數(shù)學(xué)建模綜合題影院座位設(shè)計問題

1、數(shù)學(xué)模型張峰華材料學(xué)院材料成型及控制工程04 班20123631劉澤材料學(xué)院材料成型及控制工程04 班20123627楊海鵬材料學(xué)院冶金工程 03 班20123203精選文庫一、問題重述影院座位的滿意程度主要取決于視角 和仰角 ，視角是觀眾眼睛到屏幕上下邊緣的視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過分上仰，引起不適，一般要求仰角不超過 300 ；記影院的屏幕高為 h ，上邊緣距離地面高為 H , 影院的地板線通常與水平線有一個傾角，第一排和最后一排與屏幕水平距離分別為d, D ，觀眾的平均座高為c（指眼睛到地面的距離） ，已知參數(shù) h =1.8.H

2、=5， d4.5, D19 ， c =1.1( 單位 m)。求解以下問題：(1) 地板線的傾角100 時，求最佳座位的所在位置。(2) 地板線的傾角 一般超過 200 ，求使所有觀眾的平均滿意程度最大時的地板線傾角。二、問題的分析電影院座位的設(shè)計應(yīng)滿足什么要求，是一個非?，F(xiàn)實的問題。根據(jù)題意觀眾對座位的滿意程度主要取決于觀看時的視角 和仰角 ， 越大越好，而 越小越好，最佳位置就是要在這兩者之間找到一個契合點，使觀眾對兩者的綜合滿意程度達到最大。本文通過對水平視角 和仰角 取權(quán)重，建立適當?shù)淖鴺讼?，從而建立一個線形型滿意度函數(shù)。針對問題一，已知地板線傾角，求最佳座位所在，即將問題轉(zhuǎn)化求綜合滿意

3、度函數(shù)的最大值，建立離散加權(quán)的函數(shù)模型并利用 Matlab 數(shù)學(xué)軟件運算求解；針對問題二，將所有觀眾視為離散的點，要使所有觀眾的平均滿意程度達到最大，即將問題轉(zhuǎn)化求滿意度函數(shù)平均值的最大值。對此利用問題一所建立的滿意度函數(shù)，將自變量轉(zhuǎn)化為地板線傾角；在問題二的基礎(chǔ)上對地板線形狀進行優(yōu)化設(shè)計， 使觀眾的平均滿意程度可以進一步提高。本文在滿意度呈線性的基礎(chǔ)上來建立模型的，為使模型簡化，更好地說明問題，文中將作以下假設(shè)。三、模型假設(shè)1. 忽略因視力或其他方面因素影響觀眾的滿意度；2. 觀眾對座位的仰角的滿意程度呈線性；3. 觀眾對座位的水平視角的滿意程度呈線性；4. 最后排座位的最高點不超過屏幕的上

4、邊緣；5. 相鄰兩排座位間的間距相等，取為0.8 m ；6. 對于同一排座位，觀眾的滿意程度相同；7. 所有觀眾的座位等高為平均座高；8. 影院的的地板成階梯狀。-1精選文庫四、符號說明水平視角視高差，即從眼睛到頭頂?shù)呢Q直距離仰角S觀眾對水平視角為的滿意程度地板線與水平線的傾角S觀眾對仰角為的滿意程度d第一排離屏幕水平距離S平均滿意程度D最后一排離屏幕水平距離c , c視角 、仰角在綜合滿意度 Si 中的權(quán)重h屏幕的高度l相鄰兩排座位間沿地板線方向的間距H 屏幕上邊緣離地面的高度五、模型的建立與求解5.1 問題一每一個到影院看電影的觀眾都想坐在最佳位置， 而對座位的滿意程度主要取決于兩個因素：

5、水平視角 和仰角 ，且視角是觀眾眼睛到屏幕上下邊緣的視線的夾角，越大越好，仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過分上仰，引起不適，要求不超過 300 。模型的建立：仰角在滿足條件的范圍內(nèi), 觀眾滿意度只取決于視角以第一排觀眾的眼睛為原點，建立平面直角坐標系，如圖1 所示：屏yh 幕BEH c h x tan視覺線SH hP地板cOcx tanx地面MxNdD d圖 1影院座位設(shè)計的剖面圖其中， AB 為屏幕， MS 為地板線， OE 為所有的觀眾的眼睛所在的直線。則由圖可設(shè)視覺線 OE 上任意一點 P 的坐標為 ( x, x tan) ，屏幕上下點的坐標分別為A( d,

6、 H c) ，-2B( d, Hh c) ， AP 的斜率記為 kAP , BP 的斜率記為 kBP 。由斜率公式得：k APtanx tanH c ， k BPtan()x tanHh cx( d )x (d )則直線 AP 和 BP 的斜率與夾角滿足如下關(guān)系：tank BPk APd ) 2h(xd )1 kBP kAP( x(x tanHc)( x tanHh c)仰角滿足條件： 0,30所以：0tan3 3x tanHc3 30( d )xH c3 3 dxHc3 3tantan由公式 (1.1) (1.2)得到模型為：maxarctanh( xd )( xd) 2(x tanHc)(

