《多元隱函數(shù)微分法》ppt課件

1、假設(shè)在方程式0),(zyxF中,2),(Ryx時, 相應(yīng)地總有滿足該方程的獨一的 z 值存在, 那么稱該方程在 內(nèi)確定隱函數(shù). ),(yxfz 留意, 隱函數(shù)不一定都能顯化.假設(shè)在方程式0),(uXF中, nRX時, 相應(yīng)地總有滿足該在 內(nèi)確定隱函數(shù). )(Xfu 方程的獨一的 u 值存在 , 那么稱該方程 ),( 1nxxX 將概念推行到普通情形 利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求 一元函數(shù)的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式設(shè)0),(yxF確定隱函數(shù). )(xfy 兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo), 得假設(shè),),(1CyxF那么對方程0),(yxF0ddxyyFxF從而得到一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式 )0( dd yFyFxFxy設(shè),022

2、yxxy求.ddxy令,22),(yxxyyxF那么xFyF2ln2yx故xyddyFxF2ln22ln2yxxy)02ln2(yx2ln2xy , 例例解解多元隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)一個方程確定 的隱函數(shù) 方程組確定 的隱函數(shù) 設(shè) 1. ;),(),(0001zyxNCzyxF 2. ;0),(000zyxF3. ,0),(000zyxFz那么方程0),(zyxF在),(00yxN內(nèi)獨一確定一個函數(shù)),(),(001yxNCyxfz 且, ),(000yxfz .0),(,(yxfyxF隱函數(shù)存在的條件由隱函數(shù)存在定理的條件及多元函數(shù)求導(dǎo)方法, 0yzzFyF由于,),(U(),(0001zyxCz

3、yxF,0),(000zyxFz由延續(xù)函數(shù)性質(zhì),),(00yxN 在其中,0),(zyxFz0 xzzFxF,故zFxFxz,zFyFyz.對方程 F(x, y, z) = 0 兩邊關(guān)于 x , y 求偏導(dǎo), 得 公式函數(shù)),(yxzz 的偏導(dǎo)數(shù).求方程所確定的xye0zez2z2令),(zyxFxye,ze那么xF,xyyeyF,xyxezF,2ze故zFxFxzzxyeye22zxyeye)02(ze 例例解解函數(shù)),(yxzz 的偏導(dǎo)數(shù).求方程所確定的xye0zez2z2令),(zyxFxye,ze那么xF,xyyeyF,xyxezF,2ze故)02(zezFyFyzzxyexe22zx

4、yexe 例例解解函數(shù)),(yxzz 的偏導(dǎo)數(shù).求方程所確定的xye0zez2 例例解解對方程兩邊微分可得：02)(1( dzedzydxxdyezxy整理得：dyexedxeyedzzxyzxy22 由微分公式可得：2,2 zxyzxyexeyzeyexz設(shè)0),(xyzzyxF確定),(yxzz 求,xz,yz其中,.1CF xF,21FyzFyF,21FxzFzF,21FxyFxz21FyzF21FxyFyz21FxzF21FxyF故)0(21FxyF 例例解解設(shè)0),(xyzzyxF確定),(yxzz 求,xz,yz其中,.1CF 例例解解0909-7-7多多元元隱隱函函數(shù)數(shù)微微分分法

5、法(1(1).).p p對方程兩邊微分可得：0)()(21 xydzxzdyyzdxFdzdydxF整理得： dz21FyzF21FxyF dx21FxzF21FxyFdyxz21FyzF21FxyFyz21FxzF21FxyF故)0(21FxyF設(shè)1. ；),(U(),(001uXCuXF2. ；0)(0XF3. ,0),(00uXFu那么方程0),(uXF在)(0XN內(nèi)獨一確定函數(shù))()(01XNCXfu 且, )(00Xfu .0)(,(XfXF 求導(dǎo)公式？設(shè)1. ；),(),(001uXNCuXF 2. ；0)(0XF3. ,0),(00uXFu那么方程0),(uXF在)(0XN內(nèi)獨一

6、確定函數(shù))()(01XNCXfu 且, )(00Xfu .0)(,(XfXF ), 2, 1( niuFxFxuii求導(dǎo)公式 為了將一個方程確定的隱函數(shù)的求 導(dǎo)方法推行至由方程組確定的隱函數(shù)的 情形, 我們首先要引見雅可比行列式.),(),(2121nnxxxuuuJ ),(),(2121nnxxxFFF11xF21xFnxF112xF22xFnxF21xFnnnxF2xFn ), 2 , 1( ),(),( 121niCxxxFunii設(shè)雅可比行列式記號 當(dāng)所出現(xiàn)的函數(shù)均有一階延續(xù)偏導(dǎo)時, 雅可比行列式有以下兩個常用的性質(zhì)：1.1),(),(),(),(21212121 nnnnuuuxxx

7、xxxuuuLLLL2.),(),(),(),( ),(),(212121212121nnnnnntttxxxxxxuuutttuuu復(fù)合函數(shù)情形設(shè)0),(0),(zyxGzyxF確定函數(shù), )(xzz 求,ddxy。xzdd, )(xyy 想想, 怎樣做 ？ 1.幾個方程確定幾個函數(shù)；2.自變量的個數(shù)=方程個數(shù)-函數(shù)個數(shù)。方程組 ,1CGF方程組中每個方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)：xFxyyFdd0ddxzzFxGxyyGdd0ddxzzG移項, 得xyyFddxzzFddxFxyyGddxzzGddxG 運用克萊滿法那么解此二元一次方程組當(dāng)0),(),(zyGF時, 方程組有獨一解：xydd )

8、,(),(zxGF),(),(zyGFxzdd ),(),(xyGF),(),(zyGF,.zGyGzFyFzyGF),(),( 其中zGxGzFxFzxGF),(),(,xGyGxFyFxyGF),(),(, 我們實踐上已找到了求方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式(之一).設(shè)0),(0),(vuyxGvuyxF確定函數(shù)求方程組, ),(yxuu , ),(yxvv ,xu,yu,xv。yv,1CGF 1.幾個方程確定幾個函數(shù)；2.自變量的個數(shù)=方程個數(shù)-函數(shù)個數(shù)。問 題 2 將 y 看成常數(shù), 0)v,u()G,F( 時時當(dāng)當(dāng) ),(),(),(),( vuGFvxGFxu ),(),(),(

9、),( vuGFxuGFxv問 題 2 將 x 看成常數(shù), 0),(),( 時當(dāng)vuGF ),(),(),(),( vuGFvyGFyu ),(),(),(),( vuGFyuGFyv例5設(shè)0022yvuxvu確定函數(shù)),(yxuu ),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解令,),(2xvuvuyxF,),(2yvuvuyxG那么),(),(vuGFvu211214 uv),(),(vxGFv2011v2 xu14uvv2同理可得),(),(xuGF0112u1),(),(vyGFv21101),(),(yuGF1102uu2141uvxv141uvyu142uvuyv.dzdy,dzdx, 2zyx,z21yx:222求求設(shè)設(shè)例例=+=+zz221dzdyy2dzdxx2=+01dzdydzdx=+yxyzyxyzdzdx222112211_2 xyxzdzdy222 解.dzdy,dzdx, 2zyx,z21yx:222求求設(shè)設(shè)例例=+