第二章 單自由度系統(tǒng)振動

1、第2章 單自由度系統(tǒng)的振動機械振動與模態(tài)分析機械振動與模態(tài)分析西南交通大學牽引動力實驗室西南交通大學牽引動力實驗室第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動 張立民第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動 2.1 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 2.2 2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 2.3 2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用單自由度系統(tǒng)的工程應用 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動 2.1 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 第2章 單自由度系

2、統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 正如第一章所述，振動系統(tǒng)可分為正如第一章所述，振動系統(tǒng)可分為離散模型離散模型和和連連續(xù)模型續(xù)模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個自由度兩種不同的類型。離散模型具有有限個自由度，而連續(xù)模型則具有無限個自由度。，而連續(xù)模型則具有無限個自由度。 系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運動所必系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運動所必須的獨立的坐標個數(shù)。須的獨立的坐標個數(shù)。 在離散模型中，最簡單的是在離散模型中，最簡單的是單自由度線性系統(tǒng)單自由度線性系統(tǒng)，它用一個二階常系數(shù)常微分方程來描述。這類模型常它用一個二階常系數(shù)常微分方程來描述。這類模型常

3、用來作為較復雜系統(tǒng)的初步近似描述。用來作為較復雜系統(tǒng)的初步近似描述。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 構成構成離散模型離散模型的的元素元素有三個，有三個，彈性元件彈性元件、阻尼元件阻尼元件和和慣慣性元件性元件。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章

4、 單自由度系統(tǒng)的振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動通常假定彈簧為無質量元件。如圖通常假定彈簧為無質量元件。如圖2-1(a)所示，彈簧力所示，彈簧力Fs 與其相與其相對變形對變形 x2-x1的典型函數(shù)關系如下圖的典型函數(shù)關系如下圖2-1（b）所示。所示。 圖圖2-1 2-1 彈簧模型彈簧模型2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 當當x2-x1 比較小時，可以認為彈簧力與彈簧變形量成正比，比較小時，可以認為彈簧力與彈簧變形量成正比，比例系數(shù)為圖中曲線的斜率比例系數(shù)為圖中曲線的斜率k，如果彈簧工作于彈簧力與其相，如果彈簧工作于彈簧力與其相對變形成正比的范圍內，則稱彈簧為對變形成正比的范圍

5、內，則稱彈簧為線性彈簧線性彈簧，常數(shù)稱為，常數(shù)稱為彈簧彈簧常數(shù)常數(shù)k ，或，或彈簧剛度彈簧剛度。一般用。一般用k 表示。單位為（表示。單位為（N/m）。）。 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動阻尼元件阻尼元件通常稱為通常稱為阻尼器阻尼器，一般也假設為無質量。，一般也假設為無質量。 常見的阻尼模型三種形式常見的阻尼模型三種形式: (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 圖圖2-22-2阻尼模型阻尼模型 阻尼元件阻尼元件由物體在粘性流體中運動時受到的阻力所致的粘滯阻尼。由物體在粘性流體中運動時受到的阻力所致的粘滯阻尼。由相鄰構件間發(fā)生相對運動所致的干摩擦（庫侖）阻尼。由相

6、鄰構件間發(fā)生相對運動所致的干摩擦（庫侖）阻尼。由材料變形時材料內部各平面間產生相對滑移或滑動引起由材料變形時材料內部各平面間產生相對滑移或滑動引起內摩擦所致的滯后阻尼。內摩擦所致的滯后阻尼。 粘滯阻尼是一種最常見的阻尼模型。粘滯阻尼是一種最常見的阻尼模型。2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 如無特別說明，后續(xù)所說的阻尼均指如無特別說明，后續(xù)所說的阻尼均指粘滯阻尼粘滯阻尼，其阻，其阻尼力尼力Fd 與阻尼器兩端的相對速度成正比，如圖與阻尼器兩端的相對速度成正比，如圖2-2（b），比比例系數(shù)例系數(shù) c 稱為稱為粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)，它的單位為牛頓，它的

7、單位為牛頓-秒秒/米（米（N-s/m），），阻尼器阻尼器通常用通常用c 表示。表示。圖圖2-22-2阻尼模型阻尼模型 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 慣性元件慣性元件就是離散系統(tǒng)的就是離散系統(tǒng)的質量元件質量元件，慣性力慣性力Fm與與質量元件的加速度質量元件的加速度 成正比，如圖成正比，如圖2-3所示，比例所示，比例系數(shù)就是質量系數(shù)就是質量m 。m 的單位為千克（的單位為千克（kg ）。）。 )(tx 圖圖2-3 2-3 質量模型質量模型 慣性元件慣性元件2.1 單自由度系

8、統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 并聯(lián)時彈簧的等效剛度并聯(lián)時彈簧的等效剛度 在實際工程系統(tǒng)中，常常會有多個彈性元件以各種形式在實際工程系統(tǒng)中，常常會有多個彈性元件以各種形式組合在一起的情況，其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)兩種形式，組合在一起的情況，其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)兩種形式，分別如圖分別如圖2-4（a）和和2-4（b）所示。所示。 圖圖2-4 2-4 彈簧的組合彈簧的組合 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動)(1211xxkFs)(1222xxkFs（2-1） )()()(1212212121xxkxxkxxkFFFeqsss所以等效彈簧剛度為所以

