結(jié)構(gòu)力學(xué)第六章 力法

1、1第六章 力 法6-1 超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)6-2 力法基本原理6-3 力法舉例6-5 力法簡化計算6-6 溫度變化及有彈簧支座結(jié)構(gòu)的計算6-7 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算及力法計算校核6-4 超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的力法計算26-1 超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)一、超靜定結(jié)構(gòu)的組成為了認(rèn)識超靜定結(jié)構(gòu)的特性，我們把它與靜定結(jié)構(gòu)作一些對比。靜定結(jié)構(gòu)：一個結(jié)構(gòu)，當(dāng)它的支座反力和各截面的內(nèi)力都可以用靜力平衡條件唯一地確定時，該結(jié)構(gòu)就叫做靜定結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)：一個結(jié)構(gòu)，當(dāng)它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一地加以確定時，就叫做超靜定結(jié)構(gòu)。3 即：超靜定結(jié)構(gòu)有如下特征： 1、從幾何構(gòu)造

2、分析的觀點(diǎn)來看，超靜定結(jié)構(gòu)是有多余約束的幾何不變體系 2、若只考慮靜力平衡條件，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支座反力不能夠由平衡方程唯一確定，還要補(bǔ)充位移條件。 若只滿足平衡條件，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支座反力可以有無窮多組解答。 如下圖超靜定梁，若只滿足平衡條件，支座B的豎向反力可以是任意值。 4ABEI , lql83q超靜定結(jié)構(gòu)分為：外部、內(nèi)部、內(nèi)外部超靜定。這里：(a) 為靜定結(jié)構(gòu)，求出支反力后即可求出內(nèi)力。 (a) 為外部超靜定結(jié)構(gòu)。FPFyABAFyBFxA(a)FPBA(a )FxAFyAFyBFyC5這里：(b) 為靜定結(jié)構(gòu)，求出支反力后即可求出內(nèi)力。 (b) 為外部靜定、內(nèi)部超靜定結(jié)構(gòu)。A

3、B(b)FyAFyBFxA(b )ABFxAFyAFyB6這里：(c) 為靜定結(jié)構(gòu)，求出支反力后即可求出內(nèi)力。 (c) 為外部超靜定結(jié)構(gòu)。此外：還有的結(jié)構(gòu)內(nèi)外部都是超靜定的。(c)ABFyAFyBFxAFxB(c )ABFxAFyAFyBFxB7二、超靜定結(jié)構(gòu)的種類二、超靜定結(jié)構(gòu)的種類(a) 連續(xù)梁、單跨超靜定梁(b) 超靜定剛架8(c) 超靜定拱(d) 超靜定桁架(e) 超靜定組合結(jié)構(gòu)9(f) 排架三、超靜定次數(shù)的確定1、公式法確定(通過計算自由度獲得) 超靜定次數(shù)n = -W = 結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)2、切除多余約束法(選取基本體系) 超靜定次數(shù)n=把超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)時所需切除的多余約束

4、數(shù)10即：超靜定次數(shù) n = 結(jié)構(gòu)多余約束數(shù)目。規(guī)則：1）去掉或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于去掉一個約束；2）去掉一個簡單鉸，相當(dāng)于去掉兩個約束；3）去掉一個固定支座或切斷一根梁式桿，相當(dāng)于去掉三個約束；4）在梁式桿上加一個簡單鉸，相當(dāng)于去掉一個約束?；倔w系：通過切除多余約束而得到的靜定結(jié)構(gòu)。 通常做法：拆除原結(jié)構(gòu)的所有多余約束，代之以多余力X，而得到靜定結(jié)構(gòu)。11例： a) 1X2Xn=2n=21X2X原結(jié)構(gòu)1X2Xn=22X1X1X2X1X2X1X2X1X2X靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)有很多種，但應(yīng)選取易于計算的形式。12還可以變成組合剛架b)原結(jié)構(gòu)n=21X2X三鉸剛架1X2Xn=2簡支剛架n=21X2

5、X懸臂剛架靜定結(jié)構(gòu)13c)n=31X2X3X原結(jié)構(gòu)d)原結(jié)構(gòu)1X2Xn=21X2X一個封閉框有三個多余約束14f)1X2Xn=33X 特別注意：不要把原結(jié)構(gòu)拆成幾何可變體系。此外，要把超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束全部拆除。原結(jié)構(gòu)e)1X1Xn=1原結(jié)構(gòu)156-2 力法基本原理一、基本思路力法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的最基本的方法。采用力法解超靜定結(jié)構(gòu)問題時，必須要把超靜定問題與靜定問題聯(lián)系起來，加以比較，從中找到由靜定過渡到超靜定的途徑。將超靜定結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)問題；利用熟悉的靜定結(jié)構(gòu)的計算方法達(dá)到計算超靜定結(jié)構(gòu)的目的。16 解超靜定結(jié)構(gòu)，除應(yīng)滿足平衡條件外，還必須滿足位移協(xié)調(diào)條件。二、一次超靜定結(jié)構(gòu)的

6、力法計算利用具有一個多余約束的一次超靜定梁，說明力法的基本解題思路(抗彎剛度EI=常數(shù))。1、確定基本未知量(選取基本體系)CBAqll撤除支座B的鏈桿，代之以多余力X1(得到基本體系)，X1即是基本未知量。當(dāng)然基本體系還有很多種。17其基本結(jié)構(gòu)是簡支梁。2、基本體系簡支梁AC在q和X1的共同作用下處于平衡狀態(tài)，此時的狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)等效，稱為原結(jié)構(gòu)的基本體系(不唯一)。CBAqllX1基本體系基本體系CBA+ 11X1CBA 1PCBAq3、基本方程 基本方程就是求解X1的方程。18由基本體系知：求出X1后，問題即獲得解決。原結(jié)構(gòu)：1 =0(B點(diǎn)的豎向位移為零)。由1 = 1P+ 11 ，可得：

