高中數(shù)學(xué)選修2-2推理與證明演繹推理(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.1.2演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解演繹推理的重要性.2.掌握演繹推理的基本模式，并能進(jìn)行一些簡單的推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系.知識點(diǎn)一演繹推理及其一般模式“三段論”1.演繹推理含義從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理特點(diǎn)由一般到特殊的推理2.三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷S是P思考(1)演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？(2)如何分清大前提、小前提和結(jié)論？答案(1)演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定

2、正確.(2)在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時(shí)我們解答問題中的思考是一樣的，即先指出一般情況，從中取出一個(gè)特例，特例也具有一般意義.例如，平行四邊形對角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有的一般意義.知識點(diǎn)二演繹推理與合情推理的區(qū)別與聯(lián)系合理推理演繹推理區(qū)別定義根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果)，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程思維方法歸納、

3、類比三段論推理形式由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理或由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理結(jié)論結(jié)論不一定正確，有待于進(jìn)一步證明在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確作用具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)按照嚴(yán)格的邏輯法則推理，利于培養(yǎng)和提高邏輯證明的能力聯(lián)系合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理；數(shù)學(xué)結(jié)論、猜想的正確性必須通過演繹推理來證明題型一用三段論的形式表示演繹推理例1把下列演繹推理寫成三段論的形式.(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100 ，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 時(shí)，水會沸騰；(2)一切奇數(shù)都不能

4、被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除；(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，ytan 是三角函數(shù)，因此ytan 是周期函數(shù).解(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100 ，大前提在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 ，小前提水會沸騰.結(jié)論(2)一切奇數(shù)都不能被2整除，大前提21001是奇數(shù)，小前提21001不能被2整除.結(jié)論(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，大前提ytan 是三角函數(shù)，小前提ytan 是周期函數(shù).結(jié)論反思與感悟三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情況，兩者結(jié)合起來，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確命題的大、小前

5、提，而大、小前提在書寫過程中是可以省略的.跟蹤訓(xùn)練1將下列演繹推理寫成三段論的形式.(1)0.332是有理數(shù)；(2)ycos x(xR)是周期函數(shù)；(3)RtABC的內(nèi)角和為180°.解(1)有限小數(shù)是有理數(shù)(大前提)，0.332是有限小數(shù)(小前提)，0.332是有理數(shù)(結(jié)論).(2)三角函數(shù)是周期函數(shù)(大前提)，函數(shù)ycos x(xR)是三角函數(shù)(小前提)，函數(shù)ycos x(xR)是周期函數(shù)(結(jié)論).(3)三角形內(nèi)角和是180°(大前提)，RtABC是三角形(小前提)，RtABC的內(nèi)角和為180°(結(jié)論).題型二演繹推理在證明數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用例2在銳角三角形中，

6、求證sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.證明在銳角三角形中，AB，AB，0BA.又在內(nèi)，正弦函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，sin Asincos B，即sin Acos B，同理sin Bcos C，sin Ccos A.以上兩端分別相加，有：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.反思與感悟(1)應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略.(2)數(shù)學(xué)問題的解決與證明都蘊(yùn)含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)大前提、小前提，注意前一個(gè)推理的結(jié)論會作為下一個(gè)三段論的前提.跟蹤訓(xùn)練

7、2(1)設(shè)a0，b0，ab1，求證8.(2)求證：函數(shù)f(x)是定義域上的增函數(shù).證明(1)a0，b0，ab1，1ab2，即，4，(ab)2·2448.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立，8.(2)函數(shù)定義域?yàn)镽.任取x1，x2R且x1x2.則f(x1)f(x2).x1x2， ，f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2).故f(x)為R上的增函數(shù).題型三合情推理、演繹推理的綜合應(yīng)用例3如圖所示，三棱錐ABCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點(diǎn)A在底面BCD上的射影.(1)求證：O為BCD的垂心；(2)類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個(gè)關(guān)系，并給出證明.(1)證明