7、 x tanHhc)0xDds.t. Hc33dxHc3 3tantan精選文庫(1.1)(1.2)(1.3)模型的求解當10 時，用 Matlab 軟件運算求解（程序見附錄1），得最大視角為13.9522 ，仰角為30 ， x1.7274米。即 P 點的坐標為 (1.7274,0.3046) 為最佳位置。離屏幕的水平距離為 4.51.72746.2274米 。模型的建立：離散加權(quán)模型在地板線上的座位可視為是離散的點，設(shè)兩排座位在地板線方向上的前后間距為 l （查閱相關(guān)資料間距一般取 0.8 米），則在水平方向的間距為 l cos ，考慮仰角和視角對觀眾的滿意度為主要因素。對模型進行修正，將座

8、位連續(xù)情況進行離散化可以得到：x tanHc(k 1)l cos tanHc(2.1)tanx ( d)(k1)l cos( d)tanh( k1)l cosd )1)l cosd ) 2(k1)l cos tanHc)( k1)l cos tanH h c)( k(2.2)其中， k1,2,3, n ， n 為地板線上的座位的總排數(shù)，且n 14.5 1 19。l cos一般說來，人們的心理變化是一個模糊的概念。本文中觀眾對某個座位是否滿意的-3Hxtan精選文庫看法就是一個典型的模糊概念。由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識，根據(jù)題意，在假設(shè)條件下，對于第k 排座位，建立觀眾對視角、仰角

9、的滿意度函數(shù) 1 如下：tanS ktankmaxtantanmin(2.3)minS k1tan tankmaxtantanmin(2.4)min式中k , k 為第 k 排座位上觀眾視角和仰角， max ,max 表示在 給定的情況下最優(yōu)滿意度，min , min 表示在 給定的情況下最差滿意度。視角、仰角 在綜合滿意度 Sk 中的權(quán)重分別為 c, c ，建立第 k 排座位綜合滿意度函數(shù)如下：Skc S kc Scc根據(jù)地板線傾角k(2.5)10 ，通過計算可以得出 5.421015.8975 ，4.045140.9149 ，主觀給定權(quán)重 C0.6,C0.4 ，根據(jù)模型的建立，可以得出：S

10、kc S kcS k0.6S k0.4S k3.1596 tank 0.5025 tan k 0.1357(2.6)cc0.60.4將式 (2.1)和式 (2.2)帶入公式 (2.6)得到優(yōu)化模型為：max Sk(k1)l cos0.5025( k1)l cos tan(k1)l cos0xDdHc3 3 ds.t.3 3tanx(k1)l cos3.1596* h(k1)l cos d )d ) 2( k 1)l cos tanH c)( k 1)l cos tanH h c)Hc( d )0.1357c, k1,2,3,195.1.4 模型的求解用 Matlab 軟件運算求解（程序見附錄2

11、）可得： x2.3635米， k 4 排，最大滿意度為 S4 0.6176 , 最大視角為13.1282，仰角為26.9084 ,最佳位置離屏幕的水平距離為 4.5 2.3635 6.8635米 。5.2 問題二5.2.1 模型的建立要使所有觀眾的平均滿意程度達到最大，即需求S的最大值。由模型可知，第 kn排觀眾的滿意度為 S, 則觀眾平均滿意程度函數(shù)為： SSk n ，平均滿意度 S 的大小由每一排的滿意度所決定，而又是由仰角和視角k 1所決定。所以，要使觀眾的滿意程度達到最大，取決于兩個方面： (1) 仰角不超過條件的座位所占的比例越大，觀眾的平均滿意程度就越大； (2) 所有座位的視角的

12、均值越大，觀眾的平均滿意程度就越大。由式 (1.1) 可知，地板線傾角的改變將同時使所有座位的仰角和視角的大小發(fā)生-4精選文庫改變，且在某一座位 ( 即 x 取某一定值 ) ，在逐漸增大的過程中仰角逐漸減小，視角逐漸增大，見圖 2 所示。仰角不超過條件的區(qū)域擴大，即地板線傾角 越大 , 仰角不超過條件的座位所占的比例越大。7.15隨 的變化曲線16隨的變化曲線7.114127.05化 7化 10變變 8角 6.95角66.946.8526.800246810121416182002468101214161820角變化角變化圖 2視角和仰角隨變化的變化曲線第一排觀眾的仰角為40.9149，不滿足

