勾股定理的證明及簡單應(yīng)用

1、B表示斜邊，Z C=RTZ時，c表示斜邊。勾股定理的證明及簡單應(yīng)用知識要點(diǎn)1、直角三角形屮，直角所對的邊叫做斜邊，是直角三角形屮最長的邊。互相垂直的兩條邊叫做直角邊。在我國古代，人們把短直角邊叫勾，長直角邊叫股，斜邊叫弦。一般地，如圖，Z A所對的邊，用a表示。ZB所對的邊用b表示， ZC所對的邊用c表示。當(dāng)Z A=RTZ時，a表示斜邊，當(dāng)Z B二RTZ時,2、勾股定理:勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即 a2 +b? =c2特別地，勾股定理的運(yùn)用，必須找準(zhǔn)斜邊，即直角所對的邊, 當(dāng)沒有明確的直角時，斜邊為三邊中最長的邊。3、勾股定理的簡單證明:如圖，已知 ABC中ZC為直

2、角，BC=a,AC=b,AB=c.延長AC到E,使AE=BC,過E作CE的垂線DE交CE于點(diǎn)E,取DE=ACo連接AD,BD求證：a2 4-b2 =c24、基本勾股數(shù)若a、b、c均為自然數(shù)，且無1以外的整數(shù)公因式當(dāng)它們滿足關(guān)系式"+b2 =c2 我們稱(a、b、c)為基本勾股數(shù)組。 記一記：(3,4,5) £,12,13 ,) 1,24,25 ),(8,15,17(9,40,41 ) 1(1,60,61 ,)均為基本勾股數(shù)組。寫岀下表的勾股數(shù)從屮發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?3, 4, 55,12,13,7, 24, 258,15,179, 40, 412 倍 6, 8, 103倍15,

3、36, 3927, 120, 1234倍28, 96,1005倍40, 75, 85N倍時，對于任何滿足 a2 +b2 =c2的a、b、c,都成立嗎？試證明!5. 解題技巧。(1) 利用勾股定理解題一定要找準(zhǔn)斜邊、直角邊。(2) 作輔助線構(gòu)造直角三角形解題。(3) 30°、45°銳角的直角三角形三邊的比例關(guān)系。(4) 數(shù)形結(jié)合的實(shí)際問題，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離最短、兩點(diǎn)間線段最短，空間圖形展 開成平面圖形等知識點(diǎn)。【典型例題】例1.已知一個直角三角形的兩直角邊分別是6、8,那么斜邊長是多少?例 2.在 ABC 中，Z C=90° ,(2)若 b=7,c=9 ,則 a2=

4、(1) 若 a=5,b=l2 ,則 c= o(3)若 c=10,a:b=3:4 ,則 a= , b 2Q_I4> cn -J' Q ABC2, S =(S> rqc-7 ABC用a表示例4.如圖Rt A ABC中ZC為直角，Z B=60° , CD垂直AB,若BC長為a, AB,AC,CD,BD的長度，并且求岀BC:AC:AB的值。若Z B=45°呢？例5.求下列直角三角形中未知邊a,b的長度（如下圖所示）【課堂練習(xí)】1. 在4bc中，若z a/ g c的度數(shù)比是5： 2： 3,則Axbc是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定2.適

5、合下列條件的厶ABC中，直角三角形的個數(shù)為（)(1)3 , b1 1 “,c = ； G23 A= 323ZB=58嚴(yán)(3) a=7 , b=24,345c 25 ；(4) a 2.5 , b2=, c 3 二A. 1個B. 2個C. 3個D4個3.下列各組數(shù)中不能構(gòu)成直角三角形的一組數(shù)是（)A. 5,12, 13B. 7, 24, 25C. 8,15,17D. 4, 6, 94. 一個直角三角形三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三個數(shù)為（)A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 3 ,4, 5D. 3.5 , 4.5 ,5.55.下列語句：（1）若 ABC中，a2 +b2 -c2 ,則 ABC不

6、是直角三角形;（2）若厶ABC為直角三角形，Z C=90° ,則a2 +b2 =c2 ；（3）若厶 ABC 屮，C2 =a2 +b2 ,則Z C=90° ；（4）勾股定理的逆定理是“若兩邊的平方和等于斜邊的平方，則此三角形為直角三角形”其中正確的個數(shù)是（）。A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個6. 三角形三邊長分別為6, 8, 10,那么它最長邊上的高為（）A. 6B. 4.8C. 2.4D. 87如圖：在四邊形 ABCD 中，AB二2 , CD=1, ZA=60° , Z B=Z D=90° ,求 BC 和AD的長。8如圖，A、B是筆直公路1同側(cè)的

7、兩個村莊，且兩個村莊到公路的距離分別為 300m和500 m ,兩村莊之間距離為2OO/on ,現(xiàn)要在公路上建一汽車?？奎c(diǎn), 使兩村到?？奎c(diǎn)的距離之和最小。問最小值是多少？DC9如圖，已知 ABC中，AD、AE分別是BC邊上的高和中線，AB=9 cm , AC=7 cm , BC=8 cm ,求 DE 的長。10如圖為一圓錐，已知Z AOB=60 ° , OA=4 cm , C為OB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A沿圓 錐表面運(yùn)動到點(diǎn)C的最短距離。A勾股定理作業(yè)1. 在厶 ABC 中， C=90° oZ(1) 若 a=2, b=5,則 c=o(2) 若 c=61, b=60,則 a=o(3) 若 a : b 3: 4 , c 10,貝 ij a=, b=2. 邊長為4的等邊三角形的面積等于o3. 等邊三角形一邊上的高為6,則它的邊長等于4. 直角三角形的兩直角邊為6、8,則斜邊上的高等于5. 直角三角形的兩邊長為5、12,則另一邊的長為學(xué)習(xí)好資料歡迎下載6. 己知 ABC 中，AB二AC, AB=6cm, BC=4cm。求(1) Saabc(2)腰AC上的 BEo7. 如圖所示，在厶 ABC 中，D