8、ABAD，ACAD，ABACA，AD平面ABC，又BC平面ABC.ADBC，又AO平面BCD，AOBC，ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可證CDBO，O為BCD的垂心. (2)解猜想：SSSS.證明如下：連接DO并延長交BC于E，連接AE，由(1)知AD平面ABC，AE平面ABC，ADAE，又AOED，AE2EO·ED，2·，即SSBOC·SBCD.同理可證：SSCOD·SBCD，SSBOD·SBCD.SSSSBCD·(SBOCSCODSBOD)SBCD·SBCDS.反思與感悟合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到

9、的結(jié)論不一定真.但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).跟蹤訓(xùn)練3已知命題：“若數(shù)列an是等比數(shù)列，且an>0，則數(shù)列bn(nN*)也是等比數(shù)列”.類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.解類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn也是等差數(shù)列.證明如下：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則bna1(n1)，所以數(shù)列bn是以a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.三段論中因忽視大(小)前提致誤例4已知a，b，cR，且a，b，c不全相等，試比較與abc

10、的大小.錯(cuò)解因?yàn)閍，b，cR，依基本不等式有由三式相加得a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a2b2b2c222ab2c，同理b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，三式相加得a2b2b2c2c2a2a2bcab2cabc2.由得a4b4c4a2bcab2cabc2，又a，b，cR，所以abc.錯(cuò)因分析以上過程忽視了小前提“a，b，c不全相等”，因此兩式中均為“”.正解a，b，cR，有又a，b，c不全相等，故三式相加，得a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，且a，b，c不全相等，三式相加得

11、a2b2b2c2c2a2a2bcab2cabc2，由得a4b4c4a2bcab2cabc2，a，b，cR，abc.防范措施利用三段論推理時(shí)，正確使用大(小)前提，尤其注意數(shù)學(xué)中有關(guān)公式、定理、性質(zhì)、法則的使用情形.1.下列推理中是演繹推理的是()A.全等三角形的對應(yīng)角相等，如果ABCABC，則AAB.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人數(shù)均超過50人C.由平面內(nèi)三角形的性質(zhì)，推測空間中四面體的性質(zhì)D.在數(shù)列an中，a11，an(n2)，由此猜想出an的通項(xiàng)公式答案A解析B項(xiàng)是歸納推理，C項(xiàng)是類比推理，D項(xiàng)是歸納推理.故選A.2.指數(shù)函數(shù)都是增函數(shù)，大

12、前提函數(shù)yx是指數(shù)函數(shù)，小前提所以函數(shù)yx是增函數(shù).結(jié)論上述推理錯(cuò)誤的原因是()A.大前提不正確B.小前提不正確C.推理形式不正確D.大、小前提都不正確答案A解析大前提錯(cuò)誤.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)yax(a0，且a1)在a1時(shí)是增函數(shù)，而在0a1時(shí)為減函數(shù).故選A.3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2x)f(2x)，則f(x)的周期是_. 答案8解析f(x4)f(x22)f(22x)f(x)f(x)，f(x8)f4(4x)f(x4)f(x)f(x).T8是它的周期.4.設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2an1Sn3(nN*)，則滿足的所有n的和為_.答案7解析由2an1Sn3得2an

13、Sn13(n2)，兩式相減，得2an12anan0，化簡得2an1an(n2)，即(n2)，由已知求出a2， 易得，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，所以Sn3，S2n3，代入，可得n，解得n3或4，所以所有n的和為7.5.設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：abc2.證明因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，由基本不等式可得3，即，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號.所以abcabc.而abc22，當(dāng)且僅當(dāng)abc，即abc時(shí)取等號.所以abc2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號.數(shù)學(xué)中的演繹推理一般是以三段論的格式進(jìn)行的，三段論是由三個(gè)判斷組成的，其中的兩個(gè)為前提，另一個(gè)為結(jié)論.第一個(gè)判斷是提供性質(zhì)的一般判斷，叫做大前提，