9、等效彈簧剛度為 （2-2）21kkkeq第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 并聯(lián)時彈簧的等效剛度圖解并聯(lián)時彈簧的等效剛度圖解 彈性元件的組合彈性元件的組合2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1） （2-2）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動1neqiikk 串串聯(lián)時彈簧的等效剛度聯(lián)時彈簧的等效剛度111neqiikk2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動在圖在圖2-42-4（b b）所示的串聯(lián)情況下，可以得到如下關系所示的串聯(lián)情況下，可以得到如下關系)(101xxkFs)(022xxkFs將將x0 消掉，可得消掉，可得)(12xxkFeqs12111kkkeq（2-6）（2

10、-5）（2-4）（2-3）如果有如果有n 個彈簧串聯(lián)時，可以證明有以下結論個彈簧串聯(lián)時，可以證明有以下結論第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1） 題1串聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 （2-2）并聯(lián)并聯(lián)串并聯(lián)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1） （2-2）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1） （2-2）問題，將如圖所示機床簡化成單自由度系統(tǒng)，寫出其運問題，將如圖所示機床簡化成單自由度系

11、統(tǒng)，寫出其運動方程。動方程。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1） 問題：判斷正誤，左側系統(tǒng)等效成右側圖問題：判斷正誤，左側系統(tǒng)等效成右側圖第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1） （2-2）問題：判斷正誤，左側系統(tǒng)等效成右側圖問題：判斷正誤，左側系統(tǒng)等效成右側圖第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1） （2-2）問題：判斷等效的正誤問題：判斷等效的正誤第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1.1 單自由度系統(tǒng)的運動方程單自由度系統(tǒng)的運動方程 圖圖2-5 2

12、-5 單自由度模型單自由度模型 單自由度彈簧單自由度彈簧-阻尼器阻尼器-質量系統(tǒng)可由圖質量系統(tǒng)可由圖2-5（a）表示，下面用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運動方程。繪系表示，下面用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運動方程。繪系統(tǒng)的分離體圖如圖統(tǒng)的分離體圖如圖2-5（b）。 運動微分方程運動微分方程2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動( )( )( )( )mx tcx tkx tF t（2-8） ( )( )( )( )sdF tF tF tmx t由于由于 ， 方程（方程（2-7）變?yōu)椋┳優(yōu)? )()(tkxtFs)()(txctFd（2-8）式是一個式是一個二階常系數(shù)常

13、微分方程二階常系數(shù)常微分方程。常數(shù)。常數(shù) m ，c， k是描是描述系統(tǒng)的述系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)系統(tǒng)參數(shù)。方程（方程（2-8）的求解在振動理論中是十分重）的求解在振動理論中是十分重要的。要的。 用用 F(t)表示作用于系統(tǒng)上的外力，用表示作用于系統(tǒng)上的外力，用x(t) 表示質量表示質量m 相對相對于平衡位置的位移，可得于平衡位置的位移，可得:（2 -7） 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動n稱為系統(tǒng)的無阻尼自然角頻率（可用量綱分析）?？梢宰C明稱為系統(tǒng)的無阻尼自然角頻率（可用量綱分析）?？梢宰C明（2-9）式具有如下形式的通解）式具有如下形式的通解:2( )(

14、)0nx tx t2nkm （2-9）12( )cossinnnx tAtAt（2-10）2.1.2 無阻尼自由振動無阻尼自由振動 本節(jié)首先討論單自由度系統(tǒng)的自由振動。在自由振動情況本節(jié)首先討論單自由度系統(tǒng)的自由振動。在自由振動情況下，下，F(xiàn) (t) 恒等于零。在（恒等于零。在（2-8）式中令，）式中令，F(xiàn) (t) =0 ，c = 0 則有則有: 其中其中A1和和A2為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定，即由初始為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定，即由初始位移位移x(0)和初始速度和初始速度 決定。決定。)0( x 運動方程運動方程2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度

15、系統(tǒng)的振動若引入若引入1cosAA2sinAA （2-11）可得可得:2212AAA121tanAA蔣蔣(2-11)代入代入(2-10)可導得可導得:( )cosnx tAt （2-12）（2-13） A和和也是積分常數(shù)，同樣由也是積分常數(shù)，同樣由x(0) 和和 決定。決定。方程（方程（2-13）表明系統(tǒng)以為）表明系統(tǒng)以為n 頻率的簡諧振動，這頻率的簡諧振動，這樣的系統(tǒng)又稱為樣的系統(tǒng)又稱為簡諧振蕩器簡諧振蕩器。（。（2-13）式描述的是最）式描述的是最簡單的一類振動。簡單的一類振動。 )0(x 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 在簡諧振動中，完成一

