勾股定理奧數(shù)基礎(chǔ)匯總

1、勾股定理一、內(nèi)容提要1. 勾股定理及逆定理： ABC中 / C= Rt/a2+ b2=c22. 勾股定理及逆定理的應(yīng)用 作已知線段a的一 2 ,3 ,5倍 計算圖形的長度，面積，并用計算方法解幾何題 證明線段的平方關(guān)系等。3. 勾股數(shù)的定義：如果三個正整數(shù)a,b,c滿足等式a2+ b2=c2，那么這三個正整數(shù) a,b,c叫做一組勾股數(shù)4. 勾股數(shù)的推算公式17891853)2mn, m2+n2是一組勾股數(shù)。m2-n2, 羅士琳法則（羅士琳是我國清代的數(shù)學(xué)家 任取兩個正整數(shù) m和n（m>n）,那么如果k是大于1的奇數(shù)，那么k 1是一組勾股數(shù)。2如果k是大于2的偶數(shù)，那么k, K2K 21,

2、 K1是一組勾股數(shù)。25.如果a,b,c是勾股數(shù)，那么na,nb, nc熟悉勾股數(shù)可提高計算速度，順利地判定直角三角形。簡單的勾股數(shù)有:（n是正整數(shù)）也是勾股數(shù)。3, 4, 5;5, 12, 13;乙24,25;8, 15, 17;9, 40, 41。1.常用勾股數(shù)口訣記憶常見勾股數(shù)3, 4, 5 :勾三股四弦五5, 12, 13 :5-12 記一生6, 8, 10 :連續(xù)的偶數(shù)7, 24 , 25 :企鵝是二百五8, 15 , 17 :八月十五在一起特殊勾股數(shù)連續(xù)的勾股數(shù)只有3 , 4, 5連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有6 , 8 , 102.100以內(nèi)的勾股數(shù)開頭數(shù)字為20以內(nèi)13 84 85 ;6

3、.3 4 5 ; 5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25 ; 8 15 17 ; 9 12 15 ; 9 40 41 ; 10 24 26 ; 11 60 61 ; 12 16 20 ; 12 35 37 ;14 48 50 ; 15 20 25 ; 15 36 39 ; 16 30 34 ; 16 63 65 ; 18 24 30 ; 18 80 822a二、例題例1已知線段a a求作線段.5 a分析一：、5 a= . 5a2 = 4a2 a2；5a是以2a和a為兩條直角邊的直角三角形的斜邊。分析二：.5 a= . 9a4a2,5a是以3a為斜邊,以2a為直角邊的直角三角形的另一

4、條直角邊。作圖（略）例2四邊形ABCD中/DAB = 60，/ B =/ D = Rt Z, BC = 1 , CD = 2求對角線AC的長例 3.已知 ABC 中，AB = AC ,Z B = 2Z A 求證：AB2- BC2= AB X BC例4.如圖已知 ABC中，求證：AB = AC例5.已知梯形ABCD中，求證：AC > BD證明：作DE / AC ,AD 丄 BC , AB + CD= AC + BDAB / CD , AD > BCDF / BC,交BA或延長線于點(diǎn) E、ACDE和BCDF都是平行四邊形 DE = AC , DF = BC, AE = CD = BF

5、作DH丄AB于H，根據(jù)勾股定理AH = .AD2-DH 2 ,FH = DF - DH/ AD > BC, AD > DF AH >FH, EH >BHDE = .DH 2EH 2BD = . DH BH 2 DE > BD 即 AC > BD例6.已知：正方形ABCD的邊長為1，正方形求：b a的值（2001年希望杯數(shù)學(xué)邀請賽，初二）三、練習(xí)以下列數(shù)字為一邊，寫出一組勾股數(shù)： 7, _, 8, _, 10, , 11, ,根據(jù)勾股數(shù)的規(guī)律直接寫出下列各式的值： 252-242=, 52+ 122 =1.2. 82 152，252 -1523.EFGH內(nèi)接于

6、9,12,ABCD , AE = a, AF = b,且 Sefgh =3 ABC 中，AB = 25, BC = 20, CA = 15, CM 和 CH 分別是中線和高。那么 Ssbc =, CH =MH4. 梯形兩底長分別是 3和7,兩對角線長分別是 6和8,貝U S梯形=5. 已知： ABC 中，AD 是高，BE 丄 AB , BE = CD, CF 丄 AC , CF = BD求證：AE = AFMD 丄 BC, ME 丄AC , MF 丄 AB ,C12.Rt ABC 中，Z ABC = 90 , Z C= 60 0 , BC = 2, D 是 AC 的中點(diǎn),從D作DE丄AC與CB