7、 1P+ 11=0由前面知1P 、11的物理意義是非常明確的。當(dāng)位移1、11、 1P與X1的方向一致時取正值，但是要注意這里 X1的方向是任意設(shè)的?，F(xiàn)在提出的問題是：如何求出11和1P。1P屬靜定結(jié)構(gòu)的位移計算問題，可簡單求出。11 由X1引起，可利用疊加原理求解。19設(shè)X1=1時在B點(diǎn)產(chǎn)生的位移為11，則：11=11 X1，代入上述變形條件有：11 X1 + 1P =0式中：11系數(shù)；1P自由項。此為線性變形條件下一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程。4、求解 X111、1P可用圖乘法簡單求出，然后X1即可獲解。X1求出后，可按靜力平衡方程求出支座反力和內(nèi)力，它們就是原結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力。1111PX20

8、上述計算超靜定結(jié)構(gòu)的方法就是力法?；咎攸c(diǎn)：以多余力作為基本未知量，根據(jù)所去掉的多余約束處相應(yīng)的位移條件，建立關(guān)于多余力的方程或方程組。特別強(qiáng)調(diào)：力法基本方程是位移協(xié)調(diào)方程。5、具體計算求作上例的彎矩圖(M圖)（1）作 圖計算PMM、P111、CA/22ql圖PMX1=1BCA圖1M2/ l21111圖自乘得MEIllllEIdxMEI6)232221(2132111PPMM11圖互乘得和EIqlllqlEIdxMMEIPP245)165232(214211代入力法方程和，將）求（PX11112)(45)6245(341111qllEIEIqlXPX1為正，說明其方向與假設(shè)方向相同，反之則相反

9、。22(3) 作M圖(如下頁圖)先計算主控截面的彎矩，然后按靜定結(jié)構(gòu)作M圖的方法作原結(jié)構(gòu)的彎矩圖。PMXMM11)(8452222上部受拉qlqllqlMBCBAM圖/82ql/82ql236、討論若取基本體系為右圖(a)，去掉B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動約束，代之以一對大小相等、方向相反的力偶X1，可得：ACBX1q基本體系基本體系(a)此即為B點(diǎn)的彎矩。需注意的是：兩種基本體系，計算工作量相差很大。)(821上部受拉qlX(b)X1=11CBA圖M82qlACBq(c)82ql圖PM24下面用一簡例總結(jié)力法求解過程： 如下圖示超靜定梁，去掉支座B的鏈桿，用相應(yīng)的未知力X1代替，X1稱為力法基本未知量。去掉B

10、支座的多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法基本結(jié)構(gòu)。EIFPABl/2l/2AB基本結(jié)構(gòu)FPAB基本體系1X25+EIFP（BV=0）ABl/2l/2原結(jié)構(gòu)AB1X11AB11X 11）(1PFPABAB基本結(jié)構(gòu)FPAB基本體系1X001111111PBVPX26因為：11111X方程可寫為：11110PX即：力法方程為：1110PBV 基本結(jié)構(gòu)的位移=原結(jié)構(gòu)的位移BV原結(jié)構(gòu)B截面豎向位移11基本結(jié)構(gòu)在X1=1作用下沿X1方向的位移。1P基本結(jié)構(gòu)在FP作用下沿X1方向的位移。系數(shù)和自由項的物理意義：27特別注意： 1）力法方程是位移方程（變形協(xié)調(diào)方程）。 2）力法方程的物理意義：基本結(jié)構(gòu)在荷載FP

11、和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原結(jié)構(gòu)B支座豎向位移。力法計算： 1) 求系數(shù)及自由項lAB11Xl/2M圖FPAMP圖2lFP28EIllllEI3322113111231121()2223325158648PPPPF llllEIF lF llEIEI31111353/485( )16PPPF lEIXEIlF 2) 求未知力X1293) 作內(nèi)力圖1PMMXMM圖FQ圖ABlFP163lFP325PF1611PF16530三、多次超靜定結(jié)構(gòu)的力法計算 下面給出多次超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)在荷載和未知力X分別作用下的位移圖。原結(jié)構(gòu)ABFPqCDBH=0BV=0B=0基本體系A(chǔ)BFPqC

12、DX1X3X2=31FPABqCD2P1P3PABCD221232X2=1ABCD211131X1=1ABCD231333X3=1=+1X2X3X32力法方程為 根據(jù)前面給出的位移圖討論力法方程和系數(shù)的物理意義。01313212111BHPXXX02323222121BVPXXX03333232131BPXXX)321(0332211、或?qū)懗桑篿XXXiPiii此即為求解多余力X1、 X2、X3的力法方程組，稱為力法基本方程。33 i 表示位移的方位；j 表示產(chǎn)生位移的原因。自由項： 可能大于、等于或小于零。iP主系數(shù)：11、22、33恒大于零。副系數(shù)：ij (ij)可能大于、等于或小于零。計

13、算系數(shù)和自由項： 用靜定結(jié)構(gòu)的位移計算公式計算。iPijii、dxMMEIdxMMEIdxMEIPiiPjiijiii1112由互等定理：ijii34符號說明：圖；作用下基本結(jié)構(gòu)的彎矩1iiXM的方向產(chǎn)生的位移；的作用點(diǎn)沿在iijiXXX1j的方向產(chǎn)生的位移。的作用點(diǎn)沿外荷載作用下在iiiPXX注意：當(dāng)選取不同的基本體系時，力法的基本方程形式相同，只是多余力的含義不同。求解基本未知量Xi將 ii、 ij、 iP代入力法方程，求解X1、X2、X3。作彎矩圖PMXMXMXMM33221135四、n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程符號意義同前。求解內(nèi)力(作內(nèi)力圖)的公式：作內(nèi)力圖可以延用第三章的作法：由M

