第二章 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)

1、第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)與模態(tài)分析機(jī)械振動(dòng)與模態(tài)分析西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力實(shí)驗(yàn)室西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力實(shí)驗(yàn)室第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 張立民第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2.1 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2.2 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 2.3 2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2.1 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第2章 單自由度系

2、統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 正如第一章所述，振動(dòng)系統(tǒng)可分為正如第一章所述，振動(dòng)系統(tǒng)可分為離散模型離散模型和和連連續(xù)模型續(xù)模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個(gè)自由度兩種不同的類型。離散模型具有有限個(gè)自由度，而連續(xù)模型則具有無(wú)限個(gè)自由度。，而連續(xù)模型則具有無(wú)限個(gè)自由度。 系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所必系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所必須的獨(dú)立的坐標(biāo)個(gè)數(shù)。須的獨(dú)立的坐標(biāo)個(gè)數(shù)。 在離散模型中，最簡(jiǎn)單的是在離散模型中，最簡(jiǎn)單的是單自由度線性系統(tǒng)單自由度線性系統(tǒng)，它用一個(gè)二階常系數(shù)常微分方程來(lái)描述。這類模型常它用一個(gè)二階常系數(shù)常微分方程來(lái)描述。這類模型常

3、用來(lái)作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似描述。用來(lái)作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似描述。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 構(gòu)成構(gòu)成離散模型離散模型的的元素元素有三個(gè)，有三個(gè)，彈性元件彈性元件、阻尼元件阻尼元件和和慣慣性元件性元件。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章

4、 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)通常假定彈簧為無(wú)質(zhì)量元件。如圖通常假定彈簧為無(wú)質(zhì)量元件。如圖2-1(a)所示，彈簧力所示，彈簧力Fs 與其相與其相對(duì)變形對(duì)變形 x2-x1的典型函數(shù)關(guān)系如下圖的典型函數(shù)關(guān)系如下圖2-1（b）所示。所示。 圖圖2-1 2-1 彈簧模型彈簧模型2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 當(dāng)當(dāng)x2-x1 比較小時(shí)，可以認(rèn)為彈簧力與彈簧變形量成正比，比較小時(shí)，可以認(rèn)為彈簧力與彈簧變形量成正比，比例系數(shù)為圖中曲線的斜率比例系數(shù)為圖中曲線的斜率k，如果彈簧工作于彈簧力與其相，如果彈簧工作于彈簧力與其相對(duì)變形成正比的范圍內(nèi)，則稱彈簧為對(duì)變形成正比的范圍

5、內(nèi)，則稱彈簧為線性彈簧線性彈簧，常數(shù)稱為，常數(shù)稱為彈簧彈簧常數(shù)常數(shù)k ，或，或彈簧剛度彈簧剛度。一般用。一般用k 表示。單位為（表示。單位為（N/m）。）。 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)阻尼元件阻尼元件通常稱為通常稱為阻尼器阻尼器，一般也假設(shè)為無(wú)質(zhì)量。，一般也假設(shè)為無(wú)質(zhì)量。 常見(jiàn)的阻尼模型三種形式常見(jiàn)的阻尼模型三種形式: (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 圖圖2-22-2阻尼模型阻尼模型 阻尼元件阻尼元件由物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力所致的粘滯阻尼。由物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力所致的粘滯阻尼。由相鄰構(gòu)件間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)所致的干摩擦（庫(kù)侖）阻尼。由相

6、鄰構(gòu)件間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)所致的干摩擦（庫(kù)侖）阻尼。由材料變形時(shí)材料內(nèi)部各平面間產(chǎn)生相對(duì)滑移或滑動(dòng)引起由材料變形時(shí)材料內(nèi)部各平面間產(chǎn)生相對(duì)滑移或滑動(dòng)引起內(nèi)摩擦所致的滯后阻尼。內(nèi)摩擦所致的滯后阻尼。 粘滯阻尼是一種最常見(jiàn)的阻尼模型。粘滯阻尼是一種最常見(jiàn)的阻尼模型。2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 如無(wú)特別說(shuō)明，后續(xù)所說(shuō)的阻尼均指如無(wú)特別說(shuō)明，后續(xù)所說(shuō)的阻尼均指粘滯阻尼粘滯阻尼，其阻，其阻尼力尼力Fd 與阻尼器兩端的相對(duì)速度成正比，如圖與阻尼器兩端的相對(duì)速度成正比，如圖2-2（b），比比例系數(shù)例系數(shù) c 稱為稱為粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)，它的單位為牛頓，它的

7、單位為牛頓-秒秒/米（米（N-s/m），），阻尼器阻尼器通常用通常用c 表示。表示。圖圖2-22-2阻尼模型阻尼模型 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 慣性元件慣性元件就是離散系統(tǒng)的就是離散系統(tǒng)的質(zhì)量元件質(zhì)量元件，慣性力慣性力Fm與與質(zhì)量元件的加速度質(zhì)量元件的加速度 成正比，如圖成正比，如圖2-3所示，比例所示，比例系數(shù)就是質(zhì)量系數(shù)就是質(zhì)量m 。m 的單位為千克（的單位為千克（kg ）。）。 )(tx 圖圖2-3 2-3 質(zhì)量模型質(zhì)量模型 慣性元件慣性元件2.1 單自由度系