7、的延長線交于點(diǎn)E,以AB、BE為鄰邊作矩形 ABEF，連結(jié)DF，貝U DF的長是（2002年希望杯數(shù)學(xué)邀請賽，初二試題）6已知：M是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn), 且 BD = BF, CD = CE求證：AE = AF7在 ABC 中，/ C 是鈍角，a2-b2=bc求證/ A = 2/ B8求證每一組勾股數(shù)中至少有一個數(shù)是偶數(shù)。（用反證法）9已知直角三角形三邊長均為整數(shù)，且周長和面積的數(shù)值相等，求各邊長10等腰直角三角形 ABC斜邊上一點(diǎn)P,求證：AP2+ BP2= 2CP211.已知 ABC中，/ A = RtZ, M是BC的中點(diǎn)，E, F分別在 AB , ACME 丄 MF求證：EF2= BE2

8、+ CF213.A ABC 中，AB = AC = 2, BC 邊上有 100 個不同的點(diǎn) pi, p2, p3,pioo,記 mi=APi2+BPiX PiC （1=1,2,100），貝V mi+m2+ + m1oo=7.知識點(diǎn)一：勾股定理如果直角三角形的兩直角邊長分別為：a, b,斜邊長為c,那么a2+ b2= c2.即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方關(guān)系的定理。（2）勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角。（3）理解勾股定理的一些變式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=（a+b）

9、2-2ab知識點(diǎn)二：用面積證明勾股定理方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。圖（1）中，所以丄-'方法圖（2）中丁八，所以一,。方法三:將四個全等的直角三角形分別拼成如圖方法四:經(jīng)典例題透析在（3） 1中,在（3） 2中,所以，甲的面積甲的面積=（大正方形面積）一（4個直角三角形面積）， 乙和丙的面積和=（大正方形面積）一（4個直角三角形面積）2=乙和丙的面積和，即：二-如圖（4）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形。ADB b%吐世込丿處丄類型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中，/ C=90 °（1）已知 a=6，c=10，求 b，（2）已知

10、a=40, b=9，求 c；，所以-:匚。已知c=25，b=15，求a.注意勾股定理的變形使用。思路點(diǎn)撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中,解析： 在厶ABC中，/ C=90 ° , a=6, c=10,b= '廠 廠 在厶 ABC 中，/ C=90 ° , a=40, b=9,c= L， '''(3)在厶 ABC 中，/ C=90 ° , c=25 , b=15,a=-：'1舉一反三【變式】：如圖/ B=Z ACD=90 ° , AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少類型二：勾股定理的構(gòu)

11、造應(yīng)用2、如圖，已知：在_三匚中總結(jié)升華：利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的一個重要應(yīng)用當(dāng)題目中沒有垂直條件時，也經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理舉一反三【變式1】如圖，已知： _ U "*，上覚二匚寒，二二丄衛(wèi)三于P.求證：亠I.【變式2】已知：如圖，/ B= / D=90 °，/ A=60 ° , AB=4 , CD=2。求：四邊形 ABCD的面積。類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了 -二-：1到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方

12、向走了 500m到達(dá)目的地 C點(diǎn)。(1) 求A、C兩點(diǎn)之間的距離。(2) 確定目的地 C在營地A的什么方向?？偨Y(jié)升華：本題是一道實(shí)際問題，從已知條件出發(fā)判斷出厶 ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵。本題涉及平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？o（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點(diǎn)，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種 架設(shè)方案，如圖

13、實(shí)線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AE為4cm，BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C，試求出爬行的最短路程.一只螞蟻從長、寬都是3,高是8的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長是類型四：利用勾股定理作長為而的線段5、作長為的線段。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。類型五：逆命題與勾股定理逆定理 寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 如果 ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，/6、7、a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，B=90 &

14、#176;，AB=3，BC=4，判斷 ABC的形狀。CD=12 , AD=13，求四邊形 ABCD的面積。【變式2】已知： ABC的三邊分別為 m2 n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且m>n）,判斷 ABC是否為直角三角 形【變式3】如圖正方形 ABCD , E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF= 請問FE與DE是否垂直？請說明。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法說1若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長是20,求此直角三角形的面積?？偨Y(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求 解。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長為 2,

15、求它的面積?！咀兪?】直角三角形周長為 12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。 【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3,然后利用勾股定理列方程求解?？偨Y(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪 條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、 8， 15， 17B、 4， 5， 6C、 5， 8， 10D、 8， 39， 40【變式 5】四邊形 ABCD 中，/ B=90 °，AB=3，BC=4，CD=