14、FQFN。)21(02211niXXXiPninii、 PnnMXMXMXMM2211QPnQnQQQFXFXFXFF2211NPnNnNNNFXFXFXFF221136五、力法求解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟五、力法求解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟1、確定基本未知量(選取基本體系)；2、列力法方程：注意：對于不同的結(jié)構(gòu)，在計算ij、iP時考慮的因素不同，如梁和剛架，一般只考慮彎矩的影響，與第八章位移計算時基本相同。)21(02211niXXXiPninii、 3、計算系數(shù)和自由項：iPijii、4、求解基本未知量Xi；5、作內(nèi)力圖。計算公式同前。376-3 力法舉例一、連續(xù)梁例6-3-1 作圖示連續(xù)梁的彎矩圖和剪力

15、圖。 1、選取基本體系。用力法解連續(xù)梁時，其基本體系是將桿件在中間支座處變?yōu)殂q，如下圖所示。ABqCDlllEIEIEIABqCD基本體系X1X2原結(jié)構(gòu) B=0 C=038ABqCD1PABCDX1=11121ABCDX2=112222、列 力法方程）（）（000022221211212111CPBPXXXX討論方程和系數(shù)的物理意義。393、求系數(shù)和自由項 作 圖、 圖及MP圖如圖示。1M2MB=0 B左右截面相對轉(zhuǎn)角等于零。C=0 C左右截面相對轉(zhuǎn)角等于零。位移方程(力法方程)ABCDX1=111M圖ABCDX2=112M圖4002PEIqlqllEIP242181321321EIllEI3

16、232121211EIl3222122111111236llEIEI ABqCD82qlMP圖上述彎矩圖的一個特征是：彎矩圖局部化。圖乘計算求系數(shù)和自由項：41312122036242063llqlXXEIEIEIllXXEIEI2121240440qlXXXX 解方程得：5、 作內(nèi)力圖PMXMXMM22111) 根據(jù)下式求各截面M值，然后畫M圖。211()15Xql221()60Xql4、求基本未知量422) 根據(jù)M圖求各桿剪力并畫FQ圖。AB2151qlqFQABFQBAl0BMqlqlqllFQAB3013)152(122qlFQBA3017M圖ABCD211120ql215ql260q

17、lAB桿：430CMqlqlqllFQBC121)6015(122qlFQCB121BC2151qlFQBCFQCBl2601ql很容易求得CD桿剪力為:qlFFQDCQCD601FQ圖ABCD1730ql1330ql60ql12qlBC桿：44二、超靜定剛架例6-3-2 求圖示剛架M圖，各桿抗彎剛度不同。ABCE1I1 lE2I2 l原結(jié)構(gòu)qkIEIE2211ABCX2基本體系qX1A=0B=0 解：1、確定基本未知量X1 、 X2 選取基本體系如右上圖，原結(jié)構(gòu)A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角 ，B點(diǎn)的相對轉(zhuǎn)角 。0A0B452、列力法方程）（）（000022221211212111APBPXXXX3、求系數(shù)和自

18、由項（ ） 圖、作21MMMPABCX1=1111M圖E1I1 lE2I2 lABCX2=11E1I1 lE2I2 l2M圖ABCq82qlMP圖46kIEqlIEqlqllIEP22311321112424218132102P22223IEl1221222211111236llE IE I111 12 21 12 21 12 21 12 2221121121111232313333llE IE IE IE IllllkE IE IE I E IE Ik 1 122()E IkE I將求得的系數(shù)和自由項代入力法方程就得到：4、求基本未知量X1 、 X2473122 22 22 2122 22

19、21()03624063lklqlXXE IkE IE I kllXXE IE I212122(1)10420kqlXXkkXX 2111()234Xqlk 2211()434Xqlk此時因無具體數(shù)據(jù)，無法作出內(nèi)力圖。485、 討論1）當(dāng)k=0，即E1I1很小或E2I2很大，則2212816qlqlXX 剛架彎矩圖為：可見，柱AB相當(dāng)于在橫梁BC的B端提供了固定約束。M圖ABC281ql2161ql2161qlBC281ql2161ql492）當(dāng)k=1，剛架彎矩圖如圖a)示。3）當(dāng)k=，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗彎剛度趨近于零，只提供軸向支撐，故梁BC相當(dāng)于簡支梁，M圖見圖b)

20、。ABC2141ql2565ql2281qla) M圖ABC281qlb) M圖506、結(jié)論 在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只與各桿抗彎剛度EI的比值k 有關(guān)，而與桿件抗彎剛度EI的絕對值無關(guān)。若荷載不變，只要 k 不變，結(jié)構(gòu)內(nèi)力也不變。例7-3-3 作圖作圖(a)剛架內(nèi)力圖。剛架內(nèi)力圖。解：解：1、確定基本未知量、確定基本未知量X1、X2(選取基本體系選取基本體系)C點(diǎn)的相對水平位移和相點(diǎn)的相對水平位移和相對豎向位移均為零。對豎向位移均為零。2EI2EIEIEDCBA5kN1m5m5mq=10kN/mq(a)51 EIdxEIMMPP12522 EIdxEIMMPP13.32811 EIdx

21、EIM，83.1452222 EIdxEIMM5 .62212112 EIdxEIM，5 .622111 2、列力法方程）（）（000022221211212111CVPCHPXXXX3、求系數(shù)和自由項（ ） 圖、作21MMMP幻燈片 52521M55(m)X1 =1 (c)X2=15552M(m)(d)555125PM(kNm) (e)27.2522.231.2571.5531.25M(kNm)(f )X2X2X1 X1(b)5kNq基本體系返回50返回5153 62.5 X1 + 62.5 X2 -328.13 =0 62.5 X1 + 145.83 X2 +125 =04、求基本未知量X

22、1 、 X2解得： X1 =10.69kN X2=-5.44kN 由結(jié)果可知：多余力Xi只與剛架各桿的抗彎剛度的相對值有關(guān)，而與絕對值無關(guān)。5、作彎矩圖計算公式為：PMXMXMM2211(見圖f )54然后考慮外荷載用分段疊加法作M圖。求出幾個控制截面的彎矩值，如：)(25.315)44. 5(569.1052211外拉mkNMXMXMMPAD)(5 .71外拉mkNMBC)(2 .22外拉mkNMDA)(2 .27外拉mkNMDC55三 、超靜定桁架原結(jié)構(gòu)FPaa例6-3-4 作圖示桁架為例討論兩種基本體系的處理方法。各桿剛度為EA 。X1X1解：1、確定基本未知量X1（選取基本體系I）FP