13、仰角的條件，由模型可知第k 排座位所對應(yīng)的仰角的正切值：(k 1)l cos tanHc1,2,3,ntan k( d ), k( k 1)l cos其中 n 為地板線上的座位的總排數(shù)： n14.5 1，隨著地板線傾角的變化，相l(xiāng) cos鄰兩排座位間的間距 l 不變，但相鄰兩排座位間的水平間距會發(fā)生改變。由于地板線傾角 不超過 20 ，所以 19 n 20 ，并限制最后一排觀眾的視高不要超過屏幕的上邊緣，即15.0543 。由模型可求出第k 排座位所對應(yīng)的水平視角的正切值為：tanh( k1)l cosd )d ) 2(k 1)l costanHc)( k 1)l costanH h c)(

14、k 1)l cos5.2.2 模型的求解讓地板線傾角在 0,20 內(nèi)逐一取值 , 步長為 0.01 ；讓 x 在 0,14.5 內(nèi)逐一取值 , 步長為 0.01 。對一個取定的，判斷 x 所在的位置仰角是否超過30 ，若超過，則該座位的綜合滿意度必須同時考慮仰角和視角的取值；否則，只需要考慮視角的取值，把所有座位的綜合滿意度相加， 并求出觀眾的平均綜合滿意度， 判斷此時的平均滿意度是否最大，最后一排的高度是否超過屏幕的上邊緣，并記下最大值時的取值。當取地板線傾角為變化時，通過計算可以得出5.114315.8975 ，040.9149 。-5精選文庫由模型的 (2.5)c S kcS k0.6S

15、 k0.4S k（3.1）式得：Skc0.60.4c所以，將式 (2.1)和式 (2.2)帶入公式 (3.1)得到平均滿意度的優(yōu)化模型為：nSkmax Sk 1n19n20s.t0x15.0543, k 1,2, , n其中 n取整數(shù)0D dx(k1)l cos用 Matlab 軟件計算（程序見附錄3）可得：最大平均滿意度為 S0.6572 ，對應(yīng)地板線的傾角為15.0543 。5.3 在問題二的基礎(chǔ)上對地板線形狀進行優(yōu)化設(shè)計，使觀眾的平均滿意程度可以進一步提高。模型的建立與求解由上兩問可知 , 觀眾的滿意程度與仰角 , 視角和地板線傾角都有關(guān) , 而每一座位到屏幕的水平距離基本固定不變，考慮

16、觀眾的滿意度，就要考慮仰角，視角隨著的變化情況。引理 地板線不管設(shè)計成什么形狀 , 各排的間距不變， 區(qū)別在于各排的高度差如何變化，若豎直方向上的兩定點，在與它們相距一定水平距離的豎直方向上有一動點，當該動點位于兩定點的垂直平分線上時，動點與兩定點形成的視角最大。動點距兩定點的垂直平分線越近，動點與兩定點形成的視角越大。要使每一個座位所對應(yīng)的視角取最大值, 對應(yīng)的 y 值應(yīng)在直線上 . 設(shè)計地板線應(yīng)考慮以下幾個方面： (1) 第 k 排座位所在的位置應(yīng)高于第 k1排座位所在的高度； (2) 前一排的觀眾不會擋住后一排觀眾的視線； (3)視角盡可能大 , 即眼睛的位置應(yīng)盡可能分布在垂直平分線的附

17、近； (4)仰角的座位所占的比例盡可能大。假設(shè)每排座位所在的點構(gòu)成一條折線，任意相鄰兩排座位水平間距為l ，第 k 排座位地板線傾角為k ，第 k 排座位與第 k1排座位地板線傾角變化為。從而可得：k0(k 1)，故：nn(k1)l tan kH cl tan(k1) H ctank1k 1k(k1)l (d )(k1)l( d )同理可得：-6精選文庫tanh(k 1)l cosd )d )2( k1)l costanHc)( k 1)l costanHhc)(k 1)l cosh(k 1)l cosd )d) 2nn(k 1)l cos(l cosl tan( k1)Hc)(l cosl

18、tan( k1)H h c)k1k1n觀眾平均滿意程度函數(shù)為：SSknk 1可算出地板線上的座位的總排數(shù)為：n14.5 1，則可計算得當2.5 時，l cosSmax 0.6692。但此時(191) 2.545 ，根據(jù)一般習(xí)慣，要求地板線傾角20，但此時求得最后一排座位的地板線傾角為45 ，這大大超過觀眾的心理范圍， 因此文中將對此進一步的修改。當 (i1)20時，令 (i1)20 。當20時，即將問題轉(zhuǎn)化為問題二中所建立的模型。由于2.5，則地板線傾角增加到第8 排到達 20，然后保持不變。對于這兩種情況，分別代入不同的函數(shù)，利用matlab 數(shù)學(xué)軟件求得：滿意度函數(shù)的最大值 Smax0.6

