數(shù)值分析考試復(fù)習(xí)總結(jié)

1、第一章1 誤差相對誤差和絕對誤差得概念例題 :當(dāng)用數(shù)值計算方法求解一個實(shí)際的物理運(yùn)動過程時 , 一般要經(jīng)歷哪幾個階段 ? 在哪些階段將有哪些誤差產(chǎn)生 ?答: 實(shí)際問題 - 數(shù)學(xué)模型 - 數(shù)值方法 - 計算結(jié)果在這個過程中存在一下幾種誤差 :建立數(shù)學(xué)模型過程中產(chǎn)生 : 模型誤差 參數(shù)誤差選用數(shù)值方法產(chǎn)生 : 截斷誤差計算過程產(chǎn)生 : 舍入誤差 傳播誤差6設(shè) a0.937 關(guān)于精確數(shù) x 有 3 位有效數(shù)字，估計 a 的相對誤差 .對于 f ( x)1x ，估計 f (a) 對于 f ( x) 的誤差和相對誤差 . 解 a 的相對誤差：由于| E(x) | x a1103.Er (x)x a ,2

2、xEr ( x)1102110 2.（ Th1）2918f ( a) 對于 f ( x) 的誤差和相對誤差 .| E( f ) | | 1 x1 a | =a x1210 3=1031 x1 a 20.25| Er ( f ) | 10 31 a 4 10 3 .2 有效數(shù)字基本原則 :1兩個很接近的數(shù)字不做減法:2:不用很小得數(shù)做分母 ( 不用很大的數(shù)做分子 )例題 :4改變下列表達(dá)式使計算結(jié)果比較精確：（ 1）111x,對 | x |1;2 x1x（ 2）x1x1,對 x1;xx（ 3）1 cos x ,對 x0,| x | 1 .x解 (1)2x2(1x) (12x) .(2)2 x.(

3、x 1 xx 1 x )(3)1cos xsin 2 xsin xxx(1cos x).1 cos x第二章拉格朗日 插值公式 （即公式（ 1）插值基函數(shù)（因子） 可簡潔表示為nn其中 :n ( x)( x x j ),nxi(xix j ) .j 0j 0j i例 1 n=1時，線性插值公式P1( x) y0(x x1)y1(xx0 )，( x0x )( xx )110例 2 n=2 時，拋物插值公式牛頓（ Newton）插值公式由差商的引入，知（1） 過點(diǎn) x0 , x1 的一次插值多項(xiàng)式 為其中（2） 過點(diǎn) x0 , x1 , x2 的二次插值多項(xiàng)式 為其中重點(diǎn)是分段插值 :例題 :1.

4、 利用 Lagrange 插值公式求下列各離散函數(shù)的插值多項(xiàng)式（結(jié)果要簡化）：（ ）-101/211-3-1/201（ ）-101/212-3/2001/2解(2) ：方法一 .由 Lagrange插值公式可得：L3 ( x)x2 (x1 2)方法二 .令由 L3(1)3， L3 (1)1，定A，B（稱之為待定系數(shù)法）15. 設(shè) f ( x)22x2 ，求 f (x) 在區(qū)間 0,1 上的分段線性插值函數(shù)fh ( x) ，并估計誤差，取等距節(jié)點(diǎn)，且 h 1/10.解f ( x)x2 ， xiih ， i 0, 1, 10 ， h110設(shè)xixxi 1，則：誤差估計：fmax (x ih) (x

5、 (i 1)h) .| f (x) f h ( x) |2!ix x (i 1) h第三章最佳一致逼近 :( 了解 )最佳平方逼近主要分兩種情形：1. 連續(xù)意義下在空間 L2 a,b 中討論2. 離散意義下在 n 維歐氏空間 Rn 中討論，只要求提供 f 的樣本值1. 最佳逼近多項(xiàng)式的 法方程組設(shè)2, 的維子空間P=span2n,L a bn 1, x n1, x, x其中 1, x, x 2, xn 是 L2 a,b 的線性無關(guān)多項(xiàng)式系 .L2 a, b ，設(shè)其最佳逼近多項(xiàng)式* 可表示為 :n對f*iai* xi0由( f* ,) 0,Pnn即j( xi , x j )a*j ( f ,xi

6、),i 0(1)n（*2）0其中稱(*2)式為最佳逼近多項(xiàng)式的法方程組（或正規(guī)方程組） .由 xi in0 的線性無關(guān)性，可證明 G 正定，即上述法方程組的解存在且唯一.11、 求f ( x)cosx ，x 0, 1 的一次和二次最佳平方逼近多項(xiàng)式 .解： 設(shè)P* ( x)a0ax，P*( x) b0b x b x211212分別為 f ( x) 的一次、二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。( f , g )1內(nèi)積f ( x) g(x)dx0計算如下內(nèi)積：(1, 1)1,1,21(1, x)(1, x )3213 ,21221(x, x)( x, x )(x , x )4 ,5(1, f )0,( x,