16、個完整的運動周期所需的時間定在簡諧振動中，完成一個完整的運動周期所需的時間定義為義為周期周期T 周期周期2nT 從物理概念上講，從物理概念上講，T代表完成一個代表完成一個完整的振蕩所需的時間完整的振蕩所需的時間，事實上事實上T等于振動過程中相鄰的兩個完全相同的狀態(tài)所對應的時等于振動過程中相鄰的兩個完全相同的狀態(tài)所對應的時間差，其單位為間差，其單位為秒秒。 自然頻率自然頻率12nnfT自然頻率的單位為自然頻率的單位為赫茲赫茲(HZ)。自然頻率自然頻率通常也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學表達式為通常也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學表達式為:2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 （2-1

17、4）（2-15）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動00( )cossinnnnvx txtt（2-16）100tannvx2200nvAx 下面給出用下面給出用初始條件初始條件表示的積分常數(shù)表示的積分常數(shù)A和和 的表達的表達式。引入符號式。引入符號 ， ，利用方程（，利用方程（2-10）不難證明簡諧振子對初始條件不難證明簡諧振子對初始條件 x0和和v0 的響應為的響應為0(0)xx)0(0 xv 比較方程（比較方程（2-11）和（）和（2-16），并利用（），并利用（2-12）式的）式的關系，可以導出振幅關系，可以導出振幅A與相角與相角 有如下形式有如下形式 積分常數(shù)積分常數(shù)A和和 的表達式的表達式2

18、.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-17）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的

19、自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例例2-1 如圖如

20、圖2-6 ，一個半徑為，一個半徑為R的半圓形薄殼，的半圓形薄殼，在粗糙的表面上滾動，試推導此殼體在小幅運動下的在粗糙的表面上滾動，試推導此殼體在小幅運動下的運動微分方程，并證明此殼體的運動象運動微分方程，并證明此殼體的運動象簡諧振子簡諧振子，計，計算振子的自然振動頻率。算振子的自然振動頻率。 圖圖2-6 2-6 例例2-12-1題圖題圖 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動ccIM（a） 分析分析:本例運動方程的建立過程要比彈簧質量系統(tǒng)復雜一本例運動方程的建立過程要比彈簧質量系統(tǒng)復雜一些，運用理論力學中平面運動的理論，可建立系統(tǒng)的運動方些，運用理論力學

21、中平面運動的理論，可建立系統(tǒng)的運動方程。程。 設殼體傾斜角為設殼體傾斜角為（如圖（如圖2-6），設），設c 為殼體與粗糙表面的為殼體與粗糙表面的接觸點，在無滑動的情況下，殼體瞬時在繞接觸點，在無滑動的情況下，殼體瞬時在繞c 點作轉動。對點作轉動。對c 點取矩，可得系統(tǒng)的運動微分方程。點取矩，可得系統(tǒng)的運動微分方程。 解：解：2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b） 其中，其中，IC為繞點為繞點 C的轉動慣量，的轉動慣量， MC為重力作用下的恢復力矩。為方便起見，為重力作用下的恢復力矩。

22、為方便起見，設殼體的長度為單位長度，由圖設殼體的長度為單位長度，由圖2-6，對，對于給定的于給定的，對，對C點的恢復力矩點的恢復力矩MC 有如下有如下形式：形式：ccIM（a）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b）2222322sin(1 cos )21 cos2(2cos )cIRRdmRdR（c）殼體對殼體對C 點的轉動慣量為點的轉動慣量為: 其中其中， dw是給定角是給定角位置的微元體重量，位置的微元體重量，是殼體單位面積是殼體單位面積的質量。的質量。 2.1 單自由度系統(tǒng)的自

23、由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 當殼體作當殼體作小幅振動小幅振動時，即時，即很小時，引入近似表達式很小時，引入近似表達式sin，cos1 ， 并將（并將（b）、（）、（c）兩式代入（）兩式代入（a）中，得到）中，得到:32222RgR （d）02gR（e）2ngR（f）整理可得整理可得: （e）式表明，當）式表明，當 很小時，系統(tǒng)運動的確象很小時，系統(tǒng)運動的確象簡諧振子簡諧振子，其，其自然頻率自然頻率為為: ccIM （a）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2( )2( )( )0nnx tx tx t（2-18b）( )st

24、x tAe（2-19）2220nnss(2-20)2.1.3 有阻尼自由振動有阻尼自由振動 有阻尼自由振動方程有阻尼自由振動方程: 其中，其中， 稱為粘性阻尼因子。設（稱為粘性阻尼因子。設（2-18b）式的解有如）式的解有如下形式下形式:nmc2/將（將（2-19）代入（）代入（2-18b）中，可得代數(shù)方程）中，可得代數(shù)方程(特征方程特征方程) 有阻尼自由振動方程有阻尼自由振動方程 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動( )( )( )0mx tcx tkx t（2-18a） 寫成寫成: 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2220nnss(2-20)這就是系統(tǒng)的特征方程，它是這就是系統(tǒng)