16、12，AD=13， 求四邊形ABCD的面積。類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路 MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN= 30°，點(diǎn)A處有 所中學(xué)，AP = 160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由， 如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花

17、園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草?！咀兪?】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為 1的正三角形,這樣的三角形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2） 圖中的平行四邊形 ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？（3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。遇 丄心迴=辺【答案】（1）單位正三角形的高為，面積是-。24 X - 53（2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積42KCDB)以上都不對CB4ADAE8CB（1）求DC的長。求AB的長。它的每一

18、級的長、寬、高分別為A: 1410、若 VABC 中，AB24、如圖，已知在厶 ABC中，CDLAB于 D, AC= 20, BC= 15, DB= 9時，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）.想一想，此時 EC有多長?D B27、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬 AB為8cm, ?長BC?為10cm .當(dāng)小紅折疊4、如圖所示，已知 ABC中 總結(jié)升華：在直角三角形中, 舉一反三：【變式】如圖所示， 求EF的長。13cm, AC 15cm，高 AD=12,則 BC的長為14 或 4 D20dm 3dm 2dm ?A和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到

19、B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)的最短路程是；2022 |, 故 心 E十 J + 類型三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角 為直角三角形問題來解決.示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是 點(diǎn)，且 DE丄DF，若BE=12 , CF=5 .求線段 EF的長。耳F C總結(jié)升華：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所 求的線段不在同一三角形中時，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法18、如圖，是一個三

20、級臺階（3）過A作AK丄BC于點(diǎn)K （如圖所示），則在Rt ACK中，Q/ C=90 °,Z A=60 °，'“：，求 L、的值。30°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。折疊矩形的一邊 AD ,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm , BC=10cm/B/ajjMC . rc形，將問題轉(zhuǎn)化3、如圖所AB、AC邊上的初二奧數(shù)競賽第5講勾股定理1.如圖，以等腰直角三角形 ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊厶 ABD連接DC以DC為邊作等邊 DCE B E在C、D的同側(cè)，若 AB= ，則BE=2.如圖所示，在 ABC中，AB=5cm 那么邊 BC的長為 cm

21、.AC=13cm BC邊上的中線 AD=6cm3. 如圖，設(shè) P是等邊 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3, PB=4, PC=5則/ APB的度數(shù)是4.如圖，- 個直角三角1997形的三邊長均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長恰是1997,那么另一條直角邊的長為5. 若厶ABC的三邊a、b、c滿足條件：去+ I:+338=10a+24b+26c,則這個三角形最長邊上的高為 6. 如圖，AD是厶ABC的中線，/ ADC=45，把 ADC沿 AD對折，點(diǎn)C落在C'處，貝U BC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是BC =BC .BDC7. 如圖， ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，PABC內(nèi)一點(diǎn)，將 ABP繞點(diǎn)

22、A逆時針旋轉(zhuǎn)后與厶 ACP重合，如果AP=3,那么線段PP'的長等于 .9.如圖，四邊形 ABCD中, AB=3cm BC=4cm CD=12cm DA=13cm 且/ ABC=90，則四邊形 ABCD勺面積是cm2.10. 如圖，已知 P 是厶 ABC邊 BC上一點(diǎn)，且 PC=2PB 若/ ABC=45，/ APC=60，求：/ ACB的大小.11. 一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，它的面積和周長的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在, 確定它三邊的長，若不存在，說明理由.12如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1,每個小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形

23、和平行四邊形.(1) 使三角形三邊長為 3，誡忌 屬了；(2) 使平行四邊形有一銳角為45 °,且面積為4.13.已知：如圖，在厶ABC中，AB=AC / A=120°, AB的垂直平分線MN分別交BC, AB于點(diǎn)M, N,求證：CM=2BM14.如圖，在 Rt ABC中，/ A=90°,D為斜邊BC中點(diǎn)，DEL DF,求證：.15.在 ABC中，AB=AC(1)如圖，若點(diǎn)P是BC邊上的中點(diǎn)，連接AP.求證：BF?CP=：匸：；(2)如圖，若點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面(1)的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明、若不成立，請說 明理由；(3) 如圖，若點(diǎn)P是BC邊延長線上一點(diǎn)，線段 AB, AP, BP, CP之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形, 寫出你的結(jié)論.(不必證明).4圖 I -9-5- 11+ + + + 皿1（» = _（1990年全國聯(lián)