7、f )22 ,( x2 ,f )2 2建立法方程組：a01 a101224(1)2，得： a0， a11 a022(1) a12 223*(x)1224x于是P122b0( 1)b110b223(2)1b01b11b2223421b01b11b223452解得： b012， b124， b2 0 ,于是： P2 ( x)12242222 x .第四章1 為什么要進(jìn)行數(shù)值積分 ?常用哪些公式 , 方法 ? 答: 梯形復(fù)化求積公式和 simpson 復(fù)化求積公式 .2: 方法好壞的判斷 : 代數(shù)精度誤差分析1. 代數(shù)精度的概念bn定義若求積公式wi f (xi ) （ * ）對所有次數(shù)m 的多項(xiàng)式

8、是精確的，但對f ( x)dxai 0m 1 次多項(xiàng)式不精確，則稱（ * ）具有 m 次代數(shù)精度。等價定義若求積公式（ * ）對 1, x, x2 , xm 是精確的，但對xm 1 不精確，則（ * ）具有 m 次代數(shù)精度。3: 誤差1 等距剖分下的數(shù)值求積公式：公式特點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)預(yù)先給定 ，均勻分布, 系數(shù)wi, i0(1)n待定利用插值多項(xiàng)式pn ( x) 近似代替f ( x) ，即得插值型求積公式Newton-Cotes公式2 給定節(jié)點(diǎn) 數(shù)下的具有最佳逼近性質(zhì) （具有最高次代數(shù)精度） 的數(shù)值求積公式： Gauss 求積公式公式特點(diǎn)：系數(shù) wi,i0(1)n和節(jié)點(diǎn)xi , i0(1)n均待定3

9、 分段插值多項(xiàng)式n ( x)近似代替f (x)（分段求積） 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式通過高次求積公式提高精度的途徑不行，類似函數(shù)插值分而治之：分段低次求積公式 -稱為復(fù)化求積法兩類低次（ n4 ）求積公式：1. NewtonCotes 型：矩形、梯形、 Simpson、Cotes 公式分別稱為復(fù)化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型： 一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn) Gauss 求積公式稱為復(fù)化一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn) Gauss 公式復(fù)化梯形公式（ Tn ）Tnh f ( x 0 )f ( x1 )f ( x1 )f ( x 2 )f ( x n 1 ) f ( x n )2n1復(fù)化辛甫生公h f (

10、 a )ba2f ( x k )f (b ),h2k1n式:（每個 ek 上用辛甫生公式求積）S nh f ( x0 )4 f ( x 1 )f ( x1 ) f ( x1 )4 f ( x 3 )f ( x 2 )622f( x n 1 )4f ( x n1)f ( x n )2h f ( a )nn141f ( x k1 )21f ( x k )f ( b )6k2k其中hba ， xk1/ 2 為 ek的中點(diǎn)n復(fù)化辛甫生公式是最常用的數(shù)值求積方法。常采用其等價形式：復(fù)化柯特斯公式ba為 x , x 的中點(diǎn)，其中， h， xk1n2k 1 kxk 41， xk43 為 xk 1 , xk

11、的四等分的分點(diǎn)自適應(yīng)復(fù)化求積法計算時，要預(yù)先給定n 或步長 h ，在實(shí)際中難以把握因?yàn)椋?h 取得太大則精度難以保證，h 太小則增加計算工作量 .自適應(yīng)復(fù)化梯形法的具有計算過程如下：步 1n1, hba , T1h f ( a ) f ( b )2步 2步 3判斷 |T2T1 |？若是，則轉(zhuǎn)步 5；步 4n2n, hh / 2, T1T2 ，轉(zhuǎn)步 2；步5輸出T2.第五章1: 常用方法 :(1). 直接解法：Gauss 逐步（順序）消去法、Gauss主元素法、矩陣分解法等；(2). 迭代解法：構(gòu)造某種極限過程去逐步逼近方程組的解. 經(jīng)典迭代法Jacobi 迭代法、 Gauss Seidel迭代

12、法、逐次超松弛（ SOR）迭代法等； . Krolov 子空間的迭代法根據(jù) A的對稱性，又分為：A對稱正定 -共軛梯度法A非對稱 - BICG、 GMRes(最小殘量法 ) . 解一類特定背景問題的迭代法多重網(wǎng)格法2: 幾類迭代法優(yōu)缺點(diǎn)比較 :3: 迭代方法目標(biāo)：求解 Axb其中， A非奇異?；舅枷?：把線性方程組 Axb 的解 x ，化為一個迭代序列極限解關(guān)鍵：構(gòu)造迭代序列所滿足的公式：迭代格式。構(gòu)造迭代格式基本步驟：1將 A分裂： A:BC， 其中， B非奇異2構(gòu)造迭代格式其中 GB 1 C ，稱之為 迭代矩陣 ,gB 1b其中， bAx( k ) 為 x( k ) 的殘余向量此時， G

