實(shí)變函數(shù)期末練習(xí)題

1、實(shí)變函數(shù)期末練習(xí)題（1-4）姓名 班級(jí) 練習(xí)1一、單項(xiàng)選擇題1、下列各式正確的是（ ）（A）; （B）;（C）; （D）;2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列說(shuō)法不正確的是（ ）(A) 凡外側(cè)度為零的集合都可測(cè)（B）可測(cè)集的任何子集都可測(cè)(C) 開(kāi)集和閉集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可測(cè)4、設(shè)是上的有限的可測(cè)函數(shù)列,則下面不成立的是( )（A）若, 則 (B) 是可測(cè)函數(shù)（C）是可測(cè)函數(shù); （D）若,則可測(cè)5、設(shè)f(x)是上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)（C）在上L可積 (D) 二

2、. 填空題1、_2、設(shè)是上有理點(diǎn)全體，則=_,=_,=_.3、設(shè)是中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集都_，則稱(chēng)是可測(cè)的4、可測(cè)的_條件是它可以表成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限函數(shù).（填“充分”，“必要”，“充要”）5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對(duì)于的一切分劃，使_,則稱(chēng)為 上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說(shuō)明.1、設(shè)，若E是稠密集，則是無(wú)處稠密集。2、若，則一定是可數(shù)集.3、若是可測(cè)函數(shù)，則必是可測(cè)函數(shù)4設(shè)在可測(cè)集上可積分，若，則四、解答題1、設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值?？?生 答 題 不 得 超 過(guò) 此 線2、求五、證明題.1、證明上的全體無(wú)理數(shù)作成

3、的集其勢(shì)為.2、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)是閉集?？?生 答 題 不 得 超 過(guò) 此 線3、在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差。4、設(shè)在上可積，則.5、設(shè)是上有限的函數(shù)，若對(duì)任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測(cè)函數(shù)。(魯津定理的逆定理)練習(xí)2一.單項(xiàng)選擇題1設(shè)是兩集合，則 =（ ）(A) (B) (C) (D) 2. 下列說(shuō)法不正確的是( )(A) 的任一領(lǐng)域內(nèi)都有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則是的聚點(diǎn)(B) 的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個(gè)中異于的點(diǎn)，則是的聚點(diǎn)(C) 存在中點(diǎn)列，使，則是的聚點(diǎn)(D) 內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)3. 下列斷言( )是正確的。（A）任意個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集；(B)

4、 任意個(gè)閉集的交是閉集；(C) 任意個(gè)閉集的并是閉集；(D) 以上都不對(duì)；4. 下列斷言中( )是錯(cuò)誤的。（A）零測(cè)集是可測(cè)集； （B）可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集；（C）任意個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集；（D）零測(cè)集的任意子集是可測(cè)集；5. 若，則下列斷言（ ）是正確的(A) 在可積在可積；(B) (C) ;(D) 二. 填空題1、設(shè)，則_。2、設(shè)為Cantor集，則 ，_，=_。3、設(shè)是一列可測(cè)集，則4、魯津定理：_5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果_則稱(chēng)為上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說(shuō)明原因或舉出反例. 1、由于，故不存在使之間對(duì)應(yīng)的映射。2、可數(shù)個(gè)零測(cè)度集之和集仍

5、為零測(cè)度集。3、收斂的函數(shù)列必依測(cè)度收斂。4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。四.解答題1、設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。2、求極限 .五.證明題1. 1、設(shè)f(x)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù) c， 是一開(kāi)集.2. 設(shè)使，則E是可測(cè)集。3.在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差。4.設(shè)函數(shù)列 在有界集上“基本上”一致收斂于，證明：收斂于。5.設(shè)在上可積，則對(duì)任何，必存在上的連續(xù)函數(shù)，使.練習(xí)3一、單項(xiàng)選擇題1、設(shè)，則（ ）(A) （B）(C) （D）2、設(shè)是上有理點(diǎn)全體，則下列各式不成立的（ ）（A） (B) (C) =0，1 (D) 3、下列說(shuō)法不正確的是（

6、）(A) 若，則 （B） 有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測(cè)度集之和集仍為零測(cè)度集 (C) 可測(cè)集的任何子集都可測(cè) （D）凡開(kāi)集、閉集皆可測(cè)4、設(shè)是一列可測(cè)集，且，則有（ ）（A） (B) （C）;（D）以上都不對(duì)5、設(shè)f(x)是上絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的（ ）(A) 在上的一致連續(xù)函數(shù) (B) 在上處處可導(dǎo)（C）在上L可積 (D) 是有界變差函數(shù)二. 填空題1、設(shè)集合，則_2、設(shè)為Cantor集，則 ，_，=_。3、設(shè)是中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集都有_，則稱(chēng)是可測(cè)的4、葉果洛夫定理： 5、設(shè)在上可測(cè)，則在上可積的 充要 條件是|在上可積.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命題是否成立?若成立,則證明

7、之;若不成立,則舉反例說(shuō)明.1、任意多個(gè)開(kāi)集之交集仍為開(kāi)集。2、若，則一定是可數(shù)集. 3、收斂的函數(shù)列必依測(cè)度收斂。4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。四、解答題1、設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。2、求極限 五、證明題.1、試證2、設(shè)f(x)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù) c， 是一開(kāi)集.考 生 答 題 不 得 超 過(guò) 此 線3、設(shè)是可測(cè)集的非負(fù)可積函數(shù)，是的可測(cè)函數(shù)，且，則也是上的可積函數(shù)。4、設(shè)在上積分確定，且于，則在上也積分確定，且5、設(shè)在上,而成立,則有練習(xí)4一.單項(xiàng)選擇題1設(shè)P為Cantor集，則 （A） À0 (B) (C) (D) 2. 下列說(shuō)法不正

8、確的是( )(A) 的任一領(lǐng)域內(nèi)都有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則是的聚點(diǎn)(B) 的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個(gè)中異于的點(diǎn)，則是的聚點(diǎn)(C) 存在中點(diǎn)列，使，則是的聚點(diǎn)(D) 內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)3.設(shè)在上可積,則下面不成立的是( )(A)在上可測(cè) (B)在上a.e.有限(C)在上有界 (D)在上可積4. 設(shè)是一列可測(cè)集，則有（ ）（A） (B) （C）;（D）以上都不對(duì)5.設(shè)為上的有界變差函數(shù),則下面不成立的( )(A)在上可積 (B)在上可積(C)在上可積 (D)在上絕對(duì)連續(xù)二. 填空題(3分×5=15分)1、設(shè)，則_。2、設(shè),若則是 閉 集；若，則是 _集；若，則是_集.3、設(shè)是一列可測(cè)集，則4、敘述魯津定理： 5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對(duì)于的一切劃分，使 成一有界數(shù)集，則稱(chēng)為上的有界變差函數(shù)。三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說(shuō)明原因或舉出反例.1、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集.2、若，則.3、若是可測(cè)函數(shù)，則必是可測(cè)函數(shù)4設(shè)在可測(cè)集上可積分，若，則四.解答題1、設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。2、求五.證