23、ABX1aa基本體系I562、列力法方程01111PX 力法方程的物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在荷載和X1共同作用下，桿AB切口左右截面相對水平位移等于零?；窘Y(jié)構(gòu)中包括AB桿?；倔w系IFPABX1aaX1X13、求系數(shù)和自由項（ ） 1NNP、求57根據(jù)上述基本體系I求得各桿FNP及 標(biāo)于圖中。1NFABFPaaFPFP000PF2FNP圖ABaa11112X1=12圖1NF211112(2)(2)241 114 (12)442 NF laaEAEAaaaEAEA AB桿要計算在內(nèi)58111(2) (2)2212(12)NNPPPPPF F lFaFaEAEAF aEA 4、求基本未知量X1)(2

24、1)21 (4)21 (21111壓力PPPFaEAEAFX5、求各桿軸力FN 按下式計算FNNPNNFXFF11PF22PF21PF21PF22PF21PF21FN圖59/1111111/111111()0PPaXXE AaXE A 力法方程的物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在荷載和X1共同作用下，結(jié)點(diǎn)A、B相對水平位移等于桿AB的伸長，但符號相反。基本結(jié)構(gòu)中不包括AB桿。X1X1AB基本體系IIX1FPaa6、討論：基本體系II若AB桿的抗拉壓剛度為E1A1，則力法方程為：60例6-3-5 圖a桁架，斜桿AC、BD的截面積為 ，其余各桿為A，E為常數(shù)。求各桿的內(nèi)力。A2aaABDCFPFP(a)X1基

25、本體系1(b)ABDCFPFP(c)ABDCFPFP2/2PF圖PNF2/2PF2/2PF2/2PFPF0+1(d)X1=1ABDC2/22/22/22/2圖NF4/31PFX61基本體系2ABDCFP(e)X1FP111N1(g)ABDCX1=122最后內(nèi)力圖N(h)ABDCFPFP43PF4PF82PF82PF82PF82PF0000(f)ABDCNP圖FPFPPF08/21PFX62四、超靜定組合結(jié)構(gòu)例6-3-6 圖a所示的超靜定組合結(jié)構(gòu)，E為常數(shù)。 求：(1) 當(dāng)k=I1/I2=2時，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力； (2)當(dāng)k值變化時，說明M及NBC的變化規(guī)律。ABCDEEA= EI1EI2aaaFP(

26、a)X1基本體系(b)ABCDEEI1EI2FP解：1、確定基本未知量X1（選取基本體系）632、列力法方程 MP2Fpa(d)ABCDEFP11 X1+1P =03、求系數(shù)和自由項（ ） 11NPNPFFMM、圖，求、作(c)2aa/2X1=1ABCDE1NFM64)16(6638)232()221(2232)2221(11323131212111kEIaEIaEIaaaaEI2aaaEIdxEANdxEIM注意：此處11和1P 的計算，應(yīng)該考慮什么影響因素。13138EIaFPP65kFPXP16161111981FPXNBC11MXMMP2FPa/94FPa/9NBC=-8FP/9M、F

27、N 圖ABCDEFP(e)4、求基本未知量X19/821PFXk 時，當(dāng)隨著k值變化，X1變化，MAB、MCD值隨之變化。6、討論：改變k值5、作彎矩圖M(如右下圖)66當(dāng)k=I1/I2=0時，X1=FP，則MAB=0，MCD達(dá)最大。當(dāng)k不斷增加，X1減小， MAB 增加，MCD 減小。當(dāng)k(I1)時，X1=0，MCD=0，MAB 達(dá)最大。 MAB=2FPa，無變形。由此，進(jìn)一步看出：超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與桿件的抗彎剛度的絕對值無關(guān)。kFXPP161611112FPa/94FPa/9NBC=-8FP/9M、FN 圖ABCDEFP(e)67四 、排架E1I1E2I2E1I1E2I2EA 一般有鉸結(jié)排

28、架和剛結(jié)排架，單層廠房，柱頂與屋蓋的聯(lián)結(jié)視為鉸結(jié)，為鉸結(jié)排架。其中的柱是階梯形變截面桿件，柱底為固定端，柱頂與橫梁(屋架)為鉸結(jié)。計算時常忽略橫梁的軸向變形。68例6-3-7 求圖示排架M圖。EIEI原結(jié)構(gòu)5kN/mEA EIEA 6m2m 排架結(jié)構(gòu)求解時，通常切斷鏈桿以得到力法基本結(jié)構(gòu)。這樣，MP圖和 圖局部化，求解力法方程系數(shù)比較簡單。1M69解：1、確定基本未知量X1、 X2（選取基本體系）1111221211222200PPXXXX基本體系5kN/mX2X1MP圖90kN.m方程物理意義： 橫梁切口左右截面相對水平位移等于零。2、列力法方程 3、求系數(shù)和自由項（ ） 圖、作1MMP70

29、EIEI144)63266212(111X1=1661M圖X2=1282M圖28EIEI108)231832(662112112EIEI31024)382(132211138106 90634PEIEI 20P7117.375()XkN 壓22.334()XkN 壓5、作M圖M圖(kN.m)1.475m45.7525.5818.674.675.444、求多余未知力12121441088100108102403XXEIEIEIXXEIEI1212144108810032410240XXXX 1122PMM XM XM72例6-3-8（書中例6-2）求在所示吊車荷載作用下的內(nèi)力。計算資料如下：BC