13、IB 1 A ,gB 1b常用的迭代方法將 A( aij ) 分裂為ADL U其中000a12a210，U0La n 1a n , n 1 00Jacobi 迭代方法若 aii0 ，迭代格式a1 n,a n1,n0x(k 1)GJx( k )g其中Jacobi迭代矩陣： GJD 1(LU )式可寫為分量形式xi( k 1) 1 binaij x(j k ) , k0 .（*1）aiij1ji方法（ *1 ）或稱為 Jacobi 迭代方法 .Gauss Seidle 迭代方法若 aii0 ，迭代格式x (k 1)GG x (k )g其中，Gauss-Seidel迭代矩陣： GG( DL) 1U其

14、分量形式xi( k 1)1i1nbiaij x(j k 1)aij x(jk ) , i1,2, n .（*2 ）aiij1j i 1即，在計算新分量 xi( k 1)時，利用新值 x(j k 1) ， j1,2, ,i1。迭代法（ *2 ）或稱為 GaussSeidel 迭代方法 。超松弛方法 (SOR)方法定義 SOR方法的迭代格式如下：1i1zi( k 1) b ia ij x (j k 1 )a iij1x i( k 1 )zi( k 1)(1) xi( k )稱為松弛因子，1即為 GS方法.其矩陣形式其中，SOR法的迭代矩陣： G(DL)g(DL) 1b .n( k )a ij x

15、j ,i1,2, n（*3 ）1(1)DU 第七章1: 解非線性方程與方程組的方法 :1. 準(zhǔn)確方法如：用求根公式對n4 次的代數(shù)多項(xiàng)式求根。但： 絕大多數(shù)的方程并無準(zhǔn)確方法可用。如：n5 次的代數(shù)多項(xiàng)式并無求根公式。2. 數(shù)值方法（實(shí)際中大多采用）基本思想：設(shè)法找到一個能收斂到方程的解的序列。(1). 區(qū)間套法二分法。(2). 迭代法：. 簡單迭代法；. Newton 迭代法 ;3.割線法 ;4. 加速算法。2: 收斂條件 : 二分法無條件簡單迭代法條件 :定理 1如果(x) 滿足以下條件 :1)x a, b ,( x) a, b ;2)常數(shù)L:0 L1,使得對任意兩點(diǎn) x x2 a,b都有

16、1,( x1 )( x2 )L x1x2 ,則 :方程 (*)在 a, b上的解存在唯一 , 且對任給的初值 x0 , 由迭代過程 (* *)所產(chǎn)生的序列 xk收斂到 .例題 :2. 為求方程 x3x 210 在 x01.5 附近的一個根， 設(shè)將方程改寫為下列等價形式， 并建立相應(yīng)的迭代公式：（1） x11/ x2 ，迭代公式xn 111/ xn2（2） x31x2 ，迭代公式 xn 1(1xn2 )1/ 3 ，（3） x21/( x1) ，迭代公式xn1 1 ( xn 1)1/ 2 ，試分析每一種迭代公式的收斂性，并問哪一種迭代收斂得快？解：取 x01.5 的鄰域 1.3, 1.6 來考察(

17、1)( x)1 1/ x2，(x)2 / x32/1.330.9011 ，故迭代公式 (1) 收斂 .(2)( x)(113 ,x2 )( x) 2x / 3(1 x2 )2 / 3 2 1.6 / 3(1 1.32 ) 2 / 30.5515 ，故迭代公式（ 2）也收斂。(3)( x)1/( x1)1 / 2 ,故迭代公式（ 3）發(fā)散 .由于( x0 ) 越小，越快地收斂于根，故（ 2）式收斂最快。第八章解一階常微分方程的常用方法: Euler方法Runge-Kutta方法2 階常微分方程邊值問題的差分方法1 三類邊值問題1 ）第一類邊值問題：y ( x) f ( x, y( x), y (

18、 x), a x b ，（3.1 ）y(a),y(b)。(3.2)2 ）第二類邊值問題：y ( x) f ( x, y( x), y ( x), a x b ，（3.3 ）y (a),y(b)。(3.4)3 ）第三類邊值問題：y ( x) f ( x, y( x), y ( x), a x b ，（3.5 ）y (a)0 y(a)1 ,y (b)0 y(b)1，(3.6)其中，0,00,000。2差分格式的建立針對方程（ 3.1 ）而言 .Step 1取 a,b的離散節(jié)點(diǎn) :a x0x1xNb , 第 m 步步長 hmxm xm 1 , 一般可取等步長 :hmh ,m1,2, N.Step 2將y ( xm )用二階差商、y ( xm ) 用一階差商近似：y ( xm )y(xm 1 )2 y( xm )y(xm 1 ) ,m1,2, N ，h2y ( xm )y( xm 1 )y( xm 1 ) ,m 1,2,N .2h理由：由 Taylor 展開，有y (xm )y( xm 1 )2 y(xm )y(xm 1 )h2y( 4 ) (m ),m1,2,N 1h212xm 1mxm .y (xm )y( xm