8、統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 并聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度并聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度 在實(shí)際工程系統(tǒng)中，常常會(huì)有多個(gè)彈性元件以各種形式在實(shí)際工程系統(tǒng)中，常常會(huì)有多個(gè)彈性元件以各種形式組合在一起的情況，其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)兩種形式，組合在一起的情況，其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)兩種形式，分別如圖分別如圖2-4（a）和和2-4（b）所示。所示。 圖圖2-4 2-4 彈簧的組合彈簧的組合 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng))(1211xxkFs)(1222xxkFs（2-1） )()()(1212212121xxkxxkxxkFFFeqsss所以等效彈簧剛度為所以

9、等效彈簧剛度為 （2-2）21kkkeq第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 并聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度圖解并聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度圖解 彈性元件的組合彈性元件的組合2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1） （2-2）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1neqiikk 串串聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度111neqiikk2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)在圖在圖2-42-4（b b）所示的串聯(lián)情況下，可以得到如下關(guān)系所示的串聯(lián)情況下，可以得到如下關(guān)系)(101xxkFs)(022xxkFs將將x0 消掉，可得消掉，可得)(12xxkFeqs12111kkkeq（2-6）（2

10、-5）（2-4）（2-3）如果有如果有n 個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，可以證明有以下結(jié)論個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，可以證明有以下結(jié)論第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1） 題1串聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) （2-2）并聯(lián)并聯(lián)串并聯(lián)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1） （2-2）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1） （2-2）問(wèn)題，將如圖所示機(jī)床簡(jiǎn)化成單自由度系統(tǒng)，寫出其運(yùn)問(wèn)題，將如圖所示機(jī)床簡(jiǎn)化成單自由度系

11、統(tǒng)，寫出其運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)方程。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1） 問(wèn)題：判斷正誤，左側(cè)系統(tǒng)等效成右側(cè)圖問(wèn)題：判斷正誤，左側(cè)系統(tǒng)等效成右側(cè)圖第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1） （2-2）問(wèn)題：判斷正誤，左側(cè)系統(tǒng)等效成右側(cè)圖問(wèn)題：判斷正誤，左側(cè)系統(tǒng)等效成右側(cè)圖第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1） （2-2）問(wèn)題：判斷等效的正誤問(wèn)題：判斷等效的正誤第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1.1 單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 圖圖2-5 2

12、-5 單自由度模型單自由度模型 單自由度彈簧單自由度彈簧-阻尼器阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)可由圖質(zhì)量系統(tǒng)可由圖2-5（a）表示，下面用牛頓定律來(lái)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。繪系表示，下面用牛頓定律來(lái)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。繪系統(tǒng)的分離體圖如圖統(tǒng)的分離體圖如圖2-5（b）。 運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)( )( )( )( )mx tcx tkx tF t（2-8） ( )( )( )( )sdF tF tF tmx t由于由于 ， 方程（方程（2-7）變?yōu)椋┳優(yōu)? )()(tkxtFs)()(txctFd（2-8）式是一個(gè)式是一個(gè)二階常系數(shù)常

13、微分方程二階常系數(shù)常微分方程。常數(shù)。常數(shù) m ，c， k是描是描述系統(tǒng)的述系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)系統(tǒng)參數(shù)。方程（方程（2-8）的求解在振動(dòng)理論中是十分重）的求解在振動(dòng)理論中是十分重要的。要的。 用用 F(t)表示作用于系統(tǒng)上的外力，用表示作用于系統(tǒng)上的外力，用x(t) 表示質(zhì)量表示質(zhì)量m 相對(duì)相對(duì)于平衡位置的位移，可得于平衡位置的位移，可得:（2 -7） 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)n稱為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然角頻率（可用量綱分析）?？梢宰C明稱為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然角頻率（可用量綱分析）?？梢宰C明（2-9）式具有如下形式的通解）式具有如下形式的通解:2( )(

14、)0nx tx t2nkm （2-9）12( )cossinnnx tAtAt（2-10）2.1.2 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) 本節(jié)首先討論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)。在自由振動(dòng)情況本節(jié)首先討論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)。在自由振動(dòng)情況下，下，F(xiàn) (t) 恒等于零。在（恒等于零。在（2-8）式中令，）式中令，F(xiàn) (t) =0 ，c = 0 則有則有: 其中其中A1和和A2為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定，即由初始為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定，即由初始位移位移x(0)和初始速度和初始速度 決定。決定。)0( x 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度

15、系統(tǒng)的振動(dòng)若引入若引入1cosAA2sinAA （2-11）可得可得:2212AAA121tanAA蔣蔣(2-11)代入代入(2-10)可導(dǎo)得可導(dǎo)得:( )cosnx tAt （2-12）（2-13） A和和也是積分常數(shù)，同樣由也是積分常數(shù)，同樣由x(0) 和和 決定。決定。方程（方程（2-13）表明系統(tǒng)以為）表明系統(tǒng)以為n 頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這樣的系統(tǒng)又稱為樣的系統(tǒng)又稱為簡(jiǎn)諧振蕩器簡(jiǎn)諧振蕩器。（。（2-13）式描述的是最）式描述的是最簡(jiǎn)單的一類振動(dòng)。簡(jiǎn)單的一類振動(dòng)。 )0(x 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，完成一

16、個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)周期所需的時(shí)間定在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，完成一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)周期所需的時(shí)間定義為義為周期周期T 周期周期2nT 從物理概念上講，從物理概念上講，T代表完成一個(gè)代表完成一個(gè)完整的振蕩所需的時(shí)間完整的振蕩所需的時(shí)間，事實(shí)上事實(shí)上T等于振動(dòng)過(guò)程中相鄰的兩個(gè)完全相同的狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的時(shí)等于振動(dòng)過(guò)程中相鄰的兩個(gè)完全相同的狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間差，其單位為間差，其單位為秒秒。 自然頻率自然頻率12nnfT自然頻率的單位為自然頻率的單位為赫茲赫茲(HZ)。自然頻率自然頻率通常也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為通常也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) （2-1

