高等數學課件：3-2 泰勒公式

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三1第二節(jié)第二節(jié) 泰勒公式泰勒公式 第三章第三章 （Taylor Formula）二、幾個初等函數的麥克勞林公式二、幾個初等函數的麥克勞林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用 應用應用用多項式近似表示函數用多項式近似表示函數理論分析理論分析近似計算近似計算返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三2一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立特點特點:)(01xp)(0 xf)(0 xf )(xfxy)(xfy o000()()()f xfxxx)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1x

2、p)(01xp在微分應用中已知近似公式在微分應用中已知近似公式 :需要解決的問題需要解決的問題如何提高精度如何提高精度 ?如何估計誤差如何估計誤差 ?xx 的一次多項式的一次多項式返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三3并要求它的系數滿足并要求它的系數滿足:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故故)(xpn0()f x00()()xxfx!21!1n)0(0()()nnxxxf1!n020()()fxxx12!令令)(xpn則則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf

3、, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0a001202()()()nnxxxxaaxxa1. 求求 n 次近似多項式次近似多項式返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三4)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn( )( )( )nnR xf xpx令令(稱為余項稱為余項) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10( )()nnR xxxnnxnR)

4、(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR(1)( )(1)!nnRn則有則有0()nR x00()nR x0( )0()nnRx0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x2. 余項估計余項估計返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三5)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn)()()1()1(xfxRnnn)0(之間與在xx(1)10( )()(1)!( )( )( )( )nnnnnff

5、xpxRxxpxnx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三6公式公式 稱為稱為 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的階泰勒公式的拉格朗日余項拉格朗日余項 .0( ),( , )f xxa bna b若在包含的某閉區(qū)間上具有 階連續(xù)導數，而在開區(qū)間內具有1n直到階的導數階的導數 ,),(bax時時, 有有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )nR x其中其中(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn則當則當)0(之間與在xx泰勒中值定理泰勒中值定理 :返回返回

6、上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三7(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn時的某鄰域內當在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三8公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項余項 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo0( )() nnR xo xx注意到注意到* 可以證明可以證明: 階的導數有直到在點nxxf0)(

7、式成立式成立在不需要余項的精確表達式時在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為泰勒公式可寫為返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三9( )f x )(0 xf)(00 xxxf(1)10( )()(1)!nnfxxn200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx特例特例:(1) 當當 n = 0 時時, 泰勒公式變?yōu)樘├展阶優(yōu)? )f x 0()f x0( )()fxx即為即為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)0(之間與在xx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三10( )f x )(0 xf)(00 xxxf

8、(1)10( )()(1)!nnfxxn200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx特例特例:(2) 當當 n = 1 時時, 泰勒公式變?yōu)樘├展阶優(yōu)? )f x 0()f x00()()fxxx20( )()2!fxx可見可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差誤差fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三11稱為稱為麥克勞林（麥克勞林（ Maclaurin ）公式）公式 .00,(01),xx則有則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nn

9、xnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()()(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx( )f x (0)f(0)fx(1)( ),nfxM則有誤差估計式則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式由此得近似公式在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三12二、幾個初等函數的麥克勞林公式二、幾個初等函數的麥克勞林公式xexf)()

10、1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三13)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三14! )2(2mxmxxfco

11、s)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三15) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三16) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33

12、xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n類似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三17三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用1. 在近似計算中的應用在近似計算中的應用 誤差誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為為(1)( )nfx在包含在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型需解問題的類型:1) 已知已知 x 和誤差限和誤差限 , 要求確定項數要求確定項數 n ;2) 已知項數已知項數 n 和和 x , 計算近似值并估計誤差

13、計算近似值并估計誤差;3) 已知項數已知項數 n 和誤差限和誤差限 , 確定公式中確定公式中 x 的適用范圍的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三18已知已知.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令令 x = 1 , 得得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于由于, 30ee欲使欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計算可知當由計算可知當 n = 9 時上式成立時上式成立 ,因此因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為

14、的麥克勞林公式為例例1 計算無理數計算無理數 e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過使誤差不超過返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三19!21cos2xx計算計算 cos x 的近似值的近似值,使其精確到使其精確到 0.005 , 試確定試確定 x 的適用范圍的適用范圍.例例2 用近似公式用近似公式解解: 近似公式的誤差近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令令005. 0244x解得解得0.588x 即當即當0.588x 時時, 由給定的近似公式計算的結果由給定的近似公式計算的結果能準確到能準確到 0.005 .返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年

15、12月15日星期三2011)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例例3 證明證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx2. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三21提示提示:3. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三22提示提示:返回返

16、回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三23內容小結內容小結1. 泰勒公式泰勒公式其中余項其中余項0() )no xx當當00 x時為時為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )nR x(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn)0(之間與在xx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三24,xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應用泰勒公式的應用(1) 近似計算近似計算(3) 其他應用其他應用求極限求極限 , 證明不等式證明不等式

17、 等等.(2) 利用多項式逼近函數利用多項式逼近函數 , xsin例如2. 常用函數的麥克勞林公式常用函數的麥克勞林公式返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三254224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy sin x泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三2612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxosin x42246

18、420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三27思考與練習思考與練習1. 計算計算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式原式返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三28, 1 ,0)(上具有三階連續(xù)導數在設函數xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一點)(xf)(21之間與在其中x, 1,0 x由題設對由題設對證證:321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf內至少存在證明) 1,0(得分別令, 1,0 x2.且且返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三29), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)