25、的特征方程，它是s 的二次方程，有兩個解：的二次方程，有兩個解： 1221ssn 很明顯很明顯，s1、s2 的性質取決于的性質取決于阻尼因子阻尼因子 ，其相互關系可以從，其相互關系可以從s 平面，即復平面上得到反映（如平面，即復平面上得到反映（如圖圖2-7）。）。 （2-21）圖圖2-7 s1 、s2 的復平面表示的復平面表示 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動（2-20）式的根）式的根 s1 、s2 作為作為阻尼因子阻尼因子 的函數(shù)在復平面的函數(shù)在復平面上描繪出一條曲線，圖中可上描繪出一條曲線，圖中可直觀地了解參數(shù)直觀地了解參數(shù)對系統(tǒng)運對系統(tǒng)運動行

26、為的影響，或者說對系動行為的影響，或者說對系統(tǒng)響應的影響。統(tǒng)響應的影響。 參數(shù)參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響。對系統(tǒng)響應的影響。2220nnss(2-20)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 當當 =0時，得到兩個復根時，得到兩個復根in ，此時，此時系統(tǒng)就是簡諧振子。系統(tǒng)就是簡諧振子。 當當 0 1時，時， 為復共軛，在圖中對稱為復共軛，在圖中對稱地位于實軸的兩側，并位于半徑為地位于實軸的兩側，并位于半徑為 n的的圓上。圓上。 當當 =1時，特征方程的根時，特征方程的根 s1 、s2為為n ，落在實軸上。，落在實軸上。 當當 1時，特征方程的根始終在實軸上時

27、，特征方程的根始終在實軸上,且隨著且隨著 ， s1 0、s2 1221ssn （2-21）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 將特征方程的根（將特征方程的根（2-21）代入（）代入（2-19）式，可得系統(tǒng)的）式，可得系統(tǒng)的通解通解 : :tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(222122212121（2-22）( )stx tAe（2-19）1221ssn （2-21） 系統(tǒng)的通解系統(tǒng)的通解2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 式（式（2-22），對應于

28、），對應于 1的情況，此時系統(tǒng)的的情況，此時系統(tǒng)的運動是運動是非振蕩非振蕩的，并且隨時間的，并且隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減按指數(shù)規(guī)律衰減，x(t) 的確切形狀取決于的確切形狀取決于A1 和和A2 ，也即取決于初始位移，也即取決于初始位移 x0 和初速度和初速度v0 。 1的情況稱為的情況稱為大阻尼大阻尼或或過阻尼過阻尼。 大阻尼大阻尼( 1)tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(222122212121（2-22）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動這也代表一指數(shù)衰減的響應，這也代表一指數(shù)衰減的響應，

29、=1的情況稱為臨界阻尼。的情況稱為臨界阻尼。 在特殊情況在特殊情況 =1,方程（方程（2-20）有一個重根，）有一個重根，s1=s2=n ，不難證明在這種情況下，系統(tǒng)有如下形式的解不難證明在這種情況下，系統(tǒng)有如下形式的解:tnetAAtx)()(21（2-23） 由表達式由表達式 可見當可見當 =1時，臨界粘性阻尼時，臨界粘性阻尼/2ncmkmmcncr22 臨界阻尼（臨界阻尼（ =1） 臨界阻尼是臨界阻尼是 1和和 1的一個分界點，應該注意到，的一個分界點，應該注意到， =1時，系統(tǒng)的運動趨近于平衡位置的速度是最大的時，系統(tǒng)的運動趨近于平衡位置的速度是最大的。 =1也是系統(tǒng)振動與非振動運動的

30、臨界點。也是系統(tǒng)振動與非振動運動的臨界點。2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動2220nnss（2-20）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動圖圖2-8 1 時時x(t) 曲線曲線 1 、 =1時系統(tǒng)的自由振動如圖時系統(tǒng)的自由振動如圖2-8-圖圖2-9 。圖圖2-9 =1 時時x(t) 曲線曲線 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動其中，其中， ，通常稱為有，通常稱為有阻尼自由振動頻率阻尼自由振動頻率。 212)1 (nd由于由于 : :titetiteddtiddtiddsincossincos 0 1時，解（時，解（2-22）可改寫成如下形式

31、：）可改寫成如下形式： 221212( )exp1exp1nddntnnitittx tAitAiteAeA ee （2-24） 小阻尼（小阻尼（ 0 1）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 式（式（2-24）簡化成）簡化成)cos()(tAetxdtn（2-27） 可見上式表示的運動為振動，頻率為常值可見上式表示的運動為振動，頻率為常值 ，相角，相角為為 ，而幅值為，而幅值為 ，以指數(shù)形式衰減。常數(shù)，以指數(shù)形式衰減。常數(shù) 、 由由初始條件決定。初始條件決定。 稱為稱為小阻尼小阻尼或或欠阻尼欠阻尼情況。情況。dtnAeA10并設并設cos21AAAs