17、4）（2-15）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)00( )cossinnnnvx txtt（2-16）100tannvx2200nvAx 下面給出用下面給出用初始條件初始條件表示的積分常數(shù)表示的積分常數(shù)A和和 的表達(dá)的表達(dá)式。引入符號(hào)式。引入符號(hào) ， ，利用方程（，利用方程（2-10）不難證明簡(jiǎn)諧振子對(duì)初始條件不難證明簡(jiǎn)諧振子對(duì)初始條件 x0和和v0 的響應(yīng)為的響應(yīng)為0(0)xx)0(0 xv 比較方程（比較方程（2-11）和（）和（2-16），并利用（），并利用（2-12）式的）式的關(guān)系，可以導(dǎo)出振幅關(guān)系，可以導(dǎo)出振幅A與相角與相角 有如下形式有如下形式 積分常數(shù)積分常數(shù)A和和 的表達(dá)式的表達(dá)式2

18、.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-17）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的

19、自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例2-1 如圖如

20、圖2-6 ，一個(gè)半徑為，一個(gè)半徑為R的半圓形薄殼，的半圓形薄殼，在粗糙的表面上滾動(dòng)，試推導(dǎo)此殼體在小幅運(yùn)動(dòng)下的在粗糙的表面上滾動(dòng)，試推導(dǎo)此殼體在小幅運(yùn)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)微分方程，并證明此殼體的運(yùn)動(dòng)象運(yùn)動(dòng)微分方程，并證明此殼體的運(yùn)動(dòng)象簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子，計(jì)，計(jì)算振子的自然振動(dòng)頻率。算振子的自然振動(dòng)頻率。 圖圖2-6 2-6 例例2-12-1題圖題圖 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)ccIM（a） 分析分析:本例運(yùn)動(dòng)方程的建立過(guò)程要比彈簧質(zhì)量系統(tǒng)復(fù)雜一本例運(yùn)動(dòng)方程的建立過(guò)程要比彈簧質(zhì)量系統(tǒng)復(fù)雜一些，運(yùn)用理論力學(xué)中平面運(yùn)動(dòng)的理論，可建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方些，運(yùn)用理論力學(xué)

21、中平面運(yùn)動(dòng)的理論，可建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。程。 設(shè)殼體傾斜角為設(shè)殼體傾斜角為（如圖（如圖2-6），設(shè)），設(shè)c 為殼體與粗糙表面的為殼體與粗糙表面的接觸點(diǎn)，在無(wú)滑動(dòng)的情況下，殼體瞬時(shí)在繞接觸點(diǎn)，在無(wú)滑動(dòng)的情況下，殼體瞬時(shí)在繞c 點(diǎn)作轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)點(diǎn)作轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)c 點(diǎn)取矩，可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。點(diǎn)取矩，可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 解：解：2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b） 其中，其中，IC為繞點(diǎn)為繞點(diǎn) C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， MC為重力作用下的恢復(fù)力矩。為方便起見(jiàn)，為重力作用下的恢復(fù)力矩。

22、為方便起見(jiàn)，設(shè)殼體的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，由圖設(shè)殼體的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，由圖2-6，對(duì)，對(duì)于給定的于給定的，對(duì)，對(duì)C點(diǎn)的恢復(fù)力矩點(diǎn)的恢復(fù)力矩MC 有如下有如下形式：形式：ccIM（a）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b）2222322sin(1 cos )21 cos2(2cos )cIRRdmRdR（c）殼體對(duì)殼體對(duì)C 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為: 其中其中， dw是給定角是給定角位置的微元體重量，位置的微元體重量，是殼體單位面積是殼體單位面積的質(zhì)量。的質(zhì)量。 2.1 單自由度系統(tǒng)的自

23、由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 當(dāng)殼體作當(dāng)殼體作小幅振動(dòng)小幅振動(dòng)時(shí)，即時(shí)，即很小時(shí)，引入近似表達(dá)式很小時(shí)，引入近似表達(dá)式sin，cos1 ， 并將（并將（b）、（）、（c）兩式代入（）兩式代入（a）中，得到）中，得到:32222RgR （d）02gR（e）2ngR（f）整理可得整理可得: （e）式表明，當(dāng)）式表明，當(dāng) 很小時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的確象很小時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的確象簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子，其，其自然頻率自然頻率為為: ccIM （a）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2( )2( )( )0nnx tx tx t（2-18b）( )st

24、x tAe（2-19）2220nnss(2-20)2.1.3 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng) 有阻尼自由振動(dòng)方程有阻尼自由振動(dòng)方程: 其中，其中， 稱為粘性阻尼因子。設(shè)（稱為粘性阻尼因子。設(shè)（2-18b）式的解有如）式的解有如下形式下形式:nmc2/將（將（2-19）代入（）代入（2-18b）中，可得代數(shù)方程）中，可得代數(shù)方程(特征方程特征方程) 有阻尼自由振動(dòng)方程有阻尼自由振動(dòng)方程 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)( )( )( )0mx tcx tkx t（2-18a） 寫成寫成: 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2220nnss(2-20)這就是系統(tǒng)的特征方程，它是這就是系統(tǒng)

