，且表示法唯一。證法2：線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)，使得 若k=0，則， 線性無關(guān)，矛盾。k0 若又有即可由線性表示，且表示法唯一. 2006-2007-2線性代數(shù)B卷參考答案一1、；2、；3、；4、1；5、二、1、B；2、A；3、B；4、B； 5、C

17、三解：四解： 由，得，而且因此矩陣可逆，且 ，所以，由，得，因此， 五 解： 將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣：所以，原線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為當(dāng)時(shí)，其增廣矩陣的秩為，因此此時(shí)原線性方程組無解當(dāng)時(shí)，故線性方程組有解此時(shí)，上面的階梯矩陣為 因此，原線性方程組的通解為, 其中是任意實(shí)數(shù) 寫成基礎(chǔ)解系的形式，有 ，其中是任意實(shí)數(shù)六 解：時(shí)，由得特征向量，時(shí)，由得特征向量，時(shí)，由得特征向量，把單位化得,得正交矩陣，使七 解：二次型的矩陣因此，二次型為正定二次型矩陣為正定矩陣矩陣的各階順序主子式全大于零；八解：所以向量組的秩為2; 向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組為并且有; ;九解 (I) , 可知 （II）因?yàn)槭蔷€性無關(guān)的三維列向量，可知矩陣可逆，所以，即矩陣A與B相似，由此可得矩陣A與B有相同的特征值. 由 ，得矩陣B的特征值，也即矩陣A的特征值 十、證明：07-08-1線性代數(shù)A參考答案一、1、 C ；2、 B；3、 A ；4、C；5、A；6、C二、7、；8、24；9、；10、；11、；12、三、13解：14解：； 15解：16解：的矩陣為 因此，二次型為正定二次型矩陣為正定矩陣 矩陣的各階順序主子式全大于零 而矩陣的各階順序主子式分別為 ， 所以，二次型為正定二次型，且 由 ，得 由 ，得 因此，得 四、17解： 所以 （1）, 所以向量