19、6430.6572 ?？梢酝ㄟ^利用 Matlab 軟件來描點，如圖3 所示：2.521.510.50024681012141618圖 3從上圖可以看出，報告廳座位的前8排呈折線狀，以2.5 遞增 ,當傾角增加到20 時保持不變，且第一排應(yīng)抬高1.2米。六、模型的評價與推廣6.1模型的評價模型的優(yōu)點 :模型抓住影響觀眾滿意程度的主要因素 ( 仰角和視角 ), 合理構(gòu)造滿意度函數(shù) , 過程清晰明了 , 結(jié)果科學(xué)合理。模型具有較好的通用性 , 實用性強 , 對現(xiàn)實有很強的指導(dǎo)意義。模型的不足以及需要改進的地方:模型主觀假設(shè)同一排座位觀眾的滿意程度相同 , 實際情況并非如此 , 這就使得我們的模型對解

20、決實際問題時有一定的局限性。模型建立的過程中 , 以觀眾眼睛所在的點為坐高點, 沒有考慮前排觀眾額部對后排-7精選文庫觀眾的遮擋 , 需要進一步的考慮在內(nèi)。6.2模型的推廣本文中所建立模型的方法和思想對其他類似的問題也很適用 , 所建立的模型可用于大型場所的座位的設(shè)計與安排，以及彩民對中獎率的滿意程度等問題上。同時對于已知剖面來分析物體的形狀這一類型問題的處理有很好的參考價值 . 例如 : 運用該模型去解決會議廳、報告廳的布局 , 燈塔高度的設(shè)計等相關(guān)的問題。因此具有很強的實用性和推廣性。八、附錄：附錄一clearclcH=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;l=0.8;pi=3

21、.1415926;f=10;for Q=0:0.1:20for l=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1)x=(l-1)*cos(Q/180*pi);T=tan(Q/180*pi);A=(d+x)*h/(d+x)2+(H-c-T*x)*(H-h-c-T*x);if f>Af=A;endendendfor Q=0:0.1:20for l=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1)x=(l-1)*cos(Q/180*pi);T=tan(Q/180*pi);A=(d+x)*h/(d+x)2+(H-c-T*x)*(H-h-c-T*x);if f=Afprint

22、f('Q is:%dn',Q);fprintf('k is:%dn',l);endendendf附錄二clear-8精選文庫clcH=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;l=0.8;pi=3.1415926;t=10;for Q=0:0.1:20for l=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1)x=(l-1)*cos(Q/180*pi);T=tan(Q/180*pi);B=(H-c-T*x)/(d+x);if t>Bt=B;endendendfor Q=0:0.1:20for l=1:floor(14.5/cos(Q/18

23、0*pi)+1)x=(l-1)*cos(Q/180*pi);T=tan(Q/180*pi);B=(H-c-T*x)/(d+x);if t=Bfprintf('Q is:%dn',Q);fprintf('k is:%dn',l);endendendt附錄三clear;%clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;Q=0.1763; %tan(10/180*pi);s=0;for x=2.36353.15143.93924.72715.51496.30287.09067.87858.66639.454210.242011.029811.817712

24、.605513.393414.1812-9精選文庫t=3.1596*(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q-H+c)/(x+d)+0.1357;if s<ts=t;endendfor x=2.36353.15143.93924.72715.51496.30287.09067.87858.66639.454210.242011.029811.817712.605513.393414.1812t=3.1596*(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q-H+c)/(x+

25、d)+0.1357;if s=tfprintf('nX is:%d',x);fprintf('nk is:%d',x/(0.8*cos(10/180*pi)+1);fprintf('nais:%d',(atan(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)/pi*180); fprintf('nb is:%dn',(atan(-(x*Q-H+c)/(x+d)/pi*180);endends附錄四clear;clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;l=0.8;pi=3.1415926

26、;t=0;for k=1:20for Q=0:0.01:20z=h*(k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(k-1)*l*cos(Q/180*pi)2+(k-1)*l*cos(Q/180 *pi)*tan(Q*pi/180)-H+c)*(k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c);if t<zt=z;endendendfor k=1:20-10精選文庫for Q=0:0.01:20z=h*(k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(k-1)*l*cos(Q/180*pi)2+(k-1)*l*cos(Q/180 *pi)*tan(

27、Q*pi/180)-H+c)*(k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c);if t=zfprintf('Q為： %dn',Q);fprintf('k為： %dn',k);endendendt附錄五clear;clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;l=0.8;pi=3.1415926;t=0;for k=1:20for Q=0:0.01:20z=h*(k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(k-1)*l*cos(Q/180*pi)2+(k-1)*l*cos(Q/180 *pi)*tan(Q*pi/180)-H+c)*(k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c);if t<zt=z;endendendfor k=1:20for Q=0:0.01:20z=h*(k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(k-1)*l*cos(Q/180*pi)2+(k-1)*l