25、的特征方程，它是s 的二次方程，有兩個(gè)解：的二次方程，有兩個(gè)解： 1221ssn 很明顯很明顯，s1、s2 的性質(zhì)取決于的性質(zhì)取決于阻尼因子阻尼因子 ，其相互關(guān)系可以從，其相互關(guān)系可以從s 平面，即復(fù)平面上得到反映（如平面，即復(fù)平面上得到反映（如圖圖2-7）。）。 （2-21）圖圖2-7 s1 、s2 的復(fù)平面表示的復(fù)平面表示 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（2-20）式的根）式的根 s1 、s2 作為作為阻尼因子阻尼因子 的函數(shù)在復(fù)平面的函數(shù)在復(fù)平面上描繪出一條曲線，圖中可上描繪出一條曲線，圖中可直觀地了解參數(shù)直觀地了解參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行

26、為的影響，或者說(shuō)對(duì)系動(dòng)行為的影響，或者說(shuō)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。統(tǒng)響應(yīng)的影響。 參數(shù)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。2220nnss(2-20)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 當(dāng)當(dāng) =0時(shí)，得到兩個(gè)復(fù)根時(shí)，得到兩個(gè)復(fù)根in ，此時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)就是簡(jiǎn)諧振子。系統(tǒng)就是簡(jiǎn)諧振子。 當(dāng)當(dāng) 0 1時(shí)，時(shí)， 為復(fù)共軛，在圖中對(duì)稱為復(fù)共軛，在圖中對(duì)稱地位于實(shí)軸的兩側(cè)，并位于半徑為地位于實(shí)軸的兩側(cè)，并位于半徑為 n的的圓上。圓上。 當(dāng)當(dāng) =1時(shí)，特征方程的根時(shí)，特征方程的根 s1 、s2為為n ，落在實(shí)軸上。，落在實(shí)軸上。 當(dāng)當(dāng) 1時(shí)，特征方程的根始終在實(shí)軸上時(shí)

27、，特征方程的根始終在實(shí)軸上,且隨著且隨著 ， s1 0、s2 1221ssn （2-21）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 將特征方程的根（將特征方程的根（2-21）代入（）代入（2-19）式，可得系統(tǒng)的）式，可得系統(tǒng)的通解通解 : :tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(222122212121（2-22）( )stx tAe（2-19）1221ssn （2-21） 系統(tǒng)的通解系統(tǒng)的通解2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 式（式（2-22），對(duì)應(yīng)于

28、），對(duì)應(yīng)于 1的情況，此時(shí)系統(tǒng)的的情況，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)是非振蕩非振蕩的，并且隨時(shí)間的，并且隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減按指數(shù)規(guī)律衰減，x(t) 的確切形狀取決于的確切形狀取決于A1 和和A2 ，也即取決于初始位移，也即取決于初始位移 x0 和初速度和初速度v0 。 1的情況稱為的情況稱為大阻尼大阻尼或或過(guò)阻尼過(guò)阻尼。 大阻尼大阻尼( 1)tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(222122212121（2-22）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)這也代表一指數(shù)衰減的響應(yīng)，這也代表一指數(shù)衰減的響應(yīng)，

29、=1的情況稱為臨界阻尼。的情況稱為臨界阻尼。 在特殊情況在特殊情況 =1,方程（方程（2-20）有一個(gè)重根，）有一個(gè)重根，s1=s2=n ，不難證明在這種情況下，系統(tǒng)有如下形式的解不難證明在這種情況下，系統(tǒng)有如下形式的解:tnetAAtx)()(21（2-23） 由表達(dá)式由表達(dá)式 可見(jiàn)當(dāng)可見(jiàn)當(dāng) =1時(shí)，臨界粘性阻尼時(shí)，臨界粘性阻尼/2ncmkmmcncr22 臨界阻尼（臨界阻尼（ =1） 臨界阻尼是臨界阻尼是 1和和 1的一個(gè)分界點(diǎn)，應(yīng)該注意到，的一個(gè)分界點(diǎn)，應(yīng)該注意到， =1時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨近于平衡位置的速度是最大的時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨近于平衡位置的速度是最大的。 =1也是系統(tǒng)振動(dòng)與非振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的

30、臨界點(diǎn)。也是系統(tǒng)振動(dòng)與非振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)。2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2220nnss（2-20）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)圖圖2-8 1 時(shí)時(shí)x(t) 曲線曲線 1 、 =1時(shí)系統(tǒng)的自由振動(dòng)如圖時(shí)系統(tǒng)的自由振動(dòng)如圖2-8-圖圖2-9 。圖圖2-9 =1 時(shí)時(shí)x(t) 曲線曲線 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)其中，其中， ，通常稱為有，通常稱為有阻尼自由振動(dòng)頻率阻尼自由振動(dòng)頻率。 212)1 (nd由于由于 : :titetiteddtiddtiddsincossincos 0 1時(shí)，解（時(shí)，解（2-22）可改寫成如下形式

31、：）可改寫成如下形式： 221212( )exp1exp1nddntnnitittx tAitAiteAeA ee （2-24） 小阻尼（小阻尼（ 0 1）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 式（式（2-24）簡(jiǎn)化成）簡(jiǎn)化成)cos()(tAetxdtn（2-27） 可見(jiàn)上式表示的運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)，頻率為常值可見(jiàn)上式表示的運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)，頻率為常值 ，相角，相角為為 ，而幅值為，而幅值為 ，以指數(shù)形式衰減。常數(shù)，以指數(shù)形式衰減。常數(shù) 、 由由初始條件決定。初始條件決定。 稱為稱為小阻尼小阻尼或或欠阻尼欠阻尼情況。情況。dtnAeA10并設(shè)并設(shè)cos21AAAs