30、EFGA18m18mIS2IX2MHFPHMHH6.75m2.6m4.65m 2.1mIS1IX1DFPHA6.75m2.6m基本體系4.65m2.1mDX2BFECGX1H1.598.108.101.592.831(a)mkNME6 .17mkNMH2 .43特點(diǎn)？736-4 超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的力法計算 超靜定結(jié)構(gòu)：支座移動、溫度改變、材料收縮、制造誤差等因素都會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力和變形。 即：超靜定結(jié)構(gòu)的一個重要特點(diǎn)就是在無荷載作用時，也可以產(chǎn)生內(nèi)力(稱為自內(nèi)力)。 自內(nèi)力：無荷載作用時，超靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動、溫度改變等因素作用產(chǎn)生的內(nèi)力。 注意：力法計算自內(nèi)力的步驟與荷載作用時的情形

31、相同，只是自由項的計算不同而已。74自由項計算公式： 超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生支座移動時的力法計算對理解力法的解題思路很有幫助。下面討論超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生支座移動時力法的解題思路。原結(jié)構(gòu)ABEI l1CRKKF C 例6-4-1 作圖示單跨超靜定梁內(nèi)力圖。75（受X1及支座轉(zhuǎn)角共同作用）解： 1）選兩種基本體系如下圖示2）力法基本方程位移條件0BV力法方程01111CXA111XABEI l基本體系IX1B基本體系IIX1AEI l（只有X1作用，支座轉(zhuǎn)角 對桿端A無影響）76EIllllEI332211311EIllEI3321211111111323/3()CEIXllEIl1CRKKFCl 3）求系數(shù)

32、和自由項4）求未知力X1ABM圖lFR1X1=1ABM圖X1=11l1113/3()EIXlEIl 不存在？C1775） 作內(nèi)力圖在基本體系II中，若X1為逆時針方向，如下圖示，則力法方程成為：111XABX1=1M圖lEI3BA23lEIFQ圖23lEIBA這時注意方程右邊的符號。78小結(jié)：1）當(dāng)超靜定結(jié)構(gòu)有支座位移時，所取的基本體系上可能保留有支座移動，也可能沒有支座移動。應(yīng)當(dāng)盡量取無支座移動的基本體系。2）當(dāng)基本體系有支座移動時，自由項按下式求解：1CRKKF C RKF為基本體系由X=1產(chǎn)生的支座反力；KC為基本體系的支座位移。3）當(dāng)超靜定結(jié)構(gòu)有支座移動時，其內(nèi)力與桿件的抗彎剛度EI成

33、正比，EI越大，內(nèi)力越大。79例6-4-2 寫出圖示剛架的力法方程并求出系數(shù)iC。解：1）取兩種基本體系如下圖示ACEI lEI lba原結(jié)構(gòu)80基本體系IICABbX1X2AH=-aA= 2） 建立力法方程討論方程及系數(shù)的物理意義。基本體系ICABbCH=0CV=0X1X2a01212111CXX02222121CXXaXXC1212111CXX222212181基本體系IlBCX1=1l101M圖A3） 求自由項lalaC)1(1本例主要討論自由項的求法，其余計算略去。)()1 (2lblbClBCX2=1l012M圖lAl82lbblC)1(2ABCX2=12M圖l111基本體系IIAB

34、C1X1=11M圖lbbC)1(183例6-4-3 已知：E支座下沉為a，逆時針轉(zhuǎn)動為，EI=常數(shù)，用力法作剛架內(nèi)力圖。解：1、確定基本未知量X1、X2（選取基本體系）。EDCBA(b)X1X2基本體系(a)lEDCBAal/2l/2l/22、列力法方程(保留支座位移)。 84ic由支座移動引起的Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移。0022221211212111CCXXXX3、求系數(shù)和自由項（ ） 圖、作iPMMEDCBA(c)X1=1l/2l11RkFM 、02/ lEDCBA(d)X2=1l/2l/2l/2l/222kRFM 、2/ l185解方程：4、求未知量X1、X22)20(11llCFk

35、Rkc2)2()1(22lalaCFkRkcEIlEIlEIl2411 ,163 ,83322321123110)2(2411163021638323132313laXEIlXEIllXEIlXEIl86得：6、討論：(1) 選擇第二種基本體系EDCBA基本體系2X2X15） 作內(nèi)力圖2211XMXMM0PMCCXXXX222212112121110力法方程：3131)43(3524)1831(1058lEIalXlEIalX87注意： 第一個方程的右邊為零，是因為在原結(jié)構(gòu)上與X1相應(yīng)的位移為零；第二個方程的右邊為，是因為原結(jié)構(gòu)與X2相應(yīng)的位移為，且與X2同向為正，反之為負(fù)；(2) 選擇第三種

36、基本體系注意：此時，兩個方程的右邊皆不為零，分別為-a和-，而1c和2c皆為零。為什么？請你思考！222121212111XXaXX力法方程：EDCBAX1X2基本體系388附：單跨超靜定梁有支座移動時的彎矩圖AX111111121233llEIEI 13()AEIXl1)一端固定一端簡支梁A支座有轉(zhuǎn)動位移ABM圖X1=11ABEI, lAABM圖FQ圖23AEIlAB3AEIl89111X3113lEI133( )EIXl ABM圖X1=1lABEI, lABM圖23EIlFQ圖33EIlAB2)一端固定一端簡支梁B支座有豎向位移900222121212111XXXXAEIl32211EIl

37、6211202622121XXlEIXXA1242( )( )AAEIEIXXllABX1X2ABX1=111M圖AB1X2=12M圖ABEI, lA3)兩端固定梁A支座有轉(zhuǎn)動位移91FQ圖26AEIlABABM圖4AEIl2AEIl11111AlXEI1( )AEIXlABEI, lAABM圖AEIl1M圖ABX1=114)一端固定一端滑動梁A支座有轉(zhuǎn)動位移922221212121110XXXX311223llEIEIEIl2221121212320362XXlEIXXll12236()12()EIXlEIXl ABX2 =1l2M圖ABEI, lABX1=111M圖ABX1X25)兩端固定