32、in)(21AAAi（2-26）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動小阻尼情況的典型響應曲線如圖小阻尼情況的典型響應曲線如圖2-10所示，曲線所示，曲線 為響應曲線的為響應曲線的包絡線包絡線。很明顯，當。很明顯，當t ， x(t) 0，因，因此響應最終趨于消失。此響應最終趨于消失。tnAe圖圖2-10 0 1 時時x(t) 曲線曲線2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例例2-2 對于圖對于圖2-5所示的單自由度系統(tǒng)，計算系統(tǒng)分別在所示的單自由度系統(tǒng)，計算系統(tǒng)分別在 ， 和和 時，對于初始條件時，對于初始條件

33、， 的響應。的響應。 11010)0(x0)0(vx12AA 解解: 對于對于 ，用（，用（2-22）式有）式有 ，所以，所以0)0(21AAx1（a）因此因此,系統(tǒng)響應應有如下形式系統(tǒng)響應應有如下形式teAtxntn1sinh2)(21（b）因此，系統(tǒng)響應對（因此，系統(tǒng)響應對（b）式求導，并代入初始條件）式求導，并代入初始條件 可得可得0(0)xvnvA12201 （c） 可得可得 時，系統(tǒng)的響應時，系統(tǒng)的響應1tevtxntnn1sinh1)(220（d d）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 對于對于 ，從（，從（2-23）式中容易導出）式中容

34、易導出 和和 ，所以此，所以此時的響應為時的響應為:101A02vA tntevtx0)(（e） 對于對于 ，在（，在（2-27）式中用初始條件）式中用初始條件 得得 ，幅值則與初始速度有關，幅值則與初始速度有關， ，因此（，因此（2-27）簡化為）簡化為 : :100)0(x2/dvA/0tevtxdtdnsin)(021nd （f） 表達式（表達式（d）、（）、（e）、（）、（f）分別對應于大阻尼、臨界阻尼和）分別對應于大阻尼、臨界阻尼和小阻尼的情況，其圖形分別見圖小阻尼的情況，其圖形分別見圖2-82-10。圖中將。圖中將 、 、 作作為參數(shù)，給出了響應為參數(shù)，給出了響應 隨這些參數(shù)的變化

35、規(guī)律。隨這些參數(shù)的變化規(guī)律。 n0v)(tx2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1.4 對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率 如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動按指數(shù)規(guī)律衰減，如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動按指數(shù)規(guī)律衰減，而指數(shù)本身又是阻尼因子而指數(shù)本身又是阻尼因子 的線性函數(shù)。下面來尋求的線性函數(shù)。下面來尋求通過衰減響應通過衰減響應確定阻尼因子確定阻尼因子 的途徑的途徑。圖圖2-112-111時時x( (t t) )的一般規(guī)律的一般規(guī)律 在圖在圖2-11中，設中，設t1 和和 t2表示兩相鄰周期中相距一個完整周期表示兩相鄰周期中相距一個完整周期 T

36、的的兩對應點的時間。兩對應點的時間。2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動)cos()(tAetxdtn第2章 單自由度系統(tǒng)的振動由（由（2-27）式，可得）式，可得)cos()cos(212121tAetAexxdtdtnn（2-28）)cos()(tAetxdtn（2-27）)cos()cos(12ttdd 由于由于 ， 是有阻尼振動的周期，所以是有阻尼振動的周期，所以Ttt12dT/2TTttnnneeexx121（2-29）這樣（這樣（2-28）式可化為）式可化為:2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 觀察（觀察（2-29）式的指

37、數(shù)關系，可以自然地引入以）式的指數(shù)關系，可以自然地引入以下關系式下關系式:22112lnTxxn（2-30） 要確定系統(tǒng)的阻尼，可以測量兩任意相鄰周期的要確定系統(tǒng)的阻尼，可以測量兩任意相鄰周期的對應點對應點 x1 和和 x2 ，計算對數(shù)衰減率，計算對數(shù)衰減率21lnxx222（2-31）此處，此處，稱為稱為對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率。從而得到從而得到2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 對于微小阻尼情況，（對于微小阻尼情況，（2-31）式可近似為）式可近似為2（2-32） 值得注意的是，值得注意的是， 可以通過測量相隔任意周期的兩對可以通過測量相隔任意周期的

38、兩對應點的位移應點的位移 ， 來確定。設來確定。設 、 為為 、 對對應的時間，應的時間， 為整數(shù)，則為整數(shù)，則1x1jx1tjTttj111x1jxjTjjnexx11（2-33） 由（由（2-33）可導得）可導得11ln1jxxj（2-34）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例例2-3 實驗觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動幅值在實驗觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動幅值在5個個完整的周期后衰減了完整的周期后衰減了50%，設系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計算系統(tǒng)的，設系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計算系統(tǒng)的阻尼因子。阻尼因子。 解解:設設 ，則，則5j13863.