32、in)(21AAAi（2-26）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)小阻尼情況的典型響應(yīng)曲線如圖小阻尼情況的典型響應(yīng)曲線如圖2-10所示，曲線所示，曲線 為響應(yīng)曲線的為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線包絡(luò)線。很明顯，當(dāng)。很明顯，當(dāng)t ， x(t) 0，因，因此響應(yīng)最終趨于消失。此響應(yīng)最終趨于消失。tnAe圖圖2-10 0 1 時(shí)時(shí)x(t) 曲線曲線2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例2-2 對(duì)于圖對(duì)于圖2-5所示的單自由度系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)分別在所示的單自由度系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)分別在 ， 和和 時(shí)，對(duì)于初始條件時(shí)，對(duì)于初始條件

33、， 的響應(yīng)。的響應(yīng)。 11010)0(x0)0(vx12AA 解解: 對(duì)于對(duì)于 ，用（，用（2-22）式有）式有 ，所以，所以0)0(21AAx1（a）因此因此,系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)有如下形式系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)有如下形式teAtxntn1sinh2)(21（b）因此，系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)（因此，系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)（b）式求導(dǎo)，并代入初始條件）式求導(dǎo)，并代入初始條件 可得可得0(0)xvnvA12201 （c） 可得可得 時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)1tevtxntnn1sinh1)(220（d d）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)于對(duì)于 ，從（，從（2-23）式中容易導(dǎo)出）式中容

34、易導(dǎo)出 和和 ，所以此，所以此時(shí)的響應(yīng)為時(shí)的響應(yīng)為:101A02vA tntevtx0)(（e） 對(duì)于對(duì)于 ，在（，在（2-27）式中用初始條件）式中用初始條件 得得 ，幅值則與初始速度有關(guān)，幅值則與初始速度有關(guān)， ，因此（，因此（2-27）簡(jiǎn)化為）簡(jiǎn)化為 : :100)0(x2/dvA/0tevtxdtdnsin)(021nd （f） 表達(dá)式（表達(dá)式（d）、（）、（e）、（）、（f）分別對(duì)應(yīng)于大阻尼、臨界阻尼和）分別對(duì)應(yīng)于大阻尼、臨界阻尼和小阻尼的情況，其圖形分別見(jiàn)圖小阻尼的情況，其圖形分別見(jiàn)圖2-82-10。圖中將。圖中將 、 、 作作為參數(shù)，給出了響應(yīng)為參數(shù)，給出了響應(yīng) 隨這些參數(shù)的變化

35、規(guī)律。隨這些參數(shù)的變化規(guī)律。 n0v)(tx2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1.4 對(duì)數(shù)衰減率對(duì)數(shù)衰減率 如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減，如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減，而指數(shù)本身又是阻尼因子而指數(shù)本身又是阻尼因子 的線性函數(shù)。下面來(lái)尋求的線性函數(shù)。下面來(lái)尋求通過(guò)衰減響應(yīng)通過(guò)衰減響應(yīng)確定阻尼因子確定阻尼因子 的途徑的途徑。圖圖2-112-111時(shí)時(shí)x( (t t) )的一般規(guī)律的一般規(guī)律 在圖在圖2-11中，設(shè)中，設(shè)t1 和和 t2表示兩相鄰周期中相距一個(gè)完整周期表示兩相鄰周期中相距一個(gè)完整周期 T

36、的的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間。兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間。2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng))cos()(tAetxdtn第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)由（由（2-27）式，可得）式，可得)cos()cos(212121tAetAexxdtdtnn（2-28）)cos()(tAetxdtn（2-27）)cos()cos(12ttdd 由于由于 ， 是有阻尼振動(dòng)的周期，所以是有阻尼振動(dòng)的周期，所以Ttt12dT/2TTttnnneeexx121（2-29）這樣（這樣（2-28）式可化為）式可化為:2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 觀察（觀察（2-29）式的指

37、數(shù)關(guān)系，可以自然地引入以）式的指數(shù)關(guān)系，可以自然地引入以下關(guān)系式下關(guān)系式:22112lnTxxn（2-30） 要確定系統(tǒng)的阻尼，可以測(cè)量?jī)扇我庀噜徶芷诘囊_定系統(tǒng)的阻尼，可以測(cè)量?jī)扇我庀噜徶芷诘膶?duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn) x1 和和 x2 ，計(jì)算對(duì)數(shù)衰減率，計(jì)算對(duì)數(shù)衰減率21lnxx222（2-31）此處，此處，稱為稱為對(duì)數(shù)衰減率對(duì)數(shù)衰減率。從而得到從而得到2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)于微小阻尼情況，（對(duì)于微小阻尼情況，（2-31）式可近似為）式可近似為2（2-32） 值得注意的是，值得注意的是， 可以通過(guò)測(cè)量相隔任意周期的兩對(duì)可以通過(guò)測(cè)量相隔任意周期的

38、兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位移應(yīng)點(diǎn)的位移 ， 來(lái)確定。設(shè)來(lái)確定。設(shè) 、 為為 、 對(duì)對(duì)應(yīng)的時(shí)間，應(yīng)的時(shí)間， 為整數(shù)，則為整數(shù)，則1x1jx1tjTttj111x1jxjTjjnexx11（2-33） 由（由（2-33）可導(dǎo)得）可導(dǎo)得11ln1jxxj（2-34）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例2-3 實(shí)驗(yàn)觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)幅值在實(shí)驗(yàn)觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)幅值在5個(gè)個(gè)完整的周期后衰減了完整的周期后衰減了50%，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的阻尼因子。阻尼因子。 解解:設(shè)設(shè) ，則，則5j13863.

