數(shù)列公式匯總

1、.人教版數(shù)學(xué)必修五第二章數(shù)列重難點(diǎn)解析第二章課文目錄2 1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法2 2等差數(shù)列2 3等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和2 4等比數(shù)列2 5等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和【重點(diǎn)】1 、數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用。2 、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。3 、等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。4 、等差數(shù)列 n 項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用，熟練掌握等差數(shù)列的求和公式。5 、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用。6 、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式推導(dǎo)，進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n 項(xiàng)和公式【難點(diǎn)】1、根據(jù)數(shù)列的前 n 項(xiàng)觀察、歸納數(shù)列的

2、一個(gè)通項(xiàng)公式。2、理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系。3、等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題。4、靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n 項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題。5、靈活應(yīng)用求和公式解決問(wèn)題，靈活應(yīng)用定義式及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問(wèn)題。6、靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題。一、 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 數(shù)列的定義 ：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列 .注意 ：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項(xiàng) ：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)

3、 . 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1 項(xiàng)（或首項(xiàng)），第 2項(xiàng)，第 n 項(xiàng)， .數(shù)列的一般形式 ：a1 , a2 , a3 , , an ,，或簡(jiǎn)記為 an ，其中 an 是數(shù)列的第 n 項(xiàng) 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ：如果數(shù)列 an 的第 n 項(xiàng) an 與 n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 .注意 ：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列；一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1 ， 0 ，它的通項(xiàng)公式可以是可編輯.1 ( 1) n 1n1an，也可以是 an | cos|.22數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是

4、否是該數(shù)列中的一項(xiàng).數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)5. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集 N * （或它的有限子集 1 ， 2 ， 3 ， n ）為定義域的函數(shù) an f (n) ，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù) y=f(x) ,如果 f(i)（ i=1 、2、3 、4 ）有意義， 那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1) 、 f(2) 、f(3) 、 f(4) ，f(n) ，6 數(shù)列的分類：1 ）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)

5、數(shù)的多少分：有窮數(shù)列 ：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 .例如數(shù)列 1 ，2 ，3 ，4 ， 5 ， 6 。是 有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列 ：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列 .例如數(shù)列 1 ，2 ，3 ，4 ， 5 ， 6 是無(wú)窮數(shù)列2 ）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。擺動(dòng)數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列7 數(shù)列的表示方法（ 1 ）通項(xiàng)公式法如果數(shù)列an 的第 n 項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如數(shù)列的通項(xiàng)公式為；的通項(xiàng)公式為

6、；的通項(xiàng)公式為；（ 2 ）圖象法啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個(gè)可編輯.數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)（ 3 ）遞推公式法如果已知數(shù)列 an 的第 1 項(xiàng)（或前幾項(xiàng)） ，且任一項(xiàng) an 與它的前一項(xiàng) an 1 （或前 n 項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列

7、的一個(gè)數(shù)列：3，5， 8，13 ，21，34 ，55 ，89遞推公式為：a13, a25, anan 1an 2 (3n8)4 、列表法簡(jiǎn)記為典型例題：例 1 ：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3, 5, 9, 17, 33,；(2) 2,4,6 ,8 ,10 , ；315356399(3)0, 1, 0, 1, 0, 1,；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,；(5)2, 6, 12, 20, 30, 42, .解： (1)an 2n 1；2n； (3)1( 1) n(2) an an ；(2n 1)( 2n 1)2(4)將數(shù)列變形為10, 2

8、 1, 3 0, 4 1, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1, ,an ；(5) 將數(shù)列變形為 1 ×2, 2 ×3, 3 ×4, 4 ×5, 5 ×6,， an a11例 2 ：設(shè)數(shù)列 an滿足1寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。an1(n 1).an1解：二、等差數(shù)列1 等差數(shù)列 ：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d ”表示）。公差d 一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求；對(duì)于數(shù)列 an ,若 an an 1 =d ( 與 n 無(wú)關(guān)的數(shù)或字

9、母)，n 2 ，n N，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n1)d 【或 anam(nm) d 】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列an 的首項(xiàng)是 a1 ，公差是d ，則據(jù)可編輯.其定義可得：a2a1d 即： a2a1da3a2d 即： a3a2d a12da4a3d 即： a4a3d a13d由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：ana1(n1)d已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1 和公差 d ，便可求得其通項(xiàng)an 。由上述關(guān)系還可得：ama1(m1)d即： a1am(m1)d則： ana1(n 1)d = am(m 1)d ( n 1)d

10、 am(n m)d即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式anam (nm)daman d=nm3 有幾種方法可以計(jì)算公差d d=an an 1ana1 d =anam d =1nmn4 結(jié)論：（性質(zhì)） 在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則， am an apaq即 m+n=p+qamana paq (m, n, p, q N )但通常 由 amana paq推不出 m+n=p+q， amanam n典型例題：例 1：求等差數(shù)列 8，5，2的第 20 項(xiàng) -401 是不是等差數(shù)列 -5 ， -9 ， -13 的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：例 3：求等差數(shù)列 3 ，7 ，11 ，的第 4 項(xiàng)與第 10 項(xiàng) .例 5