39、 02ln515 . 0ln51ln511161xxxx 由（由（2-31）、（）、（2-32）式分別得到：）式分別得到：022058. 013863. 0213863. 0 2 222231022064. 0213863. 02322.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1.5 2.1.5 彈簧的等效質量彈簧的等效質量 在圖在圖2-12中，設彈簧中，設彈簧 具有質量，其單位長度的質量具有質量，其單位長度的質量為為 ，那么彈簧的質量對系統(tǒng)的振動有多大影響呢？下面，那么彈簧的質量對系統(tǒng)的振動有多大影響呢？下面就來討論這個問題。就來討論這個問題。k圖圖2-

40、12 2-12 彈簧等效質量系統(tǒng)示意圖彈簧等效質量系統(tǒng)示意圖 設質量設質量 的位移用的位移用 表示，彈簧的長度為表示，彈簧的長度為 ，那么距，那么距左端為左端為 的質量為的質量為 的微單元的位移則可假設為的微單元的位移則可假設為 ，設，設 為常數(shù)。為常數(shù)。 txLd txL/m2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 )()3(213)(21)(2121212023222202txLmLtxtxmdtxLtxmTLL（2-35）)(212tkxV （2-36） 根據(jù)能量守恒原理根據(jù)能量守恒原理0dtVTddtdE（2-37）則系統(tǒng)的動能和勢能可分別表示為則

41、系統(tǒng)的動能和勢能可分別表示為2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 可得可得0)()(tkxtxmeff （2-38） 此處此處 稱為稱為等效質量等效質量。3Lmmeff可見可見彈簧的質量將會使系統(tǒng)的自然頻率降低到彈簧的質量將會使系統(tǒng)的自然頻率降低到3Lmkn（2-39）（2-39）式表明）式表明彈簧將自身質量的三分之一貢獻給系統(tǒng)的彈簧將自身質量的三分之一貢獻給系統(tǒng)的等效質量等效質量，當然，前提是假設彈簧按，當然，前提是假設彈簧按 規(guī)律變形規(guī)律變形的。如果假設其他類型的變形模式，影響效果則有可能不的。如果假設其他類型的變形模式，影響效果則有可能不同。同。

42、)(/txL2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動 2.2 2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 工程振動中一個很重要方面是分析系統(tǒng)對外部激工程振動中一個很重要方面是分析系統(tǒng)對外部激勵的響應，這種振動有別于上節(jié)的自由振動，稱為勵的響應，這種振動有別于上節(jié)的自由振動，稱為強強迫振動迫振動，這是本節(jié)要討論的內容。，這是本節(jié)要討論的內容。 對于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分

43、別求系統(tǒng)對于初始條件的響應和對于外部激勵的響應，然后再對于初始條件的響應和對于外部激勵的響應，然后再合成為系統(tǒng)的總響應。合成為系統(tǒng)的總響應。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2.12.2.1 系統(tǒng)對于簡諧激勵的響應系統(tǒng)對于簡諧激勵的響應 對于圖對于圖2-5所示的有阻尼單自由度系統(tǒng)，其運動方程為所示的有阻尼單自由度系統(tǒng)，其運動方程為)()()()(tFtkxtxctxm （2-40） 首先考慮最簡單的情況，即首先考慮最簡單的情況，即簡諧激勵簡諧激勵情況，設情況，設F(t) 有如下形式有如下形式圖圖2-5 2-5 單自由度模型單自由度模型 tkAtkftFcos)()(（2-41） 運動方程運動方程2

44、.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動tkAtkftFcos)()(（2-41）將（將（2-41）代入（）代入（2-40），兩邊同除以），兩邊同除以m 有有 tAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 （2-42）當當A 為零時，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自由振動響為零時，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自由振動響應，自由振動響應隨時間衰減，最后消失，所以自由振動應，自由振動響應隨時間衰減，最后消失，所以自由振動響應也叫響應也叫瞬態(tài)響應瞬態(tài)響應。式（式（2-42）的特解也就是強迫振動響應不會隨時間衰減，所）的特解也就是強迫振動響應不會隨

45、時間衰減，所以稱為以稱為穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應。2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動)cos()(tXtx（2-43）將（將（2-43）代入方程（）代入方程（2-42），可得），可得 tAttXnnncos)sin(2)cos(222（2-44）利用三角函數(shù)關系利用三角函數(shù)關系 sincoscossinsinsinsincoscoscostttttt并令（并令（2-44）式中）式中 和和 項的系數(shù)相等可得項的系數(shù)相等可得tcostsin0cos2sinsin2cos22222nnnnnXAX（2-45） 設系統(tǒng)（設系統(tǒng)（2-42）的穩(wěn)態(tài)響應有如下形式）的穩(wěn)

46、態(tài)響應有如下形式 穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動21222)2(1nnAX（2-46）2112tannn（2-47） 將（將（2-46）、（）、（2-47）代入（）代入（2-43）得到系統(tǒng)的）得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解。解（解（2-45）式可得）式可得 2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 21222)2(1nnAXA=2 XnX=A|H|= Xn*2|H|21222211)(nnH式中第2章 單自由度系統(tǒng)的振動典型的激勵與響應關系曲線如