39、 02ln515 . 0ln51ln511161xxxx 由（由（2-31）、（）、（2-32）式分別得到：）式分別得到：022058. 013863. 0213863. 0 2 222231022064. 0213863. 02322.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1.5 2.1.5 彈簧的等效質(zhì)量彈簧的等效質(zhì)量 在圖在圖2-12中，設(shè)彈簧中，設(shè)彈簧 具有質(zhì)量，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量具有質(zhì)量，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為為 ，那么彈簧的質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)有多大影響呢？下面，那么彈簧的質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)有多大影響呢？下面就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。k圖圖2-

40、12 2-12 彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng)示意圖彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng)示意圖 設(shè)質(zhì)量設(shè)質(zhì)量 的位移用的位移用 表示，彈簧的長(zhǎng)度為表示，彈簧的長(zhǎng)度為 ，那么距，那么距左端為左端為 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 的微單元的位移則可假設(shè)為的微單元的位移則可假設(shè)為 ，設(shè)，設(shè) 為常數(shù)。為常數(shù)。 txLd txL/m2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) )()3(213)(21)(2121212023222202txLmLtxtxmdtxLtxmTLL（2-35）)(212tkxV （2-36） 根據(jù)能量守恒原理根據(jù)能量守恒原理0dtVTddtdE（2-37）則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為則

41、系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 可得可得0)()(tkxtxmeff （2-38） 此處此處 稱為稱為等效質(zhì)量等效質(zhì)量。3Lmmeff可見(jiàn)可見(jiàn)彈簧的質(zhì)量將會(huì)使系統(tǒng)的自然頻率降低到彈簧的質(zhì)量將會(huì)使系統(tǒng)的自然頻率降低到3Lmkn（2-39）（2-39）式表明）式表明彈簧將自身質(zhì)量的三分之一貢獻(xiàn)給系統(tǒng)的彈簧將自身質(zhì)量的三分之一貢獻(xiàn)給系統(tǒng)的等效質(zhì)量等效質(zhì)量，當(dāng)然，前提是假設(shè)彈簧按，當(dāng)然，前提是假設(shè)彈簧按 規(guī)律變形規(guī)律變形的。如果假設(shè)其他類型的變形模式，影響效果則有可能不的。如果假設(shè)其他類型的變形模式，影響效果則有可能不同。同。

42、)(/txL2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2.2 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 工程振動(dòng)中一個(gè)很重要方面是分析系統(tǒng)對(duì)外部激工程振動(dòng)中一個(gè)很重要方面是分析系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)，這種振動(dòng)有別于上節(jié)的自由振動(dòng)，稱為勵(lì)的響應(yīng)，這種振動(dòng)有別于上節(jié)的自由振動(dòng)，稱為強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)迫振動(dòng)，這是本節(jié)要討論的內(nèi)容。，這是本節(jié)要討論的內(nèi)容。 對(duì)于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對(duì)于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分

43、別求系統(tǒng)對(duì)于初始條件的響應(yīng)和對(duì)于外部激勵(lì)的響應(yīng)，然后再對(duì)于初始條件的響應(yīng)和對(duì)于外部激勵(lì)的響應(yīng)，然后再合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2.12.2.1 系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng) 對(duì)于圖對(duì)于圖2-5所示的有阻尼單自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為所示的有阻尼單自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為)()()()(tFtkxtxctxm （2-40） 首先考慮最簡(jiǎn)單的情況，即首先考慮最簡(jiǎn)單的情況，即簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)情況，設(shè)情況，設(shè)F(t) 有如下形式有如下形式圖圖2-5 2-5 單自由度模型單自由度模型 tkAtkftFcos)()(（2-41） 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程2

44、.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)tkAtkftFcos)()(（2-41）將（將（2-41）代入（）代入（2-40），兩邊同除以），兩邊同除以m 有有 tAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 （2-42）當(dāng)當(dāng)A 為零時(shí)，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自由振動(dòng)響為零時(shí)，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)，自由振動(dòng)響應(yīng)隨時(shí)間衰減，最后消失，所以自由振動(dòng)應(yīng)，自由振動(dòng)響應(yīng)隨時(shí)間衰減，最后消失，所以自由振動(dòng)響應(yīng)也叫響應(yīng)也叫瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)。式（式（2-42）的特解也就是強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)不會(huì)隨時(shí)間衰減，所）的特解也就是強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)不會(huì)隨

45、時(shí)間衰減，所以稱為以稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng))cos()(tXtx（2-43）將（將（2-43）代入方程（）代入方程（2-42），可得），可得 tAttXnnncos)sin(2)cos(222（2-44）利用三角函數(shù)關(guān)系利用三角函數(shù)關(guān)系 sincoscossinsinsinsincoscoscostttttt并令（并令（2-44）式中）式中 和和 項(xiàng)的系數(shù)相等可得項(xiàng)的系數(shù)相等可得tcostsin0cos2sinsin2cos22222nnnnnXAX（2-45） 設(shè)系統(tǒng)（設(shè)系統(tǒng)（2-42）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有如下形式）的穩(wěn)

46、態(tài)響應(yīng)有如下形式 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)21222)2(1nnAX（2-46）2112tannn（2-47） 將（將（2-46）、（）、（2-47）代入（）代入（2-43）得到系統(tǒng)的）得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解。解（解（2-45）式可得）式可得 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 21222)2(1nnAXA=2 XnX=A|H|= Xn*2|H|21222211)(nnH式中第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)典型的激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系曲線如