38、梁B支座有豎向位移93ABM圖26EIl26EIlFQ圖312EIlAB依據(jù)3)，很容易得到右圖示內(nèi)力圖。FQ圖26BEIlABABEI, lB6)兩端固定梁B支座有轉(zhuǎn)動位移ABM圖BlEI2BlEI4946-5 力法簡化計算一、力法簡化計算的思路 若結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)為n，則在荷載作用下其力法方程為：11112211211222221122.0.0.0nnPnnPnnnnnnPXXXXXXXXX95 在上列方程中，主系數(shù)ii恒大于零，副系數(shù) ij（ij）則可能大于零、等于零或小于零。 若能使全部副系數(shù)ij等于零，則方程組解耦，力法方程變?yōu)椋?1112222000PPnnnnPXXX 即使不能使

39、全部副系數(shù)等于零，若能使大部分副系數(shù)等于零，則力法計算也將大大簡化。所以，力法簡化計算的目的：使盡可能多的副系數(shù)等于零。96二、非對稱結(jié)構(gòu)的簡化計算 對于非對稱結(jié)構(gòu)，為簡化計算，應(yīng)盡量使 圖及MP圖局部化，以簡化方程系數(shù)的計算。所以，取基本結(jié)構(gòu)時應(yīng)考慮這一因素。MABqCD連續(xù)梁基本體系X2X3X1支座處變鉸97排架結(jié)構(gòu)基本體系X2X1EA EA 多跨剛架基本體系2X3X1X6X5X4X7X8X9X98（一）結(jié)構(gòu)對稱(視頻)(見右圖)。1、條件(1) 結(jié)構(gòu)的幾何形式和支承情況對某軸對稱；(2) 桿件截面和材料性質(zhì)也對此軸對稱(因此桿件的截面抗彎剛度EI對此軸對稱)。三 、對稱結(jié)構(gòu)的簡化計算EI

40、1EI2EI2l/2l/2（單跨反對稱和雙跨反對稱視頻）992、對稱形式對稱、雙向?qū)ΨQ，見圖。雙向?qū)ΨQ，具有兩個對稱軸豎向荷載下，結(jié)構(gòu)對稱EI1EI2EI2l/2l/2對稱結(jié)構(gòu)3、非對稱荷載的處理（荷載分解）對稱結(jié)構(gòu)通常作用有非對稱荷載，處理方法為：100（1）非對稱荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載分別計算，然后疊加兩種情況的結(jié)果。=+aaFP/2FP /2EI1EI1反對稱荷載EI2aaEI1EI1（正）對稱荷載FP/2FP /2EI2al/2FPl/2EI1EI1原結(jié)構(gòu)EI2101（2）荷載不分解，只取對稱基本體系。al/2FPl/2EI1 hEI1 h原結(jié)構(gòu)EI2FPFpaMP圖3X1X2

41、XFP對稱基本體系102根據(jù) ，MP圖的對稱性或反對稱性可知：M0, 032233113于是，原力法方程變?yōu)椋?11122121122223333000PPPXXXXX（對稱）111X11M圖l/2（反對稱）l/213X3M圖（對稱）12X2M圖hh兩種作法各有利弊，可根據(jù)情況選用。103（二）對稱性利用 用力法解對稱結(jié)構(gòu)，應(yīng)取對稱的基本結(jié)構(gòu)，只有這樣才能簡化計算。1、對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的簡化計算FPaFPFP(對稱）FPaMP圖3X1X2XFPFP基本體系al/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原結(jié)構(gòu)EI2104X1，X2對稱未知力X3反對稱未知力根據(jù) ，MP 圖的對稱性或反對稱性

42、可知：M133123323000Pl/2 （對稱）111X11M圖 （對稱）hh12X2M圖 （反對稱）l/23M圖13X副系數(shù)為零105于是，原力法方程：000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX變?yōu)椋?1112212112222333000PPXXXXX03X結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，其反對稱未知力為零，只有對稱未知力。1062、對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的簡化計算al/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原結(jié)構(gòu)EI2FPFP （反對稱）FPaFPaMP圖3X1X2XFPFP 基本體系107根據(jù) ，MP圖的對稱性或反對稱性可知：M13

43、312332120000PP（對稱）111X11M圖（對稱）12X2M圖（反對稱）l/213Xl/2hh3M 圖X1，X2對稱未知力X3反對稱未知力副系數(shù)為零108于是，原力法方程：變?yōu)椋?00333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX1111222112223333000PXXXXX3333/PX0021XX 對于前兩個方程組成的方程組，因其右端項為零，且系數(shù)行列式的值通常不等于零，即111221220于是，方程組只有零解：X1=0，X2=0。109 結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其對稱未知力為零，只有反對稱未知力。普遍性結(jié)論：采用力法計算任何對

44、稱結(jié)構(gòu)，只要所取的基本未知量都是對稱力或反對稱力，則力法方程必然分解為獨(dú)立的兩組，其中一組只包含對稱未知力，另一組只包含反對稱未知力，原來的高階方程組現(xiàn)在分解為兩個低階方程組，因而使計算得到簡化。 110（三） 奇數(shù)跨或偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)的處理 1、若對稱結(jié)構(gòu)是奇數(shù)跨，則存在與對稱軸相交的截面。切開該截面，則未知力分為兩組：對稱未知力和反對稱未知力。若荷載對稱或反對稱，則按前述方法處理。3X1X2X3X2X1XX1, X2為對稱未知力; X3為反對稱未知力。111 2、若對稱結(jié)構(gòu)是偶數(shù)跨，則不存在與對稱軸相交之截面，此時應(yīng)根據(jù)荷載情況分別處理： 1）對稱荷載。對稱結(jié)構(gòu)在該對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位

45、移均對稱。FPFP原結(jié)構(gòu)FPFP基本體系2X3X1X2X3X1X112 2）反對稱荷載。對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移均反對稱。FPFP原結(jié)構(gòu)FP基本體系2X3X1X2X3X1XFP注意：多余力反對稱113（四） 組合未知力（廣義未知力）結(jié)合下圖示剛架進(jìn)行說明。EI1基本體系qEI2EI1X1X2X1X2EI1原結(jié)構(gòu)qEI2EI1hl/2l/211402112力法方程為：0022221111PPXX22221111/PPXXq221qlMP圖X1=1lX1=1(對稱)1M圖X2=12lX2=1ll2M圖(反對稱)115 在上題中，X1實質(zhì)上是對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下產(chǎn)生的未知力，而X