14、通常是已知的公理、定理、定義等，第二個(gè)判斷是和大前提有聯(lián)系的特殊判斷，叫做小前提，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷結(jié)論.在推理論證的過程中，一個(gè)稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題經(jīng)常要由幾個(gè)三段論才能完成，而大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的括號內(nèi)，小前提有時(shí)也可以省去，而采取某種簡明的推理格式.一、選擇題1.下列表述正確的是()歸納推理是由部分到整體的推理；歸納推理是由一般到一般的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；類比推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理.A. B. C. D.答案D解析根據(jù)歸納推理，演繹推理，類比推理的概念特征可以知道正確.2.論語·學(xué)路篇中說：“名不正，則言不順；言

15、不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足.”上述推理用的是()A.類比推理 B.歸納推理C.演繹推理 D.一次三段論答案C解析這是一個(gè)復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運(yùn)用五次復(fù)式三段論，屬演繹推理形式.3.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin (x21)是奇函數(shù).以上推理()A.結(jié)論正確 B.大前提不正確C.小前提不正確 D.全不正確答案C解析由于函數(shù)f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù).故小前提不正確.4.“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電”這種推理屬于()A

16、.演繹推理 B.類比推理C.合情推理 D.歸納推理答案A解析“所有金屬都能導(dǎo)電”及“鐵是金屬”均為前提，得出“鐵能導(dǎo)電”的結(jié)論，滿足演繹推理的定義.5.有一個(gè)“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3在x0處的導(dǎo)數(shù)值f(0)0，所以x0是函數(shù)f(x)x3的極值點(diǎn).以上推理中()A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確答案A解析可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，不一定能得到函數(shù)的極值點(diǎn)，因此大前提錯(cuò)誤.6.已知三條不重合的直線m、n、l，兩個(gè)不重合的平面、，有下列命題：若mn，n，則m；若l，m且lm，則；

17、若m，n，m，n，則；若，m，n，nm，則n.其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析中，m還可能在平面內(nèi)，錯(cuò)誤；正確；中，m與n相交時(shí)才成立，錯(cuò)誤；正確.故選B.二、填空題7.如圖，將邊長分別為1,2,3的正八邊形疊放在一起，同一邊上的相鄰珠子之間的距離為1，若以此方式再放置邊長為4,5,6，10的正八邊形，則這10個(gè)正八邊形鑲嵌的珠子總數(shù)是_.答案341解析邊長為1,2,3，10的正八邊形疊放在一起，則各個(gè)正八邊形上的珠子數(shù)分別為8,2×8,3×8，10×8，其中，有3個(gè)珠子被重復(fù)計(jì)算了10次，有2個(gè)珠子被重復(fù)計(jì)算了9次，有2個(gè)珠子被重

18、復(fù)計(jì)算了8次，有2個(gè)珠子被重復(fù)計(jì)算了7次，有2個(gè)珠子被重復(fù)計(jì)算了6次，有2個(gè)珠子被重復(fù)計(jì)算了1次，故不同的珠子總數(shù)為(82×83×810×8)(3×92×82×72×62×1)440341，故所求總數(shù)為341.8.在求函數(shù)y的定義域時(shí)，第一步推理中大前提是當(dāng)有意義時(shí)，a0；小前提是有意義；結(jié)論是_.答案y的定義域是4，)解析由大前提知log2x20，解得x4.9.三段論式推理是演繹推理的主要形式，“函數(shù)f(x)2x5的圖象是一條直線”這個(gè)推理所省略的大前提是_.答案一次函數(shù)的圖象是一條直線10.關(guān)于函數(shù)f(x)lg (x0)，有下列命題：其圖象關(guān)于y軸對稱；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)為減函數(shù)；f(x)的最小值是lg 2；當(dāng)1<x<0或x>1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；f(x)無最大值，也無最小值.其中所有正確結(jié)論的序號是_.答案解析顯然f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)lg lg(x).設(shè)g(x)x，可知其在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，