47、圖典型的激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系曲線如圖2-13所示。所示。 將將 f(t)用復(fù)數(shù)形式表示用復(fù)數(shù)形式表示: 圖圖2-13 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)f(t) 與響應(yīng)與響應(yīng) x(t)曲線曲線 tiAetf)(（2-48） f(t)的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處理，是為了求解方便，不言的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處理，是為了求解方便，不言而喻地隱含著激振力僅由而喻地隱含著激振力僅由 f(t)的實(shí)部表示，當(dāng)然，響應(yīng)也應(yīng)由的實(shí)部表示，當(dāng)然，響應(yīng)也應(yīng)由x(t) 的實(shí)部表示。式中的實(shí)部表示。式中A 一般為復(fù)數(shù)。一般為復(fù)數(shù)。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響

48、應(yīng) nntinntiniAeiAetx21Re2Re)(2222（2-50）由上式可見(jiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由上式可見(jiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) x(t)與激振力與激振力f(t) 成正比，且比例因子成正比，且比例因子為為nniH211)(2（2-51）這稱為這稱為復(fù)頻響應(yīng)復(fù)頻響應(yīng).在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應(yīng)和激勵(lì)滿足關(guān)系在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應(yīng)和激勵(lì)滿足關(guān)系tinnnnAetftxtxtx222)()()(2)( （2-49）2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由（由（2-51）式，可見(jiàn)）式，可見(jiàn) 的模的模 等于響應(yīng)幅值和等于響應(yīng)幅值和激勵(lì)幅值激勵(lì)幅值 的無(wú)量綱比，

49、即的無(wú)量綱比，即 )(H)(HA21222211)(nnH 常稱為常稱為幅值因子幅值因子。 )(H（2-53）)()()()()()()(tFtFtFtkxtftxHs（2-52） 這表明這表明復(fù)頻響應(yīng)是彈簧力與實(shí)際的外激勵(lì)復(fù)頻響應(yīng)是彈簧力與實(shí)際的外激勵(lì) 的無(wú)的無(wú)量綱比量綱比。這里。這里 中的中的 是由靜平衡位置算起的。是由靜平衡位置算起的。 )(tF)(tF)(tx由（由（2-50）、（）、（2-51）式可得）式可得 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)圖圖2-14 簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng) 圖圖2-14 給出了在不同阻尼比給出了在不同阻尼比

50、下下 與與 的關(guān)系曲線。的關(guān)系曲線。 n/ 從圖中可見(jiàn)，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對(duì)從圖中可見(jiàn)，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對(duì)于于 的位置的位置左移左移。1/n2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) )(H第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)21221n（2-54） 當(dāng)當(dāng)=0時(shí)，在時(shí)，在 =n處處H () 不連續(xù)。不連續(xù)。對(duì)（對(duì)（2-53）式求導(dǎo)，并令其等于零，可得到曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的）式求導(dǎo)，并令其等于零，可得到曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 值值 當(dāng)當(dāng)=0時(shí)，對(duì)應(yīng)于無(wú)阻尼情況，此時(shí)系統(tǒng)的齊次微分方時(shí)，對(duì)應(yīng)于無(wú)阻尼情況，此時(shí)系統(tǒng)的齊次微分方程就是程就是簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子。 當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻

51、率趨近于系統(tǒng)的自然頻率趨近于系統(tǒng)的自然頻率n時(shí)，簡(jiǎn)諧振子的時(shí)，簡(jiǎn)諧振子的響應(yīng)趨于無(wú)窮，這種狀態(tài)稱為響應(yīng)趨于無(wú)窮，這種狀態(tài)稱為共振共振，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生劇烈振，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生劇烈振動(dòng)。動(dòng)。2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 21222211)(nnH第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 值得注意的是，當(dāng)值得注意的是，當(dāng) =n 時(shí)，（時(shí)，（2-50）式所表示的解已不）式所表示的解已不適用了，必須對(duì)系統(tǒng)（適用了，必須對(duì)系統(tǒng)（2-42）重新求解。）重新求解。 在微小阻尼情況下，如在微小阻尼情況下，如 0 .05， H () 的極大值的的極大值的位置幾乎與位置幾乎與 /n=1相差無(wú)幾，引入符號(hào)相差無(wú)幾，引

52、入符號(hào)H () max=Q ，在，在微小阻尼情況下，有微小阻尼情況下，有21Q（2-55） 品質(zhì)因子品質(zhì)因子QtAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 （2-42） Q通常稱為通常稱為品質(zhì)因子品質(zhì)因子。2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 21222211)(nnH第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)另外，工程上常將另外，工程上常將H () 曲線上取值為曲線上取值為 的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)P1 和和P2稱為稱為半功率點(diǎn)半功率點(diǎn)。半功率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)頻率之差稱為。半功率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)頻率之差稱為半功率點(diǎn)帶寬半功率點(diǎn)帶寬，在，在小阻尼情況下，小阻尼情況下，不難證明不難證明(如何證明？如何證明？)

53、，半功率點(diǎn)帶寬，半功率點(diǎn)帶寬 取如取如下值下值2/Qn212（2-56） 比較（比較（2-55）和（）和（2-56）式，可得）式，可得 1221nQ（2-57）（2-57）式給出了一種快速估計(jì)）式給出了一種快速估計(jì)Q 和和 值的方法。值的方法。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 下面將注意力轉(zhuǎn)到相角上來(lái)，由（下面將注意力轉(zhuǎn)到相角上來(lái)，由（2-51）和（）和（2-53）式，不）式，不難得到難得到 ieHH)()(（2-58）這里這里2112tannn（2-59）這與（這與（2-472-47）式的結(jié)果相同。根據(jù)（）式的結(jié)果相同。根據(jù)（2-582-58