46、2則是反對稱荷載產(chǎn)生的未知力。EI1對稱荷載EI2EI1l/2l/2X1X1q/2EI1反對稱荷載EI2EI1l/2l/2X2X2q/2q/2116（五）舉例例6-5-1 分析圖a所示剛架，作彎矩圖。 本題采用兩種做法，以示比較。(a)q=7kN/mBDCA3EI2EI2EI6m6m 第一種方法：分解荷載成對稱和反對稱兩組荷載。 第二種方法：不分解荷載，選取對稱的基本體系。117(a)q=7kN/mBDCA3EI2EI2EI6m6m(b)正對稱荷載X1X2X1X3基本體系q=3.5kN/mBDCAq=3.5kN/m第一種方法：分解荷載成對稱和反對稱兩組荷載。1、考慮對稱荷載(1) 取基本體系如

47、圖b，基本未知量X1、X2、X3。11 X1 + 12 X2 + 1P = 021 X1 + 22 X2 + 2P = 0(2) 列力法方程直接利用對稱性直接利用對稱性118X3=133333(f)BDCA）圖（mM3X2=1111 111(e)BDCA圖2M對稱荷載作用，利用對稱性X3=0(3) 計算系數(shù)和自由項（ ） 圖、作PMMMM32166(d)BDCAX1=1）圖（mM16363(g)BDCA圖PM119)m(72632)6621(22111kNEIEI1dxEIM1M)1(18 1)6621(2212112kNEIEI1dxEIM2M).1(8)161 (221) 161 (312

48、2mkNEIEIEI2dxEIM2M)(567)643()66331(2211EIEIP1dxEIMMPm)(無量綱126 1)66331(22122EIEIdxEIMMPP有關(guān)單位說明：有關(guān)單位說明：E (kN/m2)，I (m4)，EI (kN m2)120(4) 求未知量X1、X20126818056718722121XXXXmkNXkNX5 . 4921(5) 作對稱荷載下結(jié)構(gòu)的彎矩圖 ，也可以最后疊加作圖（采取最后作彎矩圖）M2、考慮反對稱荷載(1) 取基本體系如圖c，基本未知量X1、X2、X3。此時，圖圖，只作、不必再作PMMMM 321荷載下的彎矩圖。圖是基本體系在反對稱PM 1

49、21(c)反對稱荷載X1X2X1X3基本體系q=3.5kN/mBDCAq=3.5kN/m63(h)BDCA63圖PM 反對稱荷載，利用對稱性，X1 = X2 = 0(2) 列力法方程03333PX(3) 計算系數(shù)和自由項（ h ） 圖作PM 122kNEIEI)m(60332)3321(3)63(2233dxEIM3M3EIEIP)(3783)66331(223dxEIMMP3 m(4) 求未知量X30378603XkNX3 . 633、作結(jié)構(gòu)M圖PPMMXMXMXMM 33221157.630.614.423.4M圖(kN.m)BDCA校核： 0dxEIM123第二種方法：不分解荷載，選取對

50、稱的基本體系。此時， 不變， 不變，只作 圖321MMM、ijPMq=7kN/mBDCA3EI2EI2EI6m6mX1X2X1X3基本體系MP(kNm)126BDCA各自由項計算如下：)(567)643()612631(211EIEIPmdxEIMMP1124)(無量綱126 1)612631(212EIEIPdxEIMMP2)(3783)612631(213EIEIPmdxEIMMP3代入力法方程有：03786001268180567187232121XXXXX這時，只是兩組方程合在一起，求解是一樣的，但是計算卻要更簡單些。所以，在實際應(yīng)用中要根據(jù)具體題目的情況，而不能盲目利用對稱性，使計算

51、復(fù)雜化。125例6-5-2 右圖示結(jié)構(gòu)，討論用力法簡化計算。 將荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載。在對稱結(jié)點(diǎn)荷載作用下，由于不考慮桿件的軸向變形，其M等于零。在反對稱結(jié)點(diǎn)荷載作用下，只有一個未知量X1。原結(jié)構(gòu)FPEIEIEIEI2EI2EI126EIEI反對稱荷載EIEI2EI2EIFP/2FP/2FP/2EIEI對稱荷載EIEI2EI2EIFP/2ABFN= -FP/20M +X2=0X1=0X40X3=0FP/2FP/2127 解：將荷載分為兩組：第一組荷載關(guān)于x和y 軸都對稱，見圖b)。第二組荷載關(guān)于y 軸對稱，關(guān)于x 軸反對稱，見下頁圖c)。y2FPFPFPb）2FPFPFPxFN= -

52、FPFN= -2FPFN= -FPM=0aaaAB04FP2FP2FPa）例6-5-3 圖a)示對稱結(jié)構(gòu)，各桿EI相同，討論力法的簡化計算。128 由于不考慮桿件的軸向變形，上頁圖b) 荷載下各桿彎矩等于零。 圖c) 荷載關(guān)于x軸反對稱，切開與x軸相交的截面，未知力分為兩組：對稱未知力X1，X2以及反對稱未知力X3。所以對稱未知力X1，X2等于零，只有反對稱未知力X3，如圖 d)所示。y2FPFPFPc）2FPFPFPxX1=0X1=02FPFPFPd）2FPFPFPyxX30X2=0X30X2=0129歸納起來，利用對稱性以簡化計算的要點(diǎn)如下：(1) 選用對稱的基本體系，選用對稱力或反對稱力