11、 ： 100 是不是等差數(shù)列2 ， 9 ，16 ，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由.1例 6 ： 20 是不是等差數(shù)列0， 3， 7，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由.2例 8 ：在等差數(shù)列 an 中，若 a1 + a6 =9,a4 =7,求 a3 , a9 .可編輯.三、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和1 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 1 ： Snn(a1an )2證明：Sna1a2a3an1anSnanan 1an 2a2a1 + ： 2Sn(a1an ) ( a2an 1 ) (a3an 2 )( anan )a1ana2an 1a3an 22Snn( a1an )n(a1an )

12、由此得： Sn2從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問(wèn)題的正確性2 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 2 ： Snna1n(n 1)d2用上述公式要求Sn 必須具備三個(gè)條件：n, a1 , an但 ana1(n 1)d代入公式1 即得：Snna1n( n1)d2此公式要求 Sn 必須已知三個(gè)條件：n, a1 , d（有時(shí)比較有用）n 項(xiàng)和公式 2 ： Snn(n1)d對(duì)等差數(shù)列的前na12可化成式子：Snd n 2(a1d)n ，當(dāng) d 0 ，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式223 由 Sn 的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)， S1 = a1 ；當(dāng) n2時(shí)， an = Sn - Sn 1 ，即 an =S1 (n1).

13、SnSn 1 (n2)4 對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法:（ 1） 利用 an :當(dāng) an >0 ， d<0 ，前 n 項(xiàng)和有最大值可由 an 0，且 an 1 0，求得 n 的值當(dāng) an <0 ， d>0 ，前 n 項(xiàng)和有最小值可由 an 0，且 an 1 0，求得 n 的值（ 2） 利用 Sn ：由 Snd n 2(a1d )n 利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n 的值22典型例題：例 2 ：等差數(shù)列 10 ， 6， 2， 2，·······9項(xiàng)的和前多少？解：例 3 ：等差數(shù)列前10 項(xiàng)的和為

14、140 ，其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125 ，求其第6 項(xiàng)可編輯.解例 6 ：已知等差數(shù)列 a n 中， S3 =21 ， S6 =64 ，求數(shù)列 |a n |的前 n 項(xiàng)和 Tn 例 7 ： 在等差數(shù)列 a n 中，已知 a6 a9 a12 a15 34 ，求前 20 項(xiàng)之和例 8 ：已知等差數(shù)列 a n 的公差是正數(shù)，且 a 3 ·a7= 12 ， a4 a 6 = 4，求它的前 20 項(xiàng)的和 S20 的值例 9 ：等差數(shù)列 a n 、b n 的前 n 項(xiàng)和分別為Sn 和 Tn ，若Sn2n，則 a100 等于 Tn3n1b100A 1B 23C 199D 200299301分

15、析 該題是將 a100與 Sn2n發(fā)生聯(lián)系，可用等差數(shù)列的前n項(xiàng)b100Tn3n1和公式 Sn= n(a1 + an ) 把前 n項(xiàng)和的值與項(xiàng)的值進(jìn)行聯(lián)系2例 10 ： 解答下列各題：(1) 已知：等差數(shù)列 a n中 a 2 3， a 6 17 ，求 a 9；(2) 在 19 與 89 中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為 1350 ，求這幾個(gè)數(shù)；(3) 已知：等差數(shù)列 a n 中， a 4 a6 a15 a 17 50 ，求 S20 ；可編輯.(4) 已知：等差數(shù)列 a n 中， a n =33 3n ，求 Sn 的最大值四、等比數(shù)列1 等比數(shù)列 ：一般地，如果

16、一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列 .這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q 表示（ q 0），即：an= q （q 0 ）an11“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)(q)an成等比數(shù)列an 1 = q（n Nq ）, 0an2 隱含：任一項(xiàng) an 0且 q 0“ an 0 ”是數(shù)列 an 成等比數(shù)列的必要非充分條件3q= 1 時(shí)， a n為常數(shù)。2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1: ana1q n 1 (a1 q0)由等比數(shù)列的定義，有：a2a1 q ；a3a2q (a q) q a q 2；11aa3q (a q 2 )q a q 3 ；4

17、11aan1qa1qn1 (a1q0)n3. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2: anamq m 1 (a1q0)4 既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列5 等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 ana1 q n1 (a1 q 0) ,它的圖象是分布在曲線 ya1 qx （ q>0 ）上q的一些孤立的點(diǎn)。當(dāng) a10， q >1時(shí)，等比數(shù)列an 是遞增數(shù)列；當(dāng) a10， 0q1，等比數(shù)列 an 是遞增數(shù)列；當(dāng) a10， 0q1時(shí)，等比數(shù)列an 是遞減數(shù)列；當(dāng) a10， q >1時(shí)，等比數(shù)列an 是遞減數(shù)列；當(dāng) q0 時(shí)，等比數(shù)列an 是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q1 時(shí)，等比數(shù)列an

18、是常數(shù)列。6 等比中項(xiàng)：可編輯.如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使, ， 成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng) . 即a G bG= ±ab（,同號(hào)）a b如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù)G，使 a,G， b 成等比數(shù)列，則GbG 2ab Gab ，反之，若 G 2 = ab ,則 Gb ，即 a,G,b 成等比數(shù)列aGaG ,成等比數(shù)列G2 =ab（ ·0）a G ba b7 等比數(shù)列的性質(zhì)：若 m+n=p+k ，則 aman a p ak在等比數(shù)列中， m+n=p+q， am , an , a p ,ak 有什么關(guān)系呢？由定義得： ama1q m 1ana1q n 1a pa1 q p 1ak a1q k 1am an2， ap ak2a1 q