最新【走向高考】屆高三數(shù)學(xué)北師大版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測：專題1高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題名師精編資料匯編

1、專題一高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題ln x k1.已知函數(shù)f(x) x ( k 為常數(shù)， e 2.718 28 是自然對數(shù)的底數(shù) )，曲線 y f(x)在點 e(1， f(1)處的切線與x 軸平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間分析 由 f (1) 0 求出 k 的值； (2) 求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間解析 (1)由 f(x)lnx kx ，e得 f (x)1 kx xlnxx， x(0， )，xe由于曲線 y f(x) 在 (1，f(1) 處的切線與x 軸平行所以 f (1) 0，因此 k 1.1(2)由 (1) 得 f (x)xex(1 x xlnx)， x(0， )，

2、令 h(x) 1 x xln x，x(0， )，當(dāng) x(0,1) 時， h(x)>0 ；當(dāng) x(1， )時， h(x)<0.又 ex>0，所以 x(0,1)時， f (x)>0 ；x(1， )時， f (x)<0.因此 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1) ，單調(diào)遞減區(qū)間為(1， )1312 2ax.2設(shè) f(x) x x32(1)若 f(x)在 (2， ) 上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a 的取值范圍3(2)當(dāng) 0< a<2 時， f( x)在1,4 上的最小值為16，求 f(x)在該區(qū)間上的最大值3解析 (1)由 f (x) x2 x 2a (x 12)2

3、142a當(dāng) x23， )時， f (x)的最大值為f (23) 29 2a；令 29 2a>0，得 a> 19所以，當(dāng)a>1時， f( x)在 (2， )上存在單調(diào)遞增區(qū)間即f(x)在 (2， )上存在單9331調(diào)遞增區(qū)間時，a 的取值范圍是 ( 9， )11 1 8a11 8a(2)令 f ( x) 0，得兩根， x2.x22所以 f(x)在 ( ， x1)， (x2， )上單調(diào)遞減，在 (x1， x2)上單調(diào)遞增當(dāng) 0<a<2 時，有 x1<1<x2<4，所以 f(x)在 1,4 上的最大值為f(x2)，27又 f(4) f(1) 2 6a&

4、lt;0，即 f(4)< f(1)所以 f(x)在 1,4 上的最小值為f(4) 8a40 16，得 a 1，x2 2，3310從而 f(x)在 1,4 上的最大值為 f(2) 3 .3某村莊似修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度 )設(shè)該蓄水池的底面半徑為r 米，高為 h 米，體積為 V 平方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元 / 平方米，底面的建造成本為160 元 / 平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元 (為圓周率 )(1)將 V 表示成 r 的函數(shù) V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù) V(r) 的單調(diào)性，并確定 r 和 h 為何值時該蓄水池的體

5、積最大解析 (1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100 · rh2 200rh 元，底面的總成本為2160 r元，所以蓄水池的總成本為(200rh 160r22000，所以)元，又據(jù)題意200 rh 160 r 1212h 5r(300 4r)，從而22V(r) rh 5(300r 4r )因 r>0 ，又由 h>0 可得 r <5 3，故函數(shù) V(r )的定義域為 (0,5 3) 3 12r2)，令 V (r) 0，解得 r1 5.r 2 5(因(2)因 V(r )(300r 4r)，故 V(r) (30055r 2 5 不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng) r(0,5)時， V (

6、r)>0 ，故 V(r )在 (0,5)上為增函數(shù)；當(dāng) r(5,5 3)時， V (r )<0，故 V(r)在 (5,5 3)上為減函數(shù)由此可知， V(r )在 r 5 處取得最大值，此時h 8，即當(dāng) r 5， h 8 時，該蓄水池的體積最大4 (文 )(2014 北·京高考 )已知函數(shù)f(x) 2x3 3x.(1)求 f(x)在區(qū)間 2,1 上的最大值；(2)若過點 P(1， t)存在 3 條直線與曲線yf(x)相切，求t 的取值范圍解析 (1)由 f(x) 2x3 3x 得 f (x) 6x2 3，2 2 令 f (x) 0，得 x 2 或 x 2 .2因為 f( 2