54、）式和（）式和（2-592-59）式，）式，（2-502-50）式可寫為）式可寫為 titie)(HARee )(AHRe)t ( x（2-60） 相角相角2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)從（從（2-602-60）式和圖）式和圖2-152-15可以看出可以看出: : 對(duì)應(yīng)于不同對(duì)應(yīng)于不同 值的所有曲線均在值的所有曲線均在 /n=1處通過(guò)共同點(diǎn)處通過(guò)共同點(diǎn) 。2 對(duì)于對(duì)于 =0，隨，隨 /n的變化曲線在的變化曲線在 /n=1處間斷。從處間斷。從 的的 = 0 跳到跳到 /n1時(shí)的時(shí)的= 。這可以通過(guò)。這可以通過(guò)=0 時(shí)的時(shí)的x(t)解來(lái)解釋。解來(lái)解

55、釋。 對(duì)于對(duì)于 /n1情況隨情況隨 /n減小，減小，相角趨于零。相角趨于零。 對(duì)于對(duì)于 /n1情況，隨情況，隨 /n增大，增大，相角趨于相角趨于 。 圖圖2-15 2-15 簡(jiǎn)諧激勵(lì)的相位簡(jiǎn)諧激勵(lì)的相位 即即 /n1時(shí)響應(yīng)同相，時(shí)響應(yīng)同相， /n1時(shí)響應(yīng)反相時(shí)響應(yīng)反相。2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程方程（2-612-61）也清楚地表明簡(jiǎn)諧振子在驅(qū)動(dòng)頻率也清楚地表明簡(jiǎn)諧振子在驅(qū)動(dòng)頻率 趨近于自然頻率趨近于自然頻率n時(shí)，響應(yīng)變?yōu)闊o(wú)窮大。時(shí)，響應(yīng)變?yōu)闊o(wú)窮大。 下面討論簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方下面討論簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方

56、程變?yōu)槌套優(yōu)?: :tAtxtxnnncos)()(22 （2-62）tinAetx211Re)(（2-61） 簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)不難證明系統(tǒng)有如下特解不難證明系統(tǒng)有如下特解ttAtxnnsin2)(（2-63） 此式表明，解是幅值隨時(shí)間線性增加的振蕩響應(yīng)，這隱含了隨此式表明，解是幅值隨時(shí)間線性增加的振蕩響應(yīng)，這隱含了隨著時(shí)間的增大，解將趨于無(wú)窮。因此在工程上講，共振是很危險(xiǎn)的著時(shí)間的增大，解將趨于無(wú)窮。因此在工程上講，共振是很危險(xiǎn)的狀態(tài)，一定要避免。上式所描述的共振響應(yīng)特性示于下圖。狀態(tài)，一定要

57、避免。上式所描述的共振響應(yīng)特性示于下圖。 圖圖2-16 簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng) 有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應(yīng)可由其自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)疊加而成有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應(yīng)可由其自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)疊加而成。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例2-4 如圖如圖2-17所示，有兩個(gè)帶有偏心的質(zhì)量所示，有兩個(gè)帶有偏心的質(zhì)量 反向旋轉(zhuǎn)，旋反向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為常數(shù)轉(zhuǎn)角速度為常數(shù) ，不平衡質(zhì)量的垂直位移為，不平衡質(zhì)量的垂直位移為 ， 由靜平由靜平衡算起。求衡算起。求 。 2msinxltx)(tx圖圖2-17 例例2-4題圖題圖 解解:由題意不難

58、得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程由題意不難得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程:0)sin()(2222kxdtdxctlxdtdmdtxdmM簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為:tiemltmltkxtxctxM22Imsin)()()( 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)為:mktHlMmeHlMmtxnntin222,)sin()()(Im)(相角相角由（由（2-38）式給出。將上改寫為）式給出。將上改寫為)sin()(tXtx可得可得:)(2HMmlXn在這一例子中，可將無(wú)量綱比寫為在這一例子中，可將無(wú)量綱比寫為)(2HmlMXn 的圖形與的圖形與 的圖形完全不同，這將于

59、稍后敘述。的圖形完全不同，這將于稍后敘述。 )(2Hn)(H2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例例2-5 2-5 研究一種基礎(chǔ)激振的情況。如圖研究一種基礎(chǔ)激振的情況。如圖2-182-18所示所示: :解解:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程有如下形式系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程有如下形式 : :圖圖2-18 例例2-5題圖題圖 0yxkyxxxm 簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為:yyxxxnnnn2222 設(shè)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，有如下形式設(shè)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，有如下形式tiAetyRe)(則系統(tǒng)的響應(yīng)為則系統(tǒng)的響應(yīng)為tinnnAeiitx2121Re)(22.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單

60、自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)將將 簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成)(tx1cos)(tXtx那么那么)(212121212212222HAAXnnnn22311212tannnn無(wú)量綱比可寫為無(wú)量綱比可寫為)(21212HAXn2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)指數(shù)描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)指數(shù)描述 有阻尼系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧激振力和在激振力作用下的響應(yīng)的復(fù)指有阻尼系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧激振力和在激振力作用下的響應(yīng)的復(fù)指數(shù)描述，可以通過(guò)在復(fù)平面上的幾何圖形來(lái)說(shuō)明，將（數(shù)描述，可以通過(guò)在復(fù)平面上的幾何圖形來(lái)說(shuō)明，將（2-602-60）式兩邊對(duì)求導(dǎo)得式兩邊對(duì)求導(dǎo)得)(