53、作為基本未知量。(2)在對稱荷載作用下，只考慮對稱未知力(反對稱未知力等于零)。(3)在反對稱荷載作用下，只考慮反對稱未知力(對稱未知力等于零)。(4)非對稱荷載可分解為對稱荷載和反對稱荷載。130六、半剛架法 對稱結(jié)構(gòu)的計算還有另一種方法取半邊結(jié)構(gòu)計算。例6-5-4 對例例6-5-1采用取半邊結(jié)構(gòu)的方法求解。解：根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載和反對稱荷載作用下的變形特點(diǎn)，選取半剛架。1、正對稱荷載作用下半剛架的計算(a)q=7kN/mBDCA3EI2EI2EI6m6m131(a)q=3.5kN/mBDCAq=3.5kN/m正對稱荷載(b)CAq=3.5kN/m(c)CAX1X2基本體系q=3.5kN

54、/m(1) 取基本體系(見圖c)，基本未知量X1、X2 。11 X1 + 12 X2 + 1P = 021 X1 + 22 X2 + 2P = 0(2) 列力法方程(3) 計算系數(shù)和自由項（ ） 圖、作PMMM21132X2=11111圖2MX1=16）圖（mM163）圖（mkNMPEIEI36)632()6621(2111EIEI9 1)6621(212112EIEIEI4) 131 (31) 161 (2122133EIEIP5 .283)643()66331(211EIEIP63 1)66331(212(4) 求多余力X1、X20634905 .2839362121XXXXkNXkNX5

55、 . 4921(5) 作出對稱荷載下半剛架的彎矩圖，利用對稱性作出另一半 (見圖 ) 。PMXMXMM221111MBDCA13.513.54.54.515.7515.75）圖（mkNM11342、反對稱荷載作用下的半剛架計算(2) 力法方程 11 X1 + 1P = 0 (d)反對稱荷載q=3.5kN/mBDCAq=3.5kN/m(e)q=3.5kN/mCA(f)X1基本體系q=3.5kN/mCA(1) 取基本體系(見圖)，多余未知力X1 。(3) 計算11、1P （ ）圖相同圖與、作PPMMM 1135X1=1333）圖（mM163）圖（mkNMPEIEIP1893)66331(211EI

56、EIEI30)332()3321(31)363(21113 . 6)30189(1111PkNEIEIX3、作最后M圖(4) 求多余力X1(5) 作出反對稱荷載下半剛架的彎矩圖，利用反對稱性作出另一半 (見圖 ) 。2M）（PPMMXMM 11221MMM13657.6BDCA30.614.414.423.4M 圖(kN.m)23.431.5BDCA44.118.918.9M2圖(kN.m)18.944.118.915.7515.75下面是兩個利用半剛架方法求解對稱結(jié)構(gòu)的習(xí)題(習(xí)題6-8b、c)。而習(xí)題6-8a、d則是另外一種利用對稱性選取半剛架進(jìn)行求解的習(xí)題。137習(xí)題6-8baaqqEI=

57、常數(shù)a/2a/2q1/4結(jié)構(gòu)X1基本體系q習(xí)題6-8ca2aqEI常數(shù)qqq1/2結(jié)構(gòu)a/2q1/4結(jié)構(gòu)X1基本體系a/2qX21386-6 溫度變化及有彈簧支座結(jié)構(gòu)的計算一 、溫度變化時的計算下面通過例題進(jìn)行說明。原結(jié)構(gòu)8m6mC50C0C0C0C50C500.6m0.4m例6-6-1 圖示剛架，混凝土澆筑時溫度為 ，到冬季時室外溫度為 ，室內(nèi)保持不變，求M圖。各桿EI相同，線膨脹系數(shù)為。C15C35139Ct5015351Ct015152所以Ct50|050|Ct252/ )050(02) 力法方程01111tX解： 1) 溫度改變值：X1=1基本體系C50C0C0C0C50C50X166

58、1NF1M圖14031116(26 8 6)31432(144288)EIEIEI 3) 計算系數(shù)和自由項 4) 求未知力X110( )501(26 6 6 8) ( 25) ( 1) 80.62( 7000 200)6800tNtMdxtF dxh 自由項計算用靜定結(jié)構(gòu)受溫度變化影響時的位移計算公式1111/680043215.74()tEIXEI 1415) 作彎矩圖和軸力圖1XMM 值得注意：超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化或支座移動作用下，桿件內(nèi)力與桿件抗彎剛度EI成正比。與靜定結(jié)構(gòu)相比，超靜定結(jié)構(gòu)是溫度低的一側(cè)受拉。 因為基本體系是靜定結(jié)構(gòu)，溫度變化不引起內(nèi)力，故內(nèi)力都是由多余未知力引起的，即：

59、94.4EI94.4EIM圖94.4EI=1361XFFNN14211圖圖 1N溫度變化時內(nèi)力計算特點(diǎn)(1) 溫度變化引起的內(nèi)力與桿件的抗彎剛度EI成正比；(2) 給定的溫度條件下，截面尺寸愈大、內(nèi)力愈大；(3) 此時要改善結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)，加大截面尺寸不是有效途徑；(4) 拉應(yīng)力產(chǎn)生在降溫面。因此特別提請注意：在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中，裂縫可能出現(xiàn)在降溫面。15.74EI=22.6FN圖(kN)1XFFNN143二 、具有彈簧支座結(jié)構(gòu)的力法求解 彈簧支座分為拉壓彈簧支座和轉(zhuǎn)動彈簧支座兩類，如下圖示。FPPFk拉壓彈簧支座Mk 轉(zhuǎn)動彈簧支座M144解：1) 將拉壓彈簧與桿端C分開，取基本體系如圖示。

60、01111PX2) 力法方程 1111113) 求系數(shù)和自由項例6-6-2 求下圖示剛架M圖。ABCEI lEI l原結(jié)構(gòu)q32lEIk EI lABCEI lq32lEIk 基本體系X1EIlkdxEIM213112111 145111111333411326lllEIEIEIEIqlllqlllqlEIP85)21432131(14221EIlllllllEI34)3221(1311EIlk213 11ABCqMP圖212qlABC32EIklX1=1k11M圖ll1464) 求未知量X1 若基本體系保留有彈簧支座，則求方程的系數(shù)比較繁瑣，應(yīng)盡量避免。詳見下面的例。ABCq0.1590.0