47、圖典型的激勵與響應關系曲線如圖2-13所示。所示。 將將 f(t)用復數(shù)形式表示用復數(shù)形式表示: 圖圖2-13 簡諧激勵簡諧激勵f(t) 與響應與響應 x(t)曲線曲線 tiAetf)(（2-48） f(t)的這種表示只是一種數(shù)學上的處理，是為了求解方便，不言的這種表示只是一種數(shù)學上的處理，是為了求解方便，不言而喻地隱含著激振力僅由而喻地隱含著激振力僅由 f(t)的實部表示，當然，響應也應由的實部表示，當然，響應也應由x(t) 的實部表示。式中的實部表示。式中A 一般為復數(shù)。一般為復數(shù)。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響

48、應 nntinntiniAeiAetx21Re2Re)(2222（2-50）由上式可見，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應由上式可見，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應 x(t)與激振力與激振力f(t) 成正比，且比例因子成正比，且比例因子為為nniH211)(2（2-51）這稱為這稱為復頻響應復頻響應.在復數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應和激勵滿足關系在復數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應和激勵滿足關系tinnnnAetftxtxtx222)()()(2)( （2-49）2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 由（由（2-51）式，可見）式，可見 的模的模 等于響應幅值和等于響應幅值和激勵幅值激勵幅值 的無量綱比，

49、即的無量綱比，即 )(H)(HA21222211)(nnH 常稱為常稱為幅值因子幅值因子。 )(H（2-53）)()()()()()()(tFtFtFtkxtftxHs（2-52） 這表明這表明復頻響應是彈簧力與實際的外激勵復頻響應是彈簧力與實際的外激勵 的無的無量綱比量綱比。這里。這里 中的中的 是由靜平衡位置算起的。是由靜平衡位置算起的。 )(tF)(tF)(tx由（由（2-50）、（）、（2-51）式可得）式可得 2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動圖圖2-14 簡諧激勵的響應簡諧激勵的響應 圖圖2-14 給出了在不同阻尼比給出了在不同阻尼比

50、下下 與與 的關系曲線。的關系曲線。 n/ 從圖中可見，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對從圖中可見，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對于于 的位置的位置左移左移。1/n2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 )(H第2章 單自由度系統(tǒng)的振動21221n（2-54） 當當=0時，在時，在 =n處處H () 不連續(xù)。不連續(xù)。對（對（2-53）式求導，并令其等于零，可得到曲線峰值點對應的）式求導，并令其等于零，可得到曲線峰值點對應的 值值 當當=0時，對應于無阻尼情況，此時系統(tǒng)的齊次微分方時，對應于無阻尼情況，此時系統(tǒng)的齊次微分方程就是程就是簡諧振子簡諧振子。 當驅動頻率當驅動頻

51、率趨近于系統(tǒng)的自然頻率趨近于系統(tǒng)的自然頻率n時，簡諧振子的時，簡諧振子的響應趨于無窮，這種狀態(tài)稱為響應趨于無窮，這種狀態(tài)稱為共振共振，系統(tǒng)會發(fā)生劇烈振，系統(tǒng)會發(fā)生劇烈振動。動。2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 21222211)(nnH第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 值得注意的是，當值得注意的是，當 =n 時，（時，（2-50）式所表示的解已不）式所表示的解已不適用了，必須對系統(tǒng)（適用了，必須對系統(tǒng)（2-42）重新求解。）重新求解。 在微小阻尼情況下，如在微小阻尼情況下，如 0 .05， H () 的極大值的的極大值的位置幾乎與位置幾乎與 /n=1相差無幾，引入符號相差無幾，引

52、入符號H () max=Q ，在，在微小阻尼情況下，有微小阻尼情況下，有21Q（2-55） 品質因子品質因子QtAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 （2-42） Q通常稱為通常稱為品質因子品質因子。2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 21222211)(nnH第2章 單自由度系統(tǒng)的振動另外，工程上常將另外，工程上常將H () 曲線上取值為曲線上取值為 的兩點的兩點P1 和和P2稱為稱為半功率點半功率點。半功率點所對應頻率之差稱為。半功率點所對應頻率之差稱為半功率點帶寬半功率點帶寬，在，在小阻尼情況下，小阻尼情況下，不難證明不難證明(如何證明？如何證明？)

53、，半功率點帶寬，半功率點帶寬 取如取如下值下值2/Qn212（2-56） 比較（比較（2-55）和（）和（2-56）式，可得）式，可得 1221nQ（2-57）（2-57）式給出了一種快速估計）式給出了一種快速估計Q 和和 值的方法。值的方法。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 下面將注意力轉到相角上來，由（下面將注意力轉到相角上來，由（2-51）和（）和（2-53）式，不）式，不難得到難得到 ieHH)()(（2-58）這里這里2112tannn（2-59）這與（這與（2-472-47）式的結果相同。根據(jù)（）式的結果相同。根據(jù)（2-582-58