7、) 10， f( 2)2，2f( 2 ) 2， f(1) 1，所以 f(x)在區(qū)間 2,1 上的最大值為f(22) 2.(2)設(shè)過點 P(1， t)的直線與曲線y f( x)相切于點 (x0， y0) ，則 y0 2x30 3x0，且切線斜率為k 6x20 3，所以切線方程為y y0 (6x20 3)(x x0 )，因此 t y0 (6x20 3)(1 x0)整理得 4x30 6x20 t 3 0.設(shè) g(x) 4x3 6x2 t 3，則 “ 過點 P(1， t)存在 3 條直線與曲線y f(x) 相切 ” 等價于 “ g(x)有 3 個不同零點 ”g (x) 12x2 12x12x(x 1)

8、g(x)與 g (x)的情況如下：x(， 0)0(0,1)1(1， )g (x)00g(x)t 3t 1所以， g(0) t 3 是 g(x)的極大值， g(1) t 1 是 g(x)的極小值當(dāng) g(0) t 3 0，即 t 3 時，此時g( x)在區(qū)間 ( ，1和 (1， )上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有 2 個零點當(dāng) g(1) t 1 0，即 t 1 時，此時g( x)在區(qū)間 ( ，0)和 0， )上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有 2 個零點當(dāng) g(0)>0 且 g(1)<0 ，即 3< t< 1 時，因為 g( 1) t 7<0 ， g(2

9、) t 11>0，所以 g(x)分別在區(qū)間 1,0)，0,1) 和1,2) 上恰有1 個零點由于g(x)在區(qū)間( ，0)和 (1， )上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間( ， 0)和 1， )上恰有1 個零點綜上可知，當(dāng)過點P(1，t)存在 3 條直線與曲線yf(x)相切時， t 的取值范圍是 ( 3，1)(理 )(2014 新·課標(biāo) ) 已知函數(shù) f(x) ex ex2x.(1)討論 f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè) g(x)f(2x) 4bf(x)，當(dāng) x>0 時， g(x)>0，求 b 的最大值；(3)已知 1.4142<2<1.4143 ，估計 ln2 的

10、近似值 (精確到 0.001)解析 (1)f (x) ex e x 2 0，等號僅當(dāng)x 0 時成立所以 f(x)在 ( ， )單調(diào)遞增(2) g( x) f(2x) 4bf(x) e2x e 2x 4b(ex ex) (8b 4)x， g (x) 2e2x e 2 x 2b(ex e x)(4b 2) 2(ex e x 2)(ex ex 2b2)當(dāng) b 2 時，g (x) 0，等號僅當(dāng)x 0 時成立， 所以 g(x) 在( ， )單調(diào)遞增 而g(0) 0，所以對任意x>0，g(x)>0.當(dāng) b>2 時，若 x 滿足 2<ex ex<2b 2，即 0<x<

11、;ln( b 1b2 2b) 時， g (x)<0. 而g(0) 0，因此當(dāng) 0<x<ln( b 1b22b)時， g(x)<0. 綜上， b 的最大值為 2.3(3)由 (2)知， g(ln2) 222b 2(2b 1)ln2 ，當(dāng) b2時， g(ln2)3 42 6ln2>0 ，2ln2>8 2312>0.6928；當(dāng) b342 1 時， ln(b 1 b2 2b) ln 2，3g(ln 2)2 22 (3 2 2)ln2<0 ，ln2<18 228<0.6934.所以 ln2 的近似值為 0.693.1.設(shè)函數(shù) f(x) a2l

12、nx x2 ax， a>0.(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；x(2)求實數(shù) a 的值，使 e 1 f(x)e 對 x 1， e恒成立注：e 為自然對數(shù)的底數(shù)22解析 (1)因為 f(x)a lnxx ax，其中 x>0，2x a 2x a所以 f (x) a 2x a.xx由于 a>0，所以 f(x)的增區(qū)間為 (0， a)，減區(qū)間為 (a， )(2)由題意得f(1) a 1 e 1，即 a e.由 (1)知 f(x)在1 ， e內(nèi)單調(diào)遞增，要使 e1 f(x) e2 對 x1， e恒成立f 1 a 1 e 1，只要f e a2 e2 ae e2，解得 a e.1 22已知函數(shù)f(x) 2x (a 1)x a(1 lnx)(1)求曲線 y f(x)在點 (2， f(2) 處與直線y x 1 垂直的切線方程；(2)當(dāng) a>0 時，求函數(shù)f(x)的極值解析 (1)函數(shù) f(x)的定義域為 (0， )，af (x)x( a 1) x，根據(jù)題意知曲線y f(x)在點 (2，f(2) 處切線的斜率為1，所以 f(2)a1 21，即 2 ( a 1) 2 1，所以 a 0， f( x) 2x x，此時 f(2) 2 2 0，故曲線yf(x)在(2