54、）式和（）式和（2-592-59）式，）式，（2-502-50）式可寫為）式可寫為 titie)(HARee )(AHRe)t ( x（2-60） 相角相角2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動從（從（2-602-60）式和圖）式和圖2-152-15可以看出可以看出: : 對應于不同對應于不同 值的所有曲線均在值的所有曲線均在 /n=1處通過共同點處通過共同點 。2 對于對于 =0，隨，隨 /n的變化曲線在的變化曲線在 /n=1處間斷。從處間斷。從 的的 = 0 跳到跳到 /n1時的時的= 。這可以通過。這可以通過=0 時的時的x(t)解來解釋。解來解

55、釋。 對于對于 /n1情況隨情況隨 /n減小，減小，相角趨于零。相角趨于零。 對于對于 /n1情況，隨情況，隨 /n增大，增大，相角趨于相角趨于 。 圖圖2-15 2-15 簡諧激勵的相位簡諧激勵的相位 即即 /n1時響應同相，時響應同相， /n1時響應反相時響應反相。2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動方程方程（2-612-61）也清楚地表明簡諧振子在驅動頻率也清楚地表明簡諧振子在驅動頻率 趨近于自然頻率趨近于自然頻率n時，響應變?yōu)闊o窮大。時，響應變?yōu)闊o窮大。 下面討論簡諧振子的共振響應，此時系統(tǒng)的運動方下面討論簡諧振子的共振響應，此時系統(tǒng)的運動方

56、程變?yōu)槌套優(yōu)?: :tAtxtxnnncos)()(22 （2-62）tinAetx211Re)(（2-61） 簡諧振子的共振響應簡諧振子的共振響應2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動不難證明系統(tǒng)有如下特解不難證明系統(tǒng)有如下特解ttAtxnnsin2)(（2-63） 此式表明，解是幅值隨時間線性增加的振蕩響應，這隱含了隨此式表明，解是幅值隨時間線性增加的振蕩響應，這隱含了隨著時間的增大，解將趨于無窮。因此在工程上講，共振是很危險的著時間的增大，解將趨于無窮。因此在工程上講，共振是很危險的狀態(tài)，一定要避免。上式所描述的共振響應特性示于下圖。狀態(tài)，一定要

57、避免。上式所描述的共振響應特性示于下圖。 圖圖2-16 簡諧振子的共振響應簡諧振子的共振響應 有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應可由其自由響應與強迫響應疊加而成有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應可由其自由響應與強迫響應疊加而成。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例例2-4 如圖如圖2-17所示，有兩個帶有偏心的質量所示，有兩個帶有偏心的質量 反向旋轉，旋反向旋轉，旋轉角速度為常數(shù)轉角速度為常數(shù) ，不平衡質量的垂直位移為，不平衡質量的垂直位移為 ， 由靜平由靜平衡算起。求衡算起。求 。 2msinxltx)(tx圖圖2-17 例例2-4題圖題圖 解解:由題意不難

58、得到系統(tǒng)的運動方程由題意不難得到系統(tǒng)的運動方程:0)sin()(2222kxdtdxctlxdtdmdtxdmM簡化為簡化為:tiemltmltkxtxctxM22Imsin)()()( 2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動系統(tǒng)的響應為系統(tǒng)的響應為:mktHlMmeHlMmtxnntin222,)sin()()(Im)(相角相角由（由（2-38）式給出。將上改寫為）式給出。將上改寫為)sin()(tXtx可得可得:)(2HMmlXn在這一例子中，可將無量綱比寫為在這一例子中，可將無量綱比寫為)(2HmlMXn 的圖形與的圖形與 的圖形完全不同，這將于

59、稍后敘述。的圖形完全不同，這將于稍后敘述。 )(2Hn)(H2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動例例2-5 2-5 研究一種基礎激振的情況。如圖研究一種基礎激振的情況。如圖2-182-18所示所示: :解解:系統(tǒng)的運動微分方程有如下形式系統(tǒng)的運動微分方程有如下形式 : :圖圖2-18 例例2-5題圖題圖 0yxkyxxxm 簡化為簡化為:yyxxxnnnn2222 設基礎的運動為簡諧運動，有如下形式設基礎的運動為簡諧運動，有如下形式tiAetyRe)(則系統(tǒng)的響應為則系統(tǒng)的響應為tinnnAeiitx2121Re)(22.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單

60、自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動將將 簡寫成簡寫成)(tx1cos)(tXtx那么那么)(212121212212222HAAXnnnn22311212tannnn無量綱比可寫為無量綱比可寫為)(21212HAXn2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 簡諧振動的復指數(shù)描述簡諧振動的復指數(shù)描述 有阻尼系統(tǒng)的簡諧激振力和在激振力作用下的響應的復指有阻尼系統(tǒng)的簡諧激振力和在激振力作用下的響應的復指數(shù)描述，可以通過在復平面上的幾何圖形來說明，將（數(shù)描述，可以通過在復平面上的幾何圖形來說明，將（2-602-60）式兩邊對求導得